p= 0,33333 m p 2 0,296293 3 0,098763 4 0,012345 0,407401 Tõenäosus, et saadi vähemalt 2 korda 3ga jaguv silmade arv. Ülesanne 4 Üksiksündmuse A tõenäosus on 0,3. Sooritati 8 katset. Joonistada tõenäosuste jaotuspolügoon. Leian kõikvõimalikud x väärtused ja nende tõenäosused. Tõenäosuste jaotuspolügo n= 8 8 on väike - binoomjaotus 0,4 p= 0,3 0,3 Tõenäosus p m p 0,2
esinemist ehk Markovi allikas on ilma järelmõjuta 2) kahendallikad sümbolid null ja üks Diskreetseid infoallikad kirjeldatakse seisundite tabeliga (sümbol, selle esinemise tõenäosus). Seisundiks ongi genereeritud sümbol. Seisundite tabel on täielik, kui tõenäosuste summa on üks. Kirjelduseks kasutatakse ka mõistet entroopia,mis on allika määramatuse mõõt. Näiteks kui kahe sümboli esinemise tõenäosused on võrdsed, siis määramatus on kõrge ehk rakse on määratleda milline sümbol järgmisena tuleb. Liiane allikas on allikas, mille puhul väljastatavate elementaarsete sümbolite esinevuse tõenäosused ei ole võrdsed. 3. Pidevad infoallikad. Erinevad liigid . Kirjeldused. (Slaididelt paragrahv 3, slaidid 1-4, 10) Pidevad infoallika väljundiks on näiteks elektrilised signaalid, mil juhtudel ajas muutub pinge ja vool ehk tegemist on juhusliku ajas muutuva protsessiga
Erinevaid valikuid etteantud objektidest nimetatakse variatsioonideks. (NB! valimine toimub selliselt, et objektide valimise järjekord ON tähtis.) 9. Täistõenäosus. Olgu sündmused H1, H2, ..., Hk üksteist välistavad, nad omavad positiivset tõenäosust P(H1), P(H2), ..., P(Hk) ja need sündmused moodustavad täissüsteemi Oletame, et sündmus A võib toimuda koos ühega sündmustest H1, H2, ..., Hk, siis on meil teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused P(A|H1), P(A|H2), ..., P(A|Hk). Sündmuse A tõenäosus avaldub= Valemit nimetatakse täistõenäosuse valemiks. 10. Bayes'i valem. Küsime, millised on Hi (i = 1, 2, ..., n) tõenäosused sõltuvalt sellest, et toimus sündmus A, st meid huvitab tinglik tõenäosus P(Hk|A)? Vastuse sellele küsimusele annab Bayesi valem, mis annab võimaluse pärast sündmuse A toimumist hinnata ümber sündmuste Hi tõenäosusi. Kui tõenäosusi P(Hi) nimetatakse
02 lambda= 10 m= 0 p= 4.53999E-005 1 0.0004539993 2 0.0022699965 3 0.007566655 4 0.0189166374 5 0.0378332748 6 0.063055458 P(A)= 0.1301 Kaks korvpallurit viskavad 6 korda järjest korvile. Tõenäosused tabada igal viskel on vastavalt 0,6 ja 0, n= 6 p1= 0.6 p2= 0.7 m= p= m= p= 0 0.004096 0 0.000729 0.000002986 1 0.036864 1 0.010206 0.000376234 2 0.13824 2 0.059535 0.0082301184 3 0.27648 3 0.18522 0.0512096256 4 0.31104 4 0.324135 0.1008189504 5 0
Kontrollküsimused ,,Füüsika uurimismeetodid. Füüsika üldprintsiibid" Mudeli mõiste, milleks mudeleid kasutatakse? Kuidas mudeleid liigitatakse. Too näiteid. Loodusteadustes nimetatakse üldiselt mudeliks loodusobjekti jäljendust, mis asendab originaali selle lihtsamaks mõistmiseks ning uurimiseks . Liigitatakse tavaliselt ainelisteks ja abstraktseteks mudeliteks. Füüsikalise objekti mõiste. Too näiteid väljade ja kehade kohta. Füüsikalised objektid on materiaalsed, st eksisteerivad sõltumata inimese teadvusest. Väljad on mitteainelised objektid. Väljade tunnuseks on see, et nad mõjutavad kehi ja omavad energiat. Kehad on ainelised objektid. Kehadeks on näiteks inimene, kivi, vihmapiisk ja Päike. Too näiteid füüsikaliste nähtuste kohta. Kuidas saab nähtusi kirjeldada? Füüsikalisteks nähtusteks on füüsikaliste objektidega toimuvad muutused. Füüsikalisi nähtusi saab kirjeldada erinevate...
n n ai = p j aij p =1 j p j = P( B = B j ) · j =1 j =1 oodatav rahaline tulem riski tingimustes On antud (hinnatud) keskkonna olekute realiseerumise tõenäosused · Alternatiivi hinnanguks on tulemi keskväärtus Otsustuste puu Mitmesammuline otsustus riski tingimustes Graafiline kirjeldus: ruuduke on otsustus, temast väljuvad harud on alternatiivid; ring on keskkond, temast väljuvad harud on antud tõenäosusega realiseeruvad olekud Haru lõpeb kvantitatiivse tulemiga Otsustaja kasulikkuse funktsioon Riski tingimustes tehtud otsustused ei arvesta otsustaja riskivalmidust Kasulikkuse funktsiooni muut näitab
6. Juhuslik suurus, - Juhuslik suurus (JS) on suurus, mis omandab katsel mingi väärtuse. Enne katse toimumist on tundmata. Üldjuhul tähistatakse X. Diskreetne juhuslik suurus on juhuslik suurus, mille väärtuste hulk on lõplik või loenduv. Praktiliselt vaatleme ainult selliseid DJS, mille võimalikud väärtused on 0, 1, 2, ... või alamhulk eelnevast. DJS jaotusseadus on eeskiri, mis seob juhusliku suuruse väärtused ja nende tõenäosused: pi=P(X=xi).( esitatud valemina, tabelina, arvupaaridena või graafikuna). keskväärtus - EX = E(X). kus xi tähistab diskreetse juhusliku suuruse x väärtust ja p i selle tõenäosust. Keskväärtus on juhusest sõltumatu suurus, mis paikneb väikseima ja suurima väärtuse vahel dispersioon, - Dispersioon on hälbe ruudu keskväärtus. DX = D(X) = E(X-EX) 2= standardhälve - Standardhälve on ruutjuur dispersioonist 7. Jaotusfunktsioon
nende sõnade kuulsusest. Populaarne on Erwin Schrödingeri mõttemäng kassist, kes saab olla korraga nii elus kui ka surnud. Schrödingeri kass paiknes kinnises kastis, kuhu oli peidetud ampull mürgiga. Ampulli pidi avama radioaktiivne kiirgus ning mürk oli kassile surmava mõjuga. Edasises arutluses järeldas Schrödinger, et kui mürgiampulli vallandava osakese kiirgumise tõenäosus on sama suur kui tõenäosus, et osake ei kiirgu, muutuvad võrdseks ka tõenäosused, et kass on elus või surnud. Võiks isegi öelda, et kuigi Schrödingeri kass ei püüdnud ühtegi hiirt, on ta nüüdseks istunud 70 aastat mürgiampulli ees, teadmata, kas see pääseb valla või mitte, ning ohverdanud end nii puhta teaduse heaks. Schrödingeri välja mõeldud kass on üks kuulsamaid loomi füüsika ajaloos ja üks kummalisemaid sest kvantmehaanikud vaidlevad siiani, kas Schrödingeri kass on elus või surnud. Vaidlused Viini kavalpea Schrödingeri 1935
40-60 8 0,32 60-80 4 0,16 80-100 2 0,08 Nüüd kontrollime kolme hüpoteesi põhikogumi jaotuse kohta Pearsoni 2 - testi abil; usaldusnivooks kasutame = 0.10 4.1 H0: põhikogumi jaotus on normaaljaotus (parameetrid ja peab hindama valimi põhjal); H1: põhikogumi jaotus ei ole normaaljaotus. Kuna jaotuse parameetrid on juba hinnatud punktis 1 (oletades et tegu on normaaljaotusega), siis saame kohe määrata intervalidesse sattumise teoreetilised tõenäosused. t F(x) (x) 20 -0,93 0,18 0,18 40 -0,16 0,44 0,26 60 0,61 0,73 0,29 80 1,38 0,92 0,19 100 2,15 0,98 0,07 2 = 0,046 f = k h 1 = 5 2 (hindasime ja ) 1 = 2 2kr = 20,90(2) = 4,605 Kuna 2 < 2kr, siis võtame hüpoteesi H0 vastu. 4.2 H0: põhikogumi jaotus on ühtlane jaotus (parameetrid a = 0, b = 100); H1: põhikogumi jaotus ei ole ühtlane jaotus.
HIV-i nakatumine sugulisel teel on suhteliselt harv Levinud on arvamus, et kui ollakse ilma kaitsevahendita vahekorras HIV-positiivsega, siis nakkus on edasi kandnud. Reaalsuses on selle juhtumise tõenäosus on väga väikene. Vaginaalse seksi korral on nakkuse tõenäosus 0,01-0,38% (enim on ohustatud naised) ning kaitsmata anaalseksi korral 0,03-3%. Ohustatumad on naised ja geid. Maakeeli, kui ollakse kaitsmata vahekorras HIV-positiivsega, siis nakatumise tõenäosused oleks: anaalseks: 0,03 – 3% tähendab vastavalt 3 nakkust 10 000 juhu kohta ja 3 nakkust saja kohta; vaginaalne seks: 0,01 – 0,38% tähendab vastavalt 1 nakkus 10 000 juhu kohta ja 3,8 nakkust tuhande juhu kohta. Oraalseksis võib nakatuda HIV-i, aga seda ei peeta otseseks ohuks ning nakatumise tõenäosus on ülimalt väike või peaaegu olematu. Näitena, kui ollakse HIV-positiivsega kaitsmata vahekorras kaks korda nädalas, siis kuluks nakkuse saamiseks:
arvutatud hälvete ruutude keskväärtust DX = E(X EX)2 DX = p1(x1 EX)2 + p2(x2 EX)2 + ... + pn(xn EX)2. Juhusliku suuruse X standardhälbeks nimetatakse ruutjuurt dispersioonist, = DX . DX = EX2 (EX)2 = EX2-(EX)2 . 15. Bernoulli jaotus 1. Ühtlane jaotus. Diskreetne ühtlane jaotus defineeritakse tõenäosusfunktsiooniga P(X = i)=1/n, kui i = 1, 2, ..., n. See tähendab, et juhusliku suuruse X võimalikele väärtustele 1, 2, ..., n vastavad tõenäosused on võrdsed ja võrduvad arvuga 1/n 2. Bernoulli1 jaotus*. Olgu sündmuse A tõenäosus P(A) = p. Bernoulli jaotusega juhuslik suurus on niisugune suurus X, mille väärtus on 1, kui sündmus A toimub, ja väärtus on 0, kui sündmus A ei toimu (toimub A ). Seega on Bernoulli jaotusega juhuslikul suurusel kaks võimalikku väärtust: 1 ja 0, millele vastavad tõenäosused on p ja 1 p, st. P(X = 1) = p ja P(X = 0) = 1 p. 16. Binoomjaotus.
(0,612) 8. Teate toimetamiseks ühest punktist teise saadeti teineteisest sõltumatult teele 2 käskjalga. Tõenäosus, et esimene käskjalg jõuab sihtpunkti, on 0,9 ja teisel 0,8. Kui tõenäone on, et teade jõuab sihtpunkti? (0,98) 9. Umbrohutõrjet tehes suudab üks lennuk preparaati pritsides umbrohu hävitada tõenäosusega 0,7, teine lennuk - 0,8. Kui suur on umbrohu hävitamise tõenäosus mõlema lennuki käsutamisel? (0,94) 10. Tulistatakse 3 lasku. Märgi tabamise tõenäosused on I lasuga 0,4, II - 0,5 , III - 0,7- Kui tõenäone on, et märki tabab vähemalt üks lask ? (0,91) 11. Aparaadi monteerimisel käsutatakse neljas tsehhis valmistatud detaile. Praagi tõenäosus tsehhide kaupa on 0,04; 0,03; 0,06; 0,02. Tsehhidest saabus detaile järgmistes kogustes: 30, 20, 30 ja 25 tükki. Kui tõenäone on, et juhuslikult võttes saadakse praakdetail? (0,066) 12
Millised on peamised erinevused nimetatud mudelite vahel ja probleemid selliste mudelite korral? Lineaarne tõenäosusmudel Probleemid LTM kasutamisel • Jääkliikmed ei ole normaalselt jaotunud. Nii nagu Y omavad ka jääkliikmed sisuliselt ainult kahte võimalikku väärtust. • Jääkliikmed on heteroskedastiivsed. • Tõenäosus võib olla negatiivne või suurem kui 1. • Determinatsioonikordaja on küsitava väärtusega ja jääb tavaliselt üsna madalaks. • Tõenäosused ei ole tegelikkuses lineaarses sõltuvuses selgitavate muutujatega. Logitmudel • Põhineb logistilisel funktsioonil. • Kui z jääb vahemikku miinus lõpmatus kuni pluss lõpmatus, siis tõenäosused on nullist üheni. • Logit on lineaarne selgitava muutuja suhtes, kuid tõenäosused ise mitte. • Probitmudel • Kasutatakse kumulatiivset normaaljaotusfunktsiooni. • Probitiga paralleelselt nimetatakse mõnikord ka normit-mudeliks.
Ülesanne 1: On antud infoallikas X, mille · statistiliselt sõltumatute tähtede pikkused on samad ja võrdsed = 1µsek · infoallika X elementaartähtede esinemiste tõenäosused on: a = 0,45 b = 0,15 c = 0,2 d = 0,2 Moodustada antud allikast piisavalt suur liitallikas ja kodeerida see liitallikas Sannon Fano koodiga. Kodeerida selle koodiga järjestus: abdbcbdacbdabcdacbcda Arvutada: a) Liht- ja liitallika entroopiad b) Liht- ja liitallika maksimaalsed entroopiad c) Liht- ja liitallika liiasused d) Infotekkekiirus allikast e) Arvutada koodi liiasus Lahendus: a) Lihtallika entroopia H(X): H(X) = - ja N = 4
sidekanalite arv), p süsteemide maht(sidekanalite arv+puhvri suurus), k klientide arv. 12. Sidenõuete saabumisprotsess. Sidenõuded kõnealgatusnõuded, pakettide saabumine. Sidenõuete saabumisprotsessi võib vaadelda kui punktprotsessi, mille kirjeldavad järgmised statistilised suurused: saabunud nõuete koguarv intervallis kõnealgatusnõuete saabumise tihedus ajahetkel t kõnealgatusnõuete saabumise tõenäosused intervalli t kestel loendustulemuste hajumisindeks 13. Punktprotsessi omadused. Punktprotsessi omadusteks on: statsionaarsus kõnealgatusnõude saabumise tõenäosus on sõltumatu vaatlusvahemiku alghetkest. sõltumatus järgmiste kõnealgatusnõude saabumise tõenäosus on sõltumatu eelmistest saabunud kõnealgatusnõuetest. regulaarsus antud vaatlushetkel rohkem kui ühe sündmuse esinemise tõenäosus on null. 14
Näide. - Kui mingi sündmus saab põhjustada vaid ühe kindla tagajärje. - Näide: kiirusega 5 m/s ühtlaselt ja sirgjooneliselt liikuma hakkav keha jõuab 10 sekundiga 50 m kaugusele. Millal on tegemist juhusliku põhjuslikkusega? Näide. - Kui võimalike tagajärgede arv on teada ja nende esinemise tõenäosust saab kinnitada. - Näide: kui viskame täringut, siis teame,et tagajärjeks on kuus erinevat võimalust ja nende esinemise tõenäosused on võrdsed. Mida nimetatakse printsiidiks? - Printsiidiks nimetatakse looduse vaatlemisel avastatuid kõige üldisemaid teooriate aluseks võetud tõdemusi. Mis on atomistlik printsiip? Too näide - Atomistlik printsiip on keha, mida ei saa väiksemateks osakesteks lõigata, kuna ta kaotab oma omadused. - Näide: juustu lõigates aina väiksemateks tükkideks, ei säilita ta enam oma omadusi ning lõpuks ei saa seda nimetada enam juustuks.
Usaldusvahemik arvtelje vahemik, mille iga väärtus võiks võrdväärsena olla tundmatu parameetri hinnanguks Usaldusnivoo tõenäosus, millega vaadeldav vahemik võiks sisaldada parameetri tõelise, üldkogumis kehtiva väärtuse Valimite liigitus Tõenäosuslikud ja mittetõenäosuslikud valimid Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid - objektide valimisse sattumise tõenäosused ei ole teada. Taotluseks enamasti saada üldkogumi omaga teatavate tunnuste osas lähedase struktuuriga valim. Eelised: · korralduslikult lihtne; · ei nõua üldkogumi objektide loendi olemasolu; · väikeste valimite juures sageli tõenäosuslikust valimist optimaalsem (üldpilti moonutavad ebatüüpilised objektid jäävad kõrvale) . Mittetõenäosuslikud (empiirilised) valimid 1. Eesmärgipärane valim (ka ekspertvalim) -
ül. 1. Münti visatalse 9 korda. Leida tõenäosus, et vapp tuleb peale vähem, kui kaks korda. n= 9 p= 0,5 m p 0 0,001953 1 0,017578 0,019531 ül. 2. Kaks korvpallurit viskavad 3 korda järjest korvile. Tõenäosused tabada igal viskel on vastavalt 0,6 j m p m p 0 0,064 0 0,027 1 0,288 1 0,189 0,32076 2 0,432 2 0,441 3 0,216 3 0,343 0,6 0,7 ül. 3. Tehas saadab lattu 500 kõrgekvaliteedilist toodet
0,090 2 = 0,090 f = k h 1 = 5- 2- 1=2 2kr = 20.90(2) = 4.605 Kuna 2 < 2kr, siis võtame H0 vastu. 4.2 H0: põhikogumi jaotus on eksponentjaotus (parameetrit peab hindama valimi põhjal); H1: põhikogumi jaotus ei ole eksponentjaotus. Hindame parameetrit suurima tõepära meetodil. = N / xi = 0,0226 Nüüd saame määrata intervalidesse sattumise teoreetilised tõenäosused. Eksponentjaotus F(t) (t) 20 0,36 0,36 0,042 40 0,59 0,23 0,010 60 0,74 0,15 0,001 80 0,84 0,09 0,120 100 0,90 0,06 0,061 0,235 2 = 0,235 f = k h 1= 5-1-1 = 3 2kr = 20.90(3) = 6.251 Kuna 2 < 2kr, siis võtame H0 vastu. 4
Dispersiooni mõõtühikuks on esialgse =1/2×1/3=1/6 Näide20. Vaatluse all on Bayesi valem. antud hüpoteeside täielik kaks elektrilist komponenti. Tõenäosus, mõõtühiku ruut, dispersioon on keskväärtuse süsteem H1 ,... , Hn ning olgu teada nende suhtes arvutatud hälbe ruudu et üks komponent läheb rikki on 10%. hüpoteeside tõenäosused P(H1), ... , P(Hn). keskväärtus.Dispersiooni definitsioonist Kui esimene komponent läheb rikki, siis Tehakse katse, mille tulemuseks on mingi järelduvad järgmised omadused.1. Konstandi tõenäosus, et ka teine komponent läheb sündmus A, mille tinglikud tõenäosused P(A| dispersioon on null D(C) = 0.2. D(aX + b) = rikki on 20%. Aga kui esimene H1), ... P(A|Hn) olgu teada. Siis avaldub a2DX.
kasutame Bernoulli valemit: Pm,n=n! / m! *(n-m)! * p astmes m * q astmes n-m q=1-0-5= 0,5 P6(0)=6! / 0! * (6-0)! * 0,5 astmes 0 * 0,5 astmes 6= 0,0156 P6(1)=6! / 1! * (6-1)! * 0,5 astmes 1 * 0,5 astmes 5= 0,0938 P(A)= 0,1094 ül.2 Kak s k orvpallurit visk avad 3 k orda järjest k orvile. Tõenäosused tabada igal visk el on vastavalt 0,6 ja 0,7. Leida tõenäosus, et mõlemal on võrdne arv tabamusi. n= 3 m- tabamuste arv BINOMDIST I korvpalluri iga viske p= 0,6 II korvpalluri iga viske p= 0,7 p1= p2= p1 * p2
tõenäosuse omadustega). Sündmuse A suhteliseks suuruse X jaotustabel järgmine: 1, Sündmus ja tõenäosus. Kindel, võimatu ja juhuslik sageduseks Pn(A) antud katseseeria puhul nim. sündmuse sündmus, nende tõenäosused. Sündmus on Aesinemiste arvu m ja kõigi katsete arvu n suhet: P n(A)= tõenäosusteooria põhimõiste. Tavaliselt tähistatakse m/n Juhusliku sündmuse A statistiliseks tõenäosuseks suurte tähtedega, vajadusel kasutatakse indekseid. Nt. A, nim. konstantse arvu P(A), mille läheneb sündmuse A A1, Bi, Cjk jne. Sündmuse tõenäosus on sündmuse suhteline sagedu, kui katsete arv n käheneb lõpmatusele.
toimimisvead) Teadmatus ja motivatsioonitus Turvanõuete eiramine Sügis 2006 Tallinna Polütehnikum 20 Organisatsioonilised nõrkused Töökorralduse puudused Ressursihalduse puudused Dokumenteerimise puudused Turvameetmete valimise puudused Turvasüsteemide halduse puudused Sügis 2006 Tallinna Polütehnikum 21 Kvantitatiivne riskianalüüs Varade väärtused loomulikes ühikutes (ka ainetud varad hinnatakse rahaliselt) Ohtude esinemise tõenäosused esitatakse vahemikus 0 kuni 1 (statistika alusel) Rakendamine põhjendatud suurtes organisatsioonides, kus rahalised väärtused on suured Vajalik lokaalse statistika olemasolu Sügis 2006 Tallinna Polütehnikum 22 Kvalitatiivne riskianalüüs Nii varade väärtuse kui ka ohtude toime hindamisel kasutatakse väärtuste astmikke vara väärtus ("suur", "keskmine", "väike") vara ahvatlevus vara hüvituseks muundamise kergus/raskus ründaja tehnilised võimalused
Tunnus (Variable)- