Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine (1)

5 VÄGA HEA

Kordamisküsimused

Funktsioon - Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui muutuja x igale väärtusele
hulgas X vastab muutuja y üks kindel väärtus, siis öeldakse, et y on muutuja x funktsioon.
Funktsiooni esitusviis: tabelina, graafikuna. Funktsiooni analüütiline esitusviis on ilmutatud , ilmutamata, parameerilisel kujul.
2. Funktsioonide liigitus (paaris- ja paaritud funktsioonid, perioodilised funktsioonid,
monotoonsed funktsioonid, tõkestatud funktsioonid). Tuua näiteid.
paarisfunktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui f (-x) = f (x) Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes
paaritu funktsioon - Funktsiooni y = f (x) nimetatakse paarituks funktsiooniks,
kui f (-x) = -f (x). paaritu funktsiooni graafik on 0 punkti suhtes sümmeetriline
perioodiline funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse perioodiliseks, kui leidub selline
nullist erinev reaalarv ω, nii et f (x + ω) = f (x) iga x ∈ X korral.
Näiteks on perioodilised kõik trigonomeetrilised funktsioonid.
monotoonne funktsioon – Ühtlaselt kasvav ja kahanev funktsioon ?
tõkestatud funktsioon - Funktsiooni f (x) nimetatakse piirkonnas A tõkestatuks, kui
leidub reaalarv k, nii et | f (x)| ≤ k iga x ∈ A korral.
3. Elementaarsed põhifunktsioonid, nende määramispiirkonnad, muutumispiirkonnad
ja graafikud .
Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse järgmisi analüütiliselt antud funktsioone:
Konstantne funktsioon: y = c
Astmefunktsioon:, kus α on reaalarv.
Eksponentfunktsioon:, kus a on ühest erinev positiivne arv.
Logaritmfunktsioon : , kus logaritmide alus a on ühest erinev positiivne arv.
Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = tan x, y = cos x, y = cot x.
Arkusfunktsioonid : y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x.
4. Katkev funktsioon – Funktsioon y = f (x) on katkev kohal a, kui on täidetud
vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest:
1. f (x) pole määratud kohal a,
2. funktsioonil f ei ole lõplikku piirväärtust kohal a,
3. kehtib
esimest liiki katkevuspunkt – Niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused nimetatakse 1. Liiki katkevuspunktiks, iga ülejäänud katkevuspunkti aga 2. Liiki katkevuspunktiks.
Esimest liiki katkevuspunktide jaotus – 1) hüppekoht 2) kõrvaldatav katkevuskoht
3) koht a, mille korral leiduvad
ja , kuid
Teist liiki katkevuspunkt – Arvu a nimetatakse funktsiooni y = f (x) teist liiki katkevuspunktiks, kui
või
on lõppmatu
5. Pidevate funktsioonide aritmeetiliste tehetega seotud omadused. Liitfunktsiooni
pidevus. Tuua näiteid.
Teoreem : Olgu f (x) ja g (x) pidevad funktsioonid kohal a, siis
ka funktsioonid
on pidevad kohal a, kusjuures jagatise korral eeldame, et g(a)≠0.
NT: Funktsioon on pidev piirkonnas R, sest
on pidevad selles piirkonnas.
Liitfunktsiooni pidevus - Liitfunktsioon f [g (x)] on pidev kohal a, kui g (x) on pidev kohal a ja f [g (x)] on pidev kohal g (a). Ehk liitfunktsioon on pidev, kui selle funktsiooni koostisosad on pidevad. See tulemus kehtib ka siis, kui liitfunktsioonil on mitu koostisosa .
NT: Funktsioon
on kõikjal pidev, sest tema koostisosad
, ja
on kõikjal pidevad.
6. Tuletise mõiste, tuletise geomeetriline interpretatsioon (joone puutuja kaudu).
funktsiooni tuletis - Funktsiooni y = f (x) tuletiseks f ´(x) kohal x nimetatakse piirväärtust
kui see piirväärtus eksisteerib.
Tuletise tähised:
Geomeetriline interpretatsioon e. joone puutujaks punktis P nimetatakse lõikaja
PQ piirseisu, kui punkt Q mööda kõverat piiramata läheneb punktile P. Üle vaadata!
7. Tuua näide diferentsiaali rakendamise kohta ligikaudsel arvutamisel.
