Kõrgema matemaatika üldkursus (3)

TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis
1. Determinandid : omadused, miinorid , alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks.
Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel . Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA
Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile.
Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise vastava rea või veeruga 3. on proportsionaalne mõne teise vastava rea või veeruga
4. on esitatav ülejäänud ridade/veergude lineaarkombinatsioonina (avaldub teiste skalaari kordsete väärtuste täpse summana) 3. Kui determinandis vahetada omavahel kaks rida, siis muutub determinandi märk vastupidiseks.
4. Determinanti skalaariga korrutades, korrutatakse vaid ühte rida või veergu . Samalaadselt kehtib vastupidine , kui mõni determinandi rida või veerg avaldub teatud skalaari kordsena, saab selle skalaari determinandi ette tuua. 5. Kui determinandi mingi rida või veerg avaldub elementide summana saab determinandi kirjutada 2'e determinandina. 6. Determinandi väärtus ei muutu, kui tema mingi rea elementidele juurde liita mis tahes arv kordsed teise rea vastavad elemendid. 7. Kuna determinant on induktiivselt defineeritud ( esmalt esimest järku, selle abil teist, selle abil kolmandat jne.), saame suuremaid determinante arvutada nende miinorite ehk alamdeterminantide summana. 8. Maatriksi ja determinantide korrutis on võrdne nende maatrikskorrutise determinandiga olenemata maatriksite järjekorrast . Miinorid ja alamdeterminandid.
Elemendi aik miinoriks nimetatakse determinanti, mis saadakse antud maatriksist või determinandist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel. Miinorit tähistatakse Mik.
Elemendi aik alamdeterminandiks nimetatakse selle elemendi miinorit, kui indeksite summa i+k on paarisarv ja miinorit märgiga -, kui indeksite summa on paaritu arv. Alamdeterminanti tähistatakse Dik .
Dik = (-1)i+kMik. Miinor Maatriksi A elemendi aik miinoriks Mik nimetatakse antud maatriksist i-nda rea ja k-nda veeru ärajätmisel saadud maatriksi determinanti.
Algebraline täiend Elemendi aik algebraliseks täiendiks Aik nimetatakse selle elemendi miinorit võetuna märgiga "+", kui indeksite summa i+k on paarisarv ja märgiga "-", kui ta on paaritu arv. See on lihtsustatud vorm, ning sisuliselt kujutab miinoris kasutatud elementide asukoha inversioonide arvu, ning graafiliselt on põhjustatud telgkordinaatide vahetusest. Aik = (-1)i+kMik
Dik = (-1)i+kMik.
Kõrgemat järku determinantide arvutamine.
Kõrgemat järku determinantideks loetakse determinante alates IV järgust ja nende arvutamisel on võimalik kasutada determinandi rittaarendusteoreemi. Teoreem : Determinandi väärtus võrdub tema mingi rea või veeru elementide ja vastavate elementide alamdeterminantide korrutiste summaga : DA = ai1Di1 + ai2Di2 +. . . + ainDin või DA = a1kD1k + a2kD2k + . . . + ankDnk. Determinante on võimalik arvutada otseselt teoreemi põhjal või kasutades determinandi eelnevat lihtsustamist põhiomaduste põhjal.
-3 7 -1 4 -9 2 7 5 2 7 5 -9 7 5 -9 2 7 DA = 2 5 1 2 = -3 5 1 2 + 7(-1) 2 1 2 + (-1) 2 5 2 + - 6 1 2 4 1 2 4 - 6 2 4 - 6 1 2 5 -9 2 + 4(-1) 2 5 1 = 4 - 6 1 Lihtsustamisel on soovitav kasutada järgmist algoritmi.
1. Valida determinandis juhtrida või ­veerg( soovitavalt selline, milles leidub element 1 või -1 ja mille ülejäänud elemendid oleks võimalikult väikesed;
2. valida juhtreast või ­veerust juhtelement, mille abil teisendatakse kõik ülejäänud juhtrea või ­veeru elemendid nullideks( kasutades omadusi 7 ja 8);
3. arendada determinant, kasutades teoreemi.
Märkus: Kui determinandis ei esine arve 1 või -1, siis kasutatakse eelteisendust, mille tulemusena saadakse sobivad arvud.
Näide: -3 7 -1 4 - 1 12 0 6 - 1 12 6 - 1 12 2 5 -9 2 7 1 - 19 0 3 DA = = 2 5 = 1 - 19 3 = 3 1 - 19 1 = 2 5 1 2 1 2 2 - 11 0 2 - 11 0 4 - 6 1 2 2 - 11 0 0 1 1 2 = 3-1 - 8 1 = 3(0 + 2 + 22 +32 ­ 0 +11) =201. 2 - 11 0
Ülesanded: 4 2 -1 -1 2 4 1. Arvutada: DA = 5 3 - 2 ; DA = 5 -3 1 . 3 2 -1 0 2 3
4 3 -5 1 2 -3 4 1 1 4 2 -1 0 2 2 3 2. Arvutada: D = 2 - 1 0 5 ; DA = A 1 -1 6 5. -3 1 2 0 4 3 2 1
1. Crameri valemid ehk lineaarse võrrandisüsteemi lahendamine determinantide abil.
Dk Xk = , k = 1,2 ....n, DA
kus DA on süsteemi maatriksi determinant ja Dk on determinant, milles süsteemi determinandis k- veerg on asendatud vabaliikmete veeruga.
Crameri peajuht 1) vorrandisusteemi tundmatute arv m ja vorrandite arv n on vordsed, st nm ; 2) tundmatute kordajatest moodustatud determinant on nullist erinev.
Carmeni peajuhul on vorrandisusteemil uksainus lahend ja tundmatud avalduvad determinantide jagatisena:
Näide: Crameri valemite abil lahendada võrrandisüsteem:
2 x1 - 4 x 2 + 3 x3 = 1 x1 + 3 x 2 + 2 x3 = 4 . 3x - 5x + 4 x = 1 1 2 3 2 - 4 3 1 3 2 3 -5 4 DA = = -6;
1 - 4 3 D1 = 4 3 2 = 9; 1 -5 4 2 1 3 D2 = 1 4 2 = -3; 3 1 4
2 - 4 1 D3 = 1 3 4 = -12, 3 -5 1 9 -3 - 12 X1 = = -1,5; X2 = = 0,5; X3 = = 2. - 6 - 6 - 6
lineaarvõrrandisüsteemid põhimõisted
Vaatleme võrrandisüsteeme, mille üldkuju on
Def: Võrrandisüsteemi nimetatakse lineaarseks, kui tundmatud on esimeses astmes Arvud aij (i=1,,m; j=1,,n) on võrrandisüsteemi kordajad , b1,,bm (i=1,,m) on vabaliikmed
m võrrandit, n tundmatut, üldiselt
Def Võrrandisüsteemi nimetatakse homogeenseks , kui kõik vabaliikmed on nullid Võrrandisüsteem on mittehomogeenne, kui vähemalt üks vabaliige erineb nullist Vastuoluliseks nim süsteemi, millel lahend puudub
Võrrandisüsteemi lahend on tundmatute väärtuste kogum , mis süsteemi asetatuna muudab kõik võrrandid samasusteks Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust ning kordajatest võib lineaarvõrrandisüsteem omada üheainsa lahendi, rohkem lahendeid või mitte ühtki lahendit.
10. lvs lahendamine crameri peajuhul
Vaatleme lineaarvõrrandisüsteemi, milles võrrandeid ja tundmatuid ühepalju m = n
Moodustame võrrandisüsteemi kordajatest n-järku determinandi Determinanti D nim võrrandisüsteemi determinandiks
Eeldame, et . Def Crameri peajuhu määravad tingimused
ja m = n (2)
Crameri valemid võrrandisüsteemi (1) lahendamiseks
2. Maatriksid : liitmine , arvuga korrutamine , maatriksite korrutamine.
Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Kuigi maatriks on iseenesest lihtsalt tabel, pakuvad maatriksid huvi eelkõige sellepärast, et maatriksi elementidega tehtavate tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) abil on võimalik defineerida tehted maatriksitega.
Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks
Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatiksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks [1] ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit.
1.1 Eri tüüpi maatriksid Diagonaalmaatriks : on ruutmaatriks, kus ainult peadiagonaalil asuvad elemendid, mis ei ole nullid.
Skalaarmaatriks : diagonaalmaatriks, kus diagonaalil asuvad elemendid on ühe ja sama väärtusega.
Ühikmaatriks : skalaarmaatriks, kus diagonaalil asuvad ühed.
Tasub meelde jätta, et ühikmaatriksit tähistatakse alati I-ga. Lisaks peaks meeles püsima, et nii nagu tegurit ühega korrutades on ka ühikmaatriksiga korrutades tulemuseks tegur ise, IA = AI = A.
Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n. Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine. Tehe Definitsioon Näide Summa A+B kahe m × n maatriksi A ja B vahel leitakse elemethaaval:
Liitmine (A + B)ij = Aij + Bij, kus 1 i m and 1 j n.
Maatriksi A korrutamisel skalaariga c korrutatakse kõiki maatriksi elemendid ükshaaval läbi skalaariga c: Skalaariga korrutamine (cA)i,j = c · Aij.
m × n maatriksi A transponeeritud maatriks AT on n × m maatriks, mis saadakse veergude ja ridade ära Transponeerimi vahetamisel: ne (AT)i,j = (A)j,i.
Maatriksite liitmine (lahutamine) on vimalik siis ja ainult siis, kui nad on üht ja sama järku, s.t kui neil on ühesugune arv veergusid ja ühesugune arv ridu. Näiteks
Maatriksi korrutiseks veeruvektoriga nimetatakse veeruvektorit , mille elemendid on maatriksi ridade elementide ja veeruvektori vastavate elementide korrutiste summad
(B.1 6)
ehk lühidalt (B.17 )
3. Matriksi astak , Kronecker ­ Capelli teoreem. Maatriksi astak on maatriksi lineaarselt sõltumatute ridade või veergude arv. Maatriksi A astakut tähistatakse rank(A) või r(A). Kui meil on n × m maatriks A, siis r(A) min(n,m). Öeldakse, maatriks on täisastakuga, kui ruutmaatriksi astak võrdub tema ridade ja veergude arvuga. Kui ruutmaatriks ei ole täisastakuga, siis tema determinant võrdub nulliga. Vahel defineeritakse maatriksi astak maatriksi miinorite (ehk alamdeterminantide) kaudu. Nimelt, maatriksi astak on nullist erinevate miinorite kõrgeim järk. St. kui maatriksil leidub vähemalt üks i- järku miinor, siis on maatriksi astak i. See definitsioon ütleb, et maatriks on täisastakuga, kui tema kõrgeimat järku miinor (determinant) erineb nullist Kronecker-Capelli teoreem. Lineaarvõrrandite süsteem on lahenduv siis ja ainult siis, kui süsteemi maatriksi astak on võrdne laiendatud maatriksi astakuga. Lahenduvuse uurimiseks moodustatakse laiendatud maatriks ja kontrollitakse, kas süsteemimaatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed
5. Pöördmaatriks, p.leidmine, p.abil ülesannete lahendamine
Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks A-1 nimetatakse maatriksit, mis antud maatriksiga korrutamisel vasakult või paremalt annab ühikmaatriksi: AA-1 = A-1A = E.
Pöördmaatriksi leidmise algoritm:
1. Leida DA;; DA 0, kui DA = 0, siis A-1 ei eksisteeri;
2. Arvutada Dik;
Dki 1 3. Leida A-1 = = ( Dki ) ; DA DA 4. Kontroll: AA-1 = E.
Näide: 1 2 0 Leida pöördmaatriks A-1, kui A = 3 7 1 . 2 8 3 1 2 0 DA = 3 7 1 = 21 + 4 + 0 ­ 0 ­ 18 ­ 8 = -1 0; 2 8 3 7 1 D11 = = 21 ­ 8 = 13; 8 3 3 1 D12 = - = - ( 9 ­ 2 ) = -7; 2 3 3 7 D13 = = 24 ­ 14 = 10; 2 8 2 0 D21 = - = - 6; 8 3 1 0 D22 = = 3; 2 3 1 2 D23 = - = - ( 3 ­ 16 ) =13; 8 3 2 0 D31 = = 2; 7 1 1 0 D32 = - = - 1; 3 1 1 2 D33 = = 7 ­ 6 = 1; 3 7
13 - 6 2 - 13 6 - 2 1 A-1 = - 7 3 - 1 = 7 -3 1 . - 1 - 10 4 - 1 10 - 4 1
Kontroll: AA-1 = E
1 2 0 - 13 6 - 2 - 13 + 14 - 0 6 - 6 + 0 - 2 + 2 + 0 1 0 0 3 7 1 7 - 3 1 = - 39 + 49 - 10 18 - 21 + 4 - 6 + 7 - 1 = = 0 1 0 . 2 8 3 - 10 4 - 1 - 26 + 56 - 30 12 - 24 - 3 - 4 + 8 - 3 0 0 1
Pöhiomadused:
1. ( A-1 )-1 = A.
2. ( AB )-1 = B-1A-1.
3. ( AT )-1 = ( A-1)T.
