Matemaatiline analüüs I KT konspekt vähendatud programm (0)

Matemaatiline analüüs I Vähendatud programm I KT
Kindlasti peab teadma :
7. Muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon - Olgu x järjestatud muutuv suurus. Arvu a nimetatakse muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε), st rahuldavad võrratust |x − a| piirväärtus, siis öeldakse, et suurus x läheneb arvule a ehk koondub arvuks a ja kirjutatakse x → a või lim x = a .
Muutuva suuruse ühepoolsete piirprotsesside definitsioonid –

• Muutuv suurus x läheneb vasakult arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku (a − ε, a]. Sellisel juhul kirjutatakse x → a−.
  
• Muutuv suurus x läheneb paremalt arvule a, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad poollõiku [a,a+ ε). Siis kirjutatakse x→ a+.
  

Jada piirväärtuse definitsioon - Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, . . . piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikese positiivse arvu ε korral saab näidata sellist jada elementi xn, millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a − ε, a + ε). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn → a või lim xn = a .
7.1 (mitte tumedas trükis)

• Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
  
• Muutuva suuruse x läheneb lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad lõpmatuse ümbrusesse (M,∞), st rahuldavad võrratust x > M. Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: x → ∞ või lim x = ∞.
  
• Muutuva suuruse x piirväärtus on miinus lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure positiivse arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-∞;-M), st rahuldavad võrratust x : x → -∞ või lim x = - ∞.
  
• Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks.
  

9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon - Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on .
Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste definitsioonid –

• Funktsioonil f on vasakpoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a−, mis rahuldab tingimust x ≠ a ja funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Vasakpoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) →b kui x→a-.
  
• Funktsioonil f on parempoolne piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x→ a+, mis rahuldab tingimust x ≠ a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on või f(x) →b kui x→a+.
  

9.1 Piirväärtuse geomeetriline sisu :Suvalises piirprotsessis x → a, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P = (x, f(x)) ühele ja samale punktile A = (a, b). Funktsiooni ühepoolsete piirväärtuste geomeetriline tõlgendus. Kui funktsioonil f(x) on vasakpoolne piirväärtus b1 ja parempoolne piirväärtus b2 punktis a, siis suvalises piirprotsessis x → a−, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P1 = (x, f(x)) punktile A1 = (a, b1) ja suvalises piirprotsessis x → a+, kus x ≠ a, läheneb funktsiooni graafiku jooksev punkt P2 = (x, f(x)) punktile A2 = (a, b2) Kui b1≠ b2, siis funktsioonil puudub piirväärtus punktis a, sest f(x) ei lähene ühele ja samale arvule suvalises piirprotsessis x → a, x ≠ a. Piirprotsessi x → a erijuhtudel x → a− ja x → a+ läheneb f(x) erinevatele arvudele.
12.Pideva funktsiooni definitsioon - Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui

• f on määratud argumendi väärtusel a, st a ∈ X,
  
• eksisteerib lõplik piirväärtus
  
• 
  

Pidev punktis a asemel võib kasutada ka sünonüüme pidev kohal a või pidev argumendi väärtusel a.
12.1 Geomeetriliselt tähendab funktsiooni pidevus joone pidevust.
15. Funktsiooni tuletise defintisioon –
15.1 Kui funktsioon f omab punktis a lõplikku tuletist, siis öeldakse et ta on selles punktis diferentseeruv . Tuletise arvutamist nim diferentseerimiseks.
+tuletised peast !
16. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon - Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f′(a) ja argumendi muudu Δx = x−a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f′(a)Δx .
16.1
19. Joone puutuja definitsioon - Olgu tasandil xy - teljestikus antud joon y = f(x) (st funktsiooni y = f(x) graafik ). Joone y = f(x) puutujaks punktis A nimetatakse tema lõikaja AP piirsirget, mis tekib punkti P lähenemisel punktile A mööda joont y = f(x).
Joone normaalsirge definitsioon - Joone y = f(x) normaalsirgeks punktis A nimetatakse sirget, mis läbib punkti A ja ristub joone y = f(x) puutujaga selles punktis.
19.1 Joone y=f(x) puutuja võrrand punktis A(a,f(a)) : y – f(a)=f’(a) Joone y=f(x) normaalsirge võrrand punktis A=(a,f(a)) :
Diferentseeruvuse geomeetriline sisu : Argumendi väärtusel x=a diferentseeruva funktsiooni graafik on punktis A=(a,f(a)) sile joon, mille puutuja tõusunurk ei ole π/2.

Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on määratud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Kasutades neid parameetreid saab punktidele teljel märkida kõik reaalarvud . Igale reaalarvule vastab arvteljel ainult üks koht ja vastupidi.
Absoluutväärtus on punkti kaugus koordinaatide alguspunktist .
|a| =a kui a ≥ 0
−a kui a Absoluutväärtuste omadused
1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |
Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused
Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist lõiku (a-ε;a+ε), kus ε>0 on ümbruse raadius. Arv x kuulub a ümbrusesse siis ja ainult siis, kui punkti x kaugus a- st on väiksem ümbruse raadiusest | x-a| 0. Arv x kuulub lõpmatuse ümbrusesse kui x>M
Suuruse miinus lõpmatus ümbrust nimetatakse suvalist vahemikku (-∞;-M ), kus M0 nii, et iga x€X korral kehtib võrdlus f(x+C)=f(x). Väiksemat sellist konstanti C nim funkt f perioodiks .
Kasvamis - ja kahanemispiirkond. Olgu funktsiooni maaramispiirkonna alamhulgas D kaks väärtust x1 ja x2, kus kehtib võrratus x1f(x2), siis on f hulgas D kahanev ja graafik langeb.
Astmefunktsioon on kujul y=xa , kus a on nullist erinev konstantne asendaja. Kui a on paaritu arv, siis  X=R ja Y=R. Kui a on paarisarv , siis X=R Y=(0; ∞). Eksponentfunktsioon on kujul ax , kus a>0 ja ei võrdu ühega. X=R ja Y=(0; ∞). Trigonomeetrilised funktsioonid on y = sin x,  y= cos x, y = tan x ja y = cot x.
y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = tan x : X = R \Y=R
y = cot x : X = R \, Y = R.
+ graafikud !

Üksühene funktsioon- Iga y korral funktsiooni väärtuste hulgast leidub x ainult nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon on kujutis, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i. Pöördfunktsiooni avaldise saab, kui avaldada funktsioon y = f(x) muutuja x suhtes. Pöördfunktsioonis vahetavad argument ja sõltuv muutuja kohad. Samuti vahetuvad muutumis - ja määramispiirkond. Kui x ja y vahetada on nad peegelpildis sirge  y=x suhtes.
Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni pöördfunktsioon.a>0, a ei tohi olla 1. Graafikud on erinevad, kui a>1 ja  1> a>0.
Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid.
y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [−0.5π;0.5π]
y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0;π]
y = arctan x : X = R, Y = [−0.5π;0.5π]
y = arccot x : X =R, Y =[0;π]
+graafikud!

Algebralised tehted funktsioonidega. Kahe sama määramispiirkonnaga funktsiooni f(x) ja g(x) nende summa on f+g y=f(x)+g(x) y=(f+g)(x). Analoogiliselt defineeritakse ka funktsioonide vahe, korrutis ja jagatis.
Liitfunktsioon :Olgu antud kaks funktsiooni: y = f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z = g(y) määramispiirkonnaga Yg. Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z =g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga g ◦ f. Seega võime kirjutada
võrduse z = (g ◦ f)(x) = g[f(x)].
Polünoom on hulkliige, mis on moodustatud muutujatest (ehk tundmatutest) liitmise , lahutamise  ja/või korrutamise abil.
Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis:
R(x) =a0 + a1x + a2x2 + . . . + an−1xn−1 + anxn
b0 + b1x + b2x2 + . . . + bm−1xm−1 + bmxm .

Analüütiliselt antud funktsioon võib olla kas ilmutatud või ilmutamata kujul. Funktsiooni y = f(x) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y = x2 − x.
Funktsiooni y = f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võrrand F(x, y) = 0 kus F on mingi x ja y sisaldav avaldis. Nt. x2 − sin y + y = 0.
Parameetriliselt antud joon. Olgu lõigul [T1, T2] antud kaks funktsiooni
x = φ(t) ja y = ψ(t). Kirjutame need funktsioonid üles süsteemina
x = φ(t)
y = ψ(t) , t ∈ [T1, T2]
See süsteem määrab iga t ∈ [T1, T2] korral ühe kindla arvupaari ehk tasandi
punkti ristkoordinaatidega (x, y) = (φ(t), ψ(t)). Üldiselt vastavad muutuja t
erinevatele väärtustele ka erinevad tasandi punktid. Kui muutuja t jookseb
läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab tasandil teatud joone.
Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat
t selle joone parameetriks.

Muutuvat suurust α nim lõpmatult väikeseks e lõpmatult kahanevaks, kui limα=0. Muutuvat suurust α nim lõpmatult kasvavaks, kui lim|α|=∞. Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos.Nimelt on nad teineteise pöördarvud.
Teoreem lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos : Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus
on lõpmatult kasvav.
Tõkestatud suuruse def. : α*β→0
10. Funktsiooni piirväärtuste omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega .
Liitfunktsiooni piirväärtuse valem:
11. Lõpmatult kahanevate suuruste võrdlemine:
1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks.
2. Kui = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul α~ β.
3. Kui = 0, siis nimetatakse suurust α kõrgemat järku lõpmatult
kahanevaks suuruseks β suhtes.
Lõpmatult kasvavate suuruste võrdlemine:
1.Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus , siis nimetatakse suurusi α ja β sama järku lõpmatult kasvavateks suurusteks.
2.Kui = 1, siis nimetatakse suurusi α ja β ekvivalentseteks lõpmatult kasvavateks
suurusteks märkides seda kujul α~ β.
13. Punkti, kus funktsioon ei ole pidev, nimetatakse selle funktsiooni katkevuspunktiks. Katkevuspunktis funktsiooni graafik katkeb. Katkevuspunkt võib paikneda näiteks väljaspool funktsiooni määramispiirkonda. Liigitus: kõrvaldatav k.p., hüppepunkt, II liiki kp.
14. . Kui leidub punkt x1 lõigult [a, b] nii, et iga teise punkti x korral samalt lõigult kehtib võrratus f(x1) ≥ f(x), siis nimetatakse arvu f(x1) funktsiooni f suurimaks väärtuseks (absoluutseks maksimumiks) lõigul [a, b].
17. Tuletiste arvutamise põhireeglid:

• (f+g)’=f’+g’
  
• (fg)’=f’g+fg’
  
• 
  
• 
  
• 
  

18. . Ilmutamata funktsiooni diferentseerimine. Olgu vaatluse all funktsioon y = f(x), mis on antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Funktsiooni f ilmutamiseks tuleb lahendada võrrand F(x, y) = 0 muutuja y suhtes. Tuletise võib arvutada otseselt, lähtudes funktsiooni määravast võrrandist F(x, y) = 0. Sealjuures tuleb aga arvestada asjaolu, et kõik y-it sisaldavad liikmed selles võrrandis on liitfunktsioonid , mille sisemiseks funktsiooniks on y = f(x).
või
Üksühese funktsiooni pöördfunktsiooni diferentseerimine. Olgu üksühese funktsiooni y=f(x) pöördfunktsioon x = g(y). Siis kehtib valem
Parameetrilise funktsiooni diferentseerimine. Olgu funktsioon y=f(x) antud parameetrilisel kujul võrranditega: