Matemaatiline analüüs KT1 vastused

Q: Mille puutuja tõusunurk ei ole Joonis 35 lk 68?

Vastus leiad õppematerjalist: Matemaatiline analüüs KT1 vastused

narusk, mikk

Matemaatiline analüüs KT1 vastused (0)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs i

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Mille puutuja tõusunurk ei ole Joonis 35 lk 68?

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ
1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt , pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud.
Reaalarvu absoluutväärtus-
|a| = a kui a ≥ 0
−a kui a 0
Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel .
Loetleda absoluutväärtuse omadused-
1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| .
Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrusesse (a − ε, a] siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| , ja x ei asetse a-st paremal, st x ≤ a.
Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+ε), kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a parempoolsesse ümbrusesse [a, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arveljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| , ja x ei asetse a-st vasakul, st x ≥ a.
Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M > 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse (M,∞) siis ja ainult siis, kui x > M.
Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞,−M), kusM > 0. Arv x kuulub miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞,−M) siis ja ainult siis, kui x −M.
Tõkestatud hulga definitsioon- Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b). Tõkestatud hulgad on kõik lõplikud vahemikud (a, b), lõigud [a, b] ja poollõigud [a, b), (a, b]. Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud (−∞, a), (a,∞) ja lõpmatud poollõigud (−∞, a], [a,∞).
2. Jääv ja muutuv suurus- Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks. Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks.
Suuruse muutumispiirkond - Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
Funktsiooni definitsioon- Olgu antud 2 muutuvat suurust x ja y. Funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse.
Funktsiooni argument- muutuja x, sõltumatu. Sõltuv muutuja- muutuja y. Määramispiirkond- argumendi x muutumispiirkonda. Tähis X. y= f(x). Väärtuste hulk- Hulka Y = <
Funktsiooni esitamine tabelina- Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse
tabeli ühes reas ( veerus ) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil on lõplik arv väärtusi.
Funktsiooni esitamine analüütiliselt- Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus. Näiteks avaldis y = x2 , x kuulub [0, 1] kirjeldab funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on lõik [0, 1] ja iga x korral sellelt lõigult arvutatakse argumendile x vastavad funktsiooni väärtused f(x) vastavalt valemile f(x) = x2.
Funktsiooni graafiku mõiste-
G = < .
Graafiku mõiste
Esitatkse ristkordinaadistikus.Kanname tasandile riistuvad x ja y teljed. Vaatleme selles teljestikus joont G mis koosneb punktidest P=(x;f(x)) kusjuures P esimene kordinaad x jookesb läbi kogu määramispirkonda X .Seda joont nimetataksegi funktsiooni f graafikuks.
Graafiku omadused Punkt P teist kordinaadi f(x) võib tõlgendada P „kõrgusena” x telje suhtes.Kui f(x)>0 ;siis on graafiku kõrgus positiivne,kui aga f(x) X-y teljestikus antud punkti üldkuju on P=(x,y) , funktsiooni f graafik koosneb aga punktidest P=(x, f(x)) , siis rahuldavad graafiku punktid võrrandit y = f(x) .
Suuvaline y-teljega parallelne sirge saab funktsiooni grafikut lõigata maksimalselt ühes punktis.
3. Paaris- ja paaritud funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks,
kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x). Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).
Perioodilised funktsioonid- Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x kuulub X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
Kasvavad ja kahanevad funktsioonid- Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 2. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) (x2), siis on f kasvav hulgas D. Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D. Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
Astmefunktsioon- funktsioon järgmisel kujul y = x a ,kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a.
Eksponentfunktsioon - Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul: y = a astmel x ,
kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei = 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooniy = 1 astmel x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞).
Trigonomeetrilised funktsioonid- y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = tan x : X = R \, Y = R,
y = cot x : X = R \, Y = R.
Funktsioonid y=sin x ja y=cos x on perioodilised perioodiga 2∏ ning y=tan x ja y=cot x perioodiga ∏. Funktsioonid y=sin x, y=tan x ja y=cot x on paaritud ning y=cos x paaris.
(joonised lk 14,15)
4.

Funktsioon on üksühene kui iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks.
Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. (Pöördfunktsioonis funktsiooni argument ja sõltuv muutuja vahetavad oma kohad).
Pöördfunktsiooni ja tema esialgse funktsiooni määramispiirkond ja väärtuste hulk vahetavad kohad
Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x ; f[g(y)] = y
Funktsiooni ja pöördfunktsiooni graafikud on sümmeetrilised sirge y=x suhtes
Logaritmifunktsioon on eksponent funktsiooni y=ax pöördfunktsioon. x=logay kus a on logaritmi alus. y=logax määramispiirkond X=(0,) väärtuste kulk Y=R. Graafik on juhtudel a>1 ja 0 M
. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt:
x → ∞ või lim x = ∞.
x -∞
Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (−∞,−M), st rahuldavad
võrratust x −M. Sellise piirprotsessi tähistusviis on x → −∞ või lim x = −∞.
Jada piirväärtuse definitsioon.
Arvu a nimetatakse reaalarvude jada ,, , . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a −ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a või lim xn = a .
Koonduvad ja hajuvad jadad .
Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.
Näide. Vaatleme jada elementidega xn = 1+ . Taolise jada piirväärtus on 1. Selle tõestamiseks kontrollime piirväärtuse definitsiooni kehtivust arvuga a=1. Vastavalt definitsioonile peame me näitama, et suvalise kuitahes väikese positiivse arvu ε leidub selline jada element, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu 1 ümbrusesse (1 − ε, 1 + ε). Taolisesse ümbrusesse kuuluvad jada elemendid rahuldavad võrratust 1 − ϵ 1 + ϵ.
Lahendame selle võrratuse arvu n suhtes:
1 − ε 1 + ε ⇔ 1 − ε 1 + 1 + ε ⇔ −ε ⇔
⇔ 1 ε ⇔ > ⇔ n > .
Järelikult: kui me etteantud ε > 0 korral valime elemendi xm nii, et m > ,
siis kehtib xn ∈ (1 − ε, 1 + ε) iga xm-le järgneva jada liikme xn korral. Seega
on jada piirväärtuse definitsioon täidetud arvuga a = 1. Olemegi tõestanud,et
lim(1 + (−1)n2n)= 1.
Illustreerime seda tõestust veel mõnede erijuhtude vaatlemisega . Selleks paneme kirja mõned jada esimesed elemendid:
x1 = 0.5, x2 = 1.25, x3 = 0.875, x4 = 1.0625, x5 = 0.96875,
x6 = 1.015625, x7 = 0.9921875, x8 = 1.0039625, . . .
Olgu ε = 0.1. Näeme, et alates neljandast elemendist kuuluvad kõik järgnevad jada elemendid ümbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.1, 1 + 0.1) = (0.9, 1.1).
Järgmiseks olgu ε = 0.05. Alates viiendast elemendist kuuluvad kõik järgnevad jada elemendid ümbrusesse (1−ε, 1+ε) = (1−0.05, 1+0.05) = (0.95, 1.05). Kui ε = 0.01, siis alates seitsmendast elemendist kuuluvad kõik järgnevad elemendid ümbrusesse (1 − ε, 1 + ε) = (1 − 0.01, 1 + 0.01) = (0.99, 1.01) jne.
8 .
Lõpmatult kahanev suurus
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks,
kui lim α = 0
Lõpmatult kasvav suurus
Muutuvat suurust α nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim |α| = ∞
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos.
Teoreem 2.1 Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav.
Teoreem 2.2 Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev.
Tõkestatud suurus
Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b)
Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem
Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev.
9.
Funktsiooni piirväärtuse definitsioon
Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b
Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu
Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a, kus x≠ a, läheneb funktsiooni graafiku kõrgus f(x) ühele ja samale arvule b (joonis 2.2)
Funktsiooni piirväärtuse definitsiooni laiendamine juhtudele a = ±∞ ja b = ±∞
Selleks tuleb ülaltoodud definitsioonis lihtsalt arv a või b asendada kas suurusega
∞ või −∞.
Funktsioonil f on piirväärtus ∞ kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb lõpmatusele.
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid
Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a−, mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b
Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a+, mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste geomeetriline tõlgendus.
Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirväärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a−, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt
P1 = (x, f(x)) punktile A1 = (a, b1) ja suvalises piirprotsessis x → a+, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P2 = (x, f(x)) punktile A2 = (a, b2) (joon.2.5)
Kui b1 ≠ b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x → a, x ≠ a. Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a− ja x → a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele.
Funktsiooni piirväärtuse olemasolu ja ühepoolsete piirväärtuste võrdsuse seose teoreem
Piirväärtus eksisteerib siis ja ainult siis, kui eksisteerivad võrdsed ühepoolsed piirväärtused ja . Peale selle, piirväärtuse olemasolu korral kehtib valem
10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega .
Liitfunktsiooni piirväärtuse valem.

