Vektor. Joone võrrand. 11.klass Esitamistähtaeg: 16.10.2012 Konsultatsioon: kokkuleppel või reedel 8.tund või meili teel ([email protected]) NB! Vormistus peab olema korrektne, täiuslik! ÜL.1 Ristküliku ABCD üheks tipuks on punkt A(4; 3), tipp B asub x-teljel ja küljega AB paralleelne külg CD asub sirgel x y + 7 = 0. 1) Arvuta ristküliku ABCD tippude B, C ja D koordinaadid ning joonesta ristkülik ABCD koordinaattasandile. 2) Koosta sirge võrrand, millel asub ristküliku diagonaal AC. 3) Arvuta ristküliku ABCD ümbermõõdu täpne väärtus. 4) Koosta ristküliku ABCD ümberringjoone võrrand. ÜL. 2 Punktist A(-2; 2) on joonestatud vektor = (6; 2). Läbi punkti D(-3; -5) on joonestatud sirge DC, mis on paralleelne sirgega AB. Punktide A, B, C ja D järjestikusel ühendamisel saadakse täisnurkne trapets, mille täisnurk on tipu B juures. 1) Tee joonis. 2) Koosta sirgete DC ja BC võrrandid.
Sirged tasandil Sirge esitamise viisid: 1. Kahe punktiga esitatud sirge võrrand: Olgu antud kaks punkti , siis sirge võrrandiks on 2. Punkti ja sihivektoriga esitatud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja sihivektor , siis sirge võrrandiks on 3. Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: Olgu antud punkt ja tõus , siis sirge võrrandiks on 4. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: Olgu antud tõus k ja algordinaat b (y telje koordinaat, kus sirge läbib y-telge) y = kx + b 5. Sirge võrrand telglõikudes: Läbigu sirge koordinaattelgi punktides (a; 0) ja (0; b), siis sirge võrrand on Sirge üldvõrrandiks on Ax + By + C = 0, kus sihivektori koordinaadid on ja normaalvektori koordinaadid . Normaalvektor on risti sihivektoriga . Sirge tõusu saab arvutada valemitega . Punkti kaugus sirgest Ax + By + C =0 .
1. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte C(-3 ; 1) ja D(2 ; -5). X - XC Y - YC Sirge võrrand kahe punkti järgi: = . X D - X C YD - YC X - ( -3) Y -1 X + 3 Y -1 Asetame arvud võrrandisse: = = . 2 - ( -3) - 5 -1 5 -6 5y 5 = 6x 18 5y + 6x 5 + 18 = 0 6x + 5y + 13 = 0 2. Leia punktiga A(5 ; -2) ja sihivektoriga s = (3 ; -2) määratud sirge võrrand.
Trigonomeetrilised võrrandid © T. Lepikult, 2010 Trigonomeetriline võrrand Trigonomeetriliseks võrrandiks nimetatakse võrrandit, milles muutuja esineb vaid trigonomeetriliste funktsioonide argumentides Näiteks võrrand 2 sin 2 x + cos x - 1 = 0 on trigonomeetriline võrrand, võrrand x sin 1 + x 2 cos = 0 aga ei ole trigonomeetriline võrrand. Võrrandeid sin x = a, | a | 1, tan x = a, cos x = a, | a | 1, cot x = a, nimetatakse trigonomeetrilisteks põhivõrranditeks. Trigonomeetriliste põhivõrrandite lahendamine sin x = a, | a | 1 x = (-1) n arcsin a + n , n Z ; cos x = a, | a | 1 x = ± arccos a + 2n , n Z ; tan x = a, x = arctan a + n , n Z ; cot x = a, x = arccot a + n , n Z . Näide Lahendada võrrand tan x = 3. Lahendus
Leidke sirgete AB ja AC võrrandid ning lõikepunktid koordinaattelgedega; 2) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB paralleelse sirge võrrand; 3) Leidke läbi tipu C joonestatud küljega AB ristuva sirge tõus. 2. Lõik otspunktidega on ringjoone diameetriks. Leidke: 1) ringjoone võrrand; 2) sellele ringjoonele punktides (2,5; 4,5) ja (0;2) joonestatud puutujate võrrandid ja nende puutujate lõikepunkt. 3. Tuletage joone võrrand, kui joone iga punkti kaugused punktidest M(0;-3) ja N(2;3) on võrdsed. Näidake, et otsitav joon on lõigu MN keskristsirge. 4. Parabool läbib punkte (-1;0), (5;0) ja (0;-10). Leidke parabooli võrrand ja tema haripunkti koordinaadid ning puutuja võrrand punktis (0;-10). 5. Leidke parabooli y = x2 2x haripunkti koordinaadid. 1) Vektori v =(a;9) alguspunkt asetseb antud parabooli haripunktis. Leidke parameetri a väärtused a1 ja a2, mille korral vektori v
Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit. y - y1 k = tan = 2 x 2 - x1 Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand: y - y1 = k ( x - x1 ) Algordinaat sirge ja y-telje lõikepunkti y-koordinaat. Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand: y = kx + b Kahe punktiga määratud sirge võrrand: y - y1 x - x1 = y 2 - y1 x 2 - x1 Sirge võrrand telglõikudes: x y + =1 a b y-teljega paralleelse sirge võrrand on x = a x-teljega paralleelse sirge võrrand on y = b Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga. Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand: x - x1 y - y1 = sx sy Nurk kahe sirge vahel: k1 - k 2 tan = 1 + k1 k 2 Paralleelsete sirgete tõusud on võrdsed. k1 = k2 Ristuvate sirgete tõusude korrutis võrdub -1-ga. k1·k2 = -1
Joone puutuja tõus ja võrrand Olgu kõverale y = f(x) tõmmatud puutuja punktis A. Olulised mõisted: A(x0, y0) puutepunkt x0 puutepunkti abstsiss ehk x-koordinaat
