Matemaatiline analüüs I - I teooria töö (2)

1.

• Arvtelje mõiste – Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt.
  
• Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu:
  

|a| = a kui a ≥ 0
−a kui a 0 .
Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vaheline kaugus arvteljel.

• Absoluutväärtuse omadused:
  

1. | − a| = |a|
2. |ab| = |a| |b|
3. |a + b| ≤ |a| + |b|
4. |a − b| ≥ | |a| − |b| |

• Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a − ε, a + ε), kus ε > 0 on ümbruse raadius.
  
  • Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku (a − ε, a], kus ε > 0.
    
  • Reaalarvu a parempoolseks ümbruseks nimetatakse suvalist poollõiku [a, a+ε), kus ε > 0.
    
  • Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (M,∞), kus M > 0.
    
  • Suuruse miinus lõpmatus ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (−∞,−M), kus M > 0.
    
• Tõkestatud hulgad. Reaalarvudest koosnevat hulka A nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a, b) nii, et A ⊂ (a, b).
  

2.

• Jäävad ja muutuvad suurused.
  
  • Suurust, mis võib omandada erinevaid arvulisi väärtusi, nimetatakse muutuvaks suuruseks ehk muutujaks.
    
  • Suurust, mille arvuline väärtus ei muutu, nimetatakse jäävaks suuruseks.
    
• Muutumispiirkonna mõiste. Muutuva suuruse kõigi võimalike väärtuste hulka nimetatakse selle suuruse muutumispiirkonnaks.
  
• Funktsiooni mõiste. Funktsiooniks(ehk üheseks funkts) nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse suuruse y ühe kindla väärtuse.
  
  • Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks ehk argumendiks ja muutujat y sõltuvaks muutujaks.
    
• Mitmeseks funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse x igale väärtusele tema muutumispiirkonnast vastavusse teatud hulga suuruse y väärtusi, kusjuures leidub vähemalt üks x väärtus, millele vastab mitu y väärtust.
  
• Argumendi x muutumispiirkonda nimetatakse funktsiooni f määramispiirkonnaks. Hulka Y = < nimetatakse funktsiooni f väärtuste hulgaks.
  
• Funktsiooni esitusviisid.
  

1. Tabel – Funktsiooni argumendi võimalikud väärtused esitatakse tabeli ühes reas ( veerus ) ja neil vastavad funktsiooni väärtused tabeli teises reas (veerus). On võimalik vaid siis, kui funktsiooni argumendil
on lõplik arv väärtusi.
2. Analüütiline – Funktsioon esitatakse valemi kujul. Kui vaja, lisatakse ka määramispiirkonna kirjeldus.
3. Graafiline – Funktsioon esitatakse graafikuna tasandil ristkoordinaadistikus. Funktsiooni f graafiku definitsioon on järgmine: G = < .

• Graafiku omadused:
  
  • Kui f(x) > 0, siis graafik paikneb ülalpool x-telge.
    
  • Kui aga f(x) 0, siis graafik jääb x-teljest allapoole.
    
  • Kui suvaline y- teljega paralleelne sirge saab funktsiooni graafikut lõigata maksimaalselt ühes punktis, siis funktsioon on ühene.
    
  • Juhul, kui eksisteerib vähemalt üks y-teljega paralleleelne sirge lõikab funktsiooni graafikut mitmes punktis, vaadeldav funktsioon on mitmene .
    

3.

• Paaris- ja paaritud funktsioonid.
  
  • Funktsiooni f nimetatakse paarisfunktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = f(x).
    
  • Funktsiooni f nimetatakse paarituks funktsiooniks, kui iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(−x) = −f(x).
    
• Perioodilised funktsioonid. Funktsiooni f nimetatakse perioodiliseks, kui leidub konstant C > 0 nii, et iga x ∈ X korral kehtib võrdus f(x + C) = f(x). Väikseimat sellist konstanti C nimetatakse funktsiooni f perioodiks .
  
• Kasvavad ja kahanevad funktsioonid. Olgu D funktsiooni f määramispiirkonna alamhulk. Valime hulgast D kaks suvalist arvu x1 ja x2 nii, et kehtib võrratus x1 2.
  
  • Kui funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk ei muutu, st f(x1) (x2), siis on f kasvav hulgas D.
    
  • Kui aga funktsiooni f rakendamisel argumentidele x1 ja x2 võrratuse märk muutub vastupidiseks, st f(x1) > f(x2), siis on f kahanev hulgas D.
    
  • Kasvamispiirkonnas funktsiooni graafik tõuseb, kahanemispiirkonnas aga langeb.
    
• Astmefunktsioon on funktsioon järgmisel kujul y = xa, kus a on nullist erinev konstantne astendaja . Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a.
  

• Eksponentfunktsioon on funktsioon järgmisel kujul:
  

y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ̸=1
Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,∞).
Funktsioon y = ax on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 1.

• Trigonomeetrilised funktsioonid
  

y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x.
Trigonomeetriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad:
y = sin x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = cos x : X = R, Y = [−1, 1] ,
y = tan x : X = R \Y = R,
y = cot x : X = R \, Y = R.

• Graafikud . Funktsioonid y = sin x ja y = cos x on perioodilised perioodiga 2π ning y = tan x ja y = cot x perioodiga π. Funktsioonid y = sin x, y = tan x ja y = cot x on paaritud ning y = cos x paaris.
  

4.

• Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f (x). Eeldame, et ka argument x funktsiooni v¨aärtuse f (x) kaudu üheselt määratud. See tähendab, et iga y korral hulgast Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-i kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y = f (x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv.
  
• Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon. Üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i.
  
• Seosed funktsiooni ja pöördfunktsiooni vahel:
  
  • Olgu x = g(y) üksühese funktsiooni y = f(x) pöördfunktsioon. Siis funktsioonid f ja g kompenseerivad teineteist järgmises mõttes. g[f(x)] = x , f[g(y)] = y .
    
  • Funktsiooni y = f(x) ja tema pöördfunktsiooni x = g(y) graafikud kattuvad xy-teljestikus.
    
  • Kui aga pöördfunktsiooni x = g(y) avaldises muutujate x ja y kohad vahetada, st esitada ta kujul y = g(x), siis selle funktsiooni graafik peegeldub üle sirge y = x. Seega on funktsioonide y = f(x) ja y = g(x) graafikud sümmeetrilised sirge y = x suhtes
    

• Logaritmfunktsioon on eksponentfunktsiooni y = ax pöördfunktsioon x = loga y, kus a on logaritmi alus.
  

(a > 0 ja a ̸= 1 ei võrdu).
Funktsiooni y = loga x määramispiikond ja väärtuste hulk on vastavalt X = (0,∞) ja Y = R.
y = loga x graafik on y = ax graafiku peegeldus sirge y = x suhtes.

• Arkusfunktsioonid on trigonomeetriliste funktsioonide pöördfunktsioonid. Peamine probleem trigonomeetriliste funktsioonide pööramisel on see, et nad ei ole terves oma määramispiirkonnas üksühesed. Seetõttu ei ole võimalik saada neile funktsioonidele terves oma määramispiirkonnas üheseid pöördfunktsioone. Pöördfunktsiooni defineeritakse nende funktsioonide määramispiirkondade alamhulkadel.
  

arcsin [sin x] = x ja sin[arcsin y] = y, neist I iga x ∈ [−π/2, π/2] korral.
arccos [cos x] = x ja cos[arccos y] = y, neist I iga x ∈ [0, π] korral.
arctan [tan x] = x , tan[arctan y] = y , arccot [cot x] = x , cot[arccot y] = y,neist I iga x ∈ (−π/2, π/2 ) ja III iga x ∈ (0, π) korral.
Arkusfunktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised:
y = arcsin x : X = [−1, 1], Y = [−π/2,π/2] ,
y = arccos x : X = [−1, 1], Y = [0, π] ,
y = arctan x : X = R, Y = (−π/2,π/2) ,
y = arccot x : X = R, Y = (0, π) .
5)

• Algebralised tehted funktsioonidega –
  y = (f +g)(x) = f(x) + g(x)
  y = (f – g)(x) = f(x) – g(x)
  y = (fg)(x) = f(x)g(x)
  
• Liitfunktsiooni mõiste –Olgu antud kaks funktsiooni: y=f(x) määramispiirkonnaga Xf ja z=g(y) määramispiirkonnaga Yg . Asendades suuruse y funktsiooni g avaldises f(x)-ga saame uue funktsiooni, mille argumendiks on x ja sõltuvaks muutujaks z, kusjuures x ja z vaheline seos on antud kujul z=g[f(x)]. Tegemist on funktsioonide f ja g baasil defineeritud liitfunktsiooniga. Tähistame seda funktsiooni sümboliga .
  
• Liitfunktsiooni määramispiirkond –
  määramispiirkond on:
  
• Põhilised elementaarfunktsioonid – konstantne funktsioon, y=xa , y=ax , y=sin x, y=cos x , y = tan x , y = cot x, y = loga x, y= arcsin x, y= arccos x , y= arctan x ja y=arccot x.
  
• Elementaarfunktsiooni definitsioon – Elementaarfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni, mis onsaadud põhilistest elementaarfunktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise teel.
  
• Polünoom ja ratsionaalfunktsioon –
  
• n-astme polünoom on defineeritud avaldisega
  Kus a0,a1,a2,...,an-1,an on konstandid ja an≠0
  
• Ratsionaalfunktsioon on kahe polünoomi jagatis
  

• Ilmutatud ja ilmutamata funktsioonid –
  
• Funktsiooni y=f(X) ilmutatud kujuks on võrrand, mille vasakul pool on y ja paremal pool avaldis , mis võib sisaldada muutujat x, kuid mitte muutujat y. Näiteks y=x2-x.
  
• Funktsiooni y=f(x) ilmutamata kujuks on võrrand, mis sisaldab x ja y läbisegi, st võttand F(x,y)=0
  
• Parameetriliselt antud joone mõiste – Olgu lõigul [T1,T2] antud kaks funktsiooni. kirjutame need süsteemina.
  Neid võrrandeid nimetatakse selle joone parameetrilisteks võrranditeks ja muutujat t selle joone parameetriks.
  
• Parameetrilisel kujul antud funktsioon – Funktsioon y=f(x), toome sisse kolmanda muutuja t. Olgu muutuja x parameetri t funktsioon: .
  Avaldame ka muutjua y parameetri t kaudu. Seega y
  Paneme need kokku ühte süsteemi.
  Neid võrrandeid nimetatakse funktsiooni y=f(x) parameetrilisteks võrranditeks.
  

• Hüperboolsete trigonomeetriliste funktsioonide ja areafunktsioonide definitsioonid -
  
  

– hüperboolne siinus ,
– hüperboolne kosinus,
– hüperboolne tangens,
– hüperboolne kotangens
– hüperboolne seekant,
– hüperboolne koseekant
x=arsinh y – areasiinus
x=arcosh y – areakosinus
x=artanh y – areatangens
x=arcoth y - areakotangens

• Järjestatud muutuv suurus – Muutuva suuruse x kohta öeldakse, et ta on järjestatud, kui tema väärtustest on moodustatud järjestatud hulk, st hulk mille iga kahe elemendi kohta on võimalik öelda, kumb neist on eelnev ja kumb järgnev.
  
• Muutuva suuruse piirväärtus – Arvu a nim. muutuva suuruse x piirväärtuseks, kui iga kuitahes väikse pos. arvu Ɛ korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse (a-Ɛ ; a+Ɛ), st rahuldavad võrratust |x-a|M. (Taolist piirprotsessi tähistatakse järgmiselt: X∞ või limx=∞)
  
• Muutuva suuruse x piirväärtus on – lõpmatus ehk muutuv suurus x läheneb miinus lõpmatusele, kui iga kuitahes suure pos. arvu M korral saab näidata sellist suuruse x väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärtused kuuluvad miinus lõpmatuse ümbrusesse (-∞;-M), st rahuldavad võrratust x