Kordamisküsimusi 1. teema kohta - Teooriatöö I (0)

Kordamisküsimusi 1. teema kohta 1. Mis on  arvtelg ? (lk 2) Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud  nullpunkt , pikkusühik ja positiivne suund. 2. Defineerida  reaalarvu  absoluutväärtus. Loetleda  absoluutväärtuse omadused. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja  nullpunkti  vahelist kaugust  arvteljel . Omadused:

1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |

3. Millist hulka nimetatakse tõkestatuks? (lk 3)  Reaalarvudest  koosnevat  hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (c, d) nii, et A ⊂ (c, d). Tõkestatud hulgad on näiteks kõik lõplikud  vahemikud  (a, b),  lõigud  [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b] 4. Milline suurus on jääv ja milline suurus on muutuv? Mida nimetatakse muutuva suuruse muutumispiirkonnaks? (lk 3) Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk   muutujaks.   Suurust,   mille    arvuline    väärtus   ei   muutu,   nimetatakse   jäävaks   suuruseks. Näiteks ühtlase liikumise korral on kiirus jääv suurus ja läbitud  teepikkus  muutuv suurus. Muutuva   suuruse   kõigi   võimalike   väärtuste   hulka   nimetatakse   selle   suuruse muutumispiirkonnaks 5.   Defineerida    ühene    funktsioon,   ühese   funktsiooni   argument,   sõltuv    muutuja , määramispiirkond  ja väärtuste hulk. (lk 3 - 4)  Ühene funktsioon on funktsioon vaid ühe muutujaga ehk y=f(x), puuduvad liitfunktsiooni omadused. Argument ehk muutuja on x ja sõltuv muutuja on y (sellel on oma kindel väärtus, mis sõltub x-st). Muutuva suuruse ehk x-i kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks 6. Millist funktsiooni nimetatakse mitmeseks? (lk 4)  Mitmeseks   funktsiooniks   nimetatakse   kujutist,   mis   seab   suuruse   x   igale   väärtusele   tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi,  kusjuures  leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust
7. Kirjeldada funktsiooni  esitust tabelina ja analüütiliselt. (lk 4)  Funktsiooni   argumendi   võimalikud   väärtused   esitatakse   tabeli   ühes   reas   ( veerus )   ja   neile vastavad   funktsiooni   väärtused   tabeli   teises   reas   (veerus).   On   võimalik   vaid   siis,   kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. 8. Mis on funktsiooni  graafik ? Loetleda graafiku omadusi. (lk 4 – 5)  Funktsioon   esitatakse   graafikuna   tasandil   ristkoordinaadistikus.    Graafik    on   joon(ed),   mis kirjeldavad  x ja y omavahelist seost ja suhet kindlates punktides. Kanname  tasandile  ristuvad x- ja y-teljed.  Vaatleme  tasandil hulka G, mis koosneb punktidest P(x, f(x)), mille esimene koordinaat    x    omandab    kõik   väärtused   määramispiirkonnas   X.   Seda   hulka   nimetatakse funktsiooni f graafikuks. 9. Defineerida paaris- ja paaritu funktsioon. (lk 6)  Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x  ∈  X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x).  Paarisfunktsiooni   graafik   on    sümmeetriline    y-telje   suhtes.   Funktsiooni   f  nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x). Paaritu funktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. 10. Defineerida perioodiline funktsioon ja funktsiooni periood. (lk 6)  Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib   võrdus   f(x   +   C)   =   f(x).   Väikseimat   sellist   konstanti   C   nimetatakse   funktsiooni   f perioodiks . Perioodilise funktsiooni graafik  kordub perioodi C järel. 11. Defineerida kasvav ja kahanev funktsioon. (lk 6)  Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1  f (x2). 12. Mis on  astmefunktsioon ? (lk 7)  Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul y = x α, kus α on nullist erinev  reaalarv  (e astendaja ). Näiteks funktsioonid y = x −1 , y = √ x ja y = x 2020 on astmefunktsioonid . 13.   Mis   on    eksponentfunktsioon ?   Esitada   eksponentfunktsiooni  määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud . (lk 7, 13)   Üldiseks eksponentfunktsiooniks ¨ nimetatakse funktsiooni kujul y = ax , kus reaalarv a täidab tingimusi a ei võrdu 1 ja a > 0. Erijuhul, kui a = e = 2,71828182845904523536028747135... (e on nn. Euleri  arv), nimetatakse funktsiooni y = ex eksponentfunktsiooniks.