y1 x x2 - x1 x1 x2 Kui 90 , siis tan 0 tõusev sirge Kui 90 180 , siis tan 0 langev sirge • Kui sirge on paralleelne x-teljega, siis tõus k =0 • Kui sirge on paralleelne y-teljega, siis tõus ei ole määratud Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y P(x;y) y 2 y1 A(x1;y1) tan x x2 x1 s y y1 k ( x x1 ) Näide. Koosta sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(4;-3) ning sirge tõus on k=-2 y 3 2( x 4) y 2 x 5 Tõusu ja algordinaadiga sirge võrrand y kx b y=2x- 3
võrrandi koostamiseks on vaja teada ainult suurust p ning parabooli haripunkti. Parabooli kanoonilise võrrandi kuju sõltub sellest, kuhu poole parabool avaneb: üles, alla, vasakule või paremale. Järgnevalt on kõiki nelja juhtu kirjeldatud, seejuures parabooli haripunkt asub koordinaatide alguspunktis (0; 0). 4 PARABOOL kanooniline võrrand: y2 = 2px kanooniline võrrand: y2 = -2px juhtjoon: juhtjoon: fookus: fookus: kanooniline võrrand: x2 = 2py kanooniline võrrand: x2 = -2py juhtjoon: juhtjoon: fookus: fookus:
a b - Nurk kahe vektori vahel 2. Sirge võrrandid y 2 - y1 k = tan = - Sirge tõus ja tõusunurk x 2 - x1 y - y1 = k ( x - x1 ) - Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand y = kx + b - Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand x - x1 y - y1 - Kahe punktiga määratud sirge võrrand = x 2 - x1 y 2 - y1 x - x1 y - y1 =
Võrrandiks nimetatakse muutujaid sisaldavat võrdust, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Võrrandi lahendamiseks nimetatakse tundmatu(te) selliseid väärtusi, mille asendamisel võrrandisse saame tõese arvvõrduse ehk samasuse. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Võrrandi lahendid moodustavad võrrandi lahendihulga. Kui võrrandil on lõpmata palju lahendeid, siis on see võrrand ühtlasi ka samasus. Näiteks võrrand x2 1 = (x 1)(x + 1) on samasus, võrrand x2 = 1 ei ole samasus. Kui võrrandil leidub lahendeid, siis öeldakse, et võrrand on lahenduv. Kui võrrandil lahendid puuduvad, siis on võrrand mittelahenduv. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit. Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne
LINEAARVÕRRANDID ja VÕRRATUSED LINEAARVÕRRAND - võrrand, milles tundmatu suurim astendaja (peale lihtsustamisi) on 1 ja kus ei esine tundmatuga jagamist. Iga lineaarvõrrandi saab teisendada kujule ax + b = 0 või ax = b (x on tundmatu; a ja b on arvud) Lineaarvõrrandi lahendamisel kasutatakse võrrandi põhiomadusi ning viiakse võrrand järjest lihtsamale kujule. Soovitatav teisenduste järjekord oleks seejuures: 1. Kui võrrand sisaldab murde, vabanetakse murdudest, korrutades võrrandi pooled läbi nimetajate vähima ühiskordsega. 2. Kui võrrand sisaldab sulge, siis avatakse sulud. 3. Kui võrrand ei sisalda murde ega sulge, viiakse kõik tundmatuga liikmed võrrandi vasakule ning kõik arvud võrrandi paremale poolele. 4. Kui vastavad liikmed on õigele poole viidud, koondatakse võrrandi vasakul ja paremal poolel olevad liikmed (võrrand saab kuju ax = b). 5
VÕRRANDID Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Tundmatu väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks (tõeseks arvvõrduseks), nimetatakse võrrandi lahendiks. Võrrandil võib olla üks või mitu lahendit, kuid neid võib olla ka lõpmata palju või mitte ühtegi. Lahendada võrrand tähendab leida tundmatu kõik need väärtused, mis rahuldavad võrrandit (st tundmatu asendamisel lahendiga muutub võrrand samasuseks). Võrrandi lahendamisel püütakse võrrandit teisendada nii, et iga uus võrrand oleks eelmisega samaväärne. Lubatud teisendused (võrrandi põhiomadused) on järgmised: 1) võrrandi pooli võib vahetada; 2) võrrandi mõlemale poolele võib liita või mõlemast poolest lahutada ühe ja sama arvu või muutujat sisaldava avaldise (mis omab mõtet võrrandi kogu määramis- piirkonnas), see annab sisuliselt teisenduse, mida tuntakse kui võrrandi liikmete
HARMOONILINE VÕNKUMINE Harmooniline võnkumine ja võnkumise võrrand ◦ Võnkuvat liikumist esineb looduses kõikjal meie ümber ◦ Selleks et jõuda võnkumise võrrandini, vaatleme ringliikumist ◦ Kõiki selliseid võnkumisi, mida saab kirjeldada siinus- või koosinusfunktsiooni abil, nimetatakse harmoonilisteks võnkumisteks ◦ Siinusfunktsiooni argumendiks olevat suurust nimetatakse võnkumise faasiks (rad) ◦ Suurust ω, mis tiirlemise jaoks on nurkkiirus, nimetatakse võnkumise korral ring- ehk nurksageduseks
positiivse poole vahele. Milline peab olema tõus, et Negatiivne K:-1;-2;-3 sirge langeks? Kuidas joonestatakse sirget, kui Nimetaja näitab liikumist x- tõus on murd? teljel ja lugeja y-teljel Millise nurga moodustab langev Nurga, mis on suurem kui 90º sirge? Kuidas koostatakse sirge Y=kx+b B=3;k=2 võrrand, kui teada on b=algordinaat y=2x+b algordinaat ja tõus? k=tõus Milline on kahe punktiga X-x1 = y-y1 määratud sirge võrrand? x2-x1 y2-y1 Kuidas koostatakse sirge y-y1=k(x-x1) A(3;2) k=5 võrrand, kui teada on üks punkt k=tõus y-2=5x-15 ja tõus? y=5x-13
