Loeng2 (0)

Slide 1

Harilik lineaarne  regressioonmudel

Loenguplaan

• Seos kahe tunnuse vahel –  kovariatsioon
–  korrelatsioon • Harilik lineaarne regressioonmudel –  Vähimruutude  meetod parameetrite hinnangute leidmiseks
– Parameetrite tõlgendamine
– Standardvead, usalduspiirid
– Parameetrite statistilise olulisuse kontrollimine
– Determinatsioonikordaja
– Mudeli  korrektne esitamine
– Erindi mõju
– Vabaliikme olulisus
– Mittelineaarsed lineariseeritavad mudelid

Kovariatsioon

( )( ) XY X Y E X Y    = − −     μ X ja μY on vastavalt suuruste X ja Y  keskväärtused ( )( )

1 1 n XY i i i x x y y n  = = − −  Diskreetsete tunnuste korral X Y XY X Y      − 

 Erinevalt dispersioonist võib kovariatsioon olla 
nii positiivne kui ka negatiivne covariation – koos muutumine ( )2

2 X E X     = −   Dispersioon: ühe suuruse  hajumine

Kovariatsioon: 
kahe suuruse 
koosmuutumine ( )2

2 1 1 n i i x x n  = = −  [ ], [ ] X Y E X E Y   = =

Kovariatsiooni omadused

XYYX   =

1. Sümmeetrilisus 2. Kui X=Y, siis 2 XX X   =

• Kovariatsioon on dispersiooni  üldistus
• Dispersioon on kovariatsiooni  erijuht :   kovariatsioon  iseendaga

3.  Sõltumatute juhuslike suuruste kovariatsioon on võrdne nulliga: 0 XY  =

Vastupidine  ei kehti, st kui kovariatsioon on null, 
ei pruugi suurused olla sõltumatud. Näiteks

4. Kui  σ XY ≠ 0, siis nimetatakse suurusi X ja Y korreleeruvateks

Positiivne kovariatsioon: suurematele X väärtustele  vastavad  ka suuremad Y väärtused, väiksematele X väärtustele  väiksemad Y väärtused Negatiivne kovariatsioon: suurematele X väärtustele  vastavad väiksemad Y väärtused, väiksematele X
väärtustele suuremad Y väärtused.

0 XY   0 XY  
Korrelatsioonikordaja

• Kovariatsiooni puudus: absoluutväärtus võib olla väga  suur! => Raske hinnata seose tugevust. • Normeeritakse nii, et absoluutväärtuse maksimaalne  väärtus oleks 1

1 1 XY XY XY X Y r r    = −  

• Korrelatsioonikordaja absoluutväärtus näitab lineaarse  seose tugevust. • Märk näitab seose suunda: positiivne või negatiivne. Korrelatsioonikordaja A ja C vahel on tugevam seos kui A ja B vahel. r AB = 0,58 r AC= - 0,87 X Y XY X Y      −  
Näide: positiivne ja negatiivne  korrelatsioon Elektrienergia  tarbimine 
Suurbritannia  erinevates linnades 
1930. aastate lõpus.
Andmed  pärinesid  42 linnast. Allikas: Houthakker, H. S. 1951. Some 
Calculations on  Electricity   Consumption  in Great 
Britain .  Journal  of the  Royal   Statistical  Society. 
Series  A, Vol. 114, 359-371.  Tarbija sissetuleku ja tarbimise 
vahel on positiivne korrelatsioon, 
r = 0,767. Hinna ja tarbimise vahel on 
negatiivne korrelatsioon, 
r = - 0,274.
Seos on, aga edasi? Kas on võimalik leida seost kirjeldavat matemaatilist mudelit? Et  teades  tarbija sissetulekut, saaks prognoosida elektrienergia 
keskmist tarbimist. Tarbija sissetuleku ja tarbimise vahel on positiivne korrelatsioon, r = 0,767.
Harilik lineaarne  regressioonmudel

Tinglik keskväärtus

Eesti meeste keskmine pikkus on 179 cm PIKKUS 179 u = + kus u on juhuslik  komponent . Konkreetse mehe pikkus sõltub paljudest  teguritest, mida see juhuslik komponent  arvestab . Ühe konkreetse mehe pikkus (cm)   E PIKKUS

179 cm = See on  tingimusteta  keskväärtus  (unconditional  mean )

Poisslapse pikkus aga sõltub  vanusest  ning lisaks paljudest muudest teguritest. 
Näiteks 2-16 aastase poisslapse keskmine pikkus sentimeetrites E PIKKUS VANUS

80, 4 6 VANUS   = +    PIKKUS 80, 4 6 VANUS u = +  + See on 

tinglik  keskväärtus ( conditional  mean): keskväärtus sõltub vanusest. Ühe konkreetse  poisi  pikkus E Y X     Tinglik keskväärtus üldiselt: Juhusliku suuruse Y keskväärtus sõltub juhusliku suuruse X väärtustest.

Regressioonanalüüs

Regressioonmudel koosneb deterministlikust ja juhuslikust  komponendist y =  deterministlik  komponent + juhuslik komponent y ax b u = + + Näiteks lineaarne regressioonmudel deterministlik komponent ehk  tinglik keskväärtus juhuslik  komponent Regressioonanalüüs uurib suuruste vahelist sõltuvust ja võimalusi selle 
funktsionaalseks kirjeldamiseks etteantud valemi põhjal.  Regressioonanalüüsi käigus leitakse regressioonmudeli deterministlik 
komponent, st leitakse vastava matemaatilise funktsiooni parameetrite 
hinnangud . =E y Y X u   +   Tinglik keskväärtus on deterministlik komponent
Regressioonjoone parameetrite  hindamismeetodid • Vähimruutude meetod: – kõige tuntum;
– minimeeritakse hälvete  ruutude   summat • lineaarne mudel: harilik vähimruutude meetod OLS (Ordinary  Least   Squares); •  mittelineaarne  mudel: mittelineaarne vähimruutude meetod NLS  (Nonlinear Least Squares); • teatud juhtudel üldistatud vähimruutude meetod GLS (Generalized Least Squares). • Suurima  tõepära meetod ( maximum  likelihood estimation, MLE) – leitakse parameetrite väärtused, mille korral antud valimi  tõenäosus on kõige suurem; – kasutatakse peamiselt aegridade modelleerimisel ja   tõenäosusmudelite korral.

Vähimruutude meetod OLS

Valim ( , )

1,..., i i x y i n = ˆ ˆ ˆ i i y ax b = + Silutud väärtused

Silutud väärtuste      erinevus vaatlusandmetest y i on  hälbed  ehk jäägid  (residuals): ˆ i i i u y y = − Vähimruutude meetod: regressioonmudeli parameetrite hinnangud 
leitakse nii, et jääkide ruutude summa on minimaalne.

2 1 min n i i u = →  Y X y i u i y i Y X Ordinary Least 
Squares Demo ˆ i y

Parameetrite hinnangute valemite  tuletamine ˆ ˆ ˆ i i i i i u y y y ax b = − = − − ( )2

2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( , ) min n n i i i i i RSS a b u y ax b = = = = − − →  

Hälvete ruutude summa RSS (Residual Sum of Squares) ˆ ˆ ( , )

0 ˆ ˆ ˆ ( , ) 0 ˆ RSS a b a RSS a b b  =       =    2 2 ˆ ˆ ˆ i i i x y n x y a

x n x b y ax  − =  −   = −    Hälbed Tuleb leida kahe  muutuja  funktsiooni  miinimumkoht.  Matemaatilisest analüüsist: I järku  osatuletised  peavad  võrduma  nulliga. ˆ ˆ ( , ) RSS a b Tõestus vt näiteks A. 
Sauga , „Statistika õpik 
majanduseriala  
üliõpilastele“, lisa A.9.

OLS hinnangute omadused

On võimalik näidata ( Gauss - Markovi   teoreem ), et sel moel 
leitud hinnangud on •  nihketa ;
• efektiivsed, so vähima dispersiooniga kõigi nihketa  lineaarsete hinnangute seas; •  lineaarsed  vaatluste y i suhtes. KUI
kehtivad klassikalise lineaarse mudeli eeldused. Vastavaid  eeldusi ja nende testimist vaatame järgmistes 
loengutes. Kui CLRM ( Classical   Linear   Regression  Model) eeldused on  täidetud, annab vähimruutude meetod  parima  lineaarse nihketa 
hinnangu ( BLUE ,  Best  Linear Unbiased Estimator). 

Mudeli hindamise tulemus, näide

Sissetulek ja elektrienergia tarbimine. 
Tähistused: elektrienergia tarbimine Y, elanike sissetulek X. i i i y b ax u = + + Leiame mudeli parameetrite hinnangud. Regressioonmudeli hindamise aruanne  programmis   Gretl : Parameetri b hinnang ˆ 274 b  Parameetri a hinnang ˆ 1,68 a 

274 1,68 i i i y x u = + + Mudel houthakker.gdt
Arvutus mudeli järgi, näide

Mingis linnas oli elanike keskmine 
sissetulek 800 GBP aastas.
Kui suur oli seal elektrienergia 
tarbimine pere kohta?

800 i x = ˆ 274 1,68 i i y x = + ˆ 274 1,6 800 8 1618 i y = +  = kWh aastas

See on silutud väärtus ehk mudelväärtus. 
Mingi konkreetse pere tegelik tarbimine:

274 1,68 800 1618 i i i y u u = +  + = + kWh aastas
b

Mudeli parameetrite tõlgendus, näide ˆ ˆ ˆ y b ax = + Parameetri a tõlgendus: kui sissetulek on 1 GBP (ehk 
ühiku võrra) suurem, on 
elektrienergia tarbimine aastas 
1,68 kWh võrra suurem.
Kui sissetulek on 100 GBP võrra 
suurem, on tarbimine aastas 
168 kWh võrra suurem 168 100 Parameetri  b tõlgendus: kui sissetulek on 0, on tarbimine 274 kWh. 
NB! Ei pruugi olla õige, sest 0 lähedal andmed puuduvad. ˆ

274 1,68 i i y x = +
Lineaarse mudeli parameetrite tõlgendus  üldjuhul

a sirge tõus. 
Näitab, kui palju muutub y, 
kui x muutub ühiku võrra. b konstant ehk vabaliige. 
Näitab, millega võrdub y, kui x=0. a 1 a y b ax = + NB! Selline tõlgendus pole alati  realistlik !

Tõusuparameetrite võrdlemine, näide

Tarbimismudel  näitab, kuidas kulud mingile hüvisele sõltuvad  kogukuludest .
X kulud kokku pereliikme kohta aastas.
Y kulud teatud hüvise  tarbimisele , pereliikme kohta aastas.
2012. aasta andmed.

0,1 34 3 4 y x u = + + Toit 0, 4 464 2 7 y x u = − + + Transport 0,0277 97 y x u = + + Side

0

500 1000 1500 2000 2500 0 5000 10000 Toit Side Transport

Vabaliikme tõlgendus transpordikulude  mudelis ? Kulud ei saa olla negatiivsed!
Millal tekivad kulud transpordile? Siis, kui  kogukulud  pereliikme kohta on ca 1880 
eurot aastas. Kulud kokku, eurot Kul ud  hüv is el e,  eurot

Kuidas saadi 1880? 

464

0, 247 y x u = − + + Transport 0 500 1000 1500 2000 2500 0 5000 10000 TransportKulud kokku, eurot Kul ud  hüv is el e,  eurot

1880 0 464 0, 247x = − + 0, 247 464 x − = − 464 1878,54 1880 0, 247 x = =  0, 247 464 x =

Parameetrite standardvead

Vähimruutude meetodi tulemusel saadakse minimaalne jääkliikmete summa ( )2

2 2 1 1 ˆ ˆ 2 2 n n i i i i i u y ax b s n n = = − − = = − −  

Parameetrite hinnangute standardvead: ( )

2 2 1 ( ) i x se b se n x x = + −  ( )2 ( ) i se se a x x = − 

Näitavad, kui täpsed on parameetrite hinnangud. 

2 1 min mingi arv n i i u = → =  Selle põhjal leitakse dispersiooni hinnang.

Jagatud läbi vabadusastmete 
arvuga n-2, kus n valimi maht. Mudeli  standardviga

2 se s = standard  error  of regression
Standardvead, näide

Parameetrite hinnangute 
standardvead Jääkliikmete ruutude summa Mudeli standardviga

2 1 6974580 417,5698 2 42 2 n i i u se n = = =  − −  houthakker.gdt

Sissetulek ja 
elektrienergia 
tarbimine 

Kui seletav tunnus x varieerub vähe

y x x y x x Parameetrite hinnangute standardvead: ( )2 i x x −  Kui  väike, siis standardvead suured Täpsemate hinnangute saamiseks peavad x väärtused võimalikult palju 
hajuma . ( )2 ( ) i se s x x a = −  ( )2

2 1 ( ) i x se b se n x x + − = 

t-jaotus

2  2  1  −Parameetrite hinnangute usalduspiirid Usalduspiiride  leidmisel lähtutakse sellest, et parameetrite hinnangute 
standardiseeritud  erinevused tegelikest väärtustest  alluvad  t jaotusele 
vabadusastmete arvuga  ˆ ˆ ( ) , ( ) ˆ ˆ ( ) ( ) a a b b t t se a se b   − −

2 ˆ ˆ ( ) ( ) a t se a    2 ˆ ˆ ( ) ( ) b t se b    Kui võtta usaldatavuseks 1-

α, siis parameetrite hinnangute usalduspiirid: Viirutatud ala: tõenäosus, et parameetri tegelik väärtus 
jääb usalduspiiridesse. Punane ala: tõenäosus, et tegelik väärtus on väljaspool 
usalduspiire.

2 n  = −
Parameetrite usalduspiirid ja sirge asend 

(a) lineaarliikme, (b) vabaliikme ja (c) mõlema parameetri 
määramatusest tingitud  regressioonsirge  asendi  määramatus . Lineaarliikme  määramatus Vabaliikme  määramatus Mõlema parameetri 
määramatus ˆa a   ˆb b   ˆa a   ˆb b   ˆa a +  ˆa a −  ˆa ˆb b +  ˆb b −  ˆb

t-väärtused ja usalduspiirid, näide

274,019

1,866 146,882  1,68242 7,555 0, 222697  Suhted, mis 
alluvad t-jaotuseleParameetrite hinnangute usalduspiirid
usaldatavusega  95% Programmis Gretl peale mudeli hindamist
Analysis -> Confidence  intervals for  coefficients houthakker.gdt Sissetulek ja 
elektrienergia 
tarbimine 

Näide: riigi SKP ja peaministri nime pikkus

Riik Peaminister Tähtede arv  nimes n SKP, mld eurot Eesti Andrus Ansip

11 16,0 Läti Valdis Dombrovskis 17 20,2 Leedu Andrius Kubilius 15 30,7 Soome Jyrki Katainen

13

189,4 Rootsi Fredrik Reinfeldt 16 387,9 Taani HelleThorning - Schmidt 21 239,2 Norra Jens

Stoltenberg

15 349,1 14,0 54,7 SKP n = − Aasta 2011
Parameetrite statistiline olulisus

Kõige sagedamini on regressioonmudeli korral vaja testida, kas tunnused Y
ja X on omavahel seotud, st kas tõusuparameeter a erineb oluliselt nullist. Nullhüpotees  H

0:  Sisukas   hüpotees  H 1: Kriitiline piirkond (vastu 
võtta H 1) 2 0 0 | | ( ) a a t t p

   =
   Kahepoolne  hüpotees See on parameetrite statistilise olulisuse kontrollimine. Kui nullhüpotees on  ümber lükatud (võetakse vastu sisukas hüpotees), on  parameeter  oluliselt 
nullist erinev, järelikult seos on olemas. ˆ ˆ ˆ ˆ )

0 ( ( ) a a t se a se a − = = Sellisel juhul Ökonomeetriapakettides 
leitakse t ja p

väärtused just  selle juhu  jaoks.
Teistel juhtudel tuleb teha 
lisaarvutusi. Demo: parameetri olulisus

Näide: parameetrite statistiline olulisus

Vastab 
kahepoolsele 
nullhüpoteesile 
H0:    a=0 Olulisuse tõenäosus p on 3,2∙10-9 , mis on väiksem kui olulisuse nivoo 
0,05, nullhüpotees on ümber lükatud. On tõestatud, et elanike sissetuleku ja elektrienergia tarbimise vahel on 
statistiliselt oluline seos: parameetri a hinnang on oluliselt erinev nullist.  Sissetulek ja elektrienergia tarbimine 
Tähistused: elektrienergia tarbimine Y, elanike sissetulek X i i i y b ax u = + + houthakker.gdt

Näide: riigi SKP ja peaministri nime pikkus

Riik Peaminister Tähtede arv  nimes n SKP mld eurot Eesti Andrus Ansip

11 16,0 Läti Valdis Dombrovskis 17 20,2 Leedu Andrius Kubilius 15 30,7 Soome Jyrki Katainen

13

189,4 Rootsi Fredrik Reinfeldt 16 387,9 Taani HelleThorning - Schmidt 21 239,2 Norra Jens

Stoltenberg

15 349,1 14,0 54,7 SKP n = − 0,51 0,05 p =  Võtta vastu H 0. Nime pikkus n

ei mõjuta SKP-d . Aasta 2011
Näide:  CAPM  mudel ja agressiivne  investeering Finantsvarade hindamise mudel CAPM (Capital  Asset  Pricing Model)  𝑅𝑖 − 𝑅𝐹 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖(𝑅𝑀 − 𝑅𝐹) + 𝑢𝑖 R i investeeringu i oodatav  tulumäär ; R F riskivaba  tulumäär antud turul (näiteks riigi võlakirjade  tulusus ); R M turuportfelli tulusus (turuportfell esindab kõiki turul ringlevaid
väärtpabereid ); β i investeeringu i süstemaatilise riski mõõt ehk  beetakordaja ; u i juhuslik komponent, mis iseloomustab spetsiifilist riski. Kui  β i > 1, on tegemist agressiivse investeeringuga: investeeringu  tulumäära liikumine on suurem kui turuportfellil, investeeringu risk on turu 
keskmisest kõrgem. Tuleb testida hüpoteesipaari     H

0:  β ≤ 1 H 1:  β > 1    St regressioonmudeli beetakordajat peab  võrdlema  arvuga 1.

Hüpoteeside  testimine  parameetrite jaoks  üldjuhul

0 ˆ ˆ ( ) a t se a a − = Kasutatakse t- testi,  teststatistik

nullhüpoteesile vastav parameetri väärtus ˆ ( ) se a parameetri hinnangu standardviga (leitakse mudeli hindamisel) parameetri hinnang

0 0 0 a a a a a a =   Nullhüpotees H 0:  Sisukas hüpotees H 1:

Kriitiline piirkond (võtta 
vastu H

1) 0 0 0 2 | | ( ) ( ) 2 a a a a a a t t t t p p              Kahepoolne

Ühepoolne

0 ˆa a ν on vabadusastmete arv,                      kus n on valimi maht ja K mudeli 

parameetrite arv (koos vabaliikmega)
α on olulisuse nivoo (tavaliselt 0,05) n K  = −

Mudeli kirjeldusvõime

Kui mudeli  parameetrid  on statistiliselt olulised, tuleb  hinnata ka mudeli kirjeldusvõimet. Kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse 
determinatsioonikordajat R2. Vasakpoolsel joonisel on mudeli kirjeldusvõime suurem 
kui parempoolsel.
Koguhajuvus , seletatud hajuvus ,  jääkhajuvus ( )2 i TSS y y = −  Total  Sum of Squares Sõltuva tunnuse Y koguhajuvus Y ( )2 ˆ i i RSS y y = −  Residual Sum of Squares Sõltuva tunnuse Y jääkhajuvus Regressioonmudeliga kirjeldatud hajuvus ehk seletatud hajuvus ESS TSS RSS = − Explained Sum of Squares NB! Erinevates õpikutes võivad tähistused olla erinevad! 
Nt Wooldridge: SST, SSR, SSE

Determinatsioonikordaja R2

Arvutamise põhimõte: y Kogu 
hajumine Seletamata 
hajumine Mudeli 
poolt 
seletatud 
hajumine

2 1 ESS RSS R TSS TSS = = = − seletatud hajumine koguhajumine

Determinatsioonikordaja näitab, kui suur osa koguhajumisest on mudeli 
poolt ära seletatud. Y Demo

Determinatsioonikordaja programmis Gretl

Ruutude summasid näeb  ANOVA  tabelis, peale mudeli hindamist  Analysis -> ANOVA ESS
RSS
TSS houthakker.gdt
Determinatsioonikordaja ja lineaarne  korrelatsioonikordaja Seos lineaarse ehk  Pearsoni  korrelatsioonikordajaga r.
Ühe tunnuse x korral, kui lineaarne mudel R2 = r2 Determinatsioonikordaja sisu on paremini mõistetav. Korrelatsioonikordaja näitab ka seose suunda, mida 
determinatsioonikordaja ei näita. y b ax u = + +

Mudeli korrektne esitamine

2

ˆ ˆ ... ( ( )) ( ( )) ... y b a x u R se b se a n = + + = =Regressioonanalüüsi põhitulemuste esitamisel esitatakse
• parameetrite hinnangud; 
• parameetrite standardvead;
• determinatsioonikordaja R2;
• valimi maht n (lugeja jaoks vajalik, kui soovib t-testi läbi viia). VARIANT 2: Mõnikord esitatakse parameetrite all sulgudes standardvigade 
asemel vastavad t- statistiku väärtused. See võimaldab lugejal neid kohe  võrrelda vastava  kriitilise  väärtusega.
VARIANT 3: Mõnikord esitatakse sulgudes vastavad olulisuse 
tõenäosused . Sellisel juhul ei pea lugeja arvutama  kriitilist väärtust, võib 
kohe võrrelda olulisuse nivooga ja hinnata, kui võimsalt on mingi tunnuse 
mõju tõestatud.
Variandid 2 ja 3 on vastuvõetavad vaid siis, kui huvi pakub vaid 
koefitsientide erinevus nullist.

Näide mudeli esitamisest

2

274 1,68 0,588 (147) (0, 22) 42 t y x u R n = + + = = Elektrienergia kasutamine i i i yb ax u = + + Elektrienergia tarbimine (kWh aastas) Y, elanike sissetulek X (GBP) houthakker.gdt

Näide mudeli esitamisest

Elektrienergia kasutamine i i i y b ax u = + + Elektrienergia tarbimine (kWh aastas) Y, elanike sissetulek X (GBP)

2 274 1,68 0,588 (147) (0, 22) 42 t y x u R n = + + = = houthakker.gdt

Näide mudeli esitamisest Elektrienergia kasutamine i i i y b ax u = + + Elektrienergia tarbimine (kWh aastas) Y, elanike sissetulek X (GBP)

2 274 1,68 0,588 (147) (0, 22) 42 t y x u R n = + + = = houthakker.gdt
Erindi mõju

Üks erind võib oluliselt mõjutada regressioonmudeli parameetrite 
hinnanguid. ˆ 2,8

58 ˆ 2,1 89 y x y x = + = + Demo: erindi mõju
Vabaliikme olulisus

Vabaliikme statistilist olulisust  lineaarses  mudelis enamasti ei 
kontrollita , sest ilma vabaliikmeta lineaarset mudelit enamasti ei 
kasutata. Vabaliikme olemasolu on vajalik vähimruutude meetodi kasutamise 
seisukohalt. Vabaliige garanteerib , et regressioonijääkide summa

0. i i u = 

Mitmete regressioonanalüüsi käigus leitavate suuruste valemite (nt 
determinatsioonikordaja) tuletamisel kasutatakse seda omadust. Demo: vabaliikme olulisus

Vabaliikmega ja ilma, näide

0

i i u =  52,7 i i u =  i i i y b ax u = + + i i i y ax u = + houthakker.gdt
Regressioon läbi  nullpunkti Mõnikord tuleb siiski hinnata lineaarset mudelit, kus teatud 
kaalutlustest  lähtudes peab vabaliige puuduma .  Seda nimetatakse  regressiooniks läbi nullpunkti (Regression through  the  Origin , RTO) ja sellise mudeli  üldkuju  ühe tunnuse  korral on y ax u = + ˆy ax = Deterministlik komponent on võrdeline seos

2 y x = ? 0 i i u =  Testida, kas

Determinatsioonikordaja kasutamine 
küsitav. Erinevad  paketid  arvutavad 
erinevalt.

Näide: regressioon läbi nullpunkti

Ajakirjas Journal of  Environmental  Horticulture 2006. aastal ilmunud artiklis 
analüüsiti, kuidas  puukoore  tootmine sõltub  metsaraie   mahust . Kasutati 
andmeid USA erinevatest piirkondadest aastatel 1986-2001. 
Kui metsa ei raiuta, siis puukoort turule ei tule. Seepärast kasutati ilma 
vabaliikmeta lineaarset mudelit y ax u = + ˆ 0,89
ˆ 1,01 y x y x =
= kus y on kuiva puukoore kogus (tuh tonni), x  raiemaht  antud piirkonnas 
(mln kuupjalga). USA kirdeosa jaoks saadi lehtpuu okaspuu Allikas: Lu, W et al, (2006), Estimation of U.S.  Bark  
Generation and Implications for Horticultural 
Industries, Journal of Environmental Horticulture, Vol. 
24 , 29-34 
LINEARISEERITAVAD MUDELID

Näide: log-log mudel, 1

2

salary 1174 0,015sales 0,015 R = + = Lineaarne mudel esinevad erindid Kuidas  töötasu  (salary, tuh $) sõltub 
ettevõtte müügikäibest ( sales , mln $)
209 USA ettevõtte andmed.

2 salary 4,8 0, 257 sale ln ln s 0, 211 R = + =

Logaritmime tunnuseid, 
saame log-log mudeli

Näide: log-log mudel, 2

Logaritmimata tunnused on väga asümmeetrilised. Sagedusdiagrammid: salary sales Logaritmitud tunnused on sümmeetrilisemad ln(salary) ln(sales)

log-log mudeli kordaja tõlgendus

salary

1174 0,015sales = + Lineaarne mudel

Kui  käive  tõuseb 1 mln $ võrra, siis 
töötasu tõuseb 0,015 tuh $ võrra Kuidas töötasu (salary, tuh $) sõltub ettevõtte käibest (sales, mln $). l salary

4,8 0, 257 sales n ln = + log-log mudel Kui käive tõuseb 1%, siis 
töötasu tõuseb 0,257%

Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on  elastsuskordaja . Lineaarne mudel:  piirkalduvus  on konstantne .
Log-log mudel: elastsuskordaja on konstantne.

Näide: log-lin mudel

USA SKP püsihindades, mld $ Allikas: http://www.usgovernmentspending.com ln (SKP ) Sõltuva tunnuse  logaritmimine  teisendab eksponentsiaalse kõvera 
lineaarseks. ln t y b r t = + Eksponentsiaalne  kasv ( ) (0) rt y t y e = Lineariseeritud mudel SK P , mld  USD Parameeter r on  kasvumäär .

Eksponentsiaalse mudeli lineariseerimine

( ) (0) rt y t y e = ( ) ln ( ) ln (0) rt y t y e = ln ( ) ln (0) ln rt y t y e = + ln ( ) ln (0) y t y rt = + ln (0) b y = ln ( ) y t b rt = + log- lin mudel, sõltumatu tunnus aeg t

Näide: USA SKP kasvumäära hindamine

ln t t y b r t u = + + y on SKP mld $, t on aeg aastates (t=1 aastal 1800) Aruanne programmis Gretl USA SKP kasvumäär 
on olnud keskmiselt 
3,65% aastas.

2 4 ˆ ln 2,0942 0,036496 0,9953 (0,0212) (1,74 10 ) t y t R − = + =  usa_gdp.gdt

Tähtsamad ökonomeetrias kasutatavad  lineariseeritavad mudelid

2 lineaarne mudel        log-log mudel        ln ln log-lin mudel        ln 1 1

lin-log mudel            ln

1 1 1 hüperboolne mudel   x y b ax u a a y y y b a x u a a x y b ax u ay ax y b a x u a a x

y y b a u a a x x xy = + + = + + = + + = + + = + + − − Piirkalduvus y x 
 Elastsus y x x y 
 Mudeli kuju Mudeli nimetus

Muud lineariseeritavad mudelid

2

2 i i i i i i i i y a bz u z x y a bx u = + + → = → = + + i i i i i i i i y a b z u z x ya bx u = + + → = → = + +
Korrata logaritme! Mudelite  interpreteerimiseks  PEAB OSKAMA ümber 
käia logaritmidega. Moodles  on materjal  logaritmide  kordamiseks: 
valemid ja harjutused (2 lk).