8. Määramata integraal , määramata integraali omadused.
Avaldist F (x) + c, kus F (x) on funktsiooni f (x) mingi algfunktsioon ja c ∈ R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f (x) määramata integraaliks ja tähistatakse kujul∫ f (x) dx. Konstanti c nimetatakse integreerimiskonstandiks.
Määramata integraali omadused
1) ∫( f (x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫ g(x)dx
2) ∫af(x)dx=a∫f (x)dx
3) (∫ f (x)dx)'= f (x)
4) ∫dF(x) =F(x)+c
9. Määratud integraal ja tema omadused – Piirväärtust nimetatakse funktsiooni f (x) määratud integraaliks (ehk Riemanni integraaliks) lõigus [a; b] ja kirjutatakse
Arve a ja b nimetatakse radadeks.
10. Piisavad ja tarvilikud tingimused funktsiooni integreeruvuseks.
kus a ei tohi võrduda ühega, ehk
Määratud integraali jaoks on vaja teada Newton Leibnisi valemit.
Lõigus pidev funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud monotonne funktsioon on integreeruv selles lõigus. Lõigus tõkestatud funktsioon, millel on lõplik arv katkevuspunkte , on integreeruv selles lõigus. Kui funktsioonid f ja g on integreeruvad mingis lõigus, siis ka nende korrutis fg on integreeruv selles lõigus. Funktsiooni integreeruvuseks mingis lõigus on tarvilik, et ta oleks tõkestatud selles lõigus.
11. Tuletada ristkülikvalem n = 2 (n = 3) korral.
12 Tuletada trapetsvalem n = 2 (n = 3) korral.
13 Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon (lk104)
14. Kasutades Taylori valemit arendada ritta funktsioon y = sin x .(lk104)
15. Tuua näiteid mitme muutuja funktsioonide kohta.
Kahe muutuja funktsiooni näited:
1) Ristküliku pindala: S (x,y) = xy
2) Ohmi seadus:
3) Õhurõhk maakera pinnal : P = P(ϕ ,λ ), kus ϕ ,λ o n geograafilised koordinaadid
4) Arvuti töötamiskiirus konkreetse rakendusprogrammi korral: v = v( p,m), p , m - protsessori taktsagedus ja operatiivmälu maht
5) Temperatuur küdeva pliidi raual konkreetsel ajahetkel: T = T(x, y), x,y – tasapinnalised ristkoordinaadid
16. Kirjeldada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamist.
Diferentsiaalvõrrandi F=(x,y,y’) lahendiks nimetatakse iga funktsiooni y = y (x), mille asendamisel võrrandisse saame samasuse.
Näide Näidata, et funktsioon on diferentsiaalvõrrandi lahend (C1 ja C2 on suvalised konstandid).
ja asendades lahendi y (x) ning 2. järku tuletise algvõrrandisse, saame samasuse:
( sin cos ) ( sin cos ) 0 1 2 1 2 −C x −C x + C x +C x ≡
Lahendus: Leiame tuletised (POLE VAJA)
Näide y’+1=0 y=-x sest(-x)’=1 y=-x+c, c= const €(-∞;∞)
Eralduvate muutujatega DV
Eralduvate muutujatea diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse võrrandit kujul...jne(Slaid21-22jne, loeng10)
Tõestamisülesanded
1. Tuletada funktsiooni y = sin x tuletise valem.
Teoreem: Funktsiooni y = sin x tuletis on cos x.
MOTT .
2. Tuletada funktsiooni y = cos x tuletise valem.
∆y= cos (x+∆x) – cos x= (kasutad nüüd valemit 1) :
= - 2 sin (x+∆x+x / 2) * sin (x+∆x –x / 2) = -2 sin (2x/2 + ∆x/2) * sin ∆x/2=
=-2 sin (x + ∆x/2) * sin ∆x/2
∆y/∆x= - 2 sin (x + ∆x/2) * sin ∆x/2 = - sin ∆x/2 * sin (x+ ∆x/2)
∆x ∆x/2
y’= lim - sin ∆x/2 * sin (x+ ∆x/2) = lim - sin ∆x/2 * lim sin (x+ ∆x/2) = - sin x
∆x -> 0 ∆x/2 -> 0 ∆x -> 0
∆x/2 ∆x/2
See ringi sees = -1
3 Tuletada funktsiooni y = arc sin x tuletise valem.
4. Tuletada funktsiooni y = arc cos x tuletise valem.
5. Tuletada funktsiooni tuletise valem.
6. Tuletada Taylori valem.
Olgu y = f(x) mingis punkti a sisaldavas vahemikus n+1 korda diferentseeruv .
Leiame n-astme polünoomi, mis rahuldab tingimusi:
; ; ;
Koraldame otsitava polünoomi (x-a) astmete järgi:
Leiame vajalikud tuletised:
Asendades C1, C2 ,..., Cn , saame otsitava polünoomi:

Jääkliige:

Praktilist laadi ülesanded

Osata tõestada, et mingi antud funktsioon on pidev etteantud piirkonnas (loengus
näide funktsiooni y = sin x kohta).
Tõestame, et funktsioon f (x) = sin x on pidev kogu määramispiirkonnas R.
Olgu a ∈ R. Arvutame funktsiooni muudu:
Δy = f (a+ Δx) – f (a) = sin (a+ Δx) – sin a =
= sin a·cos Δx + cos a ·sin Δx – sin a
Arvutame vastava piirväärtuse:
=+-=
=+-=
Seega saime, et antud funktsioon pidev piirkonnas R.
2. Põhjendada, miks funktsioon on pidev/ei ole pidev antud piirkonnas (materjalides näited)
3. Tuletise definitsioonist lähtudes leida antud funktsiooni tuletis.
4. Arvutada integraali ligikaudne väärtus vasakpoolse ristkülikvalemi abil.
5. Arvutada integraali ligikaudne väärtus parempoolse ristkülikvalemi abil.
6. Arvutada integraali ligikaudne väärtus trapetsvalemi abil.
7. Leida antud kahe muutuja funktsiooni määramispiirkond.
8. Leida antud kahe muutuja funktsiooni osatuletised.
9. Leida antud kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid .
10. Lahendada eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrand.
11. Lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrand.
Eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse
võrrandit kujul p1(x)q1(y)dx + p2(x)q2(y)dx = 0
kus p1(x) ja p2(x) on muutuja x funktsioonid ning
q1(y) ja q2(y) on muutuja y funktsioonid.
Erladuvate muutujatega DV lahendamine
1. Eraldatakse muutujad
2. Leitakse üldlahend
NÄIDE:
dx + (2y + 1)dy = 0
Tegu on eraldatud muutujatega võrrandiga
∫dx +∫(2y + 1)dy = 0
x + y2 + y = C
12. Kontrollida, kas antud funktsioon on antud diferentsiaalvõrrandi lahendiks.
9

.DOCX Laadi alla originaalfail 6 lk · .docx · 138 allalaadimist

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine #1

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine #2

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine #3

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine #4

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine #5

Matemaatilise analüüsi eksamiks valmistumine #6

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 6 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-01-19 Kuupäev, millal dokument üles laeti

138 laadimist Kokku alla laetud

1 arvamus Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

Raudo Õppematerjali autor

funktsioon muutuja tuletis integraal katkevuspunkt sinxx 2sin 2sinx piirväärtus katkevuspunkti tuletada funktsiooni muutuja funktsiooni antud funktsioon

Sarnased õppematerjalid

doc

Matemaatika I küsimused ja mõisted vastustega

Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärtus, absoluutväärtuse omadused. .....

Matemaatika

doc

Matemaatilise analüüsi 2.kollokviumi

Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja Kui funktsiooni z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y), siis funktsioon f on pidev sellel kohal. funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Funktsioon z=f(x,y) on diferentseeruv kohal (x,y) siis, kui funktsioonil z=f(x,y) on pidevad osatuletised fx ja fy kohal (x,y). Kui hulga Rn igale punktile P(x1, . . . , xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on Kui funktsiooni f(x,y) osatuletised fx(x,y) ja fy(x,y) on diferentseeruvad kohal (x,y), siis fxy = fyx kohal (x,y). defineeritud n-muutuja (skalaarväärtusega) funktsioon. Suurust df:=fx(x,y)dx + fy(x,y)dy, kus dx:= x ja dy:= y, nimetatakse funktsiooni f(x,y)