kirjutada liidetavate ühine täheline osa. • Kui liidetavad ei ole sarnased, siis ei saa neid koondada. ÜLESANNE 1 KOONDA SARNASED LIIDETAVAD 1) 5a-6a+7b+b= 2) 4a-24a+15b= 3) 4(25+15a)= 4) 4(-1-5a)+30a-15b= ÜLESANNE 1: VASTUSED 1) VASTUS: 5a-6a+7b+b=-1a+8b 2) VASTUS: 4a-24a+15b=-20a+15b 3) VASTUS: 4(25+15a)=100+60a 4) VASTUS: 4(-1-5a)+30a-15b=-4+10a-15b 3.4 VÕRRANDITE SAMAVÄÄRSUS Võrrand – tundmatut sisaldav võrdus 2x – 5 = 3 ühe tundmatuga lineaarvõrrand Võrrandi lahend – arv, millega tundmatut asendades saadakse võrrandist tõene võrdus Võrrandi lahendamine – võrrandi lahendi leidmine Võrrandi lahendamisel tuleb tihti võrrandit mitmel moel teisendada (sulgude avamine, sarnaste liidetavate koondamine jm). Seejuures ei tohi võrrandi lahend muutuda. Iga uus võrrand, mis teisendamisel saadakse, peab olema antud võrrandiga samaväärne.
26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A
26. Kahe vektori a ja b vektorkorrutise skalaarkorrutist kolmanda vektoriga c nimetatakse vektorite a,b,c segakorrutiseks. V = ( a x b ) c 27. Vektorite komplanaarsuse tingimus ( a x b ) c = 0 X1 Y1 Z1 28. Segakorrutis koordinaatides ( a x b ) c = X 2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3 Sirge võrrand ruumis. 29. Sirge parameetriline võrrand. x = xA + tl ; y = yA + tm ; z = zA +tn . 30. Sirge võrrand läbi ühe antud punkti A ja antud sihivektoriga s ehk sirge kanooniline võrrand x xA y yA z zA = = l m n x xA y yA z zA 31. Sirge võrrand läbi kahe antud punkti A ja B = = xB x A yB y A z B z A
SIRGE TÕUSUNURK x-telje positiivse suuna ja sirge vahel SIRGE TÕUS k näitab, mitu ühikut ühe x'i ühiku kohta sirge tõuseb. (Tangens tõusunurgast) SIRGE TÕUS KAHE PUNKTI JÄRGI SIHIVEKTOR - suvaline vektor, millel on sirgega sama siht e. paralleelne pikkus, suund pole tähtis sihivektoreid on lõpmata palju SIRGE VÕRRAND kujutab suvalist punkti x(x;y) sirgel. Sirge võrrand antakse alati kujul Sirgel SIRGE VÕRRAND KAHE PUNKTI KAUDU SIRGE VÕRRAND TÕUSU JA ALGKOORDINAADIGA SIRGE TÕUSU JA PUNKTIGA PARALLEELSETEL SIRGETEL RISTUVATEL SIRGETEL
y = ax 2 + bx + c, kus ax 2 on ruutliige, bx on lineaarliige, c on vabaliige. Ruutfunktsiooni graafikuks on joon, mida nimetatakse parabooliks. Parabooli sümmeetriatelg on sirge, mille suhtes parabool on sümmeetriline (nimetatakse ka parabooli teljeks). Sümmeetriatelje ja parabooli ühist punkti nimetatakse haripunktiks. Punkte x-teljel, kus parabool lõikab või puudutab x-telge nimetatakse nullkohtadeks. Nendes punktides on funktsiooni väärtus 0. Sirge võrrand Sirge võrrandi üldkuju on y=ax+b Võrrandi lahendi leidmiseks on antud kaks punkti A(a;b) ja B(c;d), mis asuvad ühel sirgel. = Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand A(a;b) =(c;d) on sisevektor Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand A(a;b) k=sirge tõus y b = k(x a) Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand k=sirge tõus b=algordinaat y=kx + b
a l x 0 x Perioodi arvutamise valem: 2 T = 0 66. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage füüsikalise pendli perioodi arvutamise valem. 67. Kasutades füüsikalise pendli perioodi arvutamise valemit, tuletage matemaatilise pendli võnkumise võrrand. 68. On antud sumbuva võnkumise võrrand. Ilmutage siit sumbuvustegur ja defineerige see. Mis on sumbuvuse logaritmiline dekrement? võtame x', kus koosinus on üks: Sumbuvustegur näitab amplituudi kahanemist ajaühikus. <- Logaritmiline dekrement näitab amplituudi kahanemist ühe perioodi jooksul. 69. Graafikul on kaks resonantskõverat. Kumb sumbuvustegur on suurem? Mida tähendab A0? Mis on resonants? A 2
TASANDID Anna Karin Ericson 12.klass Tasand • - normaalvektor • a, b, c – telglõigud • A, B, C, D – kordajad tasandi üldvõrrandis • p – tasandi kaugus koordinaatide alguspunktist • d – punkti kaugus tasandist Tasandi võrrand • Üldvõrrand: Ax + By + Cz + D = 0 • Tasandi normaalvektor: = (A; B; C) • Punkt A(ihivektor: = (; ) Võrrand: = •Kui tasand lõikab koordinaattelgi punktides K(a; 0; 0), L(0; b; 0) ja M(0; 0; c), siis on tasandi võrrandiks + + 1 Tasandi võrrandi erinevad kujud • Ühe punkti ja kahe mittekollineaarse vektoriga määratud tasandi võrrand: =0 • Kolme punktiga määratud tasandi võrrand • Tasandi normaalvõrrand =0
2 sin sin 2 2 cos 2 cos2 tan ja arvutage selle väärtus, kui . 4 2. (17.05.1997, R, 15 punkti). Lahendage võrrand cos 2 cos 2 x cos x . 2 3. (23.05.1998, I, 10 punkti). On antud jooned y sin x ja y cos x . 1) Milliste x väärtuste korral lõigust 2 , 2 on nende joonte puutujad paralleelsed?