NB! Kui 0  1, siis funktsioon y = a x on kasvav hulgal R. Eksponentfunktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk on järgmised: X = R ja Y = (0, ∞) 14. Esitada  trigonomeetriliste  funktsioonide y = sin x ja y = cos x määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. (lk 8, 15) y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] , 15. Esitada trigonomeetriliste funktsioonide y = tan x ja y = cot x määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud. (lk 8, 16) y = tan x : X = R \ (2k + 1)/2 π || k ∈ Z, Y = R ,  y = cot x : X = R \ {kπ || k ∈ Z}, Y = R . 16. Defineerida üksühene funktsioon ja  üksühese  funktsiooni  pöördfunktsioon . (lk 8 – 9) Olgu antud (ühene) funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Nüüd eeldame, et ka argument x funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i   kujutiseks.   Kui   see   on   nii,   siis   öeldakse,   et   funktsioon   f   on   üksühene.  Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Nt:  kuupfunktsioon  y = x 3 on ¨üksühene. Iga y korral leidub ainult ¨uks x nii, et valitud y on selle x-i  kuup . Arv 8 on ainult ¨ühe arvu (so 2) kuup, arv −27 on ainult ¨ühe arvu (so −3) kuup jne. Lahendades võrrandi y = x 3 muutuja x suhtes saame argumendi x esituse y kaudu: x = √3Funktsiooni üks ühesust saab kindlaks teha ka graafiku abil. Kui  suvaline  xteljega paralleelne sirge läbib funktsiooni  graafikut  maksimaalselt ühes punktis, siis on see funktsioon üksühene. Üksühese funktsiooni ¨y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni  avaldise  saame, kui  lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad 17.   Millised   on   seosed   funktsiooni   ja   tema   pöördfunktsiooni   määramispiirkonna, väärtuste hulga ja graafikute vahel? (lk 9 – 10)  Pöördfunktsioonis vahetavad kohad esialgse  funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk
18.   Kirjeldada   funktsiooni   ja   tema   pöördfunktsiooni   vastastikust   kompenseerimist. Esitada vastavad valemid. (lk 9)  näiteks funktsiooni y = x3 pöördfunktsioon on x =  3√y, funktsiooni y = x2  , x  ∈  [0, ∞), pöördfunktsioon on x = √y, funktsiooni y = 1/x pöördfunktsioon on x = 1/y . Olgu x = g(y) üksühese   funktsiooni   y   =   f(x)   pöördfunktsioon.   Siis   funktsioonid   f   ja   g   kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. Fikseerime mingi x väärtuse ja arvutame f(x). Seejärel arvutame g[f(x)], st  funktsioon  g kohal  f(x).  Tulemusena   saame  esialgse  x  väärtuse  tagasi.  Samuti arvutades antud y kaudu f[g(y)] saame y väärtuse tagasi. Need seosed saab kirjutada kujul g[f(x)] = x , f[g(y)] = y . 19.   Mis   on    logaritmfunktsioon ?   Millised   on   logaritmfunktsiooni   määramispiirkond, väärtuste   hulk   ja   graafikud   ning   kuidas   on   need   seotud   eksponentfunktsiooni määramispiirkonna, väärtuste hulga ja graafikutega? (lk 10, 14)  Funktsiooni y = a x pöördfunktsioon nimetatakse logaritmfunktsiooniks ja tähistatakse  x   =    loga (y).   Erijuhul,   kui   a   =   e,   siis   seda   funktsiooni   nimetatakse   naturaallogaritmiks   ja tähistatakse x = ln(y). Määramispiirkond on X = (0; +∞) ja  muutumispiirkond  Y = R. Need on seotud omavahel  nõnda, et eksponentfunktsiooni  X on logaritmfunktsiooni  Y ja vastupidi. 20. Miks on funktsiooni y = sin x pööramisel vaja tema määramispiirkonda kitsendada? Kuidas   on   defineeritud   funktsioon   y   =    arcsin    x?   Millised   on   selle   funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 10 – 11, 17)  Funktsiooni   y   =   sin   x   pööramisel   kitsendatakse   tema   määramispiirkond   kokkuleppeliselt lõiguks  [− π /2 , π /2 ], st jäetakse vaatluse alt välja kogu sin x osa, mille korral x ei  ∈ [−π 2 , π 2 ]. Vaadeldes lõigul [−π 2 , π 2 ] paiknevat siinuse graafiku osa näeme, et suvaline x- teljega  paralleelne sirge lõikab seda maksimaalselt ¨ühes punktis. Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ [− π 2 , π 2 ] ¨üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsioon nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kuna pöördfunktsioon võtmisel määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad oma kohad, siis arkussiinuse määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = [−1,

