nõrk seadus) Aastad 1847-1850 1847 tegi uurimuse teemal "Integraalide leidmine logaritmide tähenduse abil" (avaldati alles peale tema surma) 1849-1853 avaldas erinevaid uurimusi numbrite teooria teemadel 1849 avaldas raamatu "Teooriate võrdlus" 1845 Bertrand väitis, et alati on n ja 2n vahel vähemalt üks arv, mis on n>3. Chebyshev tõestas Bertrand's väidet 1850 Aastad 1852-1887 1852 reisis ta Euroopas ning hakkas huvituma mehhaanikast 1854 avastas ortogonaalsed polünoomid Alates 1852 veetis ta kõik suved kas Lääne Euroopas või Tallinnas 1867 avaldas uurimuse keskmiste väärtuste teemal- Bienaymé- Chebyshevi seadus 1887 avaldas "Kahe teoreemi suhteline tõenäosus" (pani kindla põhja tõenäosusteooriale ja statistikale) Veel tegemisi: Ta genereeris beeta funktsiooni Uuris integraale vormis: xp (1 - x)q dx Koostas kaarte Ehitas arvutavaid masinaid Tegeles geomeetriliste kujundite mahtude arvutamisega Eraelu
Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) – Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tšebõtšovi polünoomid {Tk}∞k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [-1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l.
b) arkusfunktsioonid või logaritmfunktsioonid sisalduvad integreeritavas funktsioonis nad valitakse funktsiooniks u(x). 10 MURDRATSIONAALSETE FUNKTSIOONIDE INTEGREERIMINE f(x)dx = Pn(x)/ Qm(x) dx 1. Kas funktsioon on KORRAPÄRANE ( n < m ) või MITTEKORRAPÄRANE ( n m )? 2. Kui n m, siis Pn(x)/Qm(x) = Rn-m(x) + Sk(x)/Qm(x), k < m. Selle avaldise leidmiseks tuleb polünoomid Pn(x) ja Qm(x) läbi jagada. 3. Korrapärase murdratsionaalse funktsiooni lahutamine ALGMURDUDEKS: a) Leida nimetaja Qm(x) REAALSED TEGURID: x-a, (x-a)k, x2+px+q, (x2+px+q)k, q-p2/4 > 0. b) Kirjutada välja teguritele vastavad ALGMURRUD: A/ (x-a); A1/(x-a), ... , Ak / (x-a)k; (Bx+C) / (x2+px+q); (B1x+C1) / (x2+px+q), ... ,(Bkx+Ck) / (x2+px+q)k. NB! Neid on nii mitu, kui palju on ERINEVAID REAALSEID TEGUREID. NB
..) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tsebõtsovi polünoomid {Tk}k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [- 1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l
..) Tk=(x) := cos(k arccos x). Lause: Kehtib rekurrentne seos T0(x) = 1, T1(x) = x, Tk+2(x) = 2x Tk+1(x) Tk(x) Tõestus: T0(x) = cos(0) = 1, T1(x) := cos(arccos x) = x Rekurrentse seose jaoks vaatame valemit 2cos t cos ((k+1)t) = cos ((k+1)t+t) + cos ((k+1)t+t) = cos ((k+2)t) + cos kt Võtame t = arccos x ja saame cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) k-järku (k N) Tsebõsovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: (1-liiki) Tsebõtsovi polünoomid {Tk}k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [- 1, 1] kaalufunktsiooniga Vastav täielik ortonormaalne süsteem on kujul: 12.Fourier' rida trigonomeetrilise süsteemi järgi. Fourier' siiunus- ja koosinusrida. Fourier' rea komplekskuju. Fourier' rida trigonomeetrilise süsteem Funktsioonide süsteem on täielikult (kaalutufunktsiooniga w(t)=1) süsteem lõigul pikkusega 2l