1 4. DA-1 = . DA
5. Funktsiooni mõiste, tema esitusviise
Eeskirja, mis seab sõltumatu muutuja igale väärtusele vastavusse sõltuva muutuja mingi ühe kindla väärtuse, nimetatakse funktsiooniks. Sõltumatut muutujat nimetatakse funktsiooni argumendiks. Argumendi väärtuste järgi leitud sõltuva muutuja vastavaid väärtusi nimetatakse funktsiooni väärtusteks. Funktsiooni väärtuste leidmine argumendi väärtuste järgi võib toimuda mitmeti: arvutamise, jooniselt mõõtmise, sellekohasest tabelist leidmise või vajaliku katse korraldamise teel. Funktsiooni saab esitada valemi abil, tabeli abil, graafiku abil, sõnaliselt. Sobiv esitusviis valitakse vastavalt olukorrale.
Näited
1) Sõltumatuks muutujaks on õpilase järjekorranumber klassipäevikus, sõltumatuks muutujaks tema ajaloo II veerandi hinne. 2) Sõltumatuks muutujaks on kellaaeg (ühe päeva täistunnid), sõltuvaks muutujaks õhutemperatuur koolimaja ees.
3) Valemis y = 2x + 3 on sõltumatu muutuja x, sõltuv muutuja on y. 4) Tabelis
on sõltumatu muutuja x, sõltuv muutuja y. Oluline on see, et argumendi antud väärtusele vastab täpselt üks funktsiooni väärtus.
Funktsiooni mõiste ja esitusviisid Kui igale muutuja x (argumendi) väärtusele mingisugusest piirkonnast X on vastavusse seatud üks muutuja y(funktsiooni) kindel väärtus piirkonnast Y, siis muutujat y nimetatakse muutuja x funktsiooniks. Funktsioone saab esitada: · tabelina x y 1 2 2 4 3 6 · graafikuna · analüütiliselt 1. ilmutatud kujul 2. ilmutamata kujul
3. funktsiooni parameetrilisel esitusviisil
6. Eriomadustega funktsioonid: ühesed, mitmesed, paaris- ja paaritud funktsioonid. Paarisfunktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(x)=f(-x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline y- telje suhtes, naiteks y=x2
Paarituks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni f(x), mis rahuldab tingimust iga x puhul maaramispiirkonnas X f(-x)=-f(x) Paarisfunktsiooni graafik on summeetriline 0 punkti suhtes Naiteks f(x)=x, f(x)= sinx Uheseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele vaartusele on seatud vastavusse ainult uks funktsiooni vaartus Näiteks : y= 2x - 3 Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus argumendi uhele vaartusele on seatud vastavusse mitu funktsiooni vaartust Näide : x2+y2=1 Igale x vaartusele vahemikus (-1, 1) vastab kas y vaartust
7.Liitfunktsioonid 8.Funktsiooni piirväärtus
Olgu funktsioon y = f ( x ) määratud punkti a mingis ümbruses. Piltlikult öeldes on arv b funktsiooni y = f ( x ) piirväärtuseks kohal a, kui funktsiooni y = f ( x ) väärtused tulevad arvule b kuitahes lähedale, kui aga argumendi x väärtused on arvule a küllalt lähedal. Kirjutatakse lim f ( x ) = b ehk ka f ( x ) b, kui x a . x a
Funktsiooni pidevusest lühidalt: pideva funktsiooni graafikut saab joonistada pliiatsit paberilt eemaldamata. Iga elementaarfunktsioon on pidev oma määramispiirkonnas. Kui funktsioon on pidev kohal a, siis lim f ( x ) = f ( a ) . x a
9.Funktsiooni tuletis . Tema füüsiline ja geomeetriline tõlgendus.
Funktsiooni tuletis on matemaatilise analüüsi üks põhimõisteid. Funktsiooni tuletis mingil kohal näitab selle funktsiooni väärtuse muutumise kiirust funktsiooni argumendi muutumisel -- täpsemalt, funktsiooni tuletis on funktsiooni väärtuse muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu lähenemisel nullile . 10.Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised , liitfunktsiooni tuletis. tuletiste tabel:
c = 0 x = 1 1 1 = - 2 x x ( x ) = 1 ( x ) = nx n n- 1 (e ) = e x x 2 x
(a ) = a x x ln a ( ln x) = 1 ( log a x ) = 1 x x ln a
( sin x ) = cos x ( cos x ) = - sin x ( tan x ) = 12 cos x -1 ( arcsin x) = 1 ( arccos x ) = ( arctan x ) = 1 2 1- x 2 1 - x2 1+ x
Funktsiooni kujul y = f[g(x)] nimetatakse liitfunktsiooniks. Liitfunktsiooni puhul pole muutuja y määratud argumendi x kaudu vahetult, vaid nn. vahelmise muutuja u = g(x) kaudu. Näiteks funktsioon y = (2x + 5)3 kujutab liitfunktsiooni, kusjuures y = u3 ja u = 2x + 5. Esimest funktsiooni nimetatakse väliseks, teist seesmiseks funktsiooniks. Vaatame veel mõnda liitfunktsiooni: y = u y = x 2 - 4x + 3 u = x 2 - 4 x + 3 2 2 s = 5u 3 s = 5( 3t - 2 ) 3 u = 3t - 2 y = sin u y = sin 2x u = 2x Liitfunktsioonil võib olla ka kolm või enam koostisosa , aga meie selliseid ülesandeid ei lahenda.
