Algarvud ja kordarvud Sisukord Sissejuhatus Algarvud ja kordarvud Arvu tegurid ja kordsed Jaguvuse tunnused arvudega 2, 3, 5 ja 10 Kordarvu lahutamine algteguriteks Ajaloolisi andmeid Arvude ühistegurid Arvude ühiskordsed Alg- ja kordarvud Jagaja arv, millega antud arv jagub Arvudel on erinev arv jagajaid: Arv 1 jagub ainult iseendaga; Arvud 2, 3, 5 ja 7 jaguvad arvuga 1 ja iseendaga; Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid neli; Arvul 24 on palju rohkem jagajaid: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24; Alg- ja kordarvud Algarv naturaalarv, mis jagub ainult kahe arvuga (arv 1 ja arv ise) Kordarv naturaalarv, millel on rohkem kui kaks jagajat Algarvude tabel koostatatud selleks, sest suuremate arvude korral on raske otsustada, kas arv on alg või kordarv; Arvu tegurid ja kordsed Arvu tegur kõik arvud, millega antud arv jagub; Nt
5 3. Algarvud ja kordarvud Vaatame, missuguste arvudega jaguvad naturaalarvud 1-st 10-ni. 1 jagub 1-ga; 2 jagub 1-ga ja 2-ga; 3 jagub 1-ga ja 3-ga; 4 jagub 1-ga, 2-ga ja 4-ga; 5 jagub 1-ga ja 5-ga; 6 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga ja 6-ga; 7 jagub 1-ga ja 7-ga; 8 jagub 1-ga, 2-ga, 4-ga ja 8-ga; 9 jagub 1-ga, 3-ga ja 9-ga; 10 jagub 1-ga, 2-ga, 5-ga ja 10-ga. Arve, millega antud arv jagub, nimetatakse selle arvu jagajateks. Näeme, et näitena toodud arvudel on erinev arv jagajaid. Arv 1 jaguneb ainult iseendaga, st tal on ainult üks jagaja. Seega ei ole ta ei alg- ega kordarv, sest tal on ainult üks tegur. Arvudel 2, 3, 5 ja 7 on kaks jagajat: arv 1 ja tema ise. Arvudel 6, 8 ja 10 on jagajaid kõige rohkem neli. Mõnel arvul võib jagajaid olla rohkemgi: näiteks arvu 24 jagajad on 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ja 24. Sellest põhjal saab öelda, et naturaalarvu, mis jagub ainult kahe arvuga (arv
Arvu b logaritmiks nim. alusel a arvu c millega alust a astendades saadake arv b. _______________________________ =b log a b | b > 0, sest neg. arvudel ja arvul 0 ei ole logaritmi. a>0 a 0 =b _______________________________ Korrutis: log a(b1 * b2 ) = loga b1 + loga b2 Jagatis: log a(b1/b2) = loga b1 loga b2 Aste: = k * loga b _______________________________ Üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele = b Graafiku asümptoot sirge, millele funktsioon graafik tõkestamatult läheneb.
Kui avaldises on sulud, siis teeme esmalt sulgudes olevad tehted. 9. Kuidas leida tõenäosust? Selleks, et leida tõenäosust tuleb soodsate võimaluste arv jagada kõigi võimaluste arvuga. 10. Kuidas koostada sagedustabelit? Koostada tuleb tabel, kus on 3 tulpa. Esimeses tulbas on andmed, teises tulbas sagedus ja kolmandas tulbas suhteline sagedus. Suhtelise sageduse leidmiseks tuleb sagedus jagada objektide koguarvuga. 11. Mis on arvu ruutjuur? Miks negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur? Ruutjuureks antud positiivsest arvust nimetatakse niisugust positiivset arvu, mille ruut võrdub antud arvuga. Mittenegatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Mittenegatiivse arvu ja positiivse arvu jagatise ruutjuur võrdub jagatava ruutjuure ning jagaja ruutjuure jagatisega. Negatiivsetel arvudel puudub ruutjuur, sest pole arvu, mille ruut oleks negatiivne. 12. Kuidas lahendada lineaarvõrrandit?
LOGARITM Arvu N logaritmiks alusel a nimetatakse arvu r, millega alust a astendades saadakse arv N logaN=r ar = N N logaritmitav (negatiivsetel arvudel ja arvul 0 puudub logaritm) a - logaritmi alus ( a>0 ja a 1 ) r - arvu N logaritm alusel a Logaritmi omadused: logaa = 1 loga1 = 0 alog a N = N a2log a N = ( alog a N)2=N2 a2+log a N =a2alog a N =a2N a2-log a N= a2 : (alog a N)= a2 : N a-log a N= N-1 Kümnendlogaritm Logaritmi aluseks on arv 10, mida ei kirjutata logN (log10N) Naturaallogaritm
aastal Pisa nimelises linnas . Teda on nimetatud üheks keskaja suurimaks matemaatikuks , tahate teada miks ? No eks seda saame lähimas kontektis teada kohe . Ta oli üks esimesi , kes tutvustas maailmale Hindu-Araabia numbrisüsteemi , mida me tänapäevalgi kasutame , ta leidis numbrites omaduse mida hakati 19 , sajandil nimetama ka tema nime järgi ( Fibonacci jada ) . Fibonacci numbrid on tihedalt seotud Kuldlõikega . Kõrvuti asuvatel Fibonacci arvudel on kindlad vastastikused suhted. Fibonacci arvude reas suvaliselt valitud arvule eelnev arv on alati ca 0.618 korda väiksem ning arvule järgnev arv on 1.618 korda suurem. Kõige lihtsamini arusaadav seos väljendub selles, et kui jagada kahte järjestikust fibonacci numbrit, siis saadakse järjest lähenev number kuldlõike suhtega . Mis on Kuldlõige ? Kuldlõige on irratsionaalne matemaatiline konstant. Kui väga
See mõjutas kõige rohkem Danieli isa, sest ka tema vanaisal oli olnud see sama haigus ning mees oli selle pärast oma pere hüljanud, et mitte liigseks koormaks olla. Danieli isa hoidis poissi väga, veidi isegi rohkem kui pere teisi lapsi, kes olid kõik tavalised ja terved. Danieli elu muutus, kui ta sai veidi suuremaks ning sai aru oma andest. Vanemad aitasid ta andele kaasa ostes talle erinevaid raamatuid. Tal on oskus näha numberid erinevate ,,iseloomudega". Kõigil arvudel on oma kuju, värv ja suurus. Mõni tundub talle sümpaatne, mõni tekitab hirmu. Kui talle antakse matemaatiline ülesanne, ei lähtu tema arvudest nii nagu meie neid näeme, vaid kahest või mitmest erinevast kujust tekib ta ajus uus kuju, mis ongi vastuseks. Danieli vanemad olid mõlemad väga mõistvad ja toetavad. Kui poeg otsustas minna Leetu, teadsid vanemad, et see on talle kohutavalt raske, kuid siiski lubasid tal minna ja isegi julgustasid teda minekul
19. saj. nimetama Fibonacci jadaks.Tegemist on lihtsa ja loogilise jadaga, kus liigen on kahe eelneva arvu summa. Fibonacci jada defineeritakse rekurrentse seosega. Fibonacci jada võib kohata ka looduses, nt. taimede ehituses, seda seetõttu, et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt ja kahe kohakuti asetseva lehe vahel on tihti Fibonacci arv lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhul.Fibonacci jada on tihedalt seotud kuldlõikega.Kõrvuti asuvatel arvudel on kindlad vastastikused suhted.Fibonacci jadast suvaliselt valitud arvule eelnev arv on alati ca 0,618 korda väiksem ning valitud arvule järgnev arv on alati 1,618 korda suurem.Kõige lihtsam seos väljendub selles, et kui jagada kahte järjestikulist arvu, siis saadakse järjest lähenev arv kuldlõike suhtega. Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev
Kaks positiivset arvu a ja b on kuldlõikes , kui See võrrand defineerib üheselt . Parempoolne võrrand näitab, et a = b, ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades Taandades b, saame tulemuseks Võrrandi mõlema poole korrutamine -ga ning liikmete ümberpaigutamine annab: 2 - - 1 = 0. Selle ruutvõrrandi ainus positiivne lahend on FIBONACCI SIDE KULDLÕIKEGA Fibonacci numbrid on tihedalt seotud kuldlõikega. Kõrvuti asuvatel Fibonacci arvudel on kindlad vastastikused suhted. Fibonacci arvude reas suvaliselt valitud arvule eelnev arv on alati ca 0.618 korda väiksem ning arvule järgnev arv on 1.618 korda suurem. Kõige lihtsamini arusaadav seos väljendub selles, et kui jagada kahte järjestikust fibonacci numbrit, siis saadakse järjest lähenev number kuldlõike suhtega. Fibonacci jada liikme jagatis
n siis nimetatakse vastavat logaritmi naturaal- ehk loomulikuks logaritmiks ja tähistatakse ln x. Näited ln 20 = 2,9957... ln e = 1 / 2, sest e1/ 2 = e algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused 1. a log a x = x Sealhulgas e ln x = x, 10log x = x : 2. Logaritmid eksisteerivad vaid positiivsetel arvudel (logaritmfunktsiooni määramispiirkonnaks on positiivsete reaalarvude hulk). 3. log a xy = log a x + log a y x 4. log a = log a x - log a y y 5. log a x n = n log a x 7. log a 1 = 0 1 6. log a n x = log a x 8. log a a = 1 n algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Logaritmi omadused
välja arvatud kümnendmurru alguses olevad nullid ehk avanullid. Tüvenumbrid moodustavad arvu tüve. Niisiis, tüvenumbrid algavad alati nullist erineva numbriga. Viimasele tüvenumbrile vastav kümnendjärk määrab ligikaudse arvu vea ülemmäära. Arvu tüvenumbrid ei muutu siis, kui: **muuta koma asukohta arvus **korrutada arvu 10 mingi astmega **jagada arvu 10 mingi astmega Näiteks: arvudel 30,17; 3,017; 0,030017; ja 3017 on ühed ja samad tüvenumbrid. Need on 3 - 0 - 1 - 7 (kolm - null - üks - seitse). Ligikaudse arvu murdosa lõpust ei tohi nulle lihtsalt ära jätta. Näiteks: kui arv 20,4032 on antud sajandiku täpsusega, tuleb see kirjutada sajandikeni ümardatult 20,40. Kui selle asemel oleksime kirjutanud arvu 20,4, siis selle vea ülemmääraks oleks üks kümnendik, mitte üks sajandik. Näiteid: ARV TÜVENUMBRID VEA ÜLEMMÄÄR 3,09
121393, fffffffffffffrtrgEEsimesed fibonacci arvud on 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 177ff11, 28657, 46368, 75025, 121393, ... simesed fibonacci arvud on 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, ... Fibonacci side kuldlõikega Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega. Kõrvuti asuvatel Fibonacci arvudel on kindlad vastastikused suhted. Fibonacci arvude reas on suvaliselt valitud arvule eelnev arv on alati ca 0,618 korda et kui jagada kahte järjestikust fibonacci numbrit, siis saadakse järjest lähenev number kuldlõike suhtega. Kuldne lõige tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et surem osa oleks lõigu selle väiksema osa keskmine võrdeline . Seda suhet saab väljendada matemaatilise konstandiga fii, mis on irratsionaalarv järgmise ligikaudse väärtusega: 1,618033987
• Abielu kaitsja Hera • Merejumal Poseidon • Valgusejumal (ka Päikesejumal) Apollon • Loodusejumal Artemis • Armastusejumalanna Aphrodite • Sõjajumal Ares • Sõjajumalanna Athena • Veinijumal Dionysos • Jumalate kummardamiseks ehitati suuri templeid • Korraldati ohverdus- ja annetustalitusi • Usuti saatust ja ennustusi • Delfi oraakel FILOSOOFIA • Ehk tarkuseteadus • Miks me oleme ja miks me elame? • Pythagoras • Matemaatik • Maailm põhineb arvudel • Pythagorase teoreem • Hippokrates • Arst, arstiteadusele alusepanija • Haiguse põhjus peitub looduses, loodus annab ka ravi • Hippokratese vanne • Sokrates • Esimene tõeline filosoof • „Miks ma tean, et ma midagi ei tea“ • Tuleb teada, mis on õige, siis ei saa teha valesti • Tülid teiste Ateena „tarkadega“ • Platon • Sokratese õpilane, esimese kooli (akadeemia) rajaja
Õpihimuline Johannes tahtis õppida ülikoolis arstiks. Soovituskirja saamiseks võttis Faber kasutusele äärmuslikud meetmed ta varastas doktorile laiba, mida too vajas teaduslike uuringute tegemisel. Pärast ülikooli tutvus Johannes Prokopius Levy'ga, kellega seoses olid Faber'il esimesed kokkupuuted alkeemiaga. Faber'it huvitas kuidas loodus toimib see jäi talle elu lõpuni saladuseks. Ta tegeles ka astroloogiaga ennustas tähtede seisu järgi. Ta uskus, et arvudel on maagiline jõud ning asus Padovas matemaatikat õppima. Peagi kutsuti Johannest Veneetsiasse, Arnulfo Dandolini ihuarstiks. Oli ilmselge, et Dandoini kutsus Faberit Veneetsiasse kui alkeemikut, mitte kui arsti. Pärast Dandolini surma suundus Johannes Viini. Ta kohtus Viinis krahv Aloysius von Drachenheimiga, kes Johannese Rumeeniasse enda teenistusse kutsus. Drachenheim'i lossis elades sai Johannes aru, et seal tegeletakse musta maagiaga ning pöördus tagasi Viini
element on kahe eelmise summa. Ajaloost. Jada vôttis esmakordselt kasutusele Leonardo Fibonacci (Pisano = Pisast). Ta elas XIII ja XIV sajandi vahetusel. Tema "Arvutamise raamatus" on kuulus küülikute paljunemise ülesanne: Mitu küülikupaari tekib ühest paarist aasta jooksul, kui (1) iga paar annab ühes kuus ühe paari järeltulijaid, (2) iga uus paar saab suguküpseks ühekuuseks saamisel, (3) küülikud ei sure kunagi? Selle ülesande lahendamine viib Fibonacci arvudeni. Fibonacci arvudel on teadusajaloos tähtis koht. Muu hulgas on nad aparatuuriks algoritmide keerukuse hindamisel. Fibonacci arvude iteratiivne algoritm Fibo(n) leidmiseks: IF (N = 0) OR (N = 1) THEN Fibo := N Eelmine := 0 Järgmine := 1 FOR I := 2 TO N Abi := Eelmine Eelmine := Järgmine Järgmine := Abi + Eelmine END FOR Fibo := Järgmine Rekursiivne definitsioon: ¦ n, kui n = 0 vôi n = 1 Fibo(n) = ¦ Fibo(n - 2) + Fibo(n - 1), kui n > 1 Protsess n = 5 puhul:
Tõlkida võiks seda kui ammendamatu piiramatu lõputus.) Kuidas kõik apeirnonist sündis? Anaximandrose arvates eraldusid kõige pealt soe ja külm, vedel ja tahke, nende kombinatsioonidest tekkis maailm-kosmos. Soe külm TULI VESI ÕHK MAA vedel tahke Anaximenes: (6. saj eKr) õhk (udu) Pythagoras: (6. saj eKr) asjade olemus põhineb arvudel, sest kõike saab mõõta ja esitada arvude suhtena. Arvud on meeltega tajutavast maailmast sõltumatud. Herakleitos: (6.-5. saj eKr) ürgalge tuli (soojus) LOGOS - kõik muutused toimuvad teatud seaduspärasustega, mida Herakleitos nimetas logoseks. Logos ilmneb vastandite kaudu, mille vahel on võitlus. Herakleitos väitis, et kõik siin maailmas on pidevas muutumises, liikumises ja arenemises, paigalseis on meelepete.
Ühe katoliku vaimulike vahendusel sai ta Savoias tuttavaks katoliku usku pööranud proua de Warens'iga, kes oli mõned aastad talle ema eest, seejärel armukeseks ning kes mõjutas teda tugevalt, õpetades Rousseau'd kirjutama korrektses prantsuse keeles. Ka Rousseau läks üle katoliku usku. Olles vahelduvalt nii kodu- kui muusikaõpetaja, tegeles Rousseau sel ajal intensiivselt kirjanduse, teoloogia, filosoofia ja muusikaga. Ta komponeeris ja arendas välja arvudel põhineva noodikirja. 1742. aastal läks ta Pariisi, kus ta tutvus Denis Diderot'ga ja entsüklopedistidega. Ta koostas entsüklopeedia jaoks hulgaliselt artikleid muusika kohta. Alates 1745. aastast elas ta koos Therese Levasseuriga, nende ühised lapsed andis Rousseau laste varjupaika. Aastal 1750 sai ta Dijoni Akadeemia poolt auhinnatud esseega ,,Arutlus teadustest ja kunstidest" üleöö kuulsaks. Viis aastat hiljem järgnes teine filosoofiline teos ,,Arutlus
11.-12. sajand on Euroopa kultuurilise ärkamise ajajärk Välja on kujunenud Euroopa rahvad ja keeled Eurooplasi ühendab ristiusk Jätkuvad vallutus- ja kodusõjad, kuid riigipiirid on stabiilsemad Ristisõjad Linnad, kloostrid, ülikoolid Gooti stiilis katedraalid MAAILMAPILT Segunevad ratsionaalsus ja müstika: Võrdväärsed teadused on teoloogia, matemaatika, grammatika, astronoomia, astroloogia, alkeemia. Arvudel ja värvidel on maagilised ja sakraalsed (religiooniga seotud) tähendused. Sümbolite, unenägude, ilmutuste, ennustuste tähtsus. kirjasõna 1) vaimulik kirjasõna kloostrites; pühakute elulood, imeteod, jutlused 2) ilmalik kirjasõna rahvaeepika (Euroopa äärealadel, kus kristluse mõju kõige väiksem) (nt Ossiani kangelaslaulud, ,, Vanem Edda" ,saagad e sugukonnakroonikad) RÜÜTLIELU REEGLID 11. ja 12. sajandil
b
1) kui on antud a ja b, siis c=a
b
2) kui on antud b ja c, siis a=c
b
3) kui on antud a ja c, siis b=loga
a-logaritmi alus
b-logaritmitav
c-arvu b logaritm alusel a
Antud arvu logaritmiks antud alusel nimetatakse astendajat, millega tuleb astendada antud
alust, et saada antud arv.
Naturaallogaritm- logaritmi aluseks on arv e.
Negatiivsetel arvudel ja 0 puudub logaritm. Logaritmi alus a on 0
oletustele. Empiirilised andmed on sellised, mida saab arvuliselt mõõta ja loendada. Viimasega 2 probleemi: andmete usaldatavus ja uurimismeetodite kehtivus. Valim on väljavõte huvipakkuva elanikkonna hulgast. Iga teadlase kohus on teha oma uurimismaterjalid kolleegidele kättesaadavaks. Kvantitatiivsed uuringud on eelkõige kirjallikud. Kvalitatiivsed uuringud baseeruvad peamiselt sõnalistel kirjeldustel, mitte arvudel. Sotsioloogia peab arvestama makrotasandi sotsiaalse organisatsiooni ja mikrotasnadil olevate indiviidide elukorraldusviiside vastastikust mõju, kuid alles hiljaaegu on hakatud looma teooriaid ja uurimismeetodeid, mis püüavad ühendada neid kahte tasandit. Uurimistöö läbiviimine: 1. hüpoteeside püstitamine 2. sobiva ajalise ja meetodilise raamistiku valik 3. andmete kogumine 4. tulemuste analüüs 5
2. Püstitada mõõdetavad eesmärgid. 3. Kavandada strateegia eesmärkide saavutamiseks. 4. Viia strateegia ellu. 4 5. Hinnata tulemusi, vaadata üle tegevuskeskkonnas ja konkurentitingimustes toimunud muutused. 5 2. KVALITATIIVNE UURIMISVIIS Ettevõtlus ja majandusuuringutes kasutatakse kvalitatiivset uurimismeetodit, mis on oma olemuselt induktiivne ja uuriv, on arvudel mittepõhinev interpretatsioon ja tõlgendus uurimistulemustest. Kvalitatiivsed uurimismeetodid: 1. eesmärk on saada terviklikku empiirilist andmestikku arvestades kvaliteete ja detaile; 2. uurimismaterjali kogumisel kasutatakse andmekogumismeetodeid nagu osavõttev vaatlus, vaba intervjuu avatud küsimustega, rühmavestlus ja autobiograafiate analüüsi, dokumentide analüüsi, audiovisuaalseid andmeid, teksti- ja piltide analüüsi; 3
• Teine komplement – esimese komplemendi tulemile liidetakse üks. 11. Märgiga binaararvud – leia negatiivne kuju 4 bitiste, 8 bitiste või 16 bitiste arvude korral. • Lahutame vaadeldava arvu täisarvust ja liidame ühe. Täisarvuks loeme vastavalt kas F, FF, FFFF, FFFFFFFF jne. 12. Milleks kasutatakse ASCII ja EBCDIC tabeleid? Tähemärkidele ja sümbolitele arvväärtuse andmist 13. Milline eelis on ujukoma arvudel võrreldes fikskoma arvudega? Saab esitada väga suuri või väga väikseid arve mõistlikumalt. 14. Liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine kahendsüsteemis ning liitmine, lahutamine ja korrutamine kuueteistkümnend süsteemis. Liitmine, 1+1 = 1 + carry bit Suuremast arvust väiksem: 1) Väiksem ehk teine number sama pikaks kui esimene. 2) Leia väiksema arvu teine täiend: 1) I täiend – 0->1 ja 1->0, 2) II täiend – liidame I täiendile 1.
Universumi paisumine ei ole relatiivsusteooriaga vastuolus, sest viimane keelab ainult valguse kiirust ületavat liikumist ruumis, mitte ruumi enda paisumist, mis valguse kiirust ületab. Praegu vaadeldavale universumile vastav piirkond pidi sealjuures teooria kohaselt paisuma prootoni diameetrist palju väiksemalt diameetrilt umbes kreeka pähkli läbimõõduni. Aeg, millal see sündmus pidi aset leidma, ning laienemistegur on konstrueeritud nii, et kosmoloogiline tervikpilt klapiks. Neil arvudel puudub sõltumatu kinnitus. Inflatsiooniline faas on seletuseks mitmele kosmoloogilisele vaatlusele, millel muud seletust pole, nimelt · kosmose homogeensus (horisondi probleem) · suuremastaabilised struktuurid kosmoses (galaktikad, galaktikate parved) · ruumi väike kõverus (lameduse probleem) · tõsiasi, et pole vaadeldud magnetilisi monopole Kvarkide periood Pärast 1033 s langes temperatuur 1025 kelvinile. Moodustusid tänapäeva raskete osakeste
sest viimane keelab ainult valguse kiirust ületavat liikumist ruumis, mitte ruumi enda paisumist, mis valguse kiirust ületab. Praegu vaadeldavale universumile vastav piirkond pidi sealjuures teooria kohaselt paisuma prootoni diameetrist palju väiksemalt diameetrilt umbes kreeka pähkli läbimõõduni. Aeg, millal see sündmus pidi aset leidma, ning laienemistegur on konstrueeritud nii, et kosmoloogiline tervikpilt klapiks. Neil arvudel puudub sõltumatu kinnitus. Inflatsiooniline faas on seletuseks mitmele kosmoloogilisele vaatlusele, millel muud seletust pole, nimelt kosmose homogeensus (horisondi probleem) suuremastaabilised struktuurid kosmoses (galaktikad, galaktikate parved) ruumi väike kõverus (lameduse probleem) tõsiasi, et pole vaadeldud magnetilisi monopole 1.3 Kvarkide periood Pärast 10-33 s langes temperatuur 1025 kelvinile
põlvedele erakordselt suurt mõju. Hilisemal antiikajal ja eriti keskajal tunti kreeka klassikalist kultuuripärandit suurel määral just tema tööde kaudu. 2 Filosoofiast eralduvad konkreetsed teadusharud. Matemaatik Phytagoras (kellelt pärineb ka meile kõigile tuntud teoreem täisnurkse kolmnurga kaatetite ja hüpotenuusi vahekorrast (mingi porno vä?): c2=a2+b2) arvas, et kõik põhineb arvudel. Meditsiinist on tuntud Hippokratese vanne, mis kohustab arste igas olukorras ennastohverdavalt võitlema patsientide elu ja tervise eest. Sellest perioodist pärineb ka ajalookirjutiste algus, kui Herodotos, ajaloo isa, pani kirja esimese sellelaadse teose "Historia". HELLENISMIPERIOOD ptk. 20 lk. (141-146) 4. saj keskel eKr tugevneb Balkani poolsaare põhja osas kreeklaste sugulasrahva makedoonlaste riik. Nad austasid kreeka kultuuri ja võtsid selle eneste jaoks üle
Selle juures oli tähtis ka teadmine. Üksnes teadmine võimaldas voorust mõista. Platon (427-347 eKr). Oli Sokratese õpilane. Rajab Ateena lähedale filosoofiakooli Akadeemia. Temalt pärineb ka õpetus ideaalsest riigist. Erinevalt Sokratesest kirjutab palju. Aristoteles (384-322 eKr). Oli Platoni õpilane. Oli Makedoonia Aleksandri õpilane 4 aastat. Tema õpetuse puhul on tähtis mateeria ja olemus ehk vorm. Matemaatik Phytagoras arvas, et kõik põhineb arvudel. Meditsiinist on tuntud Hippokratese vanne, mis kohustab arste igas olukorras ennastohverdavalt võitlema patsientide elu ja tervise eest. Sellest perioodist pärineb ka ajalookirjutiste algus, kui Herodotos, ajaloo isa, pani kirja esimese sellelaadse teose "Historia". HELLENISMIPERIOOD 4. saj keskel eKr tugevneb Balkani poolsaare põhja osas kreeklaste sugulasrahva makedoonlaste riik. Philippos II (valitses 359-336 eKr). Tema ajal sai Makedoonia omale väga tugeva sõjaväe
kanti ette keelpilli saatel, tuntumad lüürikud olid Solon ja Pindaros;näitekirjanduses komöödiad, tragöödiad. Teater sai alguse Dionysosese pidustusest, näitlejateks koor, 1-3 näitlejat(m);teatri põhiplaan oli hobuseraua kujuline, orkestra oli koori jaoks, skeene-puust lavakonstrukt. nt Sophokles tragöödia ,,Kuningas Oidipus". Filosoofia ja teadus: Kreeka on filosoofia kodumaa. Kreekas hakati juurdlema maailma probl. üle. Matem-Pythagoras, kelle arust põhines maailmakorraldus arvudel, matem. põhines loogilistel üldistustel;Arstiteadus- seotud vaatlusel põhinevate konkreetsete tähelepanukutega ja igapäevase elu vajadustega, Hippokratese teos sisald. haiguste sümptomeid, looduslik seletus, 4 ihumahla organis-vere, lima, musta ja valge sapi vahekord;Ajalooteadus-Herodotose ,,Historia"-Kreeka-Pärsia sõjad ja ajalugu. Kreeka sofistid:kujunes 5 saj. eKr, kus hakati elufilosoofias trad. tõekspidamisi vaidlustama. Kõik on suhteline
Johannes oli otsustanud ette võtta tee rändava arstina, sest ta oli oma raamatu müümise Sefer Jetsirah- eest saanud mitmeid arstirohtusid. Teel hüppas ta läbi Viinist, kus elas tema ammune sõber ja astroloog Georg. Nad rääkisid pikalt ja laialt horoskoopidest ja sellest, kuidas tähed inimese elu mõjutavad. Peale seda asus Johannes edasi Itaalia poole. Ta asus õppima Padovasse. Ta õppis kõrvalt ka matemaatikat. Ta arvas ,et paaritutel arvudel on mingi maagiline jõud, nagu 13, 31, 17. Ta kirjutas neist isegi traktaadi. Ta käis oma õpetajaga haigeid külastamas ja avastas, et rohtude andmine ei olenenud haiguse olemusest, vaid kui rikas või vaene oli patsient. Mida vaesem , seda lihtsam oli rohi. Mida rikkam, seda väärtuslikum. Kuid ellu jäid siiski ainult vaesed. IX 3 ülikooli Köln, Erfurt ja Leipzig- pakkusid Johannesele õpetajana tööd. Johannest huvitasid küll ülikoolid, kuid mitte õpetajana vaid edasi õpilasena
vastuolus, sest viimane keelab ainult valguse kiirust ületatavat liikumist ruumis, mitte ruumi enda paisumist, mis valguse kiirust ületab. Praegu vaadeldavale universumile vastav piirkond pidi seljuures teooria kohaselt paisuma prootoni diameetrist plaju väiksemalt diameetrilt umbes kreeka pähkli läbimõõduni. Aeg, millal see sündmus pidi aset leidma, ning laienemistegur on konstrueeritud nii, et kosmoloogiline tervikpilt klapiks. Neil arvudel puudub sõltumatu kinnitus. Inflatsiooniline faas on seletuseks mitmele kosmoloogilisele vaatlusele, millel muud seletust pole, nimelt: · kosmose homogeensus (horisondi probleem) · suuremastaabilised struktuurid kosmoses (galaktikad, galaktikate parved) · ruumi väike kõverus (lameduse probleem) · tõsiasi, et pole vaadeldud magnetilisi monopole '' (Suur Pauk 2010). `' Enamik sellest, mida me teame või usume end teadvat Universumi alghetkeist, võgneb
me küsitleda ainult 30-aastaseid kontoris töötavaid mehi. Uurimistulemuste ja kasutatud metodoloogia kirjelduse avaldamine on oluline selleks, et soovi korral saaks teostada kordusuuringuid. 5. Kvalitatiivsed ja kvantitatiivsed uurimismeetodid Sotsioloogilised uuringud jagunevad kvalitatiivseteks ja kvantitatiivseteks. Kvantitatiivsed meetodid on arvulistele andmetele tuginevad. Kvalitatiivsed uuringud baseeruvad peamiselt sõnalisel kirjeldamisel, mitte arvudel. Sageli on kvantitatiivseid meetodeid peetud ,,kõvemateks" ja tõsisemaks, teaduslikemaks, kuna need meetodid võimaldavad kirjeldada matemaatiliselt välja arvutatud statistilisi seoseid, tõenäosuseid jne. Tegelikkuses valitakse uurimismeetodid eelkõige lähtuvalt uurija küsimusest, millele ta soovib vastust saada. Sõltuvalt sellest valitakse ka meetod, mida kasutada. 6. Levinumad uurimismeetodid ja nende kasutamine (longituuduuring, kusitlus,
S iis võime kirj utada, et n= 2*k+ 1 j a s eega n 2 = ( 2 * k + 1 )2 = 4 * k 2 + 4 * k + 1 = 4 * ( k 2 + k ) + 1 , paaritu arv, mis on vas tuolus mei e eeldus ega et n 2 on paaris arv. S eega peab n olema paaris arv. Teoreem: 2 on irrats ionaa larv Tões tus : O leta me vas tuväitelis e lt, et 2 ei ole irrats ionaalarv. S iis on 2 ras tionaalarv j a es itatav kahe täis arvu m j a n jagatis ena m 2= , n kus täis arvudel m j a n pole ühis tegureid. Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 = m 2 S eega m 2 on paaris arv j a eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 = 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 = 2* k 2 ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s aime et n ja m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga. S ee on aga vas tuolu tehtud eeldus ega et m ja n ei oma ühis t nime taj at
Sõltumatute suuruste korrutise ja jagatise suhteline viga on 2 2 ∆A ∆B δ× = + = δA 2 + δB 2 (12) A B Astendamisel ei eksisteeri sõltumatut viga. Astendamine on arvu korrutamine iseendaga, mis- tõttu on korrutatavatel arvudel ühised vead ja astendamisel saab olla vaid sõltuv viga. Korduvmõõtmised Korduvmõõtmiste tulemuseks on mõõdetud suuruse aritmeetiline keskmine (1). Korduvad mõõtmised on sõltumatud. Seega on aritmeetilise keskmise viga üksikute mõõtmiste vigade ruutsumma. Viimane on aga väiksem vigade summast, võimaldades eksperimendi kordamisega vähendada tulemuse viga. Kuna valemid on selgitusest asjalikumad, siis toon ära ka tõestuse.
S iis võime kirj utada, et n= 2*k+ 1 j a s eega n 2 ( 2 * k 1 )2 4 * k 2 4 * k 1 4 * ( k 2 k ) 1 , paaritu arv, mis on vas tuolus mei e eeldus ega et n 2 on paaris arv. S eega peab n ole ma paaris arv. Teoreem: 2 on irrats ionaa larv Tões tus : O leta me vas tuväitelis e lt, et 2 ei ole irrats ionaa larv. S iis on 2 ras tionaalarv j a es itatav kahe täis arvu m j a n j agatis ena m 2 , n kus täis arvudel m j a n pole ühis tegureid. Võta me eelneva s eos e ruutu s aame 2* n 2 m 2 S eega m 2 on paaris arv ja eelneva teoreemi tõttu on ka m paaris arv ehk m= 2*k. Kokku s aame 2 * n 2 4 * k 2 J agades viimas t avaldis t 2-ga saa me n 2 2* k 2ehk n 2 on paaris arv. Eelmis e teoree mi tõttu on ka n paaris arv. K okkuvõttes s ai me et n j a m on paaris arvud ehk jaguvad mõle ma d 2-ga. S ee on aga vas tuolu tehtud eeldus ega et m ja n ei oma ühis t nime taj at
on vesi. -535 Anaximenes väidab, et algelement on õhk. -520 Xenophanes väidab algelemendiks olevat maa ja arvab, et mäed olid algselt merepinna all. -500 Pythagoros tegutseb Kreekas ja Lõuna-Itaalias. Ta paneb aluse müstilisele kultusele, mis rõhub erakordselt palju matemaatikale. Usutakse, et terve universum põhineb arvudel. -500 Heraclitus ütleb, et ainus püsiv asi on muutumine, seega on algelement tuli. -450 Anaxagoras arvab, et Maa ja tähed on tehtud samadest matejalidest. -420 Demokritos loob esimese atomistliku teooria. -400 Zeno väidab, et meeled on teadmiste hankimiseks kasutud. Selle tõestamiseks kasutab ta tervet rida paradokse, mis tegelikult kõik põhinevad eksiarvamustel. -400 Hippokrates rõhutab ratsionaalsuse, hoolika vaatluse ja
2 mis on loodud teiste raakendusprogrammidega Hüperlink Kuni 64000 märki Välja detailne kirjeldus sisestakse lahtritesse, mis ilmuvad tabeli disainivaates akna alumises osas General. Field Size välja pikkus (tekstidel ja arvudel Format väärtuse vorming, enamasti valitav. Teksti tüübil on olemas formaadi sümbolid, mis määravad väärtuse esitusviisi. Näiteks Sümbol Kirjeldus @ Nõutud täht, number või tühik (@@@-@@@ 656-9881) & Tekstisümbol ei ole nõutud < Kõik tähed väikeasteks (JÄNES) > Kõik tähed suurteks Input Mask väärtuse sisestamist reguleeriv mall; koosneb maskisümbolitest ja teistest
Oluline on võimalus konstrueerida definitsiooni abil lõpmatu hulk objekte: {0, 0+1, 0+1+1, 0+1+1+1, ...} Aritmeetika jaoks tuleb meil defineerida täisarvude hulga järgmine fundamentaalne omadus (matemaatilise induktsiooni reegel): ``kui arvul 0 on omadus P ja kui väitest, et arvul x on omadus P, järeldub alati, et ka arvul x+1 on omadus P, siis on kõigil arvudel omadus P''. Induktsioonireeglit ei saa tuletada loogika baasväidetest: me võtame induktsioonireegli enda uueks täisarvude kohta kehtivaks baasväiteks. Tähendab, me usume, et induktsioonireegel on matemaatiliselt õige. Miks me sellise reegli tõesust uskuma peaks? Sellepärast, et kui tema üle mõnda aega mõelda, siis saame aru, et see reegel on paratamatult õige, samamoodi, nagu me saame aru, et väide ``kui A, siis A'' on paratamatult õige. Erinevalt
55
Õpikuid uurimistöö koostamise ja uurimismeetodite kohta
Ghauri, P., Gronhaug, K. (2004). Äriuuringute meetodid. Praktilisi näpunäiteid. Külim.
Hirsijärvi, S. jt (2005). Uuri ja kirjuta. Medicina.
Lõputunnuseta arve loetakse kümnendarvudeks. 16-ndarv kirjutatakse numbrite 0,1,...,9 ja ladina tähtede A, B, C, D, E, F abil, kusjuures arv peab algama numbriga (märki arvestamata) ja lõppema tunnusega H näiteks 1A4H või 0B7H. Arvule võib eelneda kas märk + või - , negatiivsete arvude kujutamisel kasutatakse täiendkoodi. Arv võib enda alla võtta ühe või kaks baiti. Esimesel juhul on märgiga arvude kujutamise piirkonnaks -128... +127, märgita arvudel 0...255. Teisel juhul võib märgiga arv olla piirkonnas -32768... +32767, märgita arv aga piirkonnas 0...65535. Selle eest et kasutatavad arvud oleksid toodud piirides, peab hoolitsema programmist. Ülakomadega eraldatud märgijada, mis võib olla avaldise elemendiks, interpreteeritakse ASSM-keeles kui konstanti ja teisendatakse koodile ASCII vastavaks arvuks. Näiteks kui mälusõna pikkus on kaks baiti, siis konstant 'A' teisendatakse 16-ndarvuks 0041, kus 41 on sümboli A kood 16-
Kõigi reaal- arvude hulka (täpsemalt, järjestatud korpust) tähistame tähega R. Kuna käesolevas kursuses on kõik vaadeldavad arvud reaalarvud, siis tähendab sõna arv järgnevas alati reaalarvu. ÜHE MUUTUJA MATEMAATILINE ANALÜÜS 21 1.5 Reaalarvude korpuse omadused 1.5.1 n-astme juur positiivsest reaalarvust. Irratsionaalarvud Teatavasti ei ole positiivsetel arvudel üldjuhul ratsionaalse väärtusega ruutjuurt. Seevastu, nagu selgub järgmisest lausest, eksisteerib reaalarvuline ruutjuur igast mittenegatiivsest ar- vust. Lause 1.20 Iga mittenegatiivse reaalarvu b ja iga naturaalarvu n korral leidub üheselt määra- tud mittenegatiivne reaalarv x omadusega xn = b. Tõestus. Kõigepealt märgime, et kui leidub selline arv x ∈ R, et xn = b, siis on see üheselt määratud, sest seostest 0 6 x1 < x2 järeldub võrratus xn1 < xn2 (põhjendada!)z.
funktsiooni väärtuse. Näiteks oleks täiesti lubatud funktsioon, mis igale ratsionaalarvule seab vastuseks iseenda ning igale irratsionaalarvule hoopis nulli. See poleks küll eriti kena masin, aga igati lubatud. Samas kui nõuame, et ka saadud reaalfunktsioonil säiliks pidevus, on laienduseks täpselt üks võimalus: kõik augud tuleb täita funktsiooni piirväärtuste abil. See trikk võimaldabki meil tihti alustada ühe funktsiooni defineerimist ratsionaal- arvudel ning alles lõpus pidevuse abil reaalarvudele üle minna. Näiteks saime täp- selt selle triki abil laiendada astendamise ilusaks pidevaks eksponentsiaalfunkt- siooniks [lk 280]. Täpselt sama meetod aitab meid veel ka näiteks ristküliku pind- alade defineerimisel tükeldamise meetodil [lk 362]. 319 tuletis tuletis
annaabi.ee 