asub koordinaatteljestiku Oxy II ja III veerandis. 23. Koostada kahe tükiti defineeritud funksiooni graafik! OSA 3 1. Mis on elementaarfunktsioon? Tooge 2 näidet Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni mis on koostatud elementaarsetest põhifunktsioonidest ja konstantidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsiooni moodustamise teel. Üks tähtsamaid elementaarfunktsioone on polünoom. Näited: , (mõlemad on polünoomid). Saab leida , 2. Mis on polünoom? Tooge 2 näidet! Polünoom on hulkliige, mida moodustavad üksliikmed on muutujate astmete ja konstantsete kordajate korrutised. Näited: , 3. Mis on polünoomi kordajad, aste ja juured? Tooge 2 näidet! Polünoomi üldkuju: polünoomi kordajaid tähistatakse tähega (reaalarvude kompleks) , polünoomi astmeks on arv n, polünoomi juurteks (nullkohtadeks) on need argumendi x reaal- või kompleksarvulised
Olgu u(x) ja v(x) diferentseeruvad funktsioonid hulgal X. Kuna (uv)' =
u'v + v'u, siis uv'=(uv)' u'v. eeldusel, et eksisteerib , on võimalik võtta viimase seose mõlemast
määramata integraal. Et , siis eksisteerib ka ja saame tulemuseks , kusjuures suvalise konstandi C
võtame kokku teise liidetavaga, st kahe suvalise konstandi summa on suvaline konstant. Kuna dv =
v'dx ja du = u'dx, siis eelnev seos on esitatav kujul .
Polünoomid
P(x) = a1xn + a2xn-1 + a3xn-2 + ... + b
Määratud integraal
Olgu lõigul [a; b] määratud funktsioon f(x). Vaatleme esiteks juhtu b > a. Jaotame selle lõigu punktidega xi
( i = 0; 1; 2; ...; n ) osalõikudeks [ xn-1, xi] ( i = 1; 2; ...; n ), kusjuures
a = x0 < x1 < x2 < ...
* Iga nullist erinev täisarv n on esitatav algarvude p astmete korrutisena n=(-1) (n)p1v1pkvk
* Iga kahe täisarvu a ja b>0 korral leiduvad täisarvud q ja r, et a=qb+r, kus 0<=rpolünoomid q ja r, et f=qg+r, kus r on kas
nullpolünoom(r=0) või r0 ja deg(r)
piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal- avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon- ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom- hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon- kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal- piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i = 1)
. Ratsionaalfunkts e murdratsionaalseks funkts nim kahe polünoomi jagatisena esitatavat funkts-i f(x)=Qm(x)/Pn(x) Ratsionaalfunktsiooni nim lihtmurruks , kui mn, vastasel korral aga liigmurruks Murdlineaarseks funkts nim funkts kujul a0x+a1/b0x+b1, b00 Algebraliseks funkts nim funkts y=f(x), mis rahuldab võrrandit P ( x ) y n + Q ( x ) y n -1 + ... + R ( x ) y + S ( x ) = 0 ( n N ) , kus R(x), Q(x), ... , R(x), S(x) on mingid polünoomid. Irratsionaalfunkts nim algebralist funkts-i, mis ei ole ratsionaalfunkts Funktsioone, mis ei ole algebralised nim transtsendentseteks funkts-ideks( nt trigof, ekspoent, logaritmf) Jadaks nim funktsiooni, mille määramispiirkonnaks on naturaalarvude hulk N Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu puhul saab näidata
(piirväärtus eksisteerib, siis peab see olema sama igast suunast lähenedes) 5. Mitme muutuja funktsiooni pidevus( definitsioon, näiteid pidevatest funktsioonidest) Mitme muutuja funktsioon on pidev punktis (a1,...an), kui lim f(x1;...xn)= f(a1,...an), kus (x1;...xn) → (a ,...a ) 1 n Näide: Pidevate funktsioonide summa, vahe, korrutis, jagatis, polünoomid ja liitfunktsioonid on ka pidevad. f(x,y)=arctan x/y- Pidev välja arvatud kui y=0 6. Osatuletised (definitsioon, tähistused). Geomeetriline ja füüsikaline tõlgendus. Kuidas leida osatuletisi? DEF: Tuletist, mis arvutatakse mitme muutuja funktsioonist z=f(x1;....xn) fikseeritud muutuja xi järgi, käsitledes teisi muutujaid kui konstante, nimetatakse selle funktsiooni i-ndaks osatuletiseks ja tähistatakse zi= fi(x1;....xn), i=1,2,...n
x -3 x + 3 -3 +3 0 x -3 ( x + 3) x -3 1 1 f ( x) Määramatus . Määramatus tekib lim leidmisel siis, kui lugeja ja xa g ( x ) nimetaja on vaadeldavas piirprotsessis tõkestamatult kasvavad, s.t. lim f ( x) = ja x a lim g ( x) = . Kui f ja g on polünoomid ning piirprotsessiks on x x a , siis tuleb määramatusest vabanemiseks jagada kõiki liikmeid argumendi x kõrgeima astmega murru nimetajas. 13 x 2 + 2x Näide 8. Leiame lim . x 3 - x 2
I I , kus G , ) , * , ... , IJ) , I on konstandid ja I 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis G+ ) + * + + IJ) IJ) + I I * L = G+ ) + * * ++ MJ) + M MJ) M Polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid kuuluvad elementaarfunktsioonide hulka. LIISI KINK 5 MATEMAATILINE ANALÜÜS I 6) Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Funktsiooni =
väärtus,siis võr (1) on erilahend kujul:y(x)= x e pm(x)= x e (p0 x +p1 x +...+pm), kus p0 on määramata kordaja.B f(x) on kujul :f(x)=Am(x) e ɑx cosβx+Bn(x) e ɑx sinβx. Lause:Kui �=ɑ+βi pole võr(1) kar võr lahendiks,siis leidub võr(1) erilahend y(x) kujul.y(x)=Pm(x) e ɑx cosβx+Qn(x) e ɑx sinβx,kus Pm,Qn-sama astme polünoomid kui Am,Bn.�=ɑ+βi-kordne kar väärtus ,siis võr(1) leidub lahend y kujul. y(x)= x s [Pm(x) e ɑx cosβx+Qn(x) e ɑx sinβx]. Mehaanilise võnkumise võrrand meh võnkumine on keha liikumine milles see kaldub oma tasakaaluasendist kõrvale, kord ühes, kord teises suunas. X’’+w0x=0 (w0-ringsagedus) Vabavõnkumise võrrand: d2y/dt2 +p dy/dt +qy=0, kus p=λ/Q q=k/q [k,λ-pos
igas punktis. Geomeetriline tõlgendus: Tunnus – saab joonestada graafikult nö pliiatsit tõstmata. Tingimused pidevuseks: 1) Funktsioon f(x) peab olema määratud kohal a (so f(a) peab eksisteerima). 2) F-l f(x) peab olema lõplik piirväärtus kohal a (st lim (x) f(x) peab eksisteerima). 3) Peab eksisteerima võrdus lim 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 Kõik polünoomid on kõikjal pidevad N: ruutvõrrand, kuupvõrrand 17. Funktsiooni katkevuspunktid (definitsioon). DEF. Kui funktsioon ei ole pidev kohal a, siis punkti a nimetatakse funktsiooni f(x) katkevuspunktiks. Seega on f(x) katkev kohal a, kui on täidetud vähemalt üks kolmest järgnevast tingimusest: 1) f(x) pole määratud kohal a 2) F-l f(x) ei ole lõplikku piirväärtust kohal a 3) lim 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎) 𝑥→𝑎 18
