Insenerimehaanika eksami küsimuste vastused (1)

1. Teoreetilise mehaanika aine. Teoreetilise mehaanika osad (staatika, kinemaatika , dünaamika, analüütiline mehaanika). Insenerimehaanika .
*Mehaanika on teadus reaalsete objektide liikumisest .
* Teoreetiline mehaanika on mehaanika osa, mis uurib absoluutselt jäikade kehade paigalseisu ja liikumist nendele kehale rakendatud jõudude mõjul. Absoluutselt jäigaks kehaks nimetame keha, mille kahe mistahes punkti vaheline kaugus on jääv sõltumatult kehale toimivatest välismõjutustest (jõududest). *Seega: absoluutselt jäigas kehas ei toimu iialgi mitte mingisuguseid deformatsioone. On aga selge, et absoluutselt jäiga keha mõiste on abstraktsioon, sest kõik reaalsed kehad tegelikult ikkagi deformeeruvad välisjõudude mõjul. Igapäevases praktikas me aga näeme, et rakendatud jõudude toimel on need deformatsioonid üldiselt väga väikesed ja paljudes ülesannetes võib nad esimeses lähenduses jätta arvestamata. See asjaolu õigustabki jäiga keha kasutamist teoreetilises mehaanikas .
*Teoreetilise mehaanika osad:
a) Staatikaks nimetatakse mehaanika osa, milles antakse üldine õpetus jõududest ja uuritakse jõudude mõju all olevate materiaalsete kehade tasakaalu tingimusi.
b) Kinemaatikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse kehade liikumise geomeetrilisi omadusi arvestamata nende kehade inertsust ega neile kehadele mõjuvaid jõudusid.
c) Dünaamikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumise seadusi neile kehadele rakendatud jõudude mõjul.
d) Analüütiliseks mehaanikaks nimetatakse mehaanika osa, milles uuritakse materiaalsete kehade liikumist ja tasakaalu neile kehadele rakendatud jõudude mõjul kasutades variatsioonarvutust, aga ka diferentsiaal - ja integraalarvutust.
* Teoreetiline mehaanika kuulub loodusteaduste hulka. Tema aluseks on katsetest saadud seadused, mis peegeldavad loodusnähtuste seda klassi, mis on seotud materiaalsete kehade liikumisega. Teoreetiline mehaanika on väga tähtsaks teaduslikuks baasiks paljudele tehnika harudele ja tehnilistele distsipliinidele, nagu näiteks tugevusõpetus, elastsus - ja plastsusteooria, masinate ja mehhanismide teooria, masinaõpetus, masinaelemendid, rakettide liikumise arvutus jms. Teoreetilise mehaanika seadused ja meetodid lubavad uurida ning selgitada tervet rida nähtusi meid ümbritsevas maailmas. Kõigele sellele toetudes võib öelda, et teoreetiline mehaanika kuulub baasteaduste hulka ja selle teadmine on hädavajalik paljude teiste teaduste õppimiseks.
Mehaanika, nii nagu geomeetriagi, on kõige vanem teadus ühiskonna ajaloos. Tema tekkimine ja areng on vahetult seotud praktilise elu vajadustega, ning tootlike jõudude arengu ja tehnika tasemega igal selle arengu etapil.
*Insenerimehaanika - aines õpitu aluseks kõigi insener-tehniliste distsipliinide (tugevusõpetus, masinamehaanika, masinate konstrueerimise alused, ehitusmehaanika jne) käsitlemisel ja omandamisel. Insenerimehaanikas käsitleme teoreetilist mehaanikat. *Mehaanika tuleb vanakreeka keelest ja tähendab" masinate ehitamise kunsti". *Insener ((prants. k., ladina k.) tähendab kujutlusvõime, leidlikkus ) on kõrgharidusega tehnikaspetsialist, kes kavandab, arendab, konstrueerib või kontrollib tarindeid ja tehnilisi seadmeid ning süsteeme, projekteerib ja organiseerib nende valmistamist või juhib nende tööd.
2. Rahvusvaheline mõõtühikute süsteem SI. Põhiühikud mehaanikas ([Pikkus], [Mass], [Aeg]).
Lühend SI tuleneb prantsuskeelsest nimest Système International d'Unités - on mõõtühikute süsteem, kinnitati ja tunnistati eelistatud mõõtühikute süsteemiks oktoobris 1960 Pariisis toimunud Kaalude ja mõõtude XI peakonverentsi otsusega. SI-süsteem kasutab 7 füüsikalist suurust põhisuurustena (põhiühikud), ülejäänud ühikud tuletatud .
*põhiühikud mehaanikas: a) Pikkus [L] =m b) Mass [M]= kg c) Aeg [T]= s d) Jõud [F]= kg*m/s2 , Njuuton on jõud, mis kehale massiga 1kg annab kiirenduse 1 m/s2.
3. Jõud ( moodul , mõjusuund, rakenduspunkt).
Jõud - DEF: Suurust, mis on kehade vastastikuse toime mõõduks, nimetatakse jõuks.
Jõud on vektoriaalne suurus, tal on a) moodul b) mõjusuund c) rakenduspunkt
* Kahte jõudu loeme samaväärseiks ainult siis, kui neil on sama tugevus (moodul), mõjusuund ja rakenduspunkt.
4. Staatika aksioomid:
a) Tasakaalu aksioom - Kaks absoluutselt jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus siis ja ainult siis, kui nad on võrdvastupidised ja mõjuvad piki sama sirget.
b) Superpositsiooni aksioom - Tasakaalus olevate jõudude lisamine või ärajätmine ei mõjuta jäiga keha tasakaalu või liikumist.
I ja II => Jõu mõju absoluutselt jäigale kehale ei muutu, kui jõu rakenduspunkt viia mööda selle jõu mõjusirget keha mistahes punkti.
c) Jõurööpküliku aksioom - Keha mingis punktis rakendatud kahe jõu liitmine toimub rööpküliku reegli järgi.
d) Mõju ja vastumõju aksioom - Kaks keha mõjutavad teineteist jõududega, mis on võrdvastupidised ja omavad sama mõjusirget. Järeldus: Jäiga keha kõik sisejõud moodustavad tasakaalus oleva jõusüsteemi, mille võib keha tasakaalutingimuste uurimisel kõrvale jätta.
e) Jäigastumise aksioom - Deformeeruva keha tasakaal antud jõusüsteemi mõjul ei muutu, kui keha lugeda deformeerunud olekus absoluutselt jäigaks
5. Jõusüsteem. Ekvivalentsed jõusüsteemid. Tasakaalus olev jõusüsteem. Jõusüsteemi resultant .
*Jõusüsteem - Jäigale kehale mõjuvate jõudude kogumit nimetatakse jõusüsteemiks
* Ekvivalentne jõusüsteem - Kui ühe jõusüsteemi võib asendada teise jõusüsteemiga nii, et keha paigalseisus või liikumises midagi ei muutu, siis neid jõusüsteeme nimetatakse ekvivalentseteks jõusüsteemideks.
* Tasakaalus olev jõusüsteem - Jõusüsteemi, mis rakendatuna paigalseisvale jäigale kehale ei kutsu esile selle liikumist, nimetatakse tasakaalus olevaks jõusüsteemiks
*Jõusüsteemide resultant - Kui antud jõusüsteem on ekvivalentne üheainsa jõuga, siis seda jõudu nimetatakse antud jõusüsteemi resultandiks.
6. Välisjõud. Sisejõud. Koondatud jõud. Jaotatud jõud.
* Välisjõududeks nimetatakse jõudusid, millega antud kehale mõjuvad teised kehad.
* Sisejõududeks nimetatakse jõudusid, millega antud keha osad mõjuvad üksteisele.
* Jõudu, mis on rakendatud keha mingis punktis, nimetatakse koondatud jõuks.
* Jõude, mis mõjuvad antud ruumiosa või pinnaosa kõikidele punktidele, nimetatakse jaotatud jõududeks
7. Kolme jõu teoreem .
Kui keha on tasakaalus kolme jõu mõjul, milledest kahe jõu mõjusirged lõikuvad, siis need jõud moodustavad tasapinnalise koonduva jõusüsteemi.
8. Vaba ja seotud jäik keha. Seosed (holonoomsed - mitteholonoomsed, statsionaarsed - mittestatsionaarsed, kahepoolsed - ühepoolsed). Sideme- reaktsioonid. Aktiivne ja passiivne jõud.
*Vaba jäik keha - Jäika keha nimetatakse vabaks, kui teda saab antud asendist üle viia mistahes uude asendisse
*Seotud jäik keha - kui keha liikumist takistavad teised kehad, siis see vaadeldav keha on seotud
SEOSED:
*Tingimusi, mis takistavad keha liikumist ruumis, nimetatakse sidemeteks ehk seosteks.
*Jõudu, millega side mõjub kehale, takistades selle liikumist, nimetatakse sideme reaktsioonjõuks ehk sidemereaktsiooniks.
Holonoomsus:
*Kui seosvõrrandis kiirusi ei esine, siis nimetatakse seost holonoomseks ehk integreeruvaks. *Vastupidisel juhul nimetatakse mitteholonoomseks ehk mitteintegreeruvaks.
Statsionaarsus:
* Kui seos aja jooksul ei muutu , siis nimetatakse teda statsionaarseks.
*Kui seos muutub ajaga , nimetatakse teda mittestatsionaarseks.
Poolsus :
* Kui kitsendav tingimus kehtib sõltumatult sellest, missugused jõud on süsteemile rakendatud, siis nimetatakse seost kahepoolseks ehk mittevabastavaks.
* Kui kitsendav tingimus teatud jõudude mõjudes kehtib, mingite teiste jõudude korral aga mitte, siis on tegemist ühepoolse ehk vabastava seosega.
Aktiivne ja Passiivne jõud:
*Jõude, mis ei ole sidemete reaktsioonid, nimetatakse aktiivseteks jõududeks.
*Sidemete reaktsioone nimetatakse passiivseteks jõududeks kui nad ainult kitsendavad keha liikumist teiste rakendatud jõudude toimel, aga ei põhjusta ise vaadeldava keha liikumist.
* Jõudu, millega side mõjub kehale, takistades selle üht või teist liikumist, nimetatakse sideme reaktsioonijõuks ehk lihtsalt sidemereaktsiooniks.
9. Lihtsaimad seoste tüübid (toetumine siledale pinnale, painduvad sidemed, liigend e. šarniir, silindriline liigend, tugilaager , varras sidemena).
Seoste tüübid: a) Toetumine siledale pinnale. b) Painduvad sidemed c) Liigend ehk šarniir d) Silindriline (hõõrdevaba) liigend e) Tugilaager f) Varrasside
10. Seostest vabastatavuse printsiip.
Iga keha võib alati vaadelda vaba kehana kui ärajäetud seosed asendada vastavate reaktsioonidega.
11. Teoreem summavektori projektsioonist teljele (Teoreem: Summavektori projektsioon mingil teljel võrdub liidetavate vektorite samal teljel võetud projektsioonide algebralise summaga .)
Koonduv jõusüsteem. Koonduva jõusüsteemi tasakaalu vektoriaalne, geomeetriline ja analüütiline tingimus.
a) vektoriaalne: F= ma, m≠0; a=0↔F=0. tasakaalu puhul peab koonduva jõusüsteemi resultant olema 0 ehk F=0 (NB! kui kiirendust pole järelikult ka liikumist pole; m≠0)
b) geomeetriline: Koonduva jõusüsteemi tasakaaluks on tarvilik ja piisav, et nendest jõududest ehitatud jõuhulknurk oleks kinnine , ühtse ümberkäigu suunaga.
c) [F]=√(∑Fxα)2+( ∑Fyα)2+(∑ Fzα)2 - kõik need summad peavad =0 siis on ka jõu moodul 0
12. Jõu moment punkti suhtes. Jõu moment telje suhtes.
A)Punkti suhtes (märgiga suurus) DEF: Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse sellesse punkti rakendatud vektorit , mis võrdub sellest punktist jõu rakenduspunktini tõmmatud kohavektori ja jõu vektorkorrutisega. M0(F)=r x F. Vektor M0(F) on risti tasapinnaga, mis moodustub tegurvektoritest r ja F. Vektor M0 on suunatud sinnapoole, kustpoolt vaadatuna vektori r pööre mööda lühimat teed F poole, on näha toimuvana vastupäeva. NB! kummat pidi kruvi keerame, selles suunas määratud suund alla või üles=> kummat pidi lühem tee seda pidi kruvi keerame. Vektorkorrutise (kui vektori) moodul: | M0|≡ M0= | M0|*| M0|*sinλ= r* F* sinλ.
DEF: Punktist, mille suhtes moment leitakse, jõu mõjusirgeni tõmmatud ristlõiku nimetatakse jõu õlaks selle punkti suhtes.
*Jõu moment punkti suhtes on null:
a) kui jõud ise on null, s.t. F = 0, b) kui r = 0, s.t. siis, kui jõu moment leitakse jõu rakenduspunkti suhtes, c) kui λ = 0, s.t. siis, kui jõu mõjusirge läbib seda punkti, mille suhtes moment leitakse.
Üheainsa tingimusena: Eeldusel , et jõud ise ei võrdu nulliga, on jõu moment punkti suhtes
null siis ja ainult siis, kui jõu mõjusirge läbib seda punkti, mille suhtes moment leitakse.
NB! Jõu momendi dimensiooniks SI-süsteemis on 1 N* m.
B) Telje suhtes - Jõu moment telje suhtes iseloomustab jõu keha pööravat toimet ümber selle telje (kui see telg oleks kehale kinnisteljeks). DEF: Jõu moment telje suhtes on skalaarne suurus, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud jõu projektsiooni momendi mooduliga telje ja selle tasapinna lõikepunkti suhtes, võetuna vastava märgiga. Mz (F) = (+-)| jMo( Fxy)j| = (+-)Fxy * d;
MÄRGIREEGEL: ←) pluss ja (→ miinus *Jõu moment telje suhtes loetakse positiivseks , kui vaadatuna selle telje positiivsest otsast jõud püüab pöörata keha vastupäeva; ja negatiivseks, kui pööramine toimub päripäeva.
Jõu moment telje suhtes 0: a) jõud ise on 0, F= 0 b) õlg on 0, s.t. komponendi Fxy mõjusirge läbib punkti 0. Ka kui jõu F mõjusirge lõikub vaadeldava teljega. c) siis, kui jõud F on paralleelne vaadeldava teljega, sest Fproj = 0 siis Fxy = 0.
13. Kahe samasuunalise paralleeljõu liitmine. Kahe antiparalleelse jõu liitmine.
a) Kahel paralleelsel ja samasuunalisel jõul on alati resultant ~F = ~F1 + ~F2, mis on:
I) liidetavate jõududega paralleelne ja samasuunaline, II) resultandi moodul on võrdne liidetavate jõudude moodulite summaga, III) resultandi mõjusirge asub alati liidetavate jõudude mõjusirgete vahelises alas , IV) resultandi rakenduspunkt C jaotab lõigu AB osadeks pöördvõrdeliselt jõudude ~F1 ja ~F2 suurustega, ehk AC/F2= BC/F1= AB/F
b) Kahel paralleelsel ja vastassuunalisel jõul on olemas resultant ~F = ~F1 + ~F2 juhul, kui ~F1 ≠~F2 ning see resultant on: I) liidetavate jõududega paralleelne ja on suunatud suurema jõuga ühes ja samas suunas, II) resultandi moodul on võrdne liidetavate jõudude moodulite vahega (suuremast lahutada väiksem), III) resultandi mõjusirge asub alati väljaspool liidetavate jõudude mõjusirgete vahelist ala, asudes seejuures suurem jõu poolses osas, IV) resultandi rakenduspunkt C asukoha saab leida võrrandist AC/F2= BC/F1= AB/F
14. Paralleeljõudude liitmine. Mehaanika kuldreegel .
A) Paralleeljõudude liitmine - jõu õlg punkti suhtes on selle punkti vähim kaugus jõu mõjusirgest
A1C*cosα=h1, A2C*cosα=h2, millest F1h1= F2h2
B) Mehaanika kuldreegel: teoreem- Kangi tasakaalu korral on mõjuva jõu ja selle õla korrutis mõlemal pool toetuspunkti ühesugune.
15. Jõupaar. ( DEF: Jõupaar on kahest erineva mõjusirgega võrdvastupidisest jõust koosnev jõusüsteem. Tasapinda, milles asetsevad jõupaari jõud, nimetatakse jõupaari mõjutasapinnaks. NB! Kui kehale mõjub ainult jõupaar, siis keha ei saa olla tasakaalus). Teoreem jõupaari paralleelsesse tasapinda ülekandmisest (Teoreem: Jõupaari ülekandmisel paralleelsesse tasapinda ei muutu jõupaari mõju jäigale kehale.) Jõupaari moment. (* Jõupaari momendi moodul: M= F`*h (h-jõupaari õlg). Jõupaari momendi vektor ~M=~r12*~F`.kus ~r12 = ~AB on jõupaari ühe jõu ~ F` rakenduspunkti A1 kohavektor jõupaari teise jõu ~F`` rakenduspunkti A2 suhtes. * Jõupaari momentvektor on risti jõupaari mõjutasapinnaga. Vektorkorrutis ei ole kommutatiivne, s.t. vektorite järjekorda korrutamise valemis ei tohi muuta.)
Jõupaaride ekvivalentsus (Teoreem: Jõupaarid, mille momentvektorid on võrdsed, on ekvivalentsed.) Jõupaaride liitmine (Teoreem: Kui kehale on rakendatud jõupaaride süsteem, mis koosneb jõupaaridest momentidega ~M1, ~M2,..., ~Mn, siis need jõupaarid võib asendada ühe jõupaariga mille moment on ~M1=∑~Mk. Jõupaaride süsteemi tasakaal. (*Kuna jõupaaride süsteem on ekvivalentne ühe jõupaariga, siis jõupaaride süsteemi tasakaaluks peab selle jõupaari moment M võrduma nulliga.* Resultantjõupaari momendi võrdumine nulliga keha tasakaaluks jõupaaride süsteemi mõjul tarvilik ja piisav. ~M=0 => M= 0=> Mx=0, My=0, Mz=0 => Mkx=0, Mky=0, Mkz=0.)
16. Jõusüsteemi taandamine . Lemma jõu paralleelsest ülekandmisest (Lemma: Igat jäigale kehale mõjuvat jõudu võib paralleelselt üle kanda mistahes uude rakenduspunkti kui kehale rakendada lisaks veel jõupaar, mille moment on võrdne ülekantava jõu momendiga tema uue rakenduspunkti suhtes.) Peavektor . ( ~F=∑~F`α=∑~Fα - seda jõudu nimetatakse peavektoriks; Peavektor on jõusüsteemi invariant ) Taandamistsenter. ( Valitud punkti O nimetatakse taandamistsentriks) Jõusüsteemi invariant. ( Jõusüsteemiga seotud suurusi, mis ei sõltu taandamistsentri valikust nimetatakse jõusüsteemi invariantideks). Staatika põhiteoreem (Teoreem: Suvalise jõusüsteemi saab tsentrisse taandamise teel asendada ekvivalentselt jõusüsteemiga, mis koosneb ühest jõust (süsteemi peavektor) ja ühest jõupaarist (mille moment on võrdne jõusüsteemi peamomendiga valitud taandamistsentri suhtes).) Tsentraaltelg. (Kui vaadeldava jõusüsteemi korral saab leida sirge, mille punktidesse taandamisel jõusüsteem omab lihtsamat kuju, sest seda sirget nimetatakse jõusüsteemi tsentraalteljeks.)
17. Hõõrdejõud. Liughõõre. (H≤Hmax) Coulomb 'i hõõrdeseadused (I. Hõõrdejõu maksimaalne väärtus ei sõltu kokkupuutuvate pindade suurusest , vaid ainult nende pindade iseloomust (sile, kare) ning materjalidest . II. Hõõrdejõu maksimaalne väärtus on võrdeline normaalreaktsiooniga.) Hõõrdetegur. (Coulomb II.s.: H≤Hmax=fN, kus f dimensioonita suurust nimetatakse hõõrdeteguriks N:a)kokkupuutuvad metallpinnad f= 0.2 b) rihmülekanded ehk nahk- metall f=0.4 c) jääl asetsev ree jää-metall f=0.03). Veerehõõre. (Silindri poolt tema veeretamisele avaldatud takistust nimetatakse veerehõõrdeks). Veerehõõrdejõud. Veerehõõrdetegur. (Q≥ k* (P/r) = Hv ,kus suurust Hv nimetatakse veerehõõrdejõuks ja kordajat k veerehõõrdeteguriks).
18. Raskuskese. (Lemma: Jäigale kehale mõjuva raskusjõu võib alati lugeda rakendatud selle raskuskeskmesse). Sümmeetriateoreemid (Teoreem I: Kui kehal on sümmeetriatasapind, siis raskuskese asetseb selles tasapinnas. Teoreem II: Kui kehal on sümmeetriatelg, siis raskuskese asetseb sellel teljel.) Kaare raskuskeskme määramine. (Olgu tarvis leida ühtlase ristlõikega traadist painutatud kaare raskuskese. Olgu traadi ristlõike pindalaga σ, pikkus l ning s kõvera kaarepikkus mõõdetuna traadi ühest otspunktist kuni mingi punktini P. Eraldame traadist elemendi, mille pikkus on ds, ja ruumala dV = σds. Kogu traadi ruumala V = σ l, siis pärast σ taandamist: xC= 1/l*∫(s) xds, yC= 1/l*∫(s) yds, zC= 1/l*∫(s) zds). Tasapinnalise kujundi raskuskese. (xC= 1/S*∫(s) xds; yC= 1/S*∫(s) yds) Raskuskeskme määramine tükeldus- ning täiendusmeetodiga. ( teeme suurema kujundi lihtsamateks kujunditeks. Liidame erinevad kujundid mis meil on ning lahutame kujundi(d), mis kujutavad tühimikku.
19. Kinemaatika. Taustsüsteem. Punkti trajektoor . Kinemaatika ülesanded. Liikumise määramise viisid (vektorviis, koordinaatviis, loomulik viis).
*Kinemaatika - nimetatakse teoreetilise mehaanika osa milles uuritakse materiaalsete kehade liikumise geomeetrilisi omadusi, arvestamata nende kehade inertsust ega neile kehadele mõjuvaid jõudusid.
*Taustsüsteem*Punkti trajektoor - DEF: Pidevat kõverat, mille joonestab punkt oma liikumisel, nimetatakse punkti trajektooriks.
*Kinemaatika ülesanded - leida punkti liikumise viisid(1) ja, nendest lähtudes, leida punkti kiiruse(2) ja kiirenduse(3) määramise meetodid.
*Liikumise määramise viisid:
a) Vektorviis- ~r= ~r(t) (vektor aja funktsioon. DEF: Vektori hodograafiks nimetatakse kõverat, mille joonestab selle vektori tipp tema argumendi muutudes. (Eeldatakse, et vektori algus asetseb kogu aeg ühes ja samas punktis.)
b) Koordinaatviis - DEF: Liikumise määramise viisi, mis seisneb punkti koordinaatide kui aja funktsioonide esitamises, nimetatakse liikumise määramise koordinaatviisiks ja ta nõuab konkreetse koordinaadistiku valikut.
I) Ristkoordinaadid x=x(t), y=y(t), z=z(t) => M(x,y,z)
II) Silindrilised koordinaadid: ρ= ρ(t) raadius, φ=φ(t) asimuut, z=z(t) aplikaat . M(ρ,φ,z). Ristkoordinaatidele x= r*cos φ *cosθ, y= rcosθ*cosφ, z= r* sinθ.
III) Sfäärilised koordinaadid r= r(t), φ= φ(t), θ= θ(t). M (r, φ, θ)
IV) Polaarkoordinaadid r=r(t), φ= φ(t). M(r, φ).
Ristkoordinaatidele: x= rcos φ, y= rsin φ
c) loomulik viis DEF: Liikumise määramise loomuliku viisi puhul antakse ette punkti
trajektoor ja ta liikumise seadus sel trajektooril. σ= σ(t) - liikumisseadus
20. Vektori skalaarse argumendi järgi võetud tuletise mõiste.
Olgu vektor ~a antud mingis koordinaatide süsteemis kui skalaarse argumendi u pidev funktsioon.
~a= ~a(u), vahet ∆~a= ~a(u+∆u)- ~a(u) nimetatakse vektori ~a juurdekasvuks.
∆~a/∆u=(~a(u+∆u)- ~a(u))/ ∆u, kui piirväärtus ∆u→0 puhul, juhul kui see on olemas nimetatakse vektori tuletiseks skalaarse argumendi järgi ja tähistatakse d~a/ du.
21. Punkti kiirus (vektorviisil, koordinaatviisil, loomulikul viisil?). Punkti kiirus polaarkoordinaatides ( radiaal - ja transversaalkiirus).
Punkti kiirus:
A) Vektorviis - Kiiruseks antud hetkel nimetatakse punkti siirdevektori ja ajavahemiku, mille kestel see siire toimus, suhete piirväärtust, kui see ajavahemik läheneb nullile : ~v= lim∆t→0(∆~r/∆t)=d~r/dt=(~r)` Kiiruse dimensioon m/s. (Punkti kiirus on vektor ~v, mille suund on piki trajektoori puutujat punkti liikumise suunas).
B) Koordinaatviis - x= x(t), y= y(t), z= z(t). ~r=x~i+y~j+z~k. ~v=d~r/dt= dx/dt*~i+ dy/dt*~j+ dz/dt*~k
C)
Punkti kiirus polaarkoordinaatides (radiaal- ja transversaalkiirus):
r=r(t), φ=φ(t) radiaalkiirus - vr=r`; transversaalkiirus - vp= r*φ`
22. Punkti kiirendus. Kiirenduse leidmine vektorviisil. Kiirenduse moodul ja suunakoosinused. Kiirendus koordinaatviisil. Kiirenduse leidmine polaarkoordinaatides. Kiirenduse leidmine loomulikul viisil. Normaal - ja tangentsiaalkiiredus.
*Punkti kiirendus - Punkti kiirenduseks ~a nimetatakse kiiruse juurdekasvu ∆~v ja aja juurdekasvu ∆t suhte piirväärtust tingimusel, et aja juurdekasv läheneb nullile.
*Kiirenduse leidmine vektorviisil: ~a= ~v`=~r``
*Kiirenduse moodul ja suunakoosinused:
moodul: a=√(ax2+ay2+az2 )=√(x``)2+(y``)2+(z``)2
suunakoosinused: cos(~a,x)= ax/a= x``/√( x``)2+(y``)2+(z``)2 ; cos(~a,y)=ay/a= y``/√( x``)2+(y``)2+(z``)2
*Kiirendus koordinaatviisil: x=x(t), y=y(t), z=z(t), kiirus: ~v=vx~i+ vy~j+ vz~k kiirendus: ~a=(dvx/dt)~i+(dvy/dt)~j+(dvz/dt)~k, ~a=(ax,ay,az).
*Kiirenduse leidmine polaarkoordinaatides: r=r(t), φ= φ(t). vastavalt seosele ~v=(dr/dt)*~r0+(dφ/dt)*~p0; ~a=(r``-rφ`2)* ~r0+(r*φ``+2*r´*φ´)*~p0.
*(radiaal- ja transversaalkiirus): a=√at2+ap2
*kiirenduse leidmine loomulikul viisil: ~v=vT*~eT, kus vT on kiirenduse projektsioon ~eT suunal.
a=√(aT2+an2), kus aT=v` ja an=v2/ρ.
23. Punkti võnkumised. Harmoonilised võnkumised. Võnkeamplituud. Võnkefaas. Võnkeperiood.
Näiteks vaatleme sirgjoonelist liikumist x=A*sin(ωt +ε), kus A,ω ja ε on konstantsed.
*Sellise seaduse järgi võnkumist nimetame harmooniliseks võnkumiseks.
*Suurust A, mis võrdub punkti maksimaalse kaugusega asukohast x = 0, nimetatakse võnkeamplituudiks.
*Suurust ωt +ε nimetatakse võnkefaasiks ja ε võnkumise algfaasiks.
*Vähimat ajavahemikku, mille möödumisel liikumine kordub, nimetatakse võnkeperioodiks.
24. Punkti liikumine ringjoonel.
Punkti liikumise erijuht ( liikumine pöörlemisel)
nurkkiirus : ω=φ` nurkkiirendus: ε=φ``; v=ω*ρ => ρ- konstantne , mida väiksem kiirus, seda suurem kiirus.
25. Punkti liitliikumine (absoluutne, relatiivne , ülekande- e. kaasaliikumine ).
*absoluutne - DEF:Punkti liitliikumiseks ehk absoluutseks liikumiseks nimetatakse selle punkti liikumist koordinaatide süsteemi suhtes, mis on valitud põhiliseks.
*relatiivne - DEF: Punkti liikumist liikuva koordinaatide süsteemi suhtes nimetatakse relatiivseks.
*ülekande ehk kaasliikumine - DEF: Liikuva teljestikuga muutumatult seotud punkti liikumine paigalseisva teljestiku suhtes on ülekandeliikumine ehk kaasaliikumine.
26. Kiiruste liitmise teoreem (Teoreem: Absoluutne kiirus võrdub ülekandekiiruse ja relatiivse kiiruse geomeetrilise summaga.)
27. Kiirenduste liitmise teoreem (Teoreem: Punkti absoluutne kiirendus võrdub ülekande-, relatiivse ja Coriolise kiirenduse geomeetrilise summaga.)
28. Coriolise kiirendus. Coriolise kiirendus on vektor, mis on risti vektorite ~ω ja ~vr poolt määratud tasapinnaga ja mille suund määratakse parema käe kruvi reegli järgi, pöörates vektorit ~ω väiksemat nurka mööda vektori ~vr poole.
29. Dünaamika aine ja ülesanded. Newtoni seadused. Dünaamika põhiseadused. Erinevad võimalused keha massi määramiseks (inertne, jõuetaloni kaudu, raske, erirelatiivsuses, kiirusest sõltuv mass).
*Dünaamika: DEF: Dünaamika on teoreetilise mehaanika osa, mille aineks on kehade liikumise uurimine mõjuvaid jõude arvestades. Ülesanded: a) on antud masspunkti liikumine (s.t. tema liikumisseadus) ja tuleb leida jõud, mille mõjul liikumine toimub. b) on antud masspunktile mõjuv jõud, leida tuleb selle masspunkti liikumise seadus.
*Newtoni seadused:
I seadus: Isoleeritud masspunkt on paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt.
II seadus: Inertsiaalsüsteemis on masspunkti kiirendus võrdeline ja samasuunaline talle mõjuva jõuga.
~F=m*~a
III seadus: Masspunktide mõju ja vastumõju aksioom
*Dünaamika põhiseadused:
a) On olemas selline taustsüsteem, kus masspunkt seisab paigal või liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt, kui talle ei mõju jõude. Sellist taustsüsteemi nimetatakse inertsiaalseks.
b) Inertsiaalsüsteemis on punkti kiirenduse vektor võrdeline talle mõjuva jõu vektoriga.
c) Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele piki neid ühendavat sirget absoluutväärtuselt võrdse ja suunalt vastupidise jõuga.
d) Mitme jõu koosmõjul võrdub masspunkti kiirendus nende kiirenduste vektorsummaga, mis ta saaks iga jõu mõjul eraldi. Siit järeldub, et masspunktile mõjuvate jõudude süsteemi võib asendada nende jõudude resultandiga.
* võimlaused keha massi määramiseks:
a) Inertne mass= suhe kiirenduste vahel.m0 - ühikmass ja m - otsitav mass. F=m0a0 ja F= ma
ma/ m0a0=1 ja avaldan massi m= m0a0/a
b) Jõuetaloni kaudu: etalon m0=F0/a0
c) raske mass defineeritakse gravitatsiooniseadust (gravitatsioonijõudude suhe)
F=γ*((m1*m2)/r2), γ- gravitatsioonikonstant , r - kehade vaheline kaugus
d) erirelatiivsus m=m0/√1+v2/c2 , v- keha kiirus, c valguse kiirus
e) kiirusest sõltuv mass ma= F, m=m(t), a=r``(t), (d/dt)mv
30. Dünaamika põhiülesanded.
Ülesanded: a) on antud masspunkti liikumine (s.t. tema liikumisseadus) ja tuleb leida jõud, mille mõjul liikumine toimub. b) on antud masspunktile mõjuv jõud, leida tuleb selle masspunkti liikumise seadus.
31. Punkti liikumise diferentsiaalvõrrandid (vektorkujul, koordinaatkujul).
*Üldjuhul: ~F= ~F(~r, d~r/dt, t)
*Vektorkujul: m(d2~r/dt2)= ~F(~r, d~r/dt, t) , võib vaadelda kui diferentsiaalvõrrandit, milles kohavektor ~r on funktsiooniks ja aeg t argumendiks.
*Koordinaatkujul:
a) ristkoordinaadid: mx``= Fx; my``= Fy; mz``=Fz
b) polaarkoordinaadid: m(r´´-r*φ´2)=Fr, md/rdt(r2*φ`2)=Fφ
32. Masspunktide süsteem. Masspunktide süsteemi mass, masspunktide süsteemi massikese. Süsteemi välis- ja sisejõud. Sisejõudude omadused.
*Masspunktide süsteem: DEF: Mehaanikas mõistetakse masspunktide süsteemi all selliste masspunktide kogumit, mille liikumised on vastastikku seotud.
*Masspunktide süsteemi mass:DEF: Masspunktide süsteemi massiks m nimetatakse kõikide süsteemi
kuuluvate punktide masside summat: m=∑mi , kus mi on i-nda masspunkti mass ja n- süsteemi kõikide masspunktide arv.
*Masspunktide süsteemi massikesse: DEF: Masspunktide süsteemi massikeskmeks ehk inertsikeskmeks nimetatakse geomeetrilist punkti, mille kohavektor ~rC on määratud võrdusega:
~rC=(1/m)*∑mi*~ri
*Süsteemi välis- ja sisejõud:
a) DEF: Süsteemi punktidele mõjuvaid jõude nimetatakse välisjõududeks, kui neid kutsuvad esile kehad, mis ise süsteemi ei kuulu.
b) DEF: Jõude, mida kutsub esile süsteemi kuuluvate masspunktide vastakmõju, nimetatakse sisejõududeks.
*Sisejõudude omadused:
I omadus: Esimene omadus. Süsteemile kõikide sisejõudude geomeetriline summa (sisejõudude peavektor) võrdub nulliga: ∑~Fi(i)=0
II omadus: Teine omadus. Suvalise ruumipunkti suhtes võetud kõikide sisejõudude momentide summa (sisejõudude peamoment) võrdub nulliga: ∑~ri x Fi(i)=0
33. Kahe keha ülesanne.
34. Masspunktide süsteemi liikumishulk . Masspunktide süsteemi liikumishulga teoreem (Teoreem: Masspunktide süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub kõikide süsteemile mõjuvate välisjõudude peavektoriga.) Masspunktide süsteemi liikumishulga jäävuse seadus.
* Masspunktide süsteemi liikumishulk - ~K=m*~v. DEF: Masspunktide süsteemi liikumishulgaks nimetatakse vektorit ~K, mis võrdub süsteemi kuuluvate kõigi masspunktide liikumishulkade
vektorsummaga (liikumishulkade peavektoriga): ~K=∑mi*~vi.
~K=m*~vC Lemma: massipunktide süsteemi liikumishulk võrdub süsteemi kogumassi ja
massikeskme kiiruse korrutisega.
*massipunktide liikuvuse jäävuse seadus -
a)Kui süsteemile mõjuvate kõikide välisjõudude peavektor võrdub nulliga, siis masspunktide süsteemi liikumishulk jääb suuruse ja suuna pooles konstantseks.
~K=~K0= const →, kus ~K0 on vektori ~K algväärtus.
b) Kui süsteemile rakendatud kõikide välisjõudude peavektori projektsioon mingil kinnisteljel võrdub nulliga, siis masspunktide süsteemi liikumishulga projektsioon sellel teljel jääb konstantseks. Kx=K0x=const, kus K0x on projektsiooni Kx algväärtus.
35. Jõuimpulss. Massikeskme liikumise teoreem (Teoreem: Masspunktide süsteemi massikese liigub nagu masspunkt, kuhu on koondatud kogu süsteemi mass ja millele on rakendatud kõik sellele süsteemile mõjuvad välisjõud.)
*Jõuimpulss - DEF:Jõu ~F korrutist lõpmata väikese ajavahemikuga dt nimetatakse jõu elementaarimpulsiks. d(m*~v)= ~F*dt (masspunkti liikumishulga diferentsiaal võrdub sellele punktile rakendatud jõu elementaarimpulsiga.
36. Jõu töö mõiste. Elementaartöö. Konservatiivsed (raskusjõud, gravitatsioonijõud, elastsusjõud) ja dissipatiivsed jõud.
*Jõu töö mõiste - DEF Mehaanikas defineeritakse jõu ~F elementaartöö dA lõpmata väikeseks siirdel ds, kui dA= F*ds*cosα, kus α on jõu ~F projektsioon siirdele.
*Elementaartöö: dA= F*cosα*ds
* Konservatiivsed (raskusjõud, gravitatsioonijõud, elastsusjõud) jõud - DEF: Jõude, mis töö rakenduspunkti üleminekul ühest kohast teise ei sõltu tee pikkusest, kujust , ega rakenduspunkti liikumise seadusest nimetatakse konservatiivseteks jõududeks.
* Dissipatiivsed jõud - DEF: mittekonservatiivseid jõude nimetatakse dissipatiivseteks
37. Potentsiaalne energia. Potentsiaalse energia tasemepinnad.
*Potentsiaalne energia - DEF: Tingimust Fxdx+Fydy+Fzdz=-dU(x,y,z) täitvat funktsiooni U nimetatakse potentsiaalseks energiaks. F-n U näitab seda töö varu, siis nimetamegi seda potentsiaalseks energiaks - energiaks, mis on kehal oma asendi tõttu jõuväljas, asendist tingitud võimeks teha tööd.
*Potentsiaalse energia tasapind - DEF: Sellsit pinda, kus 3 muutuja funktsioonid U(x,y,z)= const., nimetatakse potentsiaalse energia tasapinnaks (nivoopind, ekvipotentsiaalpind)
38. Kineetiline energia. Kineetilise energia muutumise teoreem (energiateoreem).
* DEF: suurust T=1/2*mv2 nimetame kineetiliseks energiaks
*Teoreem: Masspunkti kineetilise energia muutus võrdub sellele punktile rakendatud jõu tööga.
39. Mehaanikaline energia. Mehaanikalise energia jäävuse seadus (Teoreem: konservatiivsete jõudude mõju all oleva masspunktide süsteemi mehaanikaline energia on konstantne.)
*Mehaanikaline energia: E= T+U; süsteemi kogu kineetiline energia+ süsteemi kogu potentsiaale energia.
* Mehaanikalise energia jäävuse seadus (Teoreem: konservatiivsete jõudude mõju all oleva masspunktide süsteemi mehaanikaline energia on konstantne.) T+U= const.
KEHTIB, kui kõik jõud on konservatiivsed.