Dünaamika eksamiküsimuste vastused (1)

Kordamisküsimused Dünaamika eksamiks
1. Sõnastada dünaamika I aksioom .
I aksioom. Inertsiseadus.
Punktmass , millele ei mõju jõudusid, säilitab oma paigalseisu või ühtlase sirgjoonelise
liikumise seni, kuni talle rakendatud jõud ei sunni teda seda olekut muutma .
Masspunkti kiirendus erineb nullist ainult siis, kui sellele punktile on rakendatud mingi jõud.
2. Sõnastada dünaamika II aksioom. Kirjutada ka valem.
II aksioom. Dünaamika põhiseadus.
Punktmassi kiirendus on mõjuva jõuga võrdeline ja samasuunaline, võrde- teguriks on
punkti mass. F= ma (P=mg)
3. Sõnastada dünaamika III aksioom.
III aksioom. Mõju ja vastumõju seadus.
Kaks masspunkti mõjuvad teineteisele jõududega, mis on moodulilt võrdsed ja suunalt
vastupidised, nende mõjusirged kattuvad. F1 = F2 ning F1=- F2
Seejuures tuleb silmas pidada seda, et need jõud on rakendatud erinevatele kehadele
4. Sõnastada dünaamika IV aksioom. Kelle nime see aksioom kannab?
IV aksioom. Jõudude mõju sõltumatuse seadus.
See on aksioom, mille lisas Newtoni kolmele seadusele (aksioomile) hiljem Lagrange ja
kannab seetõttu Lagrange’i nime.
Kiirendus, mille punktmass saab mitme jõu üheaegsel mõjumisel, on võrdne
geomeetrilise summaga kiirendustest, mille punkt saab iga üksiku jõu mõjul eraldi.
punktile mõjuvad jõud moodustavad alati koonduva jõusüsteemi ja koonduval jõusüsteemil on resultant
5. Mida nimetatakse punkti dünaamika esimeseks ja teiseks põhiülesandeks?
1. põhiülesanne: antud on punkti liikumine, leida tuleb punktile mõjuva jõu.
2. põhiülesanne: antud on kõik punktile mõjuvad jõud, määrata tuleb punkti
liikumine (tavaliselt tema liikumise seadus).
Mõlemad põhiülesanded lahendatakse dünaamika põhivõrrandi (2.1) alusel
jõud Fon muutuv suurus, mis üldjuhul sõltub asukohast (r), kiirusest (v) ja ajast(t)
6. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel
sirgjoonelise liikumise korral?
Kahe integreerimiskonstandi määramiseks peab olema kaks tingimust, nendeks on etteantud
algasend x0 = x(0) ja veel algkiirus x&0 ≡ v0x , mis siin on lihtsalt v0 .
7. Kuidas leitakse integreerimiskonstandid punkti dünaamika teise põhiülesande lahendamisel
tasapinnalise liikumise korral?
Liikumise algtingimuste põhjal. kirjutatakse kõigepealt välja süsteemi (4.3) kõik võrrandid alghetkel t = 0 , asendades seejuures vasakutes pooltes x, y, z asemele vastavalt etteantud x0 , y0 , z0 ja aja t asemele nulli. Seejärel leitakse funktsioonide x, y ja z tuletised aja t järgi ja kirjutatakse ka need välja alghetkel t = 0 .
8. Mida nimetatakse masspunktide mehaanikaliseks süsteemiks?
Punktmasside mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse üksteist mõjutavate punktmasside
kogumit.
Masspunktide (või kehade) mehaanikaliseks süsteemiks nimetatakse nende sellist kogumit, milles iga punkti (või keha) asukoht ja liikumine oleneb kõigi ülejäänud punktide (või kehade) asukohtadest ja liikumistest.
9. Panna kirja süsteemi sisejõudude 2 omadust.
Sisejõud on sellised jõud, millega süsteemi punktid mõjutavad üksteist.
1.Süsteemi kõikide sisejõudude geomeetriline summa võrdub nulliga.
2. Süsteemi kõikide sisejõudude momentide geomeetriline summa mistahes punkti suhtes võrdub nulliga. Süsteemi kõikide sisejõudude momentide algebraline summa mistahes telje suhtes võrdub
nulliga. Kui ei ole tegemist jäiga kehaga , vaid mingite masspunktide või kehade süsteemiga, ka siis ei tarvitse sisejõud olla tasakaalus.
10. Millist masspunktide kogumit võib nimetada mehaanikaliseks süsteemiks ja millist ei nimetata
mehaanikaliseks süsteemiks?
Mehaanikalise süsteemi klassikaliseks näiteks on päikesesüsteem, milles kõik kehad mõjutavad
üksteist külgetõmbejõududega. Teiseks mehaanikalise süsteemi näiteks võib olla mistahes masin
või mehhanism , mille osad on seotud varrastega, trossidega, rihmadega jne. Süsteemi osadele
mõjuvad sel juhul sidemete kaudu üle kantavad vastastikused surve- või tõmbejõud. Kolmanda
näitena võib nimetada lõplike mõõtmetega jäika keha — need on niisugused mehaanikalised
süsteemid, milles on lõpmata palju masspunkte ja need asuvad niivõrd tihedalt üksteise kõrval, et
nad täidavad pidevalt kogu ruumiosa.
Mehaanikaliseks süsteemiks ei ole näiteks taevas lendavad linnud , sest iga üksiku linnu
liikumine ei mõjuta mehaanikaliselt teiste liikumist.
Süsteemis mõjuvatest jõududest rääkides tuleb arvestada seda, et jõudude jaotamine sise- ja
välisjõududeks on suhteline ja sõltub sellest, mida me punktide süsteemi all parajasti mõistame.
11. Panna kirja valem süsteemi masskeskme kohavektori arvutamiseks?
r­c=sum(miri)/M (kogumass)
masside ja kohavektorite korrutiste summa jagatud süsteemi kogumassiga.