52)milliste parameetri c väärtuste korral on võrrandi 2 x - 11x + c = 0 lahendite 2 2 x1 - x 2 = 3,5 (15) 53)Millise a väärtuse korral on võrrandil ( 5a - 1) x 2 - ( 5a + 2 ) x + 3a - 2 = 0 võrdsed 2 a = 2 a = lahendid ? 35 54)Lahenda võrrand 2 x - (2a - 5) x + a - 3 = 0 Leia a, kui 2 1 a)üks lahend on teise kahekordne. a = 4; a = 3 4 1 1 b)lahendite absoluutväärtused on võrdsed. a = 3 , a = 2 2 2 55)Lahenda võrrand ( a -1) x - ( 3a -1) x + 6 = 0
Sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka (alfa), mis on x-telje positiivse suuna ja sirge vahel. Sirge tõusuks nimetatakse suurust tan(alfa). Sirge algordinaadiks nimetatakse ordinaadi väärtust, kus sirge lõikab y-telge. Sirge võrrand kahe puntki abil: x-x1 / x2-x1 = y-y1 / y2-y1 Sirge võrrand ühe punkti ja sihivektoriga: x-x1 / s1 = y-y1 / s2 Sirge võrrand punkti ja tõusuga: y-y1 = k(x-x1) Sirge võrrand tõusu ja algordinaadiga: y = kx + b Ühel sirgel on lõpmata palju sihivektoreid. Teame järgnevaid sirge määramise viise: kahe punkti abil, punkti ja sihivekotriga, punkti ja tõusuga, tõusu ja algordinaadiga. Sirge on omavahel risti kui nende tõusude korrutis on -1, s.t. k1 * k2 = -1. N: 12x 3y = 0; 2x + 8y 9 = 0 s1(3;12) s2(-8;2) s1*s2=3*(-8)+12*2=0 Sirge üldvõrrand: ax + by + c = 0 => s(prim) = (-b; a) Kahe sirge vastastikused asendid: s: a1x + b1y + c1 = 0
Kuhjale toetub koonusekujuline katus, mille telglõike tipunurk on täisnurk. Leidke kuhja tipu ning katuse tipu vaheline kaugus. 5. (1998) Leidke funktsiooni y = x3 -4x2 3x -2 kasvamis- ja kahanemisvahemikud, maksimum- ja miinimumkoht. 6. (1998) On antud funktsioon f(x) = x2 2 ln x + 3. 1 1) Leidke f e 2 . 2) Leidke funktsiooni f(x) kasvamisvahemik ja ekstreemumid. 3) Lahendage võrrand f(x) = g(x), kus g(x) = x2 + ln2 x. 7. (1998) On antud funktsioon f(x) = sin x cos x. 1) Lihtsustage avaldist f(x) f(-x). 2) Lahendage võrrand f(x) = 1 3) Lahendage võrratus f(x) > 0 lõigus 0, . 4) Leidke funktsiooni f(x) miinimumkoht vahemikus (0; 2) ja arvutage funktsiooni väärtus sellel kohal. 1 8. Antud on funktsioon f ( x ) x 2 x 2 . 1) Leidke funktsooni f(x) määramispiirkond.
Elektromagnet võnkumised q(laeng), I(voolutugevus), U(pinge) -> muutub (x, v, a) i - hetkväärtus Im - amplituudväärtus I - efektiivväärtus u - hetkväärtus Um - amplituudväärtus U - efektiivväärtus q - hetkväärtus qm - amplituudväärtus R - aktiivtakistus Rc - mahtuvustakistus Rl (l on R-i all) - induktiivtakistus 1. Thompsoni võrrand perioodi arvutamiseks: T = 2 π √ L C 2. T=t/N 3. f=1/T 4. w=2 π f 5. I=Im/√2 6. U=Um/√2 7. R=U/I 8. Pinge võrrand: u = Um cos wt 9. Voolutugevuse võrrand: i = Im sin wt 10. Laengu võrrand q = qm cos wt 11. Induktiivtakistus Rl = Lw 12. Mahtuvustakistus Rc = 1/ Cw 13. T=2 π√l/g 14. T=2 π√m/k 15. .....on laengu (q), voolutugevuse (I) ja pinge (U) perioodilised muutumised. 1. Vooluring, mille abil tekitatakse elektromagnetvõnkumisi on võnkering. Võnkeringi koostisosad on kondensaator ja pool. Kondensaatorit iseloomustav suurus on
B Kui sirge läbib punkte A(3; 5) y2 ja B(-7; 0), siis sirge tõusuks y2 - y1 saame A y1 0-5 1 x2 - x1 k= = . -7-3 2 0 x1 x2 x Kahe punktiga määratud sirge võrrand Kui sirgelt on teada kaks punkti A(x1; y1) ja B(x2; y2), siis on sirge võrrandiks y - y1 x - x1 = . y2 - y1 x2 - x1 Näide Sirge läbib punkte A(-6; 1) ja B(6; -1) Leida sirge võrrand. Lahendus Kasutades eespooltoodud valemit, saame sirge võrrandiks: y - 1 x - (-6) y -1 x + 6 x = = y=- .
KMnO4 lahust. Seejärel lisada tilkhaaval Fe2+-ioone sisaldavat lahust. Katse 12. K2Cr2O7 lahusele (1...2 ml) lisada ~1 ml lahjendatud väävelhappelahust ja 1...2 ml Fe2+-ioone sisaldavat lahust. Katsete tulemused Katse 1. Hägu tekkis H2SO4-i lahusesse esimese paari tilga BaCl2 lahuse lisamisel, juurde lisades BaCl2 lahust muutus täiesti valgeks, mõne hetke pärast tekkis põhja suures koguses sadet. Molekulaarne võrrand: H2SO4 (aq) + BaCl2 (aq) = BaSO4 (s) + 2HCl(aq) Ioonvõrrand: SO42 (aq) + Ba2+ (aq) BaSO4 (s) BaSO4 on vähelahustuv ühend ning sadestus lahuse põhja. Katse 2. Al2(SO4)3 lahusele 2 M NH3*H2O lahuse lisamisel toimus lahustumine algselt ebaühtlaselt, muutus tihkeks, väikesed klombid katseklaasi seintel, väga hägune. Sadet polnud. Molekulaarne võrrand: Al2(SO4)3 (aq) + 6NH3*H2O (aq) 2Al(OH)3(s) +3(NH4)2SO4(aq) + 6H+ Ioonvõrrand: Al3+(aq)+ NH3-(aq) Al(OH)3(s) Sadeneb Al(OH)3
põhiseadus kahel kujul (Newtoni II seadus). 59. Lähtudes pöördliikumise põhiseaduse definitsioonist, tõestage impulssmomendi jäävuse seadus. 60. Tuletage vedeliku- või gaasisamba rõhu arvutamise valem. 61. Formuleerige Pascal'i seadus. 62. Formuleerige Archimedese seadus. Tuletage valem üleslükkejõu arvutamiseks vedelikku asetatud kuubi näitel. 63. Lähtudes alljärgnevast joonisest, tuletage vedeliku voolamise pidevuse võrrand. ?64. Formuleerige Bernoulli seadus ja nimetage võrrandis esinevad liidetavad. Mis on nende põhjuseks? 65. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage harmooniliselt võnkuva keha võrrand so. liikumisvõrrand ja perioodi arvutamise valem.. 66. Kasutades alljärgnevat joonist, tuletage füüsikalise pendli perioodi arvutamise valem. 67. Kasutades füüsikalise pendli perioodi arvutamise valemit, tuletage matemaatilise pendli võnkumise võrrand. 68
tähed a,b ja c tähistavad arve, need on laiendajad on 12;4;2;3 võrrandi kordajad; kahe tundmatuga võrrandil on samad põhiomadused, mis 48x-4(2x-5)=2(y+2)-3(2x-3y) ühe tundmatuga võrrandil 48x-8x+20=2y+4-6x+9y 48x-8x-2y+6x-9y=4-20 NB kaks kahe tundmatuga lineaarvõrrandit 46x-11y=-16 normaalkuju moodustavad lineaarvõrrandisüsteemi 2.Kahe tundmatuga lineaarvõrrandi Ül.901 normaaalkuju - võrrand üldkujul ax+by=c 3x-5(3y-4)=-3(x-2)+6 kirjutatakse nii, et lineaarliikmed on 3x-15y+20=-3x+6+6 tähestikulises järjekorras; murde, sulge või 3x-15y+3x=6+6-20 sarnaseid liikmeid sisaldava võrrandi 6x-15y=-8 normaalkuju puhul: korrutada pooli murdude ühise nimetajaga, sulgudest vabanemisel kasutada korrutamise jaotuvuse seadust a(b+c)=ab+ac; viia tundmatuid sisaldavad liikmed võrrandi vasakule ning vabaliikmed paremale poolele; koondada ja kirjutada
ERALDUVATE MUUTUJATEGA DIFERENTSIAAL- VÕRRANDID (DV) 1. Normaalkujulist esimest järku DV-d y´ = f(x,y) nimetatakse ERALDUVATE MUUTUJATEGA DV-ks siis, kui funktsioon f(x,y) on vaadeldav kahe funktsiooni korrutisena, milles üks tegur on on ühe ja teine teise muutuja funktsioon, st y´ = f(x) g(y). Üldlahendi leidmiseks tuleb MUUTUJAD ERALDADA, arvestades, et y´= dy/ dx, g(y) 0. Muutujate eraldamiseks tuleb antud võrrand läbi korrutada sobivalt valitud teguriga dx/ g(y). Iseärased lahendid rahuldavad tingimust g(y) = 0. 2. Sümmeetrilisel kujul antud eralduvate muutujatega DV on M1(x) M2(y) dx + N1(x) N2(y) dy = 0. Üldlahendi leidmiseks tuleb MUUTUJAD ERALDADA, võttes teguri M2(y) N1(x) sulgude ette. Iseärased lahendid rahuldavad tingimusi M2(y) = 0, N1(x) = 0. 15 ESIMEST JÄRKU HOMOGEENSED DV-d
Tuletis. Rakendused Puutuja tõus Funktsiooni uurimisel Funktsiooni uurimisel Funktsooni F'(x)=k ekstreeemumkohad kasvam ja kahanemine liikumise ' Puutuja võrrand F (x)=0 X F'(x)>0 ; XF'(x)<0 kiirus y-y0=k(x-x0) Min koht Max koht Kumerus Nõgusus F''(x)>0 F''(x)<0 F''(x)<0 F''(x)>0 Käänukoht F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x
Samakiirusjoonteks ehk isotahhideks nimetatakse jooni, mis ühendavad punkte, kus voolukiirus omab sama väärtust. isotahhid ei anna informatsiooni kiiruse suuna kohta Gaasi voolamise kirjeldamiseks on vaja kaks eeltingimust: 1. Gaas on mitte kokkusurtav 2. Voolamisel puudub takistusjõud - p - - l nimetatakse üldjuhul rõhu gradiendiks. - grad p = p*a EULERI VÕRRAND Pidevuse võrrand: BERNOULLI VÕRRAND - dünaamiline rõhk Ja bernoulli võrrand - Kui voolamine toimub nii, et voolava keskkonna kihid omavahel ei segune, nimetatakse taolist voolamist laminaarseks. turbulentse voolamisega, kus tekkinud keeriste tõttu leiab aset erinevate vooluse paralleelsete kihtide intensiivne segunemine Üldine seaduspärasus on, et väiksemate voolukiiruste juures on voolamine laminaarne ja suuremate kiiruste juures läheb see üle turbulentseks, kusjuures
Võrrandid Võrrandi mõiste Võrrand on muutujaid sisaldav võrdus, milles üks või mitu muutujat loetakse tundmatuks (otsitavaks). Näited Ruutvõrrand: x2 2x 1 0 Trigonomeetriline võrrand: sin t cos 2t 1 Eksponentvõrrand x suhtes: e 2 x e 2 x 2a 1 lineaarne võrrand a suhtes: Juurvõrrand x ja y suhtes: x y x 2 2 xy Logaritmvõrrand: log u (2u u 2 ) 3 Võrrandi lahend Tundmatu (muutuja, otsitava) väärtust, mille korral võrrand osutub samasuseks, nimetatakse võrrandi lahendiks ehk juureks. Näide Võrrandi 2x 3 0 3 lahendiks on x , 2 kuna, asendades võrrandis sümboli x arvuga 3/2, saame samasuse : 3 23 2 3 3 3 3 0.
kõikide punktide koordinadid rahuldavad seda võrdust ja nende punktide koordinadid, mis ei asu sellel pinnal, ei rahulda seda võrdust. Sfäär on niisuguste punktide hulk, milliste kaugus keskpunktist on võrdne raadiusega r. Tähistades sfääri meelevaldse punkti M koordinadid (x,y,z) ning avaldades võrduse |OM| =r koordinatide kaudu. Võrdust (x-a)² + (y-b) ² + (z-c)² = r² nim sfääri võrrandiks vaadeldavas koordinaatide süsteemis. Kui pinna võrrand on esitatav kujul F(x,y,z)=0, kus F(x,y,z) on n-astme polünoom, siis nim pinda n-järku algebraliseks pinnaks. Algebralistest pindadest lihtsaim on esimest järku pind ehk tasand. Sfäär on teist järku pind, sest selle võrrandis esinevad tundmatud on teisel astmel.Võrdust F(x,y)=0 nim joone L võrrandiks antud koordinaatide süsteemis tasandil, kui teda rahuldavad joone L kõikide punktide koordinaadid ja ainult need. Näiteks ringjoon raadiusega r ja keskpunktiga C(a,b) on niisuguste
Väärtus ja raja ülesanne Def 1.1 Võrrandit, milles osalevad sõltumatu muutuja, tundmatu funktsioon ja selle tuletised nim diferentsiaalvõrrandiks. (1.1) F(x, y(), y'(), ...)=0 Kui otsitav funktsioon y sõltub ainult ühest muutujast, siis seda nim harilikuks diferentsiaalvõrrandiks. Kui otsitav funktsioon sõltub mitmest muutujast, siis on tegemist osatuletistega diferentsiaalvõrranditega. Kõrgema järguga tuletis dif.võr määrab ära selle võrrandi järgu. Esimest järku dif võrrand on (1.2) Def 1.2 N-järku dif.võr (1.1) üldlahendiks nim n-parameetrilist lähtuvat funktsioonide parve või peret, mis muudab võrrandi samasuseks sõltumata parameetrite väärtustest. (1.3) Dif.võr lahendamist nim selle võrrandi integreerimiseks ja selle lahendid integraaliks, lahendi graafikut nim integraaljooneks. Kui n-järku võrrandile lisada n-algtingimust: (1.4) Siis saame algväärtuseks ülesande (1.1). esimest järku algväärtus ülesanne koosneb võrranditest ja ühest
Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud, ta võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid nim süsteemi üldlahenditeks. Lahendid, mis saadakse parameetrie fikseerimise teel nim süsteemi erilahenditeks. 4. Kronecker-Capelli teoreem Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis kui süsteemi maatriksi astak võrdub laiendatud maatriksi astakuga. Rank A=rank A/B; r=r' 5. Sirge tasandis, sirge ja tasand ruumis Joone võrrand Vaatleme matemaatilist avaldist, mis sisadab 2 tundmatut F(x;y)=0, saame võrduse. Seda võrdust nim samasuseks kui ta on rahuldatud tundmatude x ja y kõigi väärtuste puhul. Seda võrdust nim võrrandiks kui teda rahuldavad tundmatute teatud väärtused. Kaht tundmatud x ja y sisaldava võrrandiga määratud jooneks nim joont, mille punktide koordinaadid rahuldavad seda võrrandit. Joone võrrandit F(x;y)=0 nim joone ilmutatud võrrandiks
universaalvõrrandid. Tala ekvivalentne arvutusskeem Paindedeformatsioonide väärtused sõltuvad nii joonkoormuse algus- kui ka lõppkohast. Tala joonkoormusi tuleb muuta nii, et: · kõik ulatuksid kuni tala lõpuni ning · joonkoormuste painutav mõju ei muutu Universaalvõrrandite parameetrid: aF = 0 aFb = 2,5 m ap1 = 0,625m ap2 = 1,875 m aFA = 3,750 m Pöördenurga võrrand: Läbipainde võrrand: Võrrandite algkujud: Pöördenurga võrrand: Läbipainde võrrand: Nende võrrandite abil saab arvutada iga ristlõike (mille koorndinaat on x) pöördenurga ja läbipainde. 3 Tala vaba otsa läbipaine v ja pöördenurgk Tugedel ei saa olla kummaski suunas läbipainet, seega v = 0 Ääretingimused läbipainde võrrandile: · Kui · Kui REEGEL: Universaalvõrrandisse jäävad vaid need koormused, mis mõjuvad antud koordinaadist x vasakul.