1], Y = [− π 2 , π 2 ]

21.   Kuidas   on   defineeritud   funktsioon   y   =    arccos    x?   Millised   on   selle   funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 11, 17)  Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti ¨üksühene kogu arvteljel, pööramisel kitsendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x  ∈  [0, π] pöördfunktsioon kannab  nimetust  arkuskosinus ja seda tähistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y. Arkuskosinuse määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = [−1, 1], Y = [0, π]. 22.   Kuidas   on   defineeritud   funktsioon   y   =    arctan    x?   Millised   on   selle   funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 11 - 12, 18)  Funktsiooni y = tan x, mis ei ole samuti ¨üksühene, pööramisel võetakse aluseks tema  kitsend vahemikku (− π /2 , π/ 2 ). Antud vahemikus asub  tangensi  nn põhiharu. Funktsiooni y = tan x, x ∈ (− π 2 , π 2 ) pöördfunktsioon kannab nimetust  arkustangens  ja seda tähistatakse x = arctan   y.   Kehtivad   valemid   arctan[tan   x]   =   x   ja   tan[arctan   y]   =   y.   Arkustangensi määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = R, Y = (− π /2 , π/ 2) 23.   Kuidas   on   defineeritud   funktsioon   y   =    arccot    x?   Millised   on   selle   funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik? (lk 12, 18)  Funktsiooni y = cot x pööramisel kitsendatakse ta vahemikku (0, π), kus asub tema põhiharu. Funktsiooni y = cot x, x ∈ (0, π) pöördfunktsioon on arkuskotangens ja seda tähistatakse  x  =  arccot   y.  Kehtivad  valemid   arccot[cot   x]  =  x  ja   cot[arccot  y]  =  y.  Arkuskotangensi määramispiirkond ja väärtuste hulk on X = R, Y = (0, π). 24. Defineerida  algebralised   tehted  funktsioonidega. Mis on  liitfunktsioon ? (lk 19)  Kõik   liitmised/lahutamised,   korrutamised/jagamised   on   funktsioonide   puhul   algebralased tehted. NT: Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) ja y = g(x). Funktsioonide f ja g summa on defineeritud kui kujutis, mis seab muutujale x vastavusse muutuja y väärtuse valemiga y = f(x) + g(x). Funktsioonide f ja g summa loomulik tähis on f +g. Seega kehtib f ja g summa puhul seos y = (f + g)(x) = f(x) + g(x). Funktsioonide   f   ja   g   liitfunktsiooniks   e    kompositsiooniks    f   ◦   g   nimetatakse   nende funktsioonide järjest rakendamist (f ◦ g)(x) = f (g(x)). 25.   Millised   funktsioonid   kuuluvad   põhiliste   elementaarfunktsioonide   hulka?   Mida nimetatakse elementaarfunktsiooniks? (lk 19) 
Elementaarfunktsiooniks   nimetatakse   funktsiooni,   mis   on   saadud    põhilistest elementaarfunktsioonidest   lõpliku   arvu    aritmeetiliste     tehete    (so.    liitmise ,    lahutamise korrutamise,  jagamise ) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. 26. Defineerida  polünoom ja ratsionaalfunktsioon. (lk 20)  Polünoom   ehk    algebraline     hulkliige    on  matemaatikas  hulkliige,   mis   on   moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil, näiteks  konstantne funktsioon   y   =   C,   lineaarne   funktsioon   y   =   ax   +   b,    ruutfunktsioon    y   =   ax2   +   bx   +   c, kuupfunktsioon y = ax3 + bx2 + cx + d on polünoomid Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi  jagatis 27. Defineerida hüperboolsed  trigonomeetrilised  funktsioonid. (lk 20)  Matemaatikas   ja   selle   rakendustes   kasutatakse   palju   nn   hüperboolseid   trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolsed funktsioonid on eksponentfunktsiooni abil  määratletud  funktsioonid, mis on analoogsed    trigonomeetriliste   funktsioonidega.   Trigonomeetrilised   funktsioonid   on elementaarfunktsioonid  siinus ,  koosinus ,  tangens ,  kootangens , seekans ja kooseekans, mille argument   on   geomeetriliselt   tõlgendatav   ühikringjoone   kaarepikkusena   või   vastava kesknurgana. 