Liitfunktsiooni arvutamise reegel:
Olgu antud kaks funktsiooni y=f(x) ja z=g(y). Kui , siis kehtib valem

Sõnastada teoreem lõpmatult kasvava ja kahaneva funktsiooni omavahelisest seosest

Tõkestatud funktsiooni definitsioon.

Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud funktsiooni korrutisest.

12. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja
kõrgemat järku suurused). Tõestada, et lõpmatult kahanevate suuruste α ja
β vahe on kõrgemat järku lõpmatult kahenev α suhtes. Lõpmatult kasvavate
suuruste võrdlemine (sama järku, ekvivalentsed ja kõrgemat järku suurused).
KAHANEVATE VÕRDLEMINE
Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks
Kui , siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α~β
Kui , siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kahanevaks suuruseks β suhtes.

Teoreem:

Kui α ja β ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis α – β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus nii α kui β suhtes.

Teoreemi tõestus:

Kuna vastavalt eeldusele on α ja β ekvivalentsed lõpmatult kahanevad suurused, siis
Seega
See võrdus näitab, et α-β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus α
suhtes.
KASVAVATE VÕRDLEMINE

Olgu α ja β lõpmatult kasvavad suurused protsessis .

Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse α ja β sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks
Kui , siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks suurusteks märkides seda kujul α~β
Kui , siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult kasvavaks suuruseks β suhtes.
13. Pideva funktsiooni definitsioon. ( lim juurde(/ x läheneb lõpmatusele näiteks.) kuuluvad x on selle järel mitte all )
Funktsiooni ƒ nimetatakse pidevaks punktis a, kui:
1. ƒ on määratud argumendi väärtusel a, st a X,
eksisteerib lõplik piirväärtus lim (x->a)f(x),
lim(x->a) ƒ (x)= ƒ (a)
Väljendi “pidev punktis a” asemel võib kasutada ka sünonüüme “pidev kohal a” või “pidev argumendi väärtusel a”.
Pidevuse geomeetriline sisu.
Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust. Täpsemalt: argumendi väärtusel x=a pideva funktsiooni graafik on punktis A(a, ƒ (a)) pidev joon.
(joonis konspektis lk45)
Selgitame seda lähemalt:

Vastavalt pidevuse definitsioonis toodud 1. tingimusele on funktsioonil f(x) olemas väärtus punktis a, st ƒ (a) eksisteerib.

2. tingimuse põhjal on olemas ka piirväärtus b=lim(x->a) ƒ (x). Viimane tähendab seda, et suvalises piirprotsessis x->a, kus x ei võrdu a-ga, läheneb graafiku jooksev punkt P(x; ƒ (x)) ühele ja samale punktile AP=(a;b).

3. tingimuse põhjal kehtib b=ƒ (a), mis tähendab, et graafiku piirpunkt A asub samuti funktsiooni graafikul, st graafik on punktis A pidev joon.

Pideva funktsiooni muudu käitumine argumendi muudu lähenemisel nullile .
Pideva funktsiooni defnitsioonis esineva 3. tingimuse võib kirja panna ka
pisut teistsugusel kujul. Selleks kasutame alljärgnevalt defineeritud argumendi
muudu ja funktsiooni muudu mõisteid:
∆x = x - a - argumendi muut kohal a ,
∆.y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a .
Kehtib järgmine samaväärsete valemite ahel:
lim(x->a) ƒ (x)= ƒ (a)  lim(x->a) f(x)-F(a)=0  lim(x->a) ƒ (x)-lim(x->a) ƒ(a)=0
 lim (x->a)[ ƒ (x)- ƒ (a)]=0  lim(x->a) ∆y=0  lim(∆x->0) ∆y=0
Järelikult on pideva funktsiooni definitsioonis esinev 3. tingimus samaväärne võrdusega
lim(∆x->0) ∆y=0
TULEMUS: Pideva funktsiooni muut läheneb nullile, kui selle funktsiooni argumendi muut läheneb nullile.
Pidevuse säilimine aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise korral.
Kehtivad järgmised väited:
Kui funktsioonid ƒ ja g on pidevad punktis a, siis on selles punktis pidevad ka summa ƒ +g, vahe ƒ -g, korrutid fg ja eeldusel g(a) ei võrdu 0-ga ka jagatis ƒ /g.
Kui funktsiooni y= ƒ (x) on pidev punktis a ja funktsioon z=g(y) on pidev punktis ƒ (a), siis liitfunktsioon z=g[ƒ (x)] pidev punktis a.
14. Funktsiooni katkevuspunkti mõiste.
Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Sellisel juhul on rikutud pideva funktsiooni definitsioonis toodud 1. tingimus. Juhul, kui katkevuspunkt paikneb funktsiooni määramispiirkonnas, siis on rikutud kas pidevuse 2. või 3. tingimus.
Katkevuspunktide liigitus.
Olgu a funktsiooni ƒ katkevuspunkt.
Kui punktis a eksisteerivad lõplikud ühepoolsed piirväärtused lim(x->a astmel -) ƒ(x) ja lim(x->a astmel +) ƒ(x), siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ esimest liiki katkevuspunktiks. Esimest liiki katkevuspunkte on kahesuguseid.
Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrdus
lim (x->a astmel -) ƒ (x) = lim (x->a astmel +) ƒ(x)= lim(x->a) ƒ(x)
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ kõrvaldatavaks katkevuspunktiks.
Kui esimest liiki katkevuspunktis a kehtib võrratus
lim(x->a astmel -) ƒ(x) ei võrdu lim(x->a astmel +) ƒ(x)
siis nimetatakse seda punkti funktsiooni ƒ hüppepunktiks (hüppekohaks)
Kui vähemalt üks ühepoolsetest piirväärtustest lim (x->a astmel -) ƒ(x) või lim (x->a astmel +) f(x) puudub või ei ole lõplik, siis nimetatakse punkti a funktsiooni ƒ teist liiki katkevuspunktiks. (Lühemalt: teist liiki katkevuspunktid on need katkevuspunktid, mis ei ole esimest liiki.)
Näited konspektis!
15. Ühepoolselt pidevate funktsioonide definitsioonid.
Funktsiooni ƒ nimetatakse vasakult pidevaks punktis a, kui
1. ƒ on määratud argumendi väärtusel a, st a X
2. eksisteerib lõplik vasakpoolne piirväärtus lim(x->a astmel -) ƒ(x)
3.lim (x->a astmel -) f(x)= f(a)
Analoogselt defineeritakse ka paremalt pidev funktsioon. Selleks tuleb definitsioonis esinev vasakpoolne piirväärtus lim(x->a astmel -) ƒ(x) asendada parempoolse piirväärtusega lim(x->a astmel +) ƒ(x).
Kui funktsioon on punktis a nii vasakult kui ka paremalt pidev, siis on ta selles punktis pidev. (joonised lk 49 konspektis!)
Vahemikus pidevad funktsioonid.
Kui funktsioon ƒ on pidev vahemikus (a;b) kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on pidev vahemikus (a;b). Vahemikus (a;b) pideva funktsiooni graafik on selle vahemiku kohal pidev joon.
Lõigul pidevad funktsioonid.
Selleks, et saavutada joone pidevust lisaks vahemikule (a;b) ka otspunktides a ja b (so tervel lõigul [a;b]) peame me nõudma funktsioonilt ka parempoolset pidevust vasakpoolses otspunktis a ja vasakpoolsest pidevust parempoolses otspunktis b.
Kui funktsioon ƒ on määratud lõigul [a;b], pidev pahemikud (a,b) ning lõigu otspunktides a ja b vastavalt praemalt ja vasakult pidev, siis öeldakse, et see funtsioon on pidev lõigul [a;b]
Elementaarfunktsioonide pidevus.
Põhilised elementaarfunktsioonid on kõigis oma määramispiirkonnas pidevad. Kuna elementaarfunktsioonid on saadud põhiliselt elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise kaudu ning nimetatud tehete puhul pidevus säilib, siis on ka kõik elementaarfunktsioonid oma määramispiirkonnas pidevad.(Näited konspektis)
16. Funktsiooni absoluutsete ekstreemumite definitsioonid lõigul.
Funktsiooni absoluutseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni absoluutseteks ekstreemumiteks.