RT ning statistilise mehaanika järgi E kc ~ TAexp(- A ) (3) RT Piiratud temperatuurivahemiku korral võib lugeda võrrandit (1) piisavalt täpseks, kuna sõltiivus astmefunktsioonist on suurem kui temperatuurist T või T1/2. Selleks, et määrata koefitsiente võrrandis (1), on otstarbekas esitada võrrand järgmisel lineaarsel kujul EA 1 1 lnkc = - - + ln k c0 (4) R T T0 kus T0, on uuritava vahemiku keskmine temperatuur, EA kc0=Aexp(- ), (5) RT0 EA Sellisel juhul leitakse graafiliselt lnkc° ning - väärtused (võrrand (4));
Joone võrrand © T. Lepikult, 2010 Joone võrrand Joone C võrrandiks ristkoordinaatides nimetame niisugust seost F(x, y) = 0 kahe muutuja x ja y vahel, mida rahuldavad selle joone iga punkti ristkoordinaadid ja ainult need. Sirge, mille Parabool, mille võrrandiks on y võrrandiks on b d y + x -b = 0 y - 2 ( x - c) 2 = 0 c c
0;2] ja ]2;]. Piirkonnas lahendatakse lineaarvõrrand. Märke muudetakse järgmiselt: valitakse piirkonnast suvaline väärtus (näiteks esimesest piirkonnast -5) ning pannakse x asemele. Kui absoluutväärtuse väärtus on negatiivne, muudetakse märgid. Juhul, kui väärtus on positiivne, märke ei muudeta. Antud juhul: Piirkond: ]-;-1] Võrrand: -x+2-x=2-x-1 -> x=1 (EI SOBI PIIRKONDA) Piirkond: ]-1;0] Võrrand: -x+2-x=2+x+1 -> x1=-1/3 Piirkond: ]0;2] Võrrand: -x+2+x=2+x+1 -> x=-1 (EI SOBI P.K) Piirkond: ]2;[ Võrrand: x-2+x=2+x+1 -> x2=5 Seega võrrandi lahendid on -1/3 ja 5. 4. Võrratused ja võrratussüsteemid Lineaarvõrratus Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole.
murdumistegurit n = 1.00026-1.00038 atmosfääri alumiste kihtide jaoks, põhjustavad temperatuuri, niiskuse ja õhurõhu muutused siiski olulisi kõikumisi EM kiirguse jaoks optilises diapasoonis ja kiirguse ,,paindumist levil paralleelselt maapinnaga pikematel EM lainepikkustel. 2. ELEKTROMAGNETILISE VÄLJA VÕRRANDID 1. Maxwell'i võrrandid integraalsel kujul. IRT0110_06_maxwell.pdf Maxwell`i võrrandite integraalne kuju koosneb neljast võrrandist: I Võrrand integraalsel kujul: Gaussi elektriline seadus. Maxwelli esimene võrrand on tuntud kui Gaussi elektriline seadus. See näitab, et elektrilise induktsiooni voog D üle suvalise kinnise pinna S võrdub pinna poolt piiratud kogulaenguga q. Elektrilist induktsiooni D kasutakse Maxwell`i võrrandites parameetrina, mis on otseselt seotud välja allikaga (vaba laeng), mis on konstantne ja sõltumatu keskonnast. Kasutades elekrivälja omab esimene Maxwelli võrrand järgmist vormi:
Oluline. Tõesta valem 13. Keemiline potentsiaal. Tuleta reaktsiooni üldvõrrand 14. Keemilise tasakaalu üldvõrrand. Tuleta reaktsiooni üldvõrrand 15. Rõhu ja temperatuuri mõju reaktsiooni tasakaalule. Tasakaalukonstandi erinevad väljendusviisid Kp, Kc ja Kx. 16. Reaktsiooni isoterm. Tasakaalukonstandi sõltuvus temperatuurist Ainult valem. 17. Gibbsi faaside reegel 18.Ühekomponendiliste süsteemide kirjeldamine faasidiagrammi abil.. Vee olekudiagramm. 19. Clausiuse - Clapeyroni võrrand. Valem 20. Kahekomponendiliste süsteemide kirjeldamine faasidiagrammide abil. Tooge lihtsaimaid näiteid. 20.21.22. vali ise faasiga-kirjeldus ja joonis. 21. Faasidiagrammi alusel loetleda tasakaalulised faasid diagrammil; 22. Piiratult lahustuvate vedelike kirjeldamine faasidiagrammi abil. 23. Partsiaalsed moolsuurused. Gibbsi-Duhemi võrrand. Aint põhimõte. 24. Ideaallahused, lõpmatult lahjad lahused, reaalsed lahused. Erinevus. 25. Ideaallahuste entroopia. 26
Kollineaarsuse tunnused: · Vektorite vastavate koordinaatide korrutised on võrdsed. · Vektorkorrutis on 0 ja kumbki vektor ei ole 0-vektor. · Skalaarkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutisega. Ristseisu tunnused: · Skalaarkorrutis on 0 · Vektorkorrutis võrdub vektorite pikkuste korrutistega. Komplanaarsuse tunnused: · Segakorrutis on 0 21. Sirge sihivektor. Sirge tõus. Sirge võrrand tasandil (kanooniline võrrand, üldvõrrand, võrrand tõusu ja algordinaadi abil). Sirge sihivektoriks nim selle sirge mis tahes kahe punktiga määratud vektorit või sellega samasihilist vektorit. Suund ja pikkus pole olulised. Sirge võrrand tasandil: Kanooniline võrrand - ehk - sirge s kanooniline võrrand tasandil või ka sirge võrrand sihivektrori ja punkti järgi. Üldvõrrand -
1. Teoreetilised alused. Kui keemilise reaktsiooni A produktid jaoks on leitud, et reaktsiooni kiirus on proportsionaalne reagendi kontsentratsiooniga, siis nimetatakse seda reaktsiooni 1. järku reaktsiooniks ning reaktsiooni kiirus avaldub järgmiselt dc A kiirus = rA = = kc c A d , kus cA on reagendi A kontsentratsioon, kc - kiiruskonstant ja -aeg. n-järku reaktsiooni kiiruse võrrand, kui komponentide lähtekontsentratsioonid on võrdsed, dc A rA = = k c c An on järgmine d n1 A + n2 B + n 3 C + ... produktid Üldjuhul kehtib stöhhiomeetrilise võrrandi dc A rA = = k c c An1 c Bn2 c Cn3 ...
1.SÜSINIKU ASEND, EHITUS, SIDEMED, MAKSIMAALNE JA MINIMAALNE OKSÜDATSIOONI ASTE. 2.SÜSINIK LOODUSES: a)lihtainena-teemant, grafiit, kivisüsi, koks, pruunsüsi, antratsiit. B)LIITAINENA-NAFTA, MAAGAAS, KARBONAADID, CO2 3.TEEMANT: koostis-tahke, C leidumine-vähe, L-Ameerikas, Aafrikas, I-Venemaal ehitus-korrapärane, sidemete tugevus-tugevad soojus ja elektrijuhtivus-ei juhi elektrit, juhib soojust hinnalisus-väga kallis sulamine-üle 3000kraadiC värvus-läbipaistvast mustani kasutamine-briljandid, lõiketerad 4.GRAFIIT: koostis-tahke, C leidumine-palju ehitus-korrapärane sidemete tugevus-nõrgad soojus ja elektrijuhtivus-juhib elektrit ei juhi soojust hinnalisus-odavam sulamine-üle 3000krradiC värvus-hallikas must kasutamine-pliiatsi südamikud, raketidüüs 5.OSATA SEOSTADA OMADUSI JA KASUTAMIST: GRAFIIT: pehme-pliiatsites, määrdesegudes kõrge salamis temp.-raketi düüs, tiigel hea elektrijuht-elekt...
Clapeyroni võrrand Clapeyroni võrrand on gaasi olekuvõrrand, kus muutuvad gaasi rõhk p(Pa), temperatuur T(K) ja ruumala V(m3), kui gaasi mass ei muutu: m=const. Normaaltingimustel 0C=273K, normaalrõhul 760 mmHg, s.o. 101 325 Pa, võtab gaasi 1 mool ruumala 22,4 liitrit ehk 0,0224 m3 (mool, tähis mol). Seega suurus pV/T on 8,31 J/ (mol . K). Seda nim. universaalseks gaasikonstandiks ja tähistatakse R-iga: R=8,31 J/( mol . K) Kui on suvaline kogus gaasi, siis tuleb leida, mitu mooli on gaasi
Matemaatiliste valemite loomine 1. Käivita programm Word: StartKõik programmidMicrosoft OfficeMicrosoft Word 2010. 2. Matemaatilised valemid leiad menüüst Lisa. Menüüst vali Võrrand (vajuta nupul). 3. Avaneb mitmeid valikuid erinevatest võrrandi koostamise variantidest. Vali endale sobiv. Omaenese soovide kohaselt võrrandi koostamiseks vajuta tekstile Lisa uus võrrand. 4. Lehele tekib kast kuhu saad sisestada oma valemi.
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 3. Vektor tasandil. Joone võrrand Põhiteadmised · Punkti koordinaadid; · vektor, vektori koordinaadid; · vektorite summa ja vahe; · vektori korrutamine arvuga; · kahe vektori skalaarkorrutis; · vektori pikkus ja nurk vektorite vahel; · vektorite ristseisu ja kollineaarsuse tunnused; · joone võrrandi mõiste; · sirge võrrand tasandil; · kahe sirge vastastikused asendid; · ringjoone võrrand; · parabooli võrrand. Põhioskused
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