28.   Kirjeldada   funktsiooni   esitust    ilmutatud    kujul   ja    ilmutamata    kujul.   (lk   21) Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud  kujuks  on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool  avaldis , mis võib sisaldada    muutujat   x,   kuid  mitte   muutujat   y.  näiteks   y   =   x   2  −   x.   Funktsiooni   y  =   f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis 29. Defineerida n-mõõtmeline  vektor  ja n-mõõtmeline ruum. (lk 22)  n reaalarvust koosnevat  järjestatud  hulka ~x = (x1, x2, . . . , xn) nimetatakse n-mõõtmeliseks vektoriks.   Kõigi   n-mõõtmeliste   vektorite   hulka   nimetatakse   n-mõõtmeliseks   ruumiks   ja tähistatakse R 30. Defineerida n-muutuja funktsioon, n-muutuja funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond (lk 22)  Olgu antud n + 1 muutuvat suurust x1, . . . , xn ja u. Kujutist, mis seab vektori ~x = (x1, . . . , xn)   igale   väärtusele   teatud   hulgast   X  ⊆  R   n   vastavusse   muutuja   u   ¨ühe   kindla   väärtuse nimetatakse (¨üheseks) n- muutuja funktsiooniks. Muutujaid x1, . . . xn nimetatakse seejuures funktsiooni   argumentideks,   muutujat   u   sõltuvaks   muutujaks   ja   hulka   X   funktsiooni määramispiirkonnaks
Kordamisküsimusi 2. teema kohta 1. Defineerida reaalarvu  ümbrus , reaalarvu vasak- ja parempoolne  ümbrus. (lk 1) Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse  suvalist  vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a|  0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| asetse  a-st paremal, st x ≤ a.                   Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a + ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| 2. Defineerida suuruste ∞ ja -∞ ümbrused. (lk 1) Suuruse  lõpmatus  ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus M > 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M, ∞) siis ja ainult siis, kui x > M Suuruse  miinus  lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M), kus M > 0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞, −M) siis ja ainult siis, kui x 3. Mis on järjestatud muutuv suurus? Defineerida muutuva suuruse piirprotsess x → a (lk 2 – 3) Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda,  kumb  neist on eelnev ja kumb järgnev. Olgu x järjestatud muutuv suurus. Muutuv suurus x läheneb arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| 4. Defineerida muutuva suuruse vasak- ja  parempoolsed  piirprotsessid x → a+ ja x → a- (lk 3) Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab   näidata   sellist   suuruse   x   väärtust,   millest   alates   kõik   järgnevad   muutuva   suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel juhul  kirjutatakse  x → a −
Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab   näidata   sellist   suuruse   x   väärtust,   millest   alates   kõik   järgnevad   muutuva   suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a + ε). Siis kirjutatakse x → a + 5.   Kas   muutuva   suuruse   vasak-   ja   parempoolsed   piirprotsessid   on   selle   suuruse piirprotsessi erijuhtudeks? Miks? (lk 3) Piirprotsessi üldises definitsioonis ei ole fikseeritud kuidas (vasakult, paremalt või  mõlemalt poolt) muutuja x  lähenemine  arvule a toimub. Seega on piirprotsessi x → a erijuhtudeks sellised piirprotsessid, kus x läheneb arvule a ainult vasakult või paremalt. 