3. järku funktsiooni z täisdiferentsiaal: d z = z xxx dx + 3 z xxy dx dy + 3 z xyy dxdy + z yyy dy . 3 3 2 2 3 Olgu antud funktsioonid u = u ( x, y , z ,...) , x = x( t ) , y = y ( t ) , ... 1. järku täisdiferentsiaali invariantsus: du = u x dx + u y dy + u z dz + ... Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y ) = 0 ja Olgu antud ilmutamata kujul funktsioon F ( x, y , z ) = 0 ja punkt P0 = ( x0 , y0 ) . punkt P0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) . Teoreem 1: Teoreem 2: 1) F, Fy on pidevad P0 ümbruses; 1) F, Fz on pidevad P0 ümbruses; 2) F ( P0 ) = 0 ; 2) F ( P0 ) = 0 ;
ettevõtted sunnitud end rohkem avama ning levib veendumus, et käes on nn avatud innovatsiooni ajastu (Chesbrough, 2003). Ühe lausega võib öelda, et avatud innovatsioon on teadmiste sisse- ja väljavoolu eesmärgipärane kasutamine ettevõttesisese innovatsiooni kiirendamiseks ning vastavalt ettevõtteväliste uuenduste kaasamiseks vajalike turgude laiendamine. 13. Mille poolest on teadmus (knowledge) eriline ressurss? Mille poolest erinevad ilmutatud (codified) ja ilmutamata (tacit) teadmus? Teadmuse definitsioone on mitmeid. Peamiselt tähendab teadmus oskust ja tahet õpitut kasutada. Teadmus ei suurene märgatavalt õppimise protsessi jooksul, see suureneb siis, kui indiviidid hakkavad õpitud rakendama. Ilmutatud teadmist saab väljendada läbi teatud koodi või keele ja seetõttu saab seda kergelt edastada, töödelda, säilitada. Ilmutatud teadmus võib esineda teatud andmete, valemite, käsiraamatute vms kujul.
määratud avaldised täisdiferentsiaali valemisse saame Teisendame saadud võrduse paremat poolt: Kuid järelikult ehk Mitme muutja funktsiooni (esimest järku) täisdiferentsiaali avaldisel on üks ja seesama kuju, st. diferentsiaali kuju on invariantne olenemata sellest, kas u ja v on sõltumatud muutujad või sõltumatute muutujate funktsioonid. 11. Ühe muutuja ilmutamata funktsiooni tuletis. Vastava teoreemi tõestus (teoreem 10.1). Kahe muutuja ilmutamata funktsioon ja selle osatuletised. Teoreem 10.1.Kui argumendi x pidev funktsioon y on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y)=0, kus F(x,y), Fx'(x,y), Fy'(x,) on pidevad mingis piirkonnas D, mille punktide koordinaadid rahuldavad võrrandit F(x,y)=0, ja kui vaadeldavas punktis peale selle Fy'(x,y)0, siis on funktsioonil y selles punktis tuletis
igal etapil: kui on eeldused siis ka järeldused. 5)n-dat järki dif võrrandi üldlahend, erilahend -n-dat järku DV üldkuju: F(t, y(t), y´(t), y´´(t),.., y(n) (t))=0 üldlahendiks: on n konstandist C1 , C2 ,...,Cn =0 ja argumendist t sõltuv fun. Y= (t, C1, C2, ..., Cn). Iga lahend mis saadakse üldlahendist konstantide C1,C2, ..., Cn arvuliste väärtuste puhul, on DV erilahend. 6) ilmutamata ja ilmutatud funktsioonid, ilmutamata funtsiooni teoreem. Ilmutamata fun.teoreem-1) fun-il F pidevad osatuletised Fy, F1, Fm punkti (y 0 ,x10 ,.., xm0 ) mingis ümbruses 2)punktis (y0 ,x10 ,.., xm0 ) mis rahuldab y=f(x 1,..,xm) ja Fy ei=0-ga selles p-is. SIIS J1) m-dimensionaalse punkti (x10,...,xm0 )ümbruses N kus y on muutujate (x 1,...,xm) üheselt määratud ilmutatud fun. Y=f(x1,...,xm). J2)see ilmutatud fun. rahuldab tingimust y 0 = f(x10 ,.., xm0 ) vaadeldavas punktis ja selle ümbruses ja J3) see ilmutatud fun f on pidev ja tal on olemas