Liitfunktsiooni y = f[g(x)] tuletis võrdub välise funktsiooni tuletise ja seesmise funktsiooni tuletise korrutisega. y x = y u u x
11.Kõrgemat järku tuletised.
Tuletis kui funktsioon. Kõrgemat järku tuletised Kui funktsioon on diferentseeruv igas oma määramispiirkonna punktis, öeldakse lihtsalt, et funktsioon on diferentseeruv.
Kui funktsioon on diferentseeruv, saame vaadelda tema tuletist funktsioonina .
Sellisel juhul saame uurida funktsiooni tuletiste olemasolu. Funktsiooni tuletist nimetatakse funktsiooni teist järku tuletiseks ning tähistatakse . Kui funktsioon on diferentseeruv ehk funktsioonil on kogu tema määramispiirkonnas olemas lõplik teist järku tuletis, nimetatakse funktsiooni kaks korda diferentseeruvaks.
Samamoodi, kui funktsioon on diferentseeruv, määratletakse ka funktsiooni kolmandat järku tuletis jne. Üldiselt, funktsiooni -ndat järku tuletist kohal , kus , tähistatakse .
12.Funktsiooni diferentsiaal 13. L`Hospitali reegel.
14, Funktsiooni uurimine Funktsiooni y=f(x) uurimine järgmise skeemi järgi: 1. leida funktsiooni määramispiirkond X 2. leida funktsiooni nullkohad X0
3. leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X- ja positiivsuspiirkond X+ 4. leida funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 5. leida kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X 6. leida funktsiooni käänukohad Xk 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik
15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul.
18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton -Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused
22.Asendusvõte ja ositi integreerimine määratud integraali korral. 23. määratud integraali rakendusi: tasandilise kujundi pindala arvutamine, keha ruumala arvutamine. 24. differentsiaalvõrrandid. (DV). Lahendid , lahendite geomeetriline tõlgendus esimest järku DV korral.
Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob otsitavaid (ühe või mitme muutuja) funktsioone, nende tuletisi (või osatuletisi) ja argumente[1]. Diferentsiaalvõrrandi järguks nimetatakse otsitavate funktsioonide tuletiste kõrgeimat järku. Näiteks n-järku harilikku diferentsiaalvõrrandit, milles otsitavaks funktsiooniks on y, võib formaalselt esitada järgmiselt:
Iga funktsiooni y=f(x), mis võrrandisse paigutatuna seda võrrandit x suhtes samaselt rahuldab, nimetatakse selle võrrandi lahendiks . Diferentsiaalvõrrandite abil on võimalik modelleerida selliste reaalsete süsteemide käitumist, mida saab iseloomustada pidevalt muutuvate suuruste abil, kusjuures nende suuruste muutumise kiiruse ja suuruse endi vahel kehtib teatud kindel seos. Sel viisil on kirjeldatavad ka paljud loodusseadused. Näiteks klassikalises mehaanikas võimaldavad Newtoni seadused siduda kehade kiiruse, asukoha ja erinevad kehale mõjuvad jõud ühtseks diferentsiaalvõrrandiks.
25.Esimest järku DV. Eralduvate muutujatega DV Eralduvate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandiks nimetatakse diferentsiaalvõrrandit, millele saab anda kuju f1(y)dy=f2(x)dx. Niisuguse võrrandi kumbki pool on ühest muutujast sõltuva avaldise korrutis selle muutuja diferentsiaaliga. Võrrandi teisendamist sellisele kujule nimetatakse muutujate eraldamiseks. Et lahendada eralduvate muutujatega diferentsiaalvõrrandit, on vaja eraldada muutujad ja pärast seda võtta võrrandi mõlemast poolest integraal. 26. Lineaarne esimest järku DV
27. Lineaarne konstantsete kordajatega homogrnne teist järku DV
28. Mittehomogeenne lineaarne konstantsete kordajatega teist järku DV.