Absoluutne maksimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f() ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f() funktsiooni f suurimaks väärtuseks lõigul [a, b].
Absoluutne miinimum - Kui leidub punkt lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f() ≤ f(x), siis nimetatakse arvu f() funktsiooni f vähimaks väärtuseks lõigul [a, b].
Funktsiooni suurima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul kõrgeim punkt
ja funktsiooni vähima väärtuse kohal on funktsiooni graafikul madalaim punkt.
17. Sõnastada lõigul pidevate funktsioonide omadused, mis on seotud tema
suurima ja vähima väärtusega. Sõnastada ja tõestada lõigul pideva funktsiooni
omadus, mis on seotud tema nullkohaga.

Lõigul pidev funktsioon saavutab oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul.

Kui funktsioon f(x) on pidev lõigul [a, b], siis on selle funktsiooni graaﬁk antud lõigu kohal pidev joon. Taolisel pideval joonel on olemas nii kõrgeim kui ka madalaim punkt. Seega on funktsioonil olemas absoluutsed ekstreemumid vaadeldaval lõigul.
Kui f ei ole pidev lõigul [a, b], siis ei tarvitse ta seal oma suurimat või vähimat väärtust saavutada.
(joonis konspektis lk 53)

Lõigul pidev funktsioon saavutab sellel lõigul iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.

Kui me tõmbame lõigu [a, b] kohal oleva pideva joone kõrgeima ja madalaima punkti vahele horisontaalsirge, siis see sirge peab antud joont kuskil lõikama.

Kui funktsioon f on pidev lõigul [a, b] ja omandab selle lõigu otspunktides erineva märgiga väärtusi, siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0.