tuletis punktis t avaldub kujul Kui funktsioonid x = x(u; v) ja y = y(u; v) on diferentseeruvad punktis P(u; v) ning funktsioon z = z(x; y) on diferentseeruv punktis (x(P); y(P)), siis liitfunktsiooni z = z(x(P); y(P)) = z(u; v) osatuletised avalduvad kujul zu = zxxu + zyyu; zv = zxxv + zyyv (Tõestus järgmisel lehel…) 8. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. 9. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon y = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x1, x2, . . . , xn, y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f (x) osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. TÄIENDATUD ! KAHTLANE, GERDI SLAIDILT 11. Tuletada pinna puutujatasandi võrrand kahe- või mitmemuutuja juhul. MINA KIRJUTAKS SAMA, MIS 12. 12
Funktsiooni diferentsiaali valem: dy = f ( x ) dx ehk dx Ligikaudse arvutamise valem: f ( x + x ) f ( x ) + f ( x ) x 2. Kõrgemat järku tuletised. Funktsiooni teist järku tuletiseks ehk teiseks tuletiseks nimetatakse tema tuletise tuletist ja seda tähistatakse sümboliga y või f ( x ) : y = ( y ) = f ( x ) 3. Ilmutamata funktsiooni mõiste. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine ühe näite põhjal. Kui mingis vahemikus ( a, b ) määratud funktsioon y = f ( x ) on selline, et võrrand F ( x, y ) = 0 muutub samasuseks, kui selles võrrandis y asendada avaldisega f ( x ) , siis funktsioon y = f ( x ) on võrrandiga F ( x, y ) = 0 määratud ilmutamata funktsioon. Olgu antud argumendi x ilmutamata funktsioon y järgmise võrrandiga: 2x
suletud innovatsiooni mudeli ees? Avatud innovatsioon on „eesmärgipärane sisemiste ja väliste teadmiste voogude ärakasutamine ettevõttesisese innovatsiooni kiirendamiseks ühelt poolt, ja teisalt, läbi laiema turuosaluse innovatsiooni teiste osapoolte kasutamise (innovatsiooni levimise) soodustamiseks“. 11. Mille poolest on teadmus (knowledge) eriline ressurss? Mille poolest erinevad ilmutatud (codified) ja ilmutamata (tacit) teadmus? Muutuv segu inimese isiklikest kogemustest väärtustest arusaamadest. Kui ettevõttes on inimene, kellel on suur teadmistepagas ehk teadmus, siis see võib firmat edasi aidata. Uudsed ideed. Ilmutatud teadmus - kergesti väljendatav sõnades ja numbrites. saab kergesti kommunikeerida. Ilmutamata teadmus - “Me teame rohkem kui me suudame väljendada” Püüa sõnadega edasi anda, kuidas sa sõidad rattaga, nii et teised saaksid seda nõuannet
+tuletamine 12. Kõrgemat järku osatuletised. Segaosatuletised. 13. Näidata, kui funktsiooni z = f(x, y) teist järku segaosatuletised zxy ja zyx on pidevad punktis P(x, y), siis selles punktis zxy = zyx. 15. Kahe muutuja funktsiooni täisdiferentsiaali geomeetriline tähendus. +graafik 16. m-muutuja täisdiferentsiaal, m-muutuja funktsiooni diferentseeruvus, kõrgemat järku täisdiferentsiaal. +vihik +tõestus 19. Kahe muutuja ilmutamata funktsiooni osatuletised. 22. Defineerida lokaalne miinimum, lokaalne maksimum, statsionaarne punkt 24. Tõestada kahe muutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused 25. Mitme muutuja funktsiooni globaalne ekstreemum.
.............................................. 5 7) Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Uks neist tuletada.............................. 6 8) Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Gradient. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus..................................................................................................................... 9 10. Olgu mitmemuutuja funktsioon u = f (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,u)= 0. Tuletada valem funktsiooni f osatuletiste jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Valem tuletada kas kahe muutuja juhul (x = (x, y) R2) või üldjuhul (x Rn)...........11 12.Tuletada Taylori valem kahe- või mitmemuutuja funktsiooni jaoks. Jääklikme Lagrange kuju............................................................................................................ 13 14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused.
Kasvava funktsiooni korral vastab suuremale argumendi väärtusele suurem funktsiooni väärtus. Kahaneva funktsiooni korral vastab suuremale argumendi väärtusele väiksem funktsiooni väärtus. Funktsiooni esitusviisid on : 1) Analüütilised ehk valemiga 2) Tabeliga ehk arvuliselt 3) Graafiliselt ehk geomeetriliselt Joonis 3. Mõnede lihtfunktsioonide graafikud (põhiliste elementaarfunktsioonide), määramis – ja muutumispiirkonnad. Joonis 4. Ilmutatud funktsioon ja ilmutamata funktsioon Kui funktsioon on antud kujul y = f (x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutatud. Nt. y=x2+3x , y= sinx+cosx Kui funkts. on antud kujul F( x, y ) = 0, Kusjuures y=y(x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutamata ehk võrrandiga antud. Nt. x2 + y2 = 4 (ringjoon) ehk x2 + y2 – 4 = 0. Praegu saab siit y nö. „ilmutada“: y2 = 4 - x2 ehk y=± √ 4−x 2 Joonis 5. Nt. ey = x + y , siit y „ilmutada“ ei saa. Funktsiooni parameetriline esitlus.
liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g f. Seega võime kirjutada võrduse z = (g f)(x) = g[f(x)]. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Nt. x2 - sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t)
u ( x, y , z) y z tan ( x y + 1) + 1 ) x <-osatuletis x-i järgi ( u ( x, y , z) x z tan ( x y + 1) + 1 2 ) y <-osatuletis y-i järgi u ( x, y , z) tan ( x y + 1) z <-osatuletis z-i järgi · Ilmutamata funktsioonid ja nende diferentseerimine. Ilmutamata kujul antud fn-i diferentseerimine F(x,y)=0 y'=f'(x)= -F'x(x,y)/F'y(x,y) <-teooria Näiteülesanne 2 F( x, y ) := y - x dFx( x, y ) := F( x, y ) -2 x x <-osatuletis x järgi dFy ( x, y ) := F( x, y ) 1
= arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks - sin y + y = 0.
Tõestus: Märkides y=f(x)=u(x)v(x), leiame: 1) y=f(x+x) f(x)= u(x+x)v(x+x) u(x)v(x) = (u+u)(v+v) uv= Analoogiliselt leiame kõrgemat järku tuletised. uv+uv + uv+uv uv=uv + uv+uv; 2); 3)y'= , kus tuletise olemasolu tõttu funktsioon v on 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Kõrgemat järku tuletised ilmutamata funktsiooni korral. pidev ja seega . (M.O.T.T) Funktsioon on esitatud ilmutamata kujul, kui on antud avaldis, mis sisaldab nii argumenti x kui ka 3. Jagatise tuletise valemi tuletamine. funktsiooni väärtust y ja võrdub nulliga. Võtame mõlemast poolest tuletise, eeldades, et y on x-i Teoreem: Kui on olemas tuletised u'(x) ja v'(x), siis on olemas ka tuletis (u(x)/v(x))', mis avaldub kujul funktsioon. Kõrgemat järku leiame analoogselt
Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 - sin y + y = 0. Kui me asendame muutuja y funktsiooni f(x) ilmutatud avaldisega võrrandis , siis muutub see võrrand samasuseks F(x, f(x)) 0
Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis piirväärtus eksisteerib. (tõestusega). Kasutame asendust tanx=t ; dx=1/1+t 2*dt 9. Parameetrilise funktsiooni ja ilmutamata funktsiooni tuletis (tõestusega). Määratud integraali omadused 10. Funktsiooni diferentsiaal ja selle geomeetriline tähendus
Seos on esitatav ka kujul , kusjuures suurus on piirprotsessis kõrgemat järku lõpmata väike võrreldes suurusega , sest ning sellest saab järeldada, et ja st, et Lause 2. Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad puntis x ja on konstant, siis selles punktis on diferentseeruvad ka funktsioonid cf(x), ja täiendaval eeldusel ka f(x)/g(x), kusjuures Tõesta neid. Kerge. 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Liitfunktsiooni tuletis: Lause 1. Kui funktsioonidel f(x) ja g(x) eksisteerivad lõplikud tuletised vastavalt kohtadel x ja f(x), siis liitfunktsioonil g(f(x)) on lõplik tuletis kohal x, kusjuures N1. Leiame funktsiooni y=sin2x tuletise. Olgu u=sinx ja y=u2. Seega Näitan, et teatud eeldustel peab paika seos N2. Leian tuletise: Lause 2. Kui lõigul [a, b] pideval ja rangelt monotoonsel funktsioonil y=f(x) on kohal x nullist
-1 mis igale arvule y Y = f ( X ) seab vastavusse arvu x X , kusjuures y = f (x), . Näide: y = pöördfunktsioon on x = log2 Üksühene funktsioon ja selle graafik . Kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Näide: Näide: Funktsioon, millel pole pöördfunktsiooni. y = x + arctanx 7. Funktsioon ilmutamata kujul. Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Polaarkoordinaadid, üleminek parameetrilisele esitusele. Näited Funktsioon ilmutamata kujul. Kui võrrandi F(x,y) = 0 on x X korral üks lahend y = f(x), siis öeldakse et see võrrand määrab funktsiooni y = f(x), x X ilmutamata kujul. Näiteks: lox +log(y+2) 2 = 0 Funktsioon, mis on antud parameetrilisel kujul. Funktsiooni f muutujate x ja y väärtused
∆y f ( x+ ∆ x )−f (x) f’(x) = lim = lim Geomeetriline tõlgenus: tuletise f(x) väärtus argumendi x antud ∆ x→ 0 ∆x ∆ x→ 0 ∆x väärtusel = x-telje positiivse suuna ja funktsiooni f(x) graafikule punktis M 0(x,y) joonestatud puutuja vahelise nurga tangensiga. f’ on mingis punktis graafikule tõmmatud puutuja tõusunurga tangens. f’(x) = tan α. f ' ( x )−f ' (a) f ( n−1 ) ( x )−f ( n−1 ) (a) f’’(a) := [f’(a)]’x=α = lim f(n)(a) := [f(n-1)(a)]’x=a = lim x→ a x−a x→ a x−a dy Avaldis ...
y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an−1, an on konstandid ja an ̸= 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm−1xm−1 + bmxm . 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = − x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks − sin y + y = 0.
Def:Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nimetatakse funktsiooni y=f(x) muudu Δy ja argumendi muudu Δx suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. Def: Kui funktsioonil f(x) on tuletis punktis x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. Def: Geomeetriliselt võib funktsiooni y=f(x) interpreteerida kui selle funktsiooni graafikule punktis (x; f(x)) konstrueeritud tõusunurga tangensit. Def: Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust f ´(x +) = lim Δy Δx Δ→0+ Δy Def: Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nimetatakse suurust ...
v m Integreeritakse mõlemat poolt: dv bdt bt v = - m 2 v = - + C1 m Leitakse integreerimiskonstant C1 . Kirjutatakse saadud avaldis välja alghetkel t = 0, asendades seejuures kõik muutuvad suurused nende algväärtustega: Kui t = 0: 2 v0 = C1 bt Seda arvestades on kiiruse ilmutamata avaldis 2 v = - + 2 v0 m Siit leitakse ajahetk, millal punktmass jääb seisma. Ajahetk tähistatakse t1 . Seega kui t = t1 , siis v = v1 = 0 . bt Asendused avaldises: 0 = - 1 + 2 v0 m 2m v0 siit saadakse, et punktmass jääb seisma aja t1 = vältel. b
e. Elementaarfunktsiooni mõiste Elementaarfunktsiooniks nim funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. f. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. f.i. Polünoom kuulub elementaarfunktsioonide hulka ja on defineeritud avalisega , f.ii. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. Hüperboolsete trigonomeetrilistefunktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi,väärtuste hulki ja graafikuid ei küsi). a. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid a.i. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte
arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. N-astme polünoom on defineeritud avaldisega: , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujad y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi. St võrrand F(x,y) = 0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Ilmutamata kujul võrrandi avaldamiseks on vaja lahendada võrrand muutuja y suhtes.
- (1 + x) - (1 - x) -2 1 = = =- (1 + x) 2 + (1 - x) 2 2 + 2x 2 1+ x2 12 Ilmutamata kujul oleva funktsiooni diferentseerimine Olgu argumendi x funktsioon y esitatud ilmutamata kujul F(x, y) = 0. dy Tuletise y = leidmiseks diferentseeritakse antud võrduse dx pooli x järgi, kusjuures funktsiooni y sisaldavaid osafunktsioone diferentseeritakse kui liitfunktsioone. Ülesanne: Leida y kui y 2 + 2 x = x 2 + 2 xy. Lahendus: d 2 d 2 ( y + 2 x) = ( x + 2 xy ) dx dx 2 yy '+2 = 2 x + 2( y + xy ' ) 1- x - y y' =
1. Kahe muutuja funktsioonid (definitsioon, määramis-ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näited). 2. Nivoojoone mõiste (definitsioon, näited ja omadused). 3. Kolme muutuja funktsioon (definitsioon, näited). 4. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Tõlgendus – mida näitab osatuletis? Kuidas leida osatuletisi? 5. Ekstreemumid (lokaalse maksimumi ja miinimumi definitsioon). 6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm.
Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Def. Olgu lõigul antud kaks funktsiooni ja . Kirjutame need funktsioonid süsteemina Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Hüperboolsed funktsioonid: Funktsioonide sinhx,coshx,tanhx ja cothx pöördfunktsioonid on areafunktsioonid: 7. Def
Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Def. Olgu lõigul antud kaks funktsiooni ja . Kirjutame need funktsioonid süsteemina Võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks. Hüperboolsed funktsioonid: Funktsioonide sinhx,coshx,tanhx ja cothx pöördfunktsioonid on areafunktsioonid: 7. Def
1.10 Funktsiooni tuletis DEF 1.Funktsiooni y=f(x) tuletiseks kohal x nim. funktsiooni y=f(x) muudu y ja argumendi muudu x suhte piirväärtust, kui argumendi muut läheneb nullile. f´(x)=limy/x, piirprotsessis x->0 DEF 2. Kui funktsioonil f(x) on tuletis kohal x, siis öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv punktis x. f´(x0) <->f(x) D(x0) DEF 3. Funktsiooni y=f(x) parempoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x+)=limy/x, piirprotsessis x->0+ DEF 4. Funktsiooni y=f(x) vasakpoolseks tuletiseks kohal x nim. suurust f´(x-)=limy/x, piirprotsessis x->0- 1.11 Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetriliselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Vaata näiteid vihikust! 1.12 Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1.13 Kõrgemat järku tuletised DEF 1. Kui funktsioonil f´(x) eksisteerib tuletis, siis seda tuletist nim. funktsiooni y=f(x) teiseks tuletiseks ehk ...
Elementaarfunktsiooni definitsioon. funktsioon, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn , kus a0,a1,a2,...,an-1,an on konstandid ja an ei võrdu 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi Parameetriliselt antud joone mõiste. Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina x = (t) y = (t), t [T1,T2].
elementidest moodustatud r-järku determinantiide hulgas on vähemalt üks nullist erinev, kõik sel viisil moodustatud (r+)-järku determinandid aga on nullid (või neid ei saagi moodustada). Kui vähemalt üks maatriksi r-järku determinantidest erineb nullist, kõik kõrgemat järku det-d aga võrduvad 0ga, siis öeldakse, et selle maatriksi astak on r. Tähis r(A). 14. Diferentsiaalid, täisdiferentsiaalid, täistuletised, ilmutamata funktsioonide tuletised. Diferentsiaalid: Varem (dy/dx) (sisult 1 sümbol - tuletis), nüüd (dy)/(dx), dy=(dy/dx)dx e. dy='(x)dx:dx (dy)/(dx)=(dy/dx), Suurusi dy ja dx võib vaadata vastvalt y-i ja muutuja x-i differentsiaalidena. Täisdifferentsiaal on dif.mõiste üldistus mitme muutuja funktsioonile. Funktsiooni U=U(x 1x2...xn) U U U täisdifferentsiaaliks nimetame avaldist dU = dx1 + dx 2 + ... + dx n
Hulka C Rn nim tõkestatuks, kui leidub reaalarv r>0, et C {QRn|d(0,Q)
Eeldusained: pole. Õppeaine sisu (orienteeruva loenguteks jaotusega): 1. Kasutatav sümboolika. Funktsiooni mõiste ja omadused. Elementaarfunktsioonid. 2. Jada piirväärtus. Arv e. 3. Funktsiooni piirväärtus. Joone asümptoodid. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Funktsiooni pidevus. Lõigul pidevate funktsioonide omadused. 4. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Pöördfunktsiooni tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine
Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z = g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defeneeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga. Seega võime kirjutada võrduse z = ( )(x) = g[f(x)].Näiteks annavad f(x) = sin x ja g(y) = liitfunktsiooni. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2-x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2-siny+y=0. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud funktsioon. 7. Järjestatud muutuva suuruse mõiste
Asjaolu, et y on x-i funktsioon, tähistatakse y = f(x) • Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks (ehk argumendiks). • Muutujat y nimetatakse sõltuvaks muutujaks. • Argumentide x hulka X nimetatakse määramispiirkonnaks. • Suuruse y muutumispiirkonda Y nimetatakse muutumispiirkonnaks. Funktsioon on antud, kui on teada: a) F-ni määramispiirkond X b) Eeskiri, mis seab argumendi x igale väärtusele piirkonnas X vastavusse funktsiooni y väärtuse. 3. Ilmutamata ja ilmutatud kujul funktsioon. Näited. Ilmutatud funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, kus funktsiooni esitava võrduse vasakul pool on ainult sõltuv muutuja y ja paremal pool muutujast x sõltuv avaldis. Ilmutamata funktsiooniks nimetatakse niisugust funktsiooni, mille väärtused leitakse x ja y siduvast võrrandist (üldjuhul f(x; y) = 0). N: ilmutatud f-nid: y = 2x+1, ilmutamata kujul: x2 + y2 = 1 4. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus).
P(x) = a0 + a1 x +a2 x 2+ …+an−1 x n−1 +a n x n , kus a0 , a1 , a2 , ... , an−1 , an on konstandid ja an ≠ 0 . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis: 2 n−1 n a0 +a 1 x +a2 x + …+ an−1 x +a n x R(x) = 2 m−1 b0 +b1 x+ b2 x +…+ bm−1 x +b m x m 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x 2− y . Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand,
x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm .? 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid: Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 - x. Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 , (1.4) kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Näiteks x2 - sin y + y = 0. Parameetriliselt antud joone mõiste: Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni x = (t) ja y = (t)
13) Tuletise tehetega seotud omadused. 14) Elementaarfunktsioonide tuletised. 15) Tuletis kui funktsiooni muutumise kiirus. Protsentuaalne muutumise kiirus. Kaevake vihikutes, praxis sai tehtud seda jama küll =) 16) Funktsiooni diferentsiaal. 17) Diferentsiaali kasutamine ligikaudses arvutuses. 18) Liitfunktsiooni ja pöördfunktsiooni tuletis Paras vikat osa, kes saab aru see saab, kes ei.. njah :D suht porno teema (get it? Hah! :D) 19) Ilmutamata funktsiooni tuletis. Mõninkord on funktsioon antud kujul kus kumbagi muutujat ei ole võimalik teise kaudu avaldada. Sellisel juhul tuleb tuletis arvuta nn ilmuta funktsioonist F (x,y) = 0 20) Kõrgemat järku tuletised. 21) Teise tuletise füüsikaline tähendus. 22) Fun-i lokaalsed ekstreemumid 23) Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Funktsiooni lokaalset maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks.
𝑑𝑦 𝑦̇ 𝜓̇(𝑡) monotoonne ning 𝜑̇ (𝑡) ≠ 0 (𝑡 ∈ (𝛼, 𝛽)), siis 𝑦 ′ = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑥̇ = 𝜑̇(𝑡) (𝛼 < 𝑡 < 𝛽), täpiga 𝑑𝑡 tähistatakse tuletist parameetri järgi. 5. Ilmutamata funktsiooni tuletis. Korgemat järku tuletised. 6. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub vahemikus (a; b) punkt c, kus f ′ (c) = 0. Lagrange'i keskväärtusteoreem: Kui funktsioon f on pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b), siis leidub punkt c ∈ (a,b) nii, et f(b)-f(a)=f´(c)(b-a)
..+ z dun dx x u1 dx u2 dx un dx Liitfunktsiooni tuletist dz/dx nim ka sõltuvalt muutuja z täistuletiseks argumendi x järgi. Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu. d = F 1 + F 2 +...+ F 2 dx u1 xi u2 xi u2 xi 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem Olgu ühemuutuja funktsioon y = (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, (x)) tuletise avaldise. Täistuletise arvutamise eeskirja dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm
..+ z dun dx x u1 dx u2 dx un dx Liitfunktsiooni tuletist dz/dx nim ka sõltuvalt muutuja z täistuletiseks argumendi x järgi. Nimetus "täistuletis" tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni komponentide F ja 1, 2, ..., n kaudu. d = F 1 + F 2 +...+ F 2 dx u1 xi u2 xi u2 xi 16) Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem Olgu ühemuutuja funktsioon y = (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, (x)) tuletise avaldise. Täistuletise arvutamise eeskirja dz = z + z u'1 + z u'2 +...+ z u'm
1. Mikroökonoomiline taust Turg- Majandussuhete süsteem, mille kaudu ostjad ja müüjad suhtlevad omavahel, määrates kauba hinnad ja nende hindadega ostetavad-müüdavad kogused. Protsessuaalses mõttes on sisuliselt tegemist kõikvõimalike vahetustehingute pidevalt toimiva süsteemiga. Turutasakaalu kujunemine D=S, ehk nõudlus=pakkumisega Kulu- mistahes majandusressurssi loovutamine ehk kasu suurenemine, mida ressurssidest võib saada parimat võimalikku alternatiivi kasutades. Kulude liigitus:finantskulud ja loobumiskulu ehk alternatiivkulu ehk majanduskulu. Loobumiskulu - Saamatajäänud kasulikkus, kui tarbitakse piiratud ressursse, kuid ressursid on piiratud igal ajal ja igas ühiskonnas. Logistikateenuste kogus on piiratud, mistõttu tarbijal tuleb teha valikuid.Näited : 1)Tee-ehituse alla jäävat maad ei ole enam võimalik kasutada põllumajandusmaana. 2) Raudtee-ehituseks kasutatud materjale ei ole enam võimalik kasutada haiglaehitusel. Fi...
1. Kahje muutuja funktsioonid(definitsioon, määramis- ja muutumispiirkonna definitsioon ja tähistused, näited, esitusviisid, ilmutamata kujul esituse definitsioon, graafik ja graafiku näiteid) DEF: Kahe muutuja funktsioon f on kujutus, mis seab igale arvupaarile (x,y) ∈ D vastavusse ühe reaalarvu z= f ( x , y ) Nende punktide (x,y) hulka D, mille puhul funktsiooni väärtus on lõplik, nimetatakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Funktsiooni väärtuste z hulka Z nimetatakse funktsiooni muutumispiirkonnaks.
Ristkülikvalem. Trapetsvalem. 9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides. 10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides. 11. Kõverjoone kaare pikkus. 12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas. 25. Mitme muutuja funktsiooni tinglikud ekstreemumid. 26. Kahekordse integraali mõiste ja omadused. 27. Kahekordse integraali arvutamine.
39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. Arcsin tuletis (tõestus kasutades pöördfunktsiooni). 47. Arkusfunktsioonid kujutavad endast vastavate trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioone (määramiospiirkonna teatud ahendis) ja seetõttu saab nende tuletiste 1 yx = xy arvutamisel kasutada valemit 48. 49. 50. 51. 52. 53. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 54. Funktsioon, mis pole kujul y=f(x). 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. Logaritmimisvõte. 1. Võtame avaldisest naturaallogaritmi ja lihtsustame (tuletise leidmise mõttes). 1 y' 2. Leiame tuletise, arvestades, et (lny)'= y . 3. Avaldame y'=. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. Diferentsiaal ja muut, erinevus, sarnasus.
· Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega Kus a0,a1,a2,...,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid i) Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2x. ii) Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0 · Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina.
· Elementaarfunktsiooni definitsioon Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel. · Polünoom ja ratsionaalfunktsioon i) nastme polünoom on defineeritud avaldisega Kus a0,a1,a2,...,an1,an on konstandid ja an0 ii) Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6) · Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid i) Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2x. ii) Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0 · Parameetriliselt antud joone mõiste Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina.
7) x y u v Näeme, et diferentsiaali avaldise struktuur ei sõltu sellest, kas see on kirjutatud sõltumatute muutjate x ja y suhtes või sõltuvate muutujate u ja v suhtes. Seda omadust nimetatakse diferentsiaali invariantsuseks. Märkus. Liikmete arv diferentsiaali avaldises võrduses (7.7) võib olla erinev. z = f ( u , v, w ) u = ( x, y ) v = ( x, y ) w = ( x, y ) z z z z z dz = dx + dy = du + dv + dw x y u v w 8. Ilmutamata funktsiooni ja parameetrilise funktsiooni osatuletised. Vaatleme esmalt ühe muutuja ilmutamata funktsiooni. F ( x, y ) = 0 (8.1) Teoreem 8.1. F Olgu funktsioon F ( x, y ) diferentseeruv kusjuures 0 vaadeldavas punktis. Siis y F x eksisteerib tuletis y , mis avaldub kujul y = - F (8
(valem). f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x + x , y + y ) f ( x , y ) + x + y Funktsiooni muudu lineaarset osa x y nimetatakse funktsiooni täisdiferentsiaaliks ja tähistatakse 5. Kahe muutuja ilmutamata F F funktsiooni osatuletised (valemid). z x = x y z = F y F z z 6. Nivoopinnad ja nivoojooned nivoopindadeks
on seotud tema suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada kinnises tõkestatud sidusas hulgas pideva funktsiooni omadus, mis on seotud tema nullkohaga. 9. Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise definitsioon. Osatuletis kui funktsioon. Osatuletiste tõlgendus ja geomeetriline sisu kahemuutuja funktsiooni korral. 10. Liitfunktsiooni osatuletise valem. Täistuletise mõiste. 11. Olgu ühemuutuja funktsioon y = f(x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x,y) = 0. Tuletada valem funktsiooni f(x) tuletise jaoks funktsiooni F osatuletiste kaudu. Parameetrilise kahemuutuja funktsiooni osatuletiste leidmine. 12. Defineerida funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada suunatuletise valem funktsiooni osatuletiste kaudu. Telgedesuunalised tuletised. Suunatuletise tõlgendus. 13. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid.
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
