Matemaatiline analüüs (vähendatud programm) (0)

Matemaatiline analüüs (vähendatud programm)
KT nr. 1
Igas kontrolltöös on 4 küsimust, millest üks on valitud jämedas kirjas ( bold face) olevate teemade hulgast (see on kõige olulisem materjal), 2 küsimust on valitud ülejäänud teemadest ja viimase 4-nda küsimuse all on võimalik kirjutada omal valikul 1/4-1/2 lk teksti antud programmi ulatuses.
1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon.

• Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt , pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud . Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega.
  
• Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu:
  

Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel . Üldisemalt: punktide a ja b vaheline kaugus arvteljel võrdub arvuga
|a − b|.

• 1. | − a| = |a|
  

2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |

• Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a + ε), kus ε > 0. Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M, ∞), kus M > 0. Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞, −M), kus M > 0.
  
• Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b).
  

2. Jääv ja muutuv suurus. Suuruse muutumispiirkond . Funktsiooni definitsioon. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja , määramispiirkond ja väärtuste hulk. Funktsiooni esitamine tabelina ja analüütiliselt. Funktsiooni graafiku mõiste. Graafiku omadused.

• Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks.
  
• Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
  
• Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse.
  
• Muutujat x nimetatakse seejuures sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks. Funktsiooniks (ehk üheseks funktsiooniks) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse. Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Määramispiirkonna tähisena kasutame edaspidi sümbolit X. Hulka Y = nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks.
  
• Esitusviis tabeli kujul. Funktsiooni argumendi võimalikud vääärtused esitatakse tabeli ühes reas (veerus) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on n lõplik arv väärtusi.
  

Analüütiline esitusviis. Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Analüütiliselt antud funktsiooni loomulikuks määramispiirkonnaks nim. argumendi kõigi nende väärtuste hulka mille korral funktsiooni avaldis on täielikult määratud.

• Funktsiooni graafik . Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Olgu antud funktsioon f, mille argument on x, sõltuv muutuja y ja määramispiirkond X. Kanname tasandile ristuvad x- ja y-teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G, mis koosneb kõikvõimalikest punktidest P = (x, f(x)), kusjuures P esimene koordinaat x jookseb läbi kogu määramispiirkonna X.
  
• Graafiku omadused. Suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis. Juhul, kui vaadeldav funktsioon on mitmene , siis eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge, mis lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis.
  

3. Paaris- ja paaritud funktsioonid. Perioodilised funktsioonid. Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Astmefunktsioon. Eksponent - ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud .

• Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus
  f(−x) = −f(x).
  
• Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). V¨aikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
  
• Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
  
• Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = , kus α on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a.
  

Kui α on positiivne täisarv , siis on funktsioon määratud lõpmatus vahemikus −∞ (graafik)
Kui α on negatiivne täisarv, siis on funktsioon määratud x kõigi väärtuste korral, välja arvatud x = 0. (graafik)

• Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ≠ 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y==1. Eksponentfunktsiooni korral
  X = R ja Y = (0, ∞).
  

Kui a > 1 (graafik)
Kui 0 (graafik)

• Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x.
  

y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
(graafik)
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] , (graafik)
y = tan x : X = R / , Y = R
(graafik)
y = cot x : X = R /
(graafik)
4. Üksühese funktsiooni ja pöördfunktsiooni definitsioonid . Logaritmfunktsioon ja selle määramispiirkond, väärtuste hulk ning graafik. Arkusfunktsioonid ja nende seosed trigonomeetriliste funktsioonide ahenditega. Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad, väärtuste hulgad ja graafikud.

• Üksühene funktsioon. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse.
  
• Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saame, kui lahendame võrrandi y = f(x) muutuja x suhtes.
  
• x = , kus a on logaritmi alus. See funktsioon on määratud, kui x > 0. m¨a¨aramispiikond ja v¨a¨artuste hulk on vastavalt X = (0, ∞) ja Y = R.
  

Kui a > 1(graafik)
Kui 0 (graafik)

• Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid.
  Funktsiooni y = sinx pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond kokkuleppeliselt lõiguks . Seega on funktsioon y = sin x, x ∈ on üksühene. Selle funktsiooni pöördfunktsiooni nimetatakse arkussiinuseks ja tähistatakse x = arcsin y. Kehtivad seosed arcsin[sin x] = x ja sin[arcsin y] = y.
  

Funktsiooni y = cos x, mis ei ole samuti üksühene kogu arvteljel, pööramisel ahendatakse tema määramispiirkond lõiguks [0, π]. Funktsiooni y = cos x, x ∈ [0, π] pöördfunktsioon kannab nimetust arkuskosinus ja seda täühistatakse x = arccos y. Kehtivad valemid arccos[cos x] = x ja cos[arccos y] = y
Funktsioonide y = tan x ja y = cot x p¨o¨oramisel ahendatakse tan x vahemikule ja cot x vahemikule (0, π). Funktsioonide y = tan x, x ∈
ja y = cot x, x ∈ (0, π) pöördfunktsioonid on vastavalt arkustangens x = arctan y ja arkuskotangens x = arccot y. Kehtivad valemid arctan[tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot[cot x] = x , cot[arccot y] = y

• Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
  

y = arcsin x : X = [−1, 1], Y =
(graafik)
y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π]
(graafik)
y = arctan x : X = R, Y =
(graafik)
y = arccot x : X = R, Y = (0, π)
(graafik)
5. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon.

• N-astme polünoom on defineeritud avaldisega:
  

P(x) = , kus , , , ... , ,
on konstandid ja .

• Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis :
  

R(x) =
6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste.

• Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = . Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks .
  
• Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni, x = ϕ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina . Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone. Neid võrrandeid nim. selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
  

7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste. Muutuva suuruse piirväärtuse
definitsioon. Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid.
Koonduvad ja hajuvad jadad.

• Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
  
• Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse
  

(a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a|

• Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → .
  

Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a, a + ε). Siis kirjutatakse x → .

• Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.
  

8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid.

• Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui
  

lim α = 0.

• Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞.
  

9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid ja geomeetriline sisu. Neid definitsioone küsin ainult lõpliku a ja b korral.

• Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. ( )
  

Geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b.

• Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → , mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
  

Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → , mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
Geomeetriline sisu. Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirväärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → , kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P1 = (x, f(x)) punktile A1 = (a, b1) ja suvalises piirprotsessis x → , kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P2 = (x, f(x)) punktile A2 = (a, b2).
10. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja
kõrgemat järku suurused). Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine (sama
järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).

• 1) Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.
  

2) Kui
= 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α ∼ β.
3) Kui
= 0, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks β suhtes.

• 1) Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.
  

2) Kui
= 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul α ∼ β.
3) Kui
= ∞, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks β suhtes.
11. Pideva funktsiooni definitsioon. Pidevuse geomeetriline sisu.

• Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui
  

f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X

eksisteerib lõplik piirväärtus

• Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x = a pideva funktsiooni graafik on punktis A = (a, f(a)) pidev joon.
  

12. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste. Katkevuspunktide liigitus.

• Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks.
  
• 1) Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused ja , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f esimest liiki katkevuspunktiks.
  

Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus = = , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.

Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus ≠ , siis nimetatakse seda punkti funktsiooni f hüppepunktiks (hüppekohaks)
2) Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest
või
puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni f teist liiki katkevuspunktiks.
13. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul.

• Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b].
  
• Kui leidub punkt x2 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x2) ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f(x2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks (absoluutseks miinimumiks) lõigul [a, b].
  
• 
  

14. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised .

• Funktsiooni muudu ja argumendi muudu suhte piirväärtust argumendi muudu lähenemisel nullile nimetatakse funktsiooni tuletiseks kohal x ja tähistatakse f’(x): f ’(x) =
  
• Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv.
  

Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks.

• C ’ = 0, C - konstant
  

()’ = a
()’ = lna, sealhulgas ()’ = )
)’ = , sealhulgas (lnx)’ =
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
(tanx)’ =
15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena.

• Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f’(a) ja argumendi muudu ∆x = x − a korrutist ja t¨ahistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt: dy = f ’ (a) ∆x
  
• f ’ (a) =
  

16. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni korral (tõestusi ei küsita).

(f + g)’ = f’ + g’

(fg)’ = f’ g + fg’

() ’ =

(Cf)’ = C’f + Cf’ = 0f + Cf’ = Cf’ , C – konstant

(f-g)’ =[f + (-1)g]’ = f’ + [(-1)g]’ = f’ + (-1)g’ = f’ – g’
17. Joone puutuja definitsioon. Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi). Joone normaalsirge definitsioon. Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)) (tõestust ei küsi).

• Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x).
  
• Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = p(x − a)
  
• Joone y = f(x) normaalsirgeks punk tis A nimetatakse sirget, mis l¨abib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
  
• Joone y = f (x) normaalsirge võrrand punktis A = (a, f (a)): y − f(a) = - (x-a)