Astmefunktsioonid Y=X X Y Y -3 -3 -2,5 -2,5 4 -2 -2 3 -1,5 -1,5 2 -1 -1 1 -0,5 -0,5 Y 0 0 0 -4 -3 -2 -1 -1 0 1 2 3 4 0,5 0,5 1 1 -2 1,5 1,5 -3 2 2 ...
Funktsioone, mille kahanemisvahemik Funktsioone, mille kasvamisvahemik ühtib ühtib määramispiirkonnaga, nimetatakse määramispiirkonnaga, nimetatakse kasvavateks kahanevateks funktsioonideks. funktsioonideks. Paarisfunktsiooni graafik on sümeetriline y- telje suhtes. Astmefunktsioonid : Paaritu funktsiooni graafik on sümeetriline y=X^-2 ehk Y=1/X^2 kordinaatide alguspunkti suhtes. y=X^-3 ehk Y=1/X^3 Paarisfunktsioon
kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11.Ekstreemumkohad nimetatakse neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi. Maksimumkoht ekstreemumkoht, kus kasvamine läheb üle kahanemiseks. Miinimumkoht on ekstreemumkoht, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks. 12.Funktsiooni ekstreemumid funktsiooni väärtused (y) ekstreemumkohal. 13.Astmefunktsioonid nim funktsioone, mida esitab valem y=ax n , kus a=/0 ja n E R
Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N Kasutatud kirjandus: Eksaminandile matemaatika riigieksamist, REK, 2001 Valemid asuvad keskkonnas www.kool.ee Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti y = x 2n, n 0, n N
*Kahanemispiirkond maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kahaneb (tähis X) Ekstreemumkohad funktsiooni maksimum- ja miinimumkohad (tähis X e). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) Astmefunktsioonid funktsioonid, mida esitab valem y = ax(n), kus a ei tohi võrduda nulliga ja n peab olema reaalarv. *Ruutfunktsioon parabool; kuupfunktsioon hüperbool. 14. Funktsiooni graafiku teisendused 15. Pöördfunktsioon olgu hulgal X määratud funktsioon y = f (x). Kui selle funktsiooni muutumispiirkonna Y igale elemendile vastab üks ja ainult üks element x hulgast X nii, et y = f (x), siis on hulgal Y määratud funktsioon, mida nimetatakse esialge funktsiooni pöördfunktsiooniks.
ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon,
· Maksimum- ja miinimumpunkt Pmax(xmax; ymax); Pmin(xmin; ymin) · Periood f(x + T) = f(x), T periood · Paarisfunktsioon Funktsioon f(x), kui f( x) = f(x) · Paaritu funktsioon Funktsioon f(x), kui f(x) = f(x) Lineaarfunktsioon y = ax + b, a 0 ja b antud arvud Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, a 0 , b ja c antud arvud Astmefunktsioonid y = x 2n 1, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x 2n, n 0, n N y = x (2n 1), n 0, n N Juurfunktsioonid y= x; x 0 y =3 x Eksponentfunktsioon y = ax, a > 0 ja a 0 Logaritmfunktsioon y = log a x , a > 0, ja a 1, x > 0 -1 Kui f ( x ) = a x , siis f ( x ) = log a x
· Ühesed funktsioonid on funktsioonid, kus igale x-i vastab täpselt üks y-i väärtus. · Mitmesed funktsioonid on sellised funktsioonid, kus ühele x-ile vastav vähemalt kaks y-i väärtust. 5. Algebralised funktsioonid · Algebralised funktsioonid on funktsioonid, mis saadakse lõpliku arvu algebraliste tehte rakendamise teel. a. Täisratsionaalsed funktsioonid ehk astmefunktsioonid b. Murdratsionaalsed funktsioonid ehk kahe täisratsionaalse funktsiooni jagatis c. Irratsionaalsed funktsioonid ( sisaldavad lisaks eelnevale veel juurimist) d. Mittealgebralised funktsioonid Liitfunktsioon- on funktsioon, kus sõltuv muutuja y sõltub argumendist x mitme funktsiooni vaheldusel. Kui y=f(z) ja z=g(x) , seega saame liitfunktsiooni y=f(g(x)) . Liitfunktsioonil võib olla ka
Pideva funktsiooni definitsioon märk muutub vastupidiseks, siis on f kahanev hulgas D. areafunktsioonide definitsioonid (määramispiirkondi,väärtuste Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui Astmefunktsioonid hulki ja graafikuid ei küsi). 9.Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja f on määratud argumendi väärtusel , st aX y= , kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle geomeetriline sisu. Funktsiooni piirväärtuse eksisteerib lõplik piirväärtus lim ()
Defineerida kasvav ja kahanev funktsioon. (lk 6) Funktsiooni f nimetatakse kasvavaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1 < x2 järeldub f (x1) < f (x2). Funktsiooni f nimetatakse kahanevaks hulgal D ⊆ X, kui iga x1, x2 ∈ D võrratusest x1 < x2 järeldub f (x1) > f (x2). 12. Mis on astmefunktsioon? (lk 7) Astmefunktsiooniks nimetatakse funktsiooni kujul y = x α, kus α on nullist erinev reaalarv (e astendaja). Näiteks funktsioonid y = x −1 , y = √ x ja y = x 2020 on astmefunktsioonid. 13. Mis on eksponentfunktsioon? Esitada eksponentfunktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafikud. (lk 7, 13) Üldiseks eksponentfunktsiooniks ¨ nimetatakse funktsiooni kujul y = ax , kus reaalarv a täidab tingimusi a ei võrdu 1 ja a > 0. Erijuhul, kui a = e = 2,71828182845904523536028747135... (e on nn. Euleri arv), nimetatakse funktsiooni y = ex eksponentfunktsiooniks. NB! Kui 0 < a < 1, siis funktsioon on y = a x on kahanev hulgal R ja kui a > 1, siis funktsioon
Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x ja x võrratuse märk ei muutu, siis on f kasvav fulgas D. c.ii. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x ja x nii, et x< x. Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x ja x võrratuse märk muutub vastupidiseks, siis on f kahanev hulgas D. d. Astmefunktsioonid y=, kus a on nullist erinev konstantne astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkonna väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Määramispiirkond on järgmine: d.i. a=p/q, kus p,q Z ja q on paaritu. (Täisarvuliste astendajatega funktsioon) d.ii. a=p/q, kus p,q Z ja q on paaris või a on irratsionaalne arv. (Paaris juured) e
dit "antiderivative", mis on loomulikum, kui eesti keelne "integraal". Märkus 7.4 Funktsioonil f on olemas määramata integraal parajasti siis, kui sellel funktsioonil on olemas algfunktsioon. Teoreem 7.1 Igal vahemikus (a, b) pideval funktsioonil on olemas algfunktsioon selles vahemikus. 7.4 Integraal põhilistest elementaarfunkt- sioonidest Konstantne funktsioon c dx = c x + C, cR Astmefunktsioonid x+1 x dx = + C, = -1 +1 x2 1 x dx = +C dx = ln |x| + C 2 x 1 1 1 - dx = + C dx = x + C x2 x 2 x Eksponentfunktsioonid
annaabi.ee 