Matemaatiline analüüs 2

156

pdf

Kõrgem matemaatika

MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksitega . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kõrgem matemaatika

pdf

Matemaatiline analüüs II konspekt - MITME MUUTUJA FUNKTSIOONID

Def. Hulka D R m nimetatakse kinniseks, kui see hulk sisaldab kõiki oma rajapunkte. Näited: 1) D = (a, b ) = {x : a < x < b} D = {a, b} D hulk D on lahtine 2) D = [a, b] = {x : a x b} D = {a, b} D hulk D on kinnine 3) D = [a, b ) = {x : a x < b} D = {a, b} hulk D ei ole lahtine ega kinnine 1 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 2. Mitme muutuja (m-muutuja) funktsiooni mõiste Def. Kui hulga D R m igale punktile P = ( x1 ,..., x m ) on vastavusse seatud kindel reaalarv z , siis öeldakse, et hulgal D on määratud m-muutuja funktsioon f . Kirjutame: z = f (P ) või z = f ( x1 ,..., x m ) Hulka D nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Funktsiooni z = f (P ) loomulikuks määramispiirkonnaks nimetatakse punktide P hulka, mille

Matemaatiline analüüs ii

pdf

Matemaatiline analüüs I konspekt -Tõkestatud hulgad

vähemalt üks hulga X punkt, mis pole reaalarv a ise. Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X sisepunkt kui leidub tema ümbrus, mis kuulub hulka X . Definitsioon: Öeldakse, et reaalarv a on hulga X rajapunkt kui igas tema ümbruses leidub nii hulga X punkte kui ka neid punkte, mis ei kuulu hulka X . Sisepunkt ei saa olla rajapunkt. Sisepunkt on alati kuhjumispunkt. Rajapunkt võib olla kuhjumispunkt. 1 Kordamine matemaatilise analüüsi I eksamiks matemaatika-informaatika teaduskonnas 04/05 õ.a Funktsioon, tema graafik Olgu X mingi reaalarvude hulk. Kui x tähendab mis tahes arvu hulgast X , siis öeldakse, et x on muutuv suurus ehk muutuja hulgas X . Iga arvu x X nimetatakse muutuja x väärtuseks. Definitsioon: Kui igale arvule x X on mingi eeskirja f abil seatud vastavusse üks reaalarv y ,

Matemaatiline analüüs i

doc

Matemaatiline analüüs I - kordamine eksamiks

Näiteid. 1) Kõigi naturaalarvude hulk X = N on alt tõkestatud, ei ole ülalt tõkestatud; min X = inf X = 1, sup X = . 2) Hulk X = (1,5] on tõkestatud hulk, inf X = 1, sup X =max X = 5, minimaalset elementi vaadeldavas hulgas ei eksisteeri. Teoreem 1. (pidevuse aksioom) Igal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja; igal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja. 3. Funktsioonid Funktsioonid on matemaatilise analüüsi põhilised uurimisobjektid.. Formuleerime funktsiooni mõiste. Olgu antud hulk X R, X . Kui igale arvule x X on vastavusse seatud üks reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon f ehk y = f (x). Hulka X nimetakse funktsiooni f määramispiirkonnaks, hulka Y = { y : y = f ( x), x X } funktsiooni f muutumispiirkonnaks. Funktsiooni f graafikuks nimetatkse xy-tasandi punktide hulka

Matemaatiline analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

pdf

Matemaatiline analüüs II 2. kollokviumi spikker

1. Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite mõisted. Statsionaarne punkt. Kriitiline punkt. piirkonna D rajajoon. Eeldame, et piirkonnas D on täidetud tingimus f(x,y)>=g(x,y). Kahekordse integraali 𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑 Mitmemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Definitsioon 1. Öeldakse, et kahe omaduse tõttu ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 − ∬𝐷 𝑔(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦. Mõlemad kahekordsed 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛𝜑 muutuja funktsioonil on punktis P1(x1, y1) lokaalne maksimum, kui sellel punktil leidub niisugune ümbrus tei

Matemaatiline analüüs 2

Rohkem sarnaseid