integraal on võrdne nende funktsioonide määramata integraalide vahega. 82. Ositi integreerimise valem Viimasest võrdusest saame ositi integreerimise valemi udv = uv - vdu. 83.Muutuja vahetus määramata integraalis. 84.Millist funktsiooni nimetatakse ratsionaalfunktsiooniks? Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 85.Määratud integraali mõiste 86.Millist funktsiooni nimetatakse integreeruvaks antud lõigul? Funktsioone, mis rahuldavad (DEF1) esitatud tingimusi, nimetatakse lõigul [a; b] integreeruvateks funktsioonideks. 87.Mida nimetatakse integreerimislõiguks? Mida alumiseks ja mida ülemiseks rajaks? Arve a ja b nimetatakse vastavalt integraali alumiseks ja ülemiseks rajaks
2) üldlahendid on (15.5) 3. , kus Sel juhul ja on lineaarselt sõltumatud, kuid need on kompleks muutuja funktsioonid. Moodustame nendest lineaarsed kombinatsioonid, mis on juba reaalsed funktsioonid. Kehtib Euleri valem: Seega Järelikult Et Siis y1(x) ja y2(x) on homogeense võrrandi erilahendid ning nad on lineaarselt sõltumatud. Üldlahend on (15.6) Puuudu Kui q=0, siis saame ja kui ka p=0, siis saame vaid hulkliikme . Erilahendit otsime samal kujul kui (15.7) esitatud polünoomid tundmatute kordajatega. (15.8) Kus Ja Ai ja Bi i=0,....,n on tundmatud kordajad. Astendaja s on karakteristilise võrrandi juure kordsus. Kui sellist juurt ei ole siis s=0 ja . Tundmatute kordajate leidmiseks asendatakse y* avaldis võrrandisse (15.1) ja võrdsustatakse kordajad ühesuguste funktsioonide juures mõlemal pool võrdus märke. Saadakse võrrandit tundmatutega, mis laheneb üheselt. Kui parem pool f(x) avaldis (15.7) sisaldab kas või , siis erilahendi avaldis (15
y(x) = pm(x) = (p0 + p1 + ... + pm), kus p0 on määramata kordaja. B Olgu võrrandi vabaliige f(x) kujul f(x) = Am(x)eαxcosβx + Bn(x)eαxsinβx. Lause: Kui λ = α ± βi pole võrrandi (1) karakteristliku võrrandi lahendiks, siis leidub võrrandil (1) erilahend y*(x) kujul. y*(x) = Pm(x)eαxcosβx + Qn(x)eαxsinβx, kus Pm, Qn-sama astme polünoomid kui Am,Bn.�=ɑ+βi-kordne kar väärtus ,siis võr(1) leidub lahend y kujul. y(x)=[Pm(x)cosβx+Qn(x)sinβx]. 10. Mehaanilise võnkumise võrrand. V: Keha liikumine, millesse kaldub oma tasakaaluasendist kõrvale kord ühes kord teises suunas. x'' + w02x = 0, kus w0 – ringisagedus Vabavõnkumiste võrrand: d2y/dt2 + pdy/dt + qy = 0, kus p = λ/Q; y = k/q. Sundvõnkumiste võrrand:
· Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis.
· Trigonomeetrilised funktsioonid · Arkusfunktsioonid · Konstantne funktsioon Def. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadus põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste,lahtutamiste,korrutamiste,jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid, n-astme polünoom on defineeritud avaldisega , kus on konstandid ja . Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 6. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldus, mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Def. Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x,y)=0, kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis.