6. Defineerida piirprotsessid x → ∞ ja x → -∞ . (lk 4) Muutuv suurus x läheneb  lõpmatusele , kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M, ∞), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x → ∞ või lim x = ∞ Muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab   näidata   sellist   suuruse   x   väärtust,   millest   alates   kõik   järgnevad   muutuva   suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞, −M), st rahuldavad võrratust x 7. Defineerida  reaalarvude  jada  piirväärtus . Milline jada on  koonduv  ja milline jada on hajuv ? (lk 4) Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid   kuuluvad   arvu   a   ümbrusesse   (a   −   ε,   a   +   ε).   Jada   piirväärtuse   kirjutusviis   on järgmine: xn → a või lim xn = a 8. Defineerida funktsiooni piirväärtus. (lk 5) Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis  rahuldab tingimust   x   ei=   a,   funktsiooni   väärtus   f(x)   läheneb   arvule   b.   Funktsiooni   piirväärtuse kirjutusviis on limx →a f(x) = b või f(x) → b kui x → a 9. Milline on funktsiooni piirväärtuse  geomeetriline  sisu? (lk 6 – 7) Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x ei= a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja  samale  arvule b. Teiste sõnadega: suvalises piirprotsessis x → a, kus x ei= a, läheneb funktsiooni graafiku  jooksev  punkt P(x, f(x)) ühele ja samale punktile A(a, b). 10. Kuidas toimub funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine  juhtudele  a= ±∞ ja b= ±∞? (lk 7)
Analoogiliselt saab käsitleda ka piirväärtusi, milles lõplike arvude a ja b asemel esinevad suurused −∞ või ∞. Selleks tuleb  ülaltoodud  definitsioonis lihtsalt arv a või b  asendada  kas suurusega   ∞   või   −∞.   Näiteks   piirväärtuse   lim   x→a   f(x)   =   ∞   definitsioon   on   järgmine: Funktsioonil f on piirväärtus ∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ei= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele. 11. Defineerida funktsiooni vasak- ja parempoolne piirväärtus. (lk 9) Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a −, mis rahuldab tingimust x ei= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a +, mis rahuldab tingimust x ei= a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. 12. Milline on funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste geomeetriline sisu? (lk 11) Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirväärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a −, kus x ei= a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P1(x,  f(x))  punktile   A1(a,   b1)  ja  suvalises  piirprotsessis   x  →  a  +,  kus  x  ei=   a,  läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P2(x, f(x)) punktile A2(a, b2). Kui b1 ei= b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x → a, x ei= a. Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a − ja x → a + läheneb f(x) erinevatele arvudele. 13. Sõnastada  teoreem  funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse  omavahelise  seose kohta. (lk 11) Piirväärtus limx→a f(x) eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad v˜ordsed ¨uhepoolsed piirv ¨a¨artused   lim   x→a−   f(x)   ja   lim   x→a+   f(x).   Peale   selle,   piirv¨a¨artuse   limx→a   f(x) olemasolu korral kehtib valem limx→a f(x) = lim x→a− f(x) = lim x→a+ f(x). 14. Defineerida funktsiooni graafiku  asümptoot . (lk 13) Sirget  nimetatakse  joone  y  =   f(x)  asümptoodiks,  kui   P →  ∞   selle   punkti  kaugus  sirgest läheneb  nullile . 15.    Millistel    tingimustel   on   sirge   x   =   a   joone   y   =   f(x)   vertikaalasümptoot?   Millistel tingimustel on sirge y = b joone y = f(x) horisontaalasümptoot? (lk 13) Sirge x = a on joone y = f(x) vertikaalasümptoot, kui piirprotsessis x → a − või x → a + funktsiooni väärtus f(x) läheneb kas pluss või miinus lõpmatusele. Sirge y = b on joone y = f(x) horisontaalasümptoot, kui piirprotsessis x → −∞ või x → ∞ funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b 16. Loetleda funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste  tehetega . (lk 14)