12. Sõnastada süsteemi masskeskme liikumise teoreem . Kirjutada ka valem.
Süsteemi masskese liigub nagu punktmass, millesse on koondatud kogu süsteemi mass ja
millele on rakendatud kõik süsteemile mõjuvad välisjõud. Mac=sum(Fke)
14. Kas välisjõud mõjutavad süsteemi masskeskme liikumist? Sisejõud?
2.süsteemi masskeskme liikumise jäävuse seadus
Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetriline summa on null, siis süsteemi
masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal.
3.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude projektsioonide summa mingile teljele on null, siis
süsteemi masskeskme kiiruse projektsioon sellel teljel ei muutu.
16. Panna lühidalt kirja kõik 4 järeldust süsteemi masskeskme liikumise teoreemist
15. Panna kirja esimene järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist (sisejõudude mõjust
süsteemi masskeskme liikumisele).
13. Kas ja kuidas mõjutavad sisejõud süsteemi masskeskme liikumist? Iga üksiku punkti liikumist?
1.Süsteemis (seega ka jäigas kehas) mõjuvad sisejõud süsteemi masskeskme liikumist mõjutada ei saa.
mingile jäigale kehale mõjub ainult üks jõupaar. Kuna jõupaari jõudude geomeetriline summa on alati võrdne nulliga, siis ei saa jõupaar kunagi keha masskeset liigutada, ta võib ainult keha pöörlema panna ümber telje, mis läbib masskeset.
17. Panna kirja teine järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist (masskeskme liikumise
jäävuse seadus).
2.süsteemi masskeskme liikumise jäävuse seadus
Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude geomeetriline summa on null, siis süsteemi
masskese liigub ühtlaselt ja sirgjooneliselt või on paigal.
18. Panna kirja kolmas järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist (jäävuse seadus ühe telje
suhtes).
3.Kui süsteemile mõjuvate välisjõudude projektsioonide summa mingile teljele on null, siis
süsteemi masskeskme kiiruse projektsioon sellel teljel ei muutu.
19. Panna kirja neljas järeldus süsteemi masskeskme liikumise teoreemist, milles on juttu sellest, et
iga süsteemi liikumise võib jaotada kahte ossa . Millised need osad on? Mille kohta nendest
annab masskeskme liikumise teoreem informatsiooni ja mille kohta ei anna?
4.pöörlemise kohta ümber masskeskme ei ütle see teoreem midagi.
Nagu teada, võib igasuguse jäiga keha (süsteemi) liikumise jaotada kahte ossa:
1. translatoorseks liikumiseks, mille puhul kogu keha liigub nagu poolus ;
2. pöörlemiseks ümber selle pooluse (masskeskme), kui ümber paigaloleva punkti.
20. Mis on punktmassi liikumishulk ? Mis on süsteemi liikumishulk? Kas need on skalaarsed või
vektoriaalsed suurused?
21. Mis on punktmassi liikumishulk, milline on selle moodul ja suund?
22. Kuidas arvutada mehaanikalise süsteemi liikumishulka, kui süsteemi kuulub väga palju
masspunkte?
punktmassi liikumishulga vektori suund ühtib alati tema kiirusvektori suunaga K=mv
Mehaanikalise süsteemi liikumishulk on võrdne kõikide selle punktide liikumishulkade
geomeetrilise summaga ehk liikumishulkade peavektoriga.
Süsteemi liikumishulk on võrdne tema masskeskme liikumishulgaga kui sinna koondada
kogu süsteemi mass.
23. Mida nimetatakse jõu impulsiks ? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Jõu elementaarimpulsiks nimetatakse vektoriaalset suurust, mis võrdub jõu ja elementaarajavahemiku korrutisega. dJ=Fdt
Jõu impulsiks lõplikus ajavahemikus nimetatakse elementaarimpulsside integraalsummat
Jõusüsteemi peavektori impulss võrdub üksikute jõudude impulsside geomeetrilise summaga.
24. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem diferentsiaalkujul. Valem.
Süsteemi liikumishulga tuletis aja järgi võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude
geomeetrilise summaga ehk välisjõudude peavektoriga. dK/dt=sum(Fe) lüh K’=Fe
25. Sõnastada süsteemi liikumishulga teoreem integraalkujul. Valem.
Süsteemi liikumishulga muutus mingis ajavahemikus võrdub kõigi süsteemile mõjuvate
välisjõudude impulsside geomeetrilise summaga samas ajavahemikus.
Valem: (eelmise integraal) K1-K0=sum(Jke)
26. Panna lühidalt kirja kõik järeldused süsteemi liikumishulga teoreemist.
1.Süsteemis mõjuvad sisejõud ei saa mõjutada süsteemi summaarset liikumishulka.
Seda saavad mõjutada ainult süsteemile mõjuvad välisjõud.
2. süsteemi liikumishulga jäävuse seadus
Kui kõikide süsteemile mõjuvate välisjõudude peavektor võrdub nulliga, siis süsteemi
liikumishulk jääb suuruse ja suuna poolest konstantseks.
3. süsteemi liikumishulga projektsiooni jäävuse seadus:
Kui kõikide süsteemile rakendatud välisjõudude projektsioonide summa mingil teljel
võrdub nulliga, siis süsteemi liikumishulga projektsioon sellel teljel jääb konstantseks.
4. Süsteemi liikumishulga teoreem annab informatsiooni ainult translatoorse liikumise osa
kohta ja ei ütle midagi süsteemi pöörlemise kohta ümber masskeskme.
5. Süsteemi masskeskme liikumise teoreem ja liikumishulga teoreem on ühe ja same sisu kaks
eri vormi. Kui üks on juba ära kasutatud, siis teine põhimõtteliselt uut informatsiooni meile ei anna.
näide. Vaatame propellerlennukit ja selle propelleri poolt liikumapandud õhumassi süsteemi summaarne liikumishulk peab jääma võrdseks nulliga — kui õhumass liigub ühes suunas, siis peab lennuk liikuma teises suunas.
27. Panna kirja esimene järeldus süsteemi liikumishulga teoreemist sisejõudude kohta.
28. Panna kirja teine järeldus süsteemi liikumishulga teoreemist (jäävuse seadus).
29. Panna kirja kolmas järeldus süsteemi liikumishulga teoreemist (jäävuse seadus ühe telje suhtes).
30. Panna kirja neljas järeldus süsteemi liikumishulga teoreemist, milles on juttu sellest, et iga
süsteemi liikumise võib jaotada kahte ossa. Millised need osad on? Mille kohta nendest annab
liikumishulga teoreem informatsiooni ja mille kohta ei anna?
31. Panna kirja viies järeldus süsteemi liikumishulga teoreemist, milles võrreldakse süsteemi
masskeskme liikumise teoreemi ja liikumishulga teoreemi.
32. Mis määrab ära süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse?
süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse määrab ära süsteemi välisjõudude peavektor
33. Millal on süsteemi liikumishulk võrdne nulliga?
Kui süsteemi masskeskme kiirus on võrdne nulliga K=mvc
34. Mis ühist on süsteemi liikumishulga teoreemil ja masskeskme liikumise teoreemil?
Sisuliselt sama eri vormid. Vt järeldus 5
35. Mida iseloomustab keha inertsmoment antud telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne
suurus? Kas see saab olla ka negatiivne?
Keha massijaotust vaadeldava telje suhtes. Skalaarne. Mittenegatiivne.
36. Milleks on vaja inertsmomente? Kas translatoorse liikumise uurimiseks, või pöördliikumise
uurimiseks, või mõlema uurimiseks, või mitte kummagi uurimiseks?
keha inertsmoment antud telje suhtes on inertsi mõõduks pöörlemisel ümber antud telje
37. Mida nimetatakse süsteemi inertsmomendiks mingi telje suhtes? Valem.
Süsteemi (keha) inertsmomendiks antud telje suhtes nimetatakse skalaarset suurust, mis
võrdub süsteemi (keha) kõikide punktide masside ja nende antud teljest arvatud kauguste
ruutude korrutiste summaga.
38. Kirjutada inertsmomendi () neli iseloomulikku omadust (internetiõpiku põhjal).
Esiteks: inertsmoment on skalaarne suurus (see selgub definitsioonist).
Teiseks: keha (süsteemi) inertsmoment mingi telje suhtes iseloomustab keha (süsteemi)
massijaotust selle telje suhtes.
Kolmandaks : inertsmoment mingi telje suhtes on alati mittenegatiivne suurus.
Valemist (9.1) näeme tõepoolest, et I z ei saa kunagi negatiivne olla.
Äärmisel juhul võib see olla null — siis kui kõik süsteemi punktid
asetsevad täpselt vaadeldava telje peal.
Neljandaks: keha inertsmoment antud telje suhtes on inertsi mõõduks pöörlemisel ümber
antud telje.
Nii nagu mass on inertsi mõõduks keha translatoorsel liikumisel, nii on inertsmoment
inertsi mõõduks keha pöörlemisel ümber antud telje.
39. Mis on keha (süsteemi) inertsmoment punkti O suhtes?
Polaarinertsmoment I0=miri2 r2=x2+y2+z2 r-vaadeldava punkti kaugus 0-st ruumis
I0=sum(mi(xi2+yi2+zi2))
40. Kuidas on seotud inertsmomendid x-, y-, z-telje ja punkti O suhtes? Kirjutada see välja ka
erijuhul, kui süsteem on tasapinnaline.
Ix+Iy+Iz=2I0 tasapinnal I0=Iz=Ix+Iy
41. Mis on keha inertsiraadius mingi telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Milline on keha inertsmoment telje suhtes inertsiraadiuse kaudu?
Keha inertsiraadiuseks antud telje suhtes nimetatakse sellise punkti kaugust teljest,
millesse tuleks koondada kogu keha mass, et selle punktmassi inertsmoment võrduks keha
inertsmomendiga antud telje suhtes. I=Mi2 M-kogu keha mass
42. Kirjutada vähemalt viie keha inertsmomendid.
43. Sõnastada Huygensi teoreem. Valem.
Keha inertsmoment mingi telje suhtes võrdub summaga, milles üks liige on inertsmoment
antud teljega paralleelse ja masskeset läbiva telje suhtes ning teine liige on keha massi ja
telgedevahelise kauguse ruudu korrutis. Iz=Iz1+md2
44. Mis on peainertsteljed? Mis on tsentraalpeainertsteljed?
1. Kui keha (süsteemi) kõik kolm tsentrifugaalinertsmomenti võrduvad nulliga, siis tema telgi
nimetatakse peainertstelgedeks koordinaatide alguspunktis.
2. Inertsmomente peainertstelgede suhtes nimetatakse peainertsmomentideks.
3. Keha masskeskmest lähtuvaid peainertstelgi nimetatakse tsentraalpeainerts- telgedeks .
4. Inertsmomente tsentraalpeainertstelgede suhtes nimetatakse tsentraalpeainertsmomentideks.
45. Kuidas asetsevad peainertsteljed ühtlase ümarplaadi korral, kui see pöörleb ümber z-telje, mis
läbib küll plaadi keskpunkti, kuid on kinnitatud plaadiga viltu (mitte risti)?
Mööda ümarplaadi sümmeetriatelgi, lisaks plaadi sümmeetriatasapinnaga risti.
46. Kuidas asetsevad peainertsteljed ühtlase varda korral, mis on kinnitatud pöörlemistelje (z-telje)
külge viltu, kusjuures telg läbib varda otspunkti?
keha tsentraalpeainertstelje igas punktis on peainertsteljed paralleelsed tsentraalpeainertstelgedega
üks neist läheb piki varrast ja ülejäänud sümmeetriateljed läbivad varda tsentrit C ning peavad olema vardaga risti
47. Kus on peainertstelg (-teljed) sümmeetrilise keha korral?
Kui ühtlasel kehal on sümmeetriatelg, siis on see ka üheks tsentraalpeainertsteljeks.
48. Kus on peainertstelg juhul, kui kehal on sümmeetriatasapind?
Kui ühtlasel kehal on sümmeetriatasapind, siis selle tasapinna igas punktis üks peainertstelg on risti selle tasapinnaga.
49. Mis on tsentraalpeainertsteljed ja tsentraalpeainertsmomendid?
3. Keha masskeskmest lähtuvaid peainertstelgi nimetatakse tsentraalpeainerts-telgedeks.
4. Inertsmomente tsentraalpeainertstelgede suhtes nimetatakse tsentraalpeainertsmomentideks.
50. Mis on tsentrifugaalinertsmomendid?
Ixy=sum(mixiyi)
51. Loetleda tsentrifugaalinertsmomentide 6 omadust (internetiõpiku põhjal).
1) Kuna korrutis ei olene tegurite järjekorrast, siis
I xy = I yx ; I yz = I zy ; I zx = I xz
2) Tsentrifugaalinertsmomendid on muutuvad suurused. Tõepoolest, kui seade pöörleb näiteks ümber z-telje, siis tema punktide koordinaadid xi ja yi ju kogu aeg muutuvad ja seetõttu muutuvad ju ka Ixy , I yz ja I zx .
3) Tsentrifugaalinertsmomendid võivad olla nii positiivsed kui ka negatiivsed suurused ja erijuhtumil, telgede xyz sobival valikul , saada võrdseks nulliga. Selle poolest erinevad tsentrifugaalinertsmomendid tavalistest teljelistest inertsmomentidest, mis ei saa kunagi olla negatiivsed (vt. valemit 9.1). Tsentrifugaalinertsmomendi märk oleneb süsteemi (keha) punktide koordinaatidest ning nende märkidest antud ajahetkel.
4) Tsentrifugaalinertsmomendid muudavad pöörleva süsteemi uurimise äärmiselt tülikaks ettevõtmiseks. Seetõttu püütakse nendest võimaluse korral lahti saada.
5) Tsentrifugaalinertsmomendid on skalaarsed suurused, mis iseloomustavad keha (süsteemi) massijaotust.
6) Tsentrifugaalinertsmomendid iseloomustavad mittesümmeetriat keha massijaotuses.
52. Millised tsentrifugaalinertsmomendid on nullid juhul, kui kehal on sümmeetriatelg?
Sümmeetriatelg z, siis sama indeksit sisaldavad momendid Ixz=0 Iyz=0
53. Millised tsentrifugaalinertsmomendid on nullid juhul, kui kehal on sümmeetriatasand?
Nulliga võrduvad just need tsentrifugaalinertsmomendid, mille üheks indeksiks on selle
sümmeetriatasapinnaga ristuv telg
54. Mitu tsentrifugaalinertsmomenti ja millist võrduvad nulliga juhul, kui kehal on x- ja y-teljed
sümmeetriatelgedeks?
Kui aga kehal on kaks sümmeetriatelge, siis on võimalik lahti saada kõigist kolmest tsentrifugaalinertsmomendist
55. Mitu tsentrifugaalinertsmomenti ja millist võrduvad nulliga juhul, kui kehal on xy-
koordinaattasapind sümmeetriatasandiks?
Kui kehal on sümmeetriatasapind siis, võttes ühe koordinaattelje risti selle tasapinnaga
ning alguspunktiga sellel tasapinnal, on kaks tsentrifugaalinertsmomenti võrdsed nulliga.
Kui näiteks sümmeetriatasapinnaks on xy-koordinaattasapind, siis sellega ristub z-telg ja seetõttu ongi
I xz = 0 ja I yz = 0 .
56. Mis on tsentrifugaalinertsmomendid ja milleks neid üldse vaja läheb?
Võimaldavad kirjeldada teljega mittesümmeetrilise keha masskeskme asetust tasapinnal.
57. Mis on
ja kirjutada selle valem? =sum(mixiyi)
58. Mis on
ja kirjutada selle valem? =sum(mixizi)
59. Mis on
ja kirjutada selle valem? =sum(miyizi)
60. Mis on
ja kirjutada selle valem? =sum(mixi2)
61. Mis on
ja kirjutada selle valem? Inertsi mõõt pöörlemisel ümber y-telje
62. Mis on
ja kirjutada selle valem?
63. Kas tsentrifugaalinertsmomendid võivad olla nullid? Negatiivsed?
Jah. Sõltuvad punkti koordinaatidest.
64. Mis on inertsellipsoid (selgitada oma sõnadega)?
Suunates suvalises keha punktis koordinaatteljed mööda selle punkti jaoks ehitatud
inertsellipsoidi sümmeetriatelgi, saame kõik tsentrifugaalinertsmomendid võrdsustada nulliga.
Keha mingi punkti jaoks ehitatud inertsellipsoid on selline pind, mille tsenter asub selles
punktis ja mis määrab ära inertsmomendid suvalise telje jaoks, mis antud punktist lähtuvad
ning mis moodustatakse võrrandi 0P = 1/ I p alusel
65. Millega võrduvad tsentrifugaalinertsmomendid juhul, kui telgedeks on võetud peainertsteljed?
Analüütilisest geomeetriast on teada, et kui suunata koordinaatteljed hoopis mööda sümmeetriatelgi, siis
langevad tema võrrandis korrutistega liikmed (xy ; yz ; zx) ära, sest nende kordajad võrduvad siis nulliga.
66. Mida nimetatakse punktmassi liikumishulga momendiks tsentri O suhtes?
Masspunkti liikumishulga momendiks mingi tsentri suhtes nimetatakse sellesse tsentrisse rakendatud vektorit, mis võrdub sellest tsentrist punktmassini tõmmatud kohavektori ja punktmassi liikumishulga vektorkorrutisega. L0=r x mv
67. Kuhu on suunatud antud tsentri O suhtes võetud punktmassi liikumishulga momendi vektor ?
Milline on selle moodul?
Vektor Lo lähtub vaadeldavast tsentrist 0 ja on alati risti r ja mv vektoritest moodustuva tasapinnaga,suunatud kruvireeglijärgi, kui pöörata r vektorit mv suunas.
Moodul Lo=r*mv*sin( lambda )=mv*d, kus d on tsentrist liikumise sihile tõmmatud ristlõigu pikkus
68. Kirjutada punktmassi liikumishulga moment tsentri O suhtes kolmerealise determinandi abil.
L0=[i j k; x y z; mx’ my’mz’], kus r=[i j k]
L0=iL0x+jL0y+kL0z
69. Mida nimetatakse punktmassi liikumishulga momendiks telje suhtes? Valem.
masspunkti liikumishulga moment telje suhtes defineeritakse analoogiliselt jõu momendiga telje suhtes.
Masspunkti liikumishulga momendiks telje suhtes nimetatakse skalaarset suurust, mis on võrdne selle teljega ristuval tasapinnal võetud liikumishulga projektsiooni mooduli ja õla korrutist, võetuna vastava märgiga. Lz = ± mv xy ⋅ h
Kui (antud juhul) z-telje positiivsest otsast vaadatuna püüab masspunkt pöörelda ümber
z-telje vastupäeva, siis kokkuleppeliselt nimetatakse seda momenti positiivseks .
masspunkti liikumishulga moment tsentri suhtes on vektor, liikumishulga moment telje suhtes on aga skalaarne suurus, kusjuures mõlemad arvutatakse justkui jõu momendid.
70. Mis on süsteemi kineetiline moment tsentri O suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne
suurus?
süsteemi kõigi masspunktide jaoks liikumishulga momendid koordinaatide alguse 0 suhtes. Vektoriaalne
Süsteemi liikumishulkade peamoment kannabki nimetust kineetiline moment
71. Mis on süsteemi kineetiline moment telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Kuna kõikide masspunktide liikumishulkade momendid telje suhtes on skalaarsed suurused, siis
süsteemi summaarse liikumishulga momendi leidmiseks z-telje suhtes tuleb kõik need suurused
kokku liita algebraliselt
72. Milliste valemitega saab arvutada jäiga keha kineetilist momenti x-, y- ja z-telje suhtes juhul,
kui keha pöörleb ümber z-telje kui ümber kinnistelje?
Süsteemi või jäiga keha kineetiline moment kinnistelje suhtes on selle telje suhtes võetud
inertsmomendi ja nurkkiiruse korrutis Liz = mivixyhi = mivihi = miωzhi2
Lz=sum(miwzhi2) =w*sum(mh2)=Izwz
73. Millal on punktmassi liikumishulga moment tsentri suhtes null?
Kui masspunkt asub samas tsentris, kiirus on null või massp liikumise siht läbib tsentrit.
74. Millal on punktmassi liikumishulga moment telje suhtes null?
kui v=0,õlg h=0, kiirusvektor on teljega paralleelne
75. Kirjutada punktmassi liikumishulga ja antud tsentri O suhtes võetud liikumishulga momendi
avaldised . Kui suur on nurk nende vektorite vahel?
L0=r x K=r x mv nad on risti e 90 kraadi
76. Sõnastada Königi I teoreem. Valem.
Süsteemi kineetiline moment liikumatu punkti suhtes võrdub vektorsummaga masskeskme liikumishulga momendist selle punkti suhtes, kui masskeskmesse koondada kogu süsteemi mass, ja süsteemi kineetilisest momendist masskeskme suhtes relatiivsel liikumisel ümber masskeskme kui ümber paigaloleva punkti. L0=rc x Mvc + Lrc
77. Milliseid telgi nimetatakse Königi telgedeks?
Königi telgedeks nimetatakse selliseid koordinaattelgi, mille alguspunkt on alati süsteemi masskeskmes ja mis liiguvad translatoorselt koos kogu süsteemiga.
78. Mis on süsteemi kineetiline moment tsentri suhtes?
L0= sum(r x mv)
süsteemi kõigi masspunktide jaoks liikumishulga momendid koordinaatide alguse 0 suhtes. Vektoriaalne
Süsteemi liikumishulkade peamoment kannabki nimetust kineetiline moment
79. Sõnastada süsteemi kineetilise momendi teoreem. Valem.
Mingi liikumatu punkti suhtes võetud süsteemi kineetilise momendi tuletis aja järgi võrdub kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude sama punkti suhtes võetud momentide geomeetrilise summaga.
80. Panna lühidalt kirja kõik järeldused süsteemi kineetilise momendi teoreemist.
81. Panna kirja esimene järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist sisejõudude kohta.
82. Panna kirja teine järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist (jäävuse seadus).
83. Panna kirja kolmas järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist (jäävuse seadus ühe telje
suhtes).
84. Panna kirja neljas järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist (kineetilise momendi teoreem
relatiivsel liikumisel).
85. Panna kirja viies järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist (kineetilise momendi
teoreemi erikuju süsteemi pöörlemisel ümber kinnistelje).
86. Panna kirja kuues järeldus süsteemi kineetilise momendi teoreemist – jäiga keha pöörlemise
diferentsiaalvõrrand.
1. Sisejõud süsteemi summaarset kineetilist momenti muuta ei saa
2. Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude momentide geomeetriline summa mingi punkti suhtes on null, siis süsteemi kineetiline moment selle punkti suhtes ei muutu kogu liikumise vältel. (jäävus)
3. Kui kõigi süsteemile mõjuvate välisjõudude momentide algebraline summa mingi telje suhtes on null, siis süsteemi kineetiline moment selle telje suhtes ei muutu kogu liikumise vältel.
4. Süsteemi kineetilise momendi teoreem masskeskme suhtes relatiivsel liikumisel ümber masskeskme Königi telgede suhtes moodustatakse nii, nagu masskese oleks liikumatu punkt.
5. Kui süsteemi pöörlemisel ümber kinnistelje on kõikide välisjõudude momentide summa selle telje suhtes null, siis on nurkkiiruse ja selle telje suhtes võetud süsteemi inertsmomendi korrutis jääv suurus.
Ehk veel:
Kui süsteemi pöörlemisel ümber kinnistelje on kõikide välisjõudude momentide summa selle telje suhtes null, siis on nurkkiirus pöördvõrdeline selle telje suhtes võetud süsteemi inertsmomendiga.
6. Iz*fii’’=Mze
87. Mis määrab ära süsteemi kineetilise momendi muutumise kiiruse?
Mingi liikumatu punkti suhtes võetud süsteemi kineetilise momendi muutumise kiiruse (tuletis) määrab ära sama punkti suhtes võetud süsteemi välisjõudude momentide geomeetriline summa.
88. Mis on jõu elementaartöö? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Jõu elementaartööks nimetatakse skalaarset suurust, mis võrdub jõu ja selle rakenduspunkti
elementaarsiirde skalaarkorrutisega
dW = Fds cosλ dW= F dr
Siin on võrrandi vasakul poolel töö W asemel diferentsiaal dW, sest lõpmata väikesel teeosal tehakse ju ka lõpmata vähe tööd.
89. Panna kirja 3 üldist valemit jõu töö arvutamiseks (integraalide abil).
1. Jõu F töö on võrdne joonintegraaliga üle jõu rakenduspunkti poolt läbitud joone alguspunktist A1 lõpp-punktini A2 avaldisest F cosλ ds . W= ∫Fcosλds ( rajad A1, A2)
2. W= ∫Fdr
3. W= ∫(Fxdx+Fydy+Fzdz)
90. Kuidas arvutada jõu tööd üldjuhul, kui jõud on muutuv suurus ja ta rakenduspunkt läbib
kõverjoonelise trajektoori?
1. Jõu F töö on võrdne joonintegraaliga üle jõu rakenduspunkti poolt läbitud joone alguspunktist A1 lõpp-punktini A2 avaldisest F cosλ ds . W= ∫Fcosλds (rajad A1, A2)
91. Kuidas arvutada momendi tööd?
W=∫Mz(F) dϕ (rajad 0st ϕ1-ni), konstantse momendi korral W=Mϕ1(arvesta märki, samasuunaline+)
92. Millal on jõu töö võrdne nulliga?
Kui vektorid on risti cos90=0
93. Mida kujutab endast avaldis ?
Jõu elementaartööks nimetatakse skalaarset suurust, mis võrdub jõu ja selle rakenduspunkti
elementaarsiirde skalaarkorrutisega. Lõpmata lühike distants, mis on ligikaudu sirgjooneline.
94. Mida kujutab endast avaldis ?
Eelmisest saame integreerides valemi jõu töö arvutamiseks. Elementaartööde summa
95. Mida kujutab endast avaldis ?
Fdr vektorite projektsioonid eraldi
96. Sõnastada teoreem resultantjõu tööst mingil teeosal.
Mingile punktile mõjuvate jõudude resultandi töö suvalisel teekonnal võrdub
komponentjõudude tööde summaga samal teekonnal.
97. Kui suur on libisemishõõrdejõu () töö juhul, kui ratas veereb libisemata?
Veeretakistusmomendi töö?
Libisemishõõrdejõud H ei tee kunagi tööd, kui veeremine toimub ilma libisemata
WM = −Mv ⋅ϕ v , (see on alati negatiivne), kusjuures Mv =κN , kus κ on veeretakistustegur ja ϕ = s/r
98. Millise valemiga arvutatakse momendi
tööd juhul, kui see on muutuv suurus? Kui see on
konstantne suurus?
W=∫Mz(F) dϕ (rajad 0st ϕ1-ni), konstantse momendi korral W=Mϕ1(arvesta märki, samasuunaline+)
99. Millega võrdub vedru elastsusjõud?
Fx = −cx
100. Mis on vedru jäikustegur?
võrdetegur c kannab nimetust vedru jäikustegur ja ta näitab sisuliselt millist jõudu on vaja rakendada selleks, et vedru pikkust muuta ühe pikkusühiku võrra
101. Mida nimetatakse jõu võimsuseks? Valem. Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Jõu võimsuseks nimetatakse tema töö muutumise kiirust antud ajahetkel. P=dW/dt
Skalaarne, jõu projekteerimisel puutujale (kiiruse sihile) võib kasutada vetorite mooduleid.
102. Kuidas arvutada jõu võimsust?
Jõu võimsus võrdub jõu ja tema rakenduspunkti kiirusvektori skalaarkorrutisega.
103. Mida nimetatakse konservatiivseks jõuks?
Konservatiivseteks ehk potentsiaalseteks jõududeks nimetatakse niisuguseid jõudusid, mille töö ei sõltu jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust ega pikkusest, vaid ainult alg- ja lõppasendist.
104. Mida nimetatakse konservatiivseks jõuks ja mida dissipatiivseks jõuks?
105. Mida nimetatakse dissipatiivseks jõuks?
Dissipatiivseteks jõududeks nimetatakse niisuguseid jõudusid, mille töö oleneb jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust ja pikkusest.
106. Milliseid konservatiivseid jõudusid te teate?
raskusjõud ja elastsusjõud konservatiivsed jõud, aga samuti suvaline suunalt ja suuruselt konstantne jõud.
107. Milliseid dissipatiivseid jõudusid te teate?
näiteks hõõrdejõud ja keskkonna takistusjõud, nt viskoosne takistus
108. Mille poolest erinevad konservatiivsed jõud teistest jõududest?
Nende töö sõltub vaid jõu rakenduspunkti alg- ja lõppasendist ning ei sõltu üldse jõu rakenduspunkti poolt läbitud trajektoori kujust nende punktide vahel
109. Mis on ekvipotentsiaalpind?
Ekvipotentsiaalpinnaks ehk potentsiaalse energia tasemepinnaks nimetatakse selliseid pindu,
mille igas punktis on potentsiaalsel energial ühesugune väärtus.
110. Mis on potentsiaalne energia (selgitada oma sõnadega)?
töövaru, mida masspunkt omab asendi tõttu võrreldes mingi teise asendiga
111. Kuidas on seotud elementaartöö ja elementaar-potentsiaalne energia?
Masspunktile mõjuva jõu elementaartöö on võrdne miinusmärgiga selle masspunkti elementaarpotentsiaalenergiaga
112. Kuidas asetseb konservatiivne jõud ekvipotentsiaalpinna suhtes?
konservatiivne jõud peab olema risti ekvipotentsiaalpinnaga tehtud töö on W = C1 −C1 = 0
Konservatiivne jõud on alati risti ekvipotentsiaalpinnaga ja on suunatud seejuures
potentsiaalse energia kahanemise suunas.
113. Millega võrdub konservatiivse jõu töö üle kinnise kontuuri? Üle lahtise kontuuri punktist A
punkti B?
Konservatiivse jõu töö üle kinnise trajektoori on alati null.
WAB=VA – VB -dV=(Fxdx+Fydy+Fzdz)
114. Millise skalaarfunktsiooni gradiendiks on potentsiaalne energia?
Konservatiivne jõud on skalaarfunktsiooni −V(x, y, z) gradiendiks
115. Kuidas avaldub tehtud töö potentsiaalsete energiate kaudu? Kineetiliste energiate kaudu?
konservatiivse jõu poolt tehtud töö avaldub potentsiaalse energia väärtuste vahena, kusjuures algasendi potentsiaalsest energiast tuleb ära võtta lõppasendi potentsiaalne energia.
Masspunkti kineetilise energia muut masspunkti liikumisel algasendist lõppasendisse on võrdne punktile mõjuva jõu poolt tehtud tööga sellel liikumisel
116. Millega on võrdne antud jõuvälja punktis asetseva punktmassi potentsiaalne energia?
Punktmassi potentsiaalne energia antud jõuvälja punktis on võrdne tööga, mida teevad punktmassile mõjuvad välja jõud punktmassi liikumisel antud punktist tagasi ”nullpunktini”.
117. Millega on võrdne punktmasside süsteemi potentsiaalne energia?
Punktmasside süsteemi potentsiaalne energia antud asendis on võrdne tööde summaga, mida teevad süsteemile mõjuvad potentsiaalsed jõud süsteemi liikumisel antud asendist tagasi ”nullasendini”.
118. Millega võrdub punktmassi kineetine energia? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus?
Kuidas see sõltub punkti liikumise suunast ?
T=mv2/2 Skalaarne, ei sõltu suunast, alati mittenegatiivne.
119. Kuidas arvutada mehaanikalise süsteemi kineetilist energiat?
Punktmasside süsteemi kineetiliseks energiaks nimetatakse skalaarset suurust, mis võrdub süsteemi kõikide punktide kineetiliste energiate summaga
120. Kuidas arvutada jäiga keha kineetilist energiat kolmel erijuhul: a) translatoorsel liikumisel, b)
pöörlemisel ümber kinnistelje, c) tasapinnalisel liikumisel?
a) T=mv2/2 b) Tz=Izω2/2
c) tasapinnalisel liikumisel toimub pöörlemine alati ümber tasapinnaga ristuva telje
121. Sõnastada Königi II teoreem. Valem.
Süsteemi (jäiga keha) kineetiline energia võrdub summaga masskeskme kineetilisest energiast,
kui masskeskmesse koondada kogu süsteemi mass, ja süsteemi kineetilisest energiast relatiivsel
liikumisel ümber masskeskme kui ümber paigaloleva punkti Königi telgede suhtes.
122. Milliste valemitega saab arvutada jäiga keha kineetilist energiat sfäärilise liikumise korral?
peainertstelgede suhtes
123. Sõnastada süsteemi kineetilise energia teoreem. Valem.
Süsteemi kineetilise energia muutus tema liikumisel ühest asendist teise võrdub kõigi süsteemis mõjuvate välis- ja sisejõudude tööde summaga sellel liikumisel.
124. Panna kirja kõik järeldused süsteemi kineetilise energia teoreemist.
1. Kineetilise energia teoreem on esimene süsteemi üldteoreem, kus tuleb arvestada ka süsteemi __sisejõudusid.
2. Süsteemi sisejõudude töö muutumatu süsteemi korral on null.
3. Ideaalsete sidemetega süsteemi puhul on reaktsioonijõudude tööde summa võrdne nulliga
__ja seetõttu on kineetilise energia teoreemis vaja leida ainult aktiivsete jõudude tööd.
4. Konservatiivsete jõudude mõju all oleva süsteemi mehaanikaline energia on konstantne.
5. Kineetilise energia teoreem süsteemi relatiivsel liikumisel Königi telgede suhtes koostatakse
samuti nagu absoluutsel liikumisel.
125. Sisejõudude osa süsteemi kineetilise energia teoreemis üldjuhul.
Teoreetiline mehaanika deformeeruvate kehadega ei tegele, st sisejõudude töö on üldjuhul null.
126. Mis on nn muutumatu süsteem ja millega on võrdne süsteemi sisejõudude töö sel juhul
(süsteemi kineetilise energia teoreemi järelduse põhjal)?
Muutumatuks süsteemiks nimetatakse niisugust süsteemi, milles sisejõudude rakenduspunktide vahelised kaugused ei muutu Süsteemi sisejõudude töö muutumatu süsteemi korral on null.
127. Millised sidemed on nn ideaalsed sidemed?
reaktsioonijõudude tööde summa võrdne nulliga
128. Millega on võrdne süsteemi reaktsioonjõudude töö juhul, kui kõik sidemed on ideaalsed? null
129. Panna kirja järeldus kineetilise energia teoreemist energia jäävuse kohta.
4. Konservatiivsete jõudude mõju all oleva süsteemi mehaanikaline energia on konstantne. V+T
130. Panna kirja järeldus kineetilise energia teoreemist süsteemi relatiivsel liikumisel Königi
telgede suhtes. 5. samuti nagu absoluutsel liikumisel
131. Panna kirja süsteemi kineetilise energia teoreem diferentsiaalkujul.
Süsteemi kineetilise energia tuletis aja järgi võrdub kõikide süsteemile rakendatud välis- ja
sisejõudude võimsuste summaga
132. Millist osa mängivad sisejõud süsteemi kineetilise energia ja kineetilise momendi
teoreemides?
133. Mis on d’ Alembert ’i inertsjõud ja kuhu on see suunatud?
kui niisugune jõud mõjuks vaadeldavale masspunktile 1, siis sellele osakesele rakendatud jõud oleksid tasakaalus
kiirendusele vastassuunas.
134. Sõnastada d’Alembert’i printsiip mehaanikalise süsteemi korral.
Kui rakendada mistahes ajahetkel süsteemi kõikidele masspunktidele peale tegelikult mõjuvate jõudude veel vastavad inertsjõud, siis saadakse tasakaalus olev jõusüsteem, mille kohta võib kasutada kõiki staatika võrrandeid ja teoreeme.
135. Mida kujutab endast kinetostaatika meetod?
Dünaamika ülesannete lahendamise meetodit inertsjõudude kasutamisega nimetatakse kinetostaatikaks.
136. Mida te võite öelda süsteemi tegeliku tasakaalu kohta d’Alembert’i printsiibi kasutamise
korral?
Tegelikult ei ole tasakaalus kuna kehad ikkagi liiguvad kiirendustega
137. Mida mõeldakse sellega, kui öeldakse, et inertsjõud on fiktiivsed jõud?
See lisatakse (mõeldakse juurde) kehale tegelikele jõududele tasakaaluks
138. Mida mõeldakse sellega, kui öeldakse, et d’Alembert’i printsiip on formaalne printsiip?
kasutatakse ainult sellepärast, et oleks võimalik dünaamika ülesandeid lahendada staatika meetoditega (formaalselt on ju jõud tasakaalus ja seega on tegemist tõepoolest staatika ülesandega).
139. Panna kirja jäiga keha inertsjõudude peavektori ja peamomendi avaldised liikumise kolmel erijuhul (a) translatoorne- ; b)pöörlemine ümber kinnistelje, mis läbib masskest; c)tasapinnaline liikumine).
140. Millega võrdub süsteemi inertsjõudude peavektor? Valem.
Inertsjõudude peavektor on moodulilt võrdne süsteemi kogumassi ja masskeskme kiirenduse korrutisega, suunatud on ta vastupidiselt masskeskme kiirendusega . (liikumishulk)
141. Millega võrdub süsteemi inertsjõudude peamoment? Valem.
a. tsentri o suhtes
b. masskeskme suhtes
142. Millega võrduvad süsteemi inertsjõudude peavektor ja peamoment?
Jõusüsteemi peavektori ja peamomendiga, kuid neile vastu.
143. Kuidas asetsevad teineteise suhtes d’Alembert’i inertsjõud ja kiirusvektor kiireneva
sirgjoonelise liikumise korral? Aeglustuva sirgjoonelise liikumise korral?
Kiirendusele vastu (kiireneval vastupidi ja aeglustuval samas suunas)
144. Tõmmata järgnevas nimestikus alla skalaarsed (vektoriaalsed) suurused. Sellesse nimestikku võivad kuuluda : 1) virtuaalsiire; 2) jõu töö; 3) jõu võimsus; 4) jõu impulss; 5) mass; 6) mass keskme Descartesi koordinaadid; 7) masspunkti liikumishulk; 8) süsteemi liikumishulk; 9) masspunkti liikumishulga moment tsentri suhtes; 10) masspunkti liikumishulga moment telje suhtes; 11) süsteemi kineetiline moment tsentri suhtes; 12) süsteemi kineetiline moment telje suhtes; 13) keha inertsmoment telje suhtes; 14) keha inertsmoment punkti O suhtes; 15) tsentrifugaalinertsmoment; 16) inertsiraadius; 17) d’Alembert’i inertsjõud; 18) normaalkiirendusele vastav inertsjõud; 19) tangensiaalkiirendusele vastav inertsjõud; 20) jõu elementaartöö; 21) punktmassi kineetiline energia; 22) jäiga keha kineetiline energia; 23) potentsiaalne energia; 24) inertsjõudude peamoment masskeskme C suhtes; 25) inertsjõudude peamoment z-telje suhtes; 26) peainertsmoment; 27) virtuaaltöö; 28) veereva ratta liikumishulk; 29) pöörleva keha kineetiline energia; 30) inertsjõudude peavektor; 31) punkti absoluutse siirde projektsioon x-teljele; 30) kineetiline energia jäiga keha translatoorsel liikumisel; 31) dissipatiivne jõud; 32) konservatiivne jõud; 33) jõud; 34) jõu projektsioon teljele; 35) jõu projektsioon tasapinnale; 36) jõu moodul; 37) jaotatud jõud; 38) jõu moment punkti suhtes; 39) jõu moment telje suhtes; 40) sideme reaktsioonjõud; 41) jõusüsteemi peamoment; 42) hõõrdejõud; 43) hõõrdetegur; 44) jõudude mingi telje suhtes võetud momentide summa; 45) jõupaari moment; 46) veeretakistustegur; 47) jõudude mingil teljel võetud projektsioonide summa; 48) punkti loomulik koordinaat; 49) punkti Descartes’i koordinaadid; 50) punkti liikumise kiirus; 51) punkti liikumise kiirendus; 52) nurkkiirus; 53) nurkkiirendus ; 54) normaalkiirendus; 55) tangensiaalkiirendus; 56) punkti kiiruse projektsioon teljele; 57) punkti kiiruse projektsioon tasapinnale; 58) punkti kiirenduse projektsioon teljele; 59) punkti kiirenduse projektsioon tasapinnale; 60) trajektoori kõverusraadius; 61) punkti kaasaliikumise kiirus; 62) punkti relatiivne kiirus; 63) punkti kaasaliikumise kiirendus; 64) punkti relatiivne kiirendus; 65) punkti kaugus pöörlemisteljest; 66) Coriolise kiirendus; 67) punkti poolt läbitud kaare pikkus
19