Seega on g f maaramispiirkond järgmine: Xgf = {x || x Xf , f(x) Yg} Põhilised elementaarfunktsioonid: konstantne, astme, eksponent, trigonomeetrilised funktsioonid ja nende pöördfunktsioonid. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6
Absoluutselt koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. Tingimisi cos ((k+2)arccos x) = 2(cos arccos x) cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) = 2x cos ((k+1)arccos x) + cos (k arccos x) koonduva rea ümberjärjestuse koonduvus. k-järku (k € N) Tšebõšovi polünoomid on esitatavad k x k determinandina. Lause: Arvrida ∑∞ ∞ 𝑘=1 𝑎 k nimetatakse absoluutselt koonduvaks, kui rida ∑𝑘=1 |𝑎 k| koondub
liitmise, lahutamise korrutamise, jagamise) ja liitfunktsiooni moodustamise teel. 26. Defineerida polünoom ja ratsionaalfunktsioon. (lk 20) Polünoom ehk algebraline hulkliige on matemaatikas hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise, lahutamise ja/või korrutamise abil, näiteks konstantne funktsioon y = C, lineaarne funktsioon y = ax + b, ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, kuupfunktsioon y = ax3 + bx2 + cx + d on polünoomid Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis 27. Defineerida hüperboolsed trigonomeetrilised funktsioonid. (lk 20) Matemaatikas ja selle rakendustes kasutatakse palju nn hüperboolseid trigonomeetrilisi funktsioone. Nendeks on: Hüperboolsed funktsioonid on eksponentfunktsiooni abil määratletud funktsioonid, mis on analoogsed trigonomeetriliste funktsioonidega. Trigonomeetrilised funktsioonid on
mõõdistamist, kus aerofotode põhjal arvutis koostatakse maastiku digitaalne mudel ja selle põhjal transformeerib arvuti aerofoto ümber ortofotoks. Protsess toimub automaatselt. Stereoseadmeil määratakse kõigepealt aerofoto orienteerimiselemendid (6 punkti), seejärel tihendatakse ruumilist fototriangulatsiooni võrku, nii et mudeli kohta tuleb 20-30 ja rohkem punkti. Kõik arvutused tehakse arvutites ja arvuti koostab ka digitaalse mudeli jaoks vajalikud polünoomid. Stereomõõtmiste täpsus peab olema väga kõrge kuni 0,001-0,002mm ja suurendus nendes seadmetes on 4-10korda, mõningatel juhtudel ka 20 korda.
(mida asendavad muutujad) ja antakse ette seosed (võrranditena). Matemaatiline mudel koosneb võrranditest, mis kirjeldavad faktorite käitumist ja seovad muutujaid omavahel -> analüütilised eeldused -> loogilised järeldused. 3. Funktsiooni mõiste: Kui muutuja x igale väärtusele hulgas X on vastavusse seotud muutuja y väärtus, siis öeldakse, et hulgal X on määratud funktsioon. y=f(x) eeskiri; üksühene vastavus. Liigid: a) konstantne f. N. y=f(x)=7 b) polünoomid y=a0+a1x+a2x2+...+anxn n=0 konstantne f., n=1 linearne f., n=2 ruutf. (0;a0) a1-tõus c) ratsionaalf. N murrud d) mittealgebralised f. n juured, astmed, exp, log, trig. 4. Tasakaalu mõiste, turu tasakaalu mudelid (1.ja 2. ning n hüvisega) Tasakaalu mõiste- valitud üksteisega seotud mutujate väärtuste niisugune seis, et süsteemi seisund säilub. Turu tasakaalu mudelid: 1 hüvisega: 3 muutujat Qd, Qs, P eeldus Qd-Qs=0, Qd, Qs
funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- ex? cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ex ja y = cos x lõpliku arvu aritmeetiliste tehetega. Polünoom ja ratsionaalfunktsioon: Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm .? 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid: Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand,
korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x- /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an-1xn-1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm-1xm-1 + bmxm . 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul.
Analoogiliselt Fourier’ reaga võime vaadata teist Lause:(1-liiki) Tšebõtšovi polünoomid {Tk}∞k=0 moodustavad täieliku ortogonaalse süsteemi lõigul [-1, 1] 1. Eksisteerib f(xo , y0 )
moodustamise teel. Näiteid elementaarfunktsioonide kohta: elementaarfunktsioon y = 5+7 tan x− /cos x on moodustatud põhilistest elementaarfunktsioonidest y = 5, y = 7, y = tan x, y = ja y = cos x lõpliku arvu 18 aritmeetiliste tehetega; elementaarfunktsioon y = arcsin (3x) on põhiliste elementaarfunktsioonide y = 3x ja y = arcsin x liitfunktsioon; Polünoom ja ratsionaalfunktsioon. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn , kus a0, a1, a2, . . . , an−1, an on konstandid ja an ̸= 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm−1xm−1 + bmxm . 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul
OSA 4 – VÕRRAND JA VÕRRATUS ....165 OSA 6 – tähtsad funktsioonid ... 263 võrrand . ............................................ 168 polünoom . ......................................... 266 Erinevat tüüpi võrrandid .............................. 170 Omadused ...................................................267 Võrrandisüsteem ......................................... 172 Miks osutuvad polünoomid Mobiilioperaatori valimine ........................... 174 nõnda oluliseks? ........................................ 268 võrrandi teisendamine ja Nullkohad ja mugavale kujule tegurdamine ............................................. 269 lahendamine . ................................... 176
piirkonnas A, kui F `(x) = f(x) iga x A korral. Funktsiooni algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. 31. Määramata integraal - avaldist F(x) + c , kus F(x) on funktsiooni f(x) mingi algfunktsioon ja c R on suvaline konstant, nimetatakse funktsiooni f(x) määramata integraaliks. 32. Ratsionaalfunktsioon - ratsionaalfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul: y = Fn(x) / Gm(x) kus Fn(x) ja Gm(x) on n ja m järku polünoomid. 33. Polünoom - hulkliige. Lõpliku summa näol esinev matemaatiline avaldis 34. Lihtmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste (polünoomi järk) on väiksem murru nimetaja astmest ( n < m) , siis nim. seda funktsiooni lihtmurdratsionaalfunktsiooniks. 35. Liigmurdratsionaalfunktsioon - kui murru lugeja aste on suurem murru nimetaja astmest ( n > m ) on tegu liigmurdratsionaalfunktsiooniga. 36. Riemanni integraal - piirväärtust lim , 0 = lim f ( i) x i , 0 ( summa n kuni i
...................................................... 4 1.2 Matemaatilise mudeli struktuur ja sisu ................................................................................... 4 2 Funktsioonid ja nende algebra............................................................................................... 5 2.1 Funktsionaalne sõltuvus .......................................................................................................... 5 2.2 Astendamine ja polünoomid ................................................................................................... 6 2.3 Mikromajanduses kasutatavad funktsioonid .......................................................................... 7 2.3.1 Kulufunktsioon ................................................................................................................ 7 2.3.2 Tulufunktsioon.....................................................................................
konstantne funktsioon, y = xa, y = ax, y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x, y = loga x, y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x ja y = arccot x. Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis on saadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete (so liitmiste, lahutamiste, korrutamiste, jagamiste) ja liitfunktsioonide moodustamise teel. Elementaarfunktsioonide hulka kuuluvad ka polünoomid ja ratsionaalfunktsioonid. n- astme polünoom on defineeritud avaldisega P(x) = a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n) , kus a0, a1, a2, . . . , an-1, an on konstandid ja an = 0. Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis R(x) =(a0 + a1x + a2x(2) + . . . + an-1x(n-1) + anx(n)) / (b0 + b1x + b2x(2) + . . . + bm-1x(m-1) + bmx(m)) ( ) zna4it v stepeni 6. Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid. Parameetriliselt antud joone mõiste. Parameetrilisel kujul antud
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2. FUNKTSIOONID JA NENDE ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Arvud ja nende hulgad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Funktsionaalne sõltuvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Astendamine. Polünoomid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kulu-, tulu- ja kasumifunktsioon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Kasumifunktsioon lineaarse nõudlus- ja kulufunktsiooni korral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 ÜLESANNETE VASTUSED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3. VÕRRANDID . .
16) k=0 või üldisemalt ∞ X ak (x − a)k , (6.17) k=0 kus a ∈ R on fikseeritud. (Astmeridade teemas arvestame, et kehtib kokkulepe 00 = 1.) Paneme tähele, et astmerea osasummadeks on polünoomid. ∞ Kõigepealt otsime vastust küsimusele, milliste arvude x ∈ R korral rida ak xk koondub P k=0 (absoluutselt). Teisisõnu, meie eesmärk on kirjeldada hulki ( ∞
annaabi.ee 