1. limx→a [f(x) + g(x)] = limx→a f(x) + limx→a g(x), 

2. limx→a [f(x)g(x)] = limx→a f(x) limx→a g(x), 

3. limx→a f(x)/ g(x) = limx→a f(x) /limx→a g(x) kui limx→a g(x) ei võrdu 0 .

17. Defineerida lõpmatult kahanev suurus ja lõpmatult kasvav suurus. (lk 14) Funktsiooni   f(x)   nimetatakse   lõpmatult   kahanevaks   ehk   lõpmatult    väikeseks    suuruseks protsessis x → a, kui limx→a f(x) = 0 Funktsiooni f(x) nimetatakse lõpmatult kasvavaks suuruseks protsessis x → a, kui  limx→a |f(x)| = ∞ 18. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse omavahelise seose kohta. (lk 14) Funktsioon f(x) on lõpmatult kahanev suurus protsessis x → a siis ja ainult siis, kui 1/ f(x) on lõpmatult kasvav suurus samas protsessis. 19. Sõnastada lõpmatult kahanevate suuruste  võrdluslaused  (sama järku, ekvivalentsed ja erinevat järku suurused). (lk 16) 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus limx→a f(x)/g(x) , siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.  2. Kui limx→a f(x)/g(x) = 1, siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul f(x) ∼ g(x).  3.   Kui   limx→a   f(x/g(x)   =   0,   siis   nimetatakse   suurust   f(x)   kõrgemat   järku   lõpmatult kahanevaks suuruseks g(x) suhtes. 20. Sõnastada lõpmatult kasvavate suuruste võrdluslaused (sama järku, ekvivalentsed ja erinevat järku suurused). (lk 16- 17) 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus limx→a f(x)/g(x) , siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.  2. Kui limx→a f(x) g(x) = 1, siis nimetatakse suurusi f(x) ja g(x) ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul f(x) ∼ g(x). 3.   Kui   limx→a         f(x)   g(x)=   ∞,   siis   nimetatakse   suurust   f(x)   kõrgemat   järku   lõpmatult kasvavaks suuruseks g(x) suhtes. 21. Defineerida punktis pidev funktsioon. (lk 17) Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui

1. f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X,

2. eksisteerib lõplik piirväärtus lim x→a f(x),

3. Lim x→a f(x) = f(a)

22. Milline on  pidevuse  geomeetriline sisu? (lk 17 – 18) Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A(a, f(a)) pidev joon 23. Tõestada, et pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui argumendi muut läheneb nullile. (lk 18) limx→a f(x) = f(a) ⇔ limx→a f(x) − f(a) = 0 ⇔ limx→a f(x) − limx→a f(a) = 0 ⇔ limx→a [f(x) − f(a)] = 0 ⇔ limx→a ∆y = 0 ⇔ lim ∆x→0 ∆y = 0 .  24. Mis on funktsiooni  katkevuspunkt ? (lk 18) Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. 25. Defineerida hulgal pidev funktsioon. (lk 19) Olgu A vahemik, lõik või  poollõik . Kui funktsioon f on pidev hulga A kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev hulgal A. Hulgal A pideva funktsiooni graafik on selle hulga kohal pidev joon. 26. Sõnastada teoreem funktsiooni nullkoha olemasolust. (lk 19) Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0. 27. Defineerida funktsiooni absoluutne maksimum ja absoluutne miinimum etteantud hulgal. (lk 20) Kui leidub punkt x1 ∈ A nii, et iga teise punkti x korral hulgast A kehtib  võrratus  f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) hulgal A. Kui leidub punkt x2 ∈ A nii, et iga teise punkti x korral hulgast A kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) hulgal A. 28. Sõnastada teoreem funktsiooni väärtuste olemasolust suurima ja vähima väärtuse vahel. (lk 21) Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.