Tõestus. Omadus 3 järeldub otseselt omadustest 1 ja 2. Kuna f on pidev lõigul [a, b], siis ta saavutab sellel lõigul oma suurima ja vähima väärtuse. Peale selle,kuna funktsioonil f on lõigu otspunktides erineva märgiga väärtused, siis on selle funktsiooni suurim väärtus positiivne ja vähim väärtus negatiivne. Teisest küljest: vastavalt omadusele 2 saavutab f iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel. Kuna antud juhul 0 jääb suurima ja vähima väärtuse vahele,siis kuskil peab vaadeldav funktsioon saavutama väärtuse 0. See tähendabki, etlõigul [a, b] leidub vähemalt üks punkt c, kus f(c) = 0.
18. Funktsiooni tuletise definitsioon. Diferentseeruva funktsiooni ja diferentseerimise mõisted. Tuletise valem funktsiooni muudu ja argumendi muudu kaudu. Tõestada, et diferentseeruv funktsioon on pidev. Tuletis kui funktsioon. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised.
Funktsiooni f tuletis punktis a on defineeritud järgmiselt:
Diferentseeruv funktsioon - Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv.
Diferentseerimine – tuletise arvutamine.
Tuletist defineeriva piirväärtuse võib kirja panna ka argumendi muudu ja
funktsiooni muudu kaudu. Olgu nii nagu ennegi:
Δx = x − a − argumendi muut kohal a ,
Δy = f(x) − f(a) − funktsiooni muut kohal a .
Siis:
.
Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev.
Tõestus. Kuna punktis a diferentseeruv funktsioon on määratud punktis a, siis on täidetud pidevuse definitsioonis (vt §2.9) toodud 1. tingimus. Jääb veel näidata 2. ja 3. tingimuse kehtivust, st tuleb tõestada, et eksisteerib ja võrdub arvuga f(a). Kuid see järeldub järgmisest võrduste reast:
.
Seega on teoreem tõestatud.
Tuletis kui funktsioon. Kui funktsioon f on diferentseeruv oma määramispiirkonna
alamhulga D kõigis punktides, siis öeldakse, et see funktsioon on diferentseeruv
hulgas D.
Olgu f diferentseeruv hulgas D. Siis igale arvule x hulgast D vastab üks
kindel reaalarv f ′(x). Seega on f ′ funktsioon, mis on määratud hulgas D.
Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi välja argumendi väärtusel x. Kui
tähistada Δx-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni
muut järgmiselt: Δy = f(x+Δx)−f(x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile
saame:
f ′(x) =
Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised.
1) C′= 0 , C − konstant
2) () = a
3) ()′ = ln a , sealhulgas ()´=
4) ()´ = , sealhulgas (lnx)´=
5) (sin x)´ = cosx
6) (cos x)′ = −sin x
7) (tan x)′ =
8) (cot x)′ = -
9) ( arcsin x)′ =
10) ( arccos x)´ = -
11) ( arctan x)´ =
12) ( arccot x)´= -
19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus
diferentsiaalide jagatisena.
Funktsiooni diferentsiaali mõiste. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f′(a) ja argumendi muudu Δx = x−a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f′(a)Δx .
Diferentsiaal sõltub seega kahest suurusest : punktist a, kus diferentsiaal on arvutatud, ja argumendi muudust Δx. Rõhutamaks neid sõltuvusi võib kirjutada dy(a,Δx).
Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena.
f′(a) =(dy)/(dx)
20. Funktsiooni tuletise arvutamise reeglid aritmeetiliste tehete korral. Tõestada korrutise reegel. Tuletada liitfunktsiooni diferentseerimise valemid.
1. (f + g)′ = f′ + g′
2. (fg)′ = f′g + fg′
3.(fg)′= (f′g−fg′)/g2
4. (Cf)′ = C′f + C f′ = 0 f + C f′ = C f′ , C − konstant,
5. (f − g)′ = [f + (−1)g]′ = f′ + [(−1)g]′ = f′ + (−1)g′ = f′ − g′
Korrutise reegli tõestus.
Valemid liitfunktsiooni diferentseerimiseks.
Olgu y =f(x) ja z = g(y) kaks diferentseeruvat funktsiooni ning olgu nendest moodustatud
liitfunktsioon z = g[f(x)].
Kuna funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y, siis kirjutades valemi üles punktis x, saame f′(x) = (dy)/(dx) . Analoogiliselt toimime ka funktsiooniga g, mille argument on y ja sõltuv muutuja z. Esitame g tuletise sõltuva muutuja ja argumendi diferentsiaalide jagatisena. Saame g′(y) = (dz)/(dy) . Viimaks avaldame ka liitfunktsiooni z = g[f(x)] tuletise tema argumendi on x ja sõltuva muutuja z diferentsiaalide jagatisena. Saame <′ = (dz)/(dx) . Kasutades neid valemeid arvutame:
21. Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem). Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine (sõnastada ja tõestada vastav teoreem).
Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x).
Kirjeldame näiteks võrrandiga
sin y − x + cos x − y = 0 (3.5)
määratud funktsiooni y = f(x) diferentseerimise protseduuri. Arvutame y′ kaudselt (otseselt on liiga keeruline). Selleks on kaks võimalust.
Esimese lähenemisviisi
korral asendame kõigepealt võrrandis (3.5) suuruse y suurusega f(x). Saame
sin[f(x)] − x + cos x − f(x) = 0 .
Arvutame tuletise
cos[f(x)] · f′(x) − 1 − sin x − f′(x) = 0
Avaldades sellest seosest f′(x) ongi meil tuletis käes:
Teine võimalus(lihtsam)
Me ei asenda võrrandis (3.5) y-it f(x)-ga,
vaid peame meeles, et y-it sisaldavad funktsioonid on liitfunktsioonid.
Arvutame:
cos y · y′ − 1 − sin x − y′= 0
Avaldades siit y′ saame
Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine
Teoreem. Olgu üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon x = g(y).
Siis kehtib valem
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f′(x) = (dy’)/(dx) .
Pöördfunktsiooni x = g(y) argument on y ja sõltuv muutuja x. Järelikult g′(y) = (dx)/(dy) . Kasutades neid valemeid arvutame:
Olemegi teoreemi tõestanud.
Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine
Teoreem: Olgu funktsioon y = f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega
Siis kehtib valem
Tõestus. Funktsiooni f argument on x ja sõltuv muutuja y. Seega f′(x) = (dy)/(dx). Funktsiooni x = φ(t) argument on t ja sõltuv muutuja x. Järelikult φ′(t) = (dx)/(dt). Analoogiliselt saame funktsiooni y = ψ(t), mille argument on t ja sõltuv muutuja y, tuletise jaoks seose
ψ′(t) = (dy)/(dt) . Kasutades neid valemeid arvutame:
Valem ongi tõestatud.
22. Joone puutuja definitsioon
Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x) (vt joonis 3.2, puutuja on seal tähistatud s-ga)
Joone y = f (x) puutuja võrrand punktis A = (a, f (a))
Punkti A = (a, b) läbiva ja tõusu p omava sirge võrrand on
y − b = p(x − a) (3.9)
Eelneva valemi põhjal avaldub puutuja s võrrand punktis A = (a, f(a)) kujul
y − f(a) = p(x − a) (3.10)
(kus p on sirge tõus)
Vaatleme nüüd piirprotsessi x → a. Kui x → a, siis P läheneb punktile A mööda joont y = f(x). Vastavalt puutuja definitsioonile läheneb lõikaja AP joone y = f(x) puutujale punktis A. Seega läheneb ka lõikaja tõus puutuja tõusule p. Järelikult, tuletise definitsiooni põhjal
(3.11)
Valemitest (3.10) ja (3.11) saamegi puutuja võrrandi
y − f(a) = f’(a)(x − a)
Joone normaalsirge definitsioon
Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
Joone y f (x) normaalsirge võrrand punktis A (a, f (a))
Normaalsirge võrrandi tuletamiseks peame arvutama tema tõusu p = tan φ
Kuna φ = α + ja tan α = f’(a), siis
(3.13)
Valemite (3.13) ja (3.9) põhjal on punkti A = (a, f(a)) läbiva normaalsirge võrrand järgmine:
Diferentseeruvuse geomeetriline sisu
Argumendi väärtusel x = a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A =(a, f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole . (Joonis 3,5 lk 68(?))

.DOC Laadi alla originaalfail 23 lk · .doc · 119 allalaadimist

10 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 10 punkti.

~ 23 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2013-09-13 Kuupäev, millal dokument üles laeti

119 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

mikk narusk Õppematerjali autor

TTÜ Matemaatilise analüüsi esimese kontrolltöö kordamisküsimused vastustega

piirväärtus võrrand graa graafik muutuja punktis a lähene piirväärtuse funktsiooni y

Sarnased õppematerjalid

doc

MATEMAATILINE ANALÜÜS I TEOORIA KONTROLLTÖÖ Küsimused vastustega

MATEMAATILINE ANALÜÜS I KONTROLLTÖÖ 1.Arvtelje mõiste- Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Reaalarvu absoluutväärtus- |a| = a kui a ≥ 0 −a kui a < 0 Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Loetleda absoluutväärtuse omadused- 1. | − a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| ≤ |a| + |b| 4. |a − b| ≥ | |a| − |b|/ Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused- Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a−ε, a+ε) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui ε, st |x − a| < ε. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse ümbrus

Matemaatiline analüüs 1

doc

Matemaatiline analüüs

Täisprogramm Selle programmi järgi saab ette valmistada teooria kontrolltööde B (so raskemateks) variantideks. Esimese kontrolltöö materjal hõlmab lõike 1 22 ja teise kontrolltöö materjal hõlmab lõike 23 - 45. Igas kontrolltöös on 5 küsimust. Üks küsimus viiest on valitud jämedas kirjas (bold face) olevate teemade hulgast. Vähemalt kaks küsimust viiest sisaldavad tõestusi, tuletuskäike või põhjendusi. Programm järgib otseselt õppejõu konspekti. Kontrolltöödes ei küsita konspektis esitatud näiteid ja väikeses kirjas olevaid osi. 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. V: Arvtelje mõiste: arvteljeks nim. sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Reaalarvu absoluutväärtus: reaalarvu a absoluutväärtuseks nim. järgmist mittenegatiivset reaalarvu. Reaalarvu a absoluutväärtust a võib tõlgendada

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs II teooria töö

1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. · Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel. · Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | · Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. o Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a - , a], kus > 0. o Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist pooll?

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs I - I teooria töö

Matemaatika analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs I KT

Matemaatiline analüüs 1. Arvtelg sirge, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Öeldu põhjal saab reaalarvud samastada sirge (arvelje) punktidega. Absoluutväärtuse mõiste reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunktivahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuste omadused: Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a ; a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-; a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x-a| < . Reaalarvu vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a-], kus >0. Arv x kuulub arvu a vasakpoolsesse

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö

Matemaatiline analüüs I kontrolltöö Punktid 1-22 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. a. Arvtelje mõiste Arvteljeks nim sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid kolme parameetrit, saab arvtelje punktidele seada vastavusse reaalarvud. Igale arvtelje punktile vastab ainult üks reaalarv ja vastupidi. b. Reaalarvu absoluutväärtus Reaalarvu absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset arvu |a|= a, kui a 0, -a, kui a<0 c. Loetleda absoluutväärtuse omadused |-a|=|a|; |ab|=|a|*|b|; |a+b||a|+|b|;|a-b||a|-|b| d. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused d.i. Reaalarvu a ümbruseks nim suvalist vahemikku (a-,a+), kus on

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 1. teooria KT

1. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| =a kui a 0; -a kui a < 0. Reaalarvu a absoluutväärtust |a| võib tõlgendada kui punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a||b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| ||a| - |b|| Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - ,a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub arvu a ümbrusesse (a-,a+) siis ja ainult siis, kui selle arvu kaugus arvteljel on arvust a väiksem kui , st |x - a| < . Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A (a,b). 2. Jäävad ja muutuvad suurused. Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suu

Matemaatiline analüüs 1

Rohkem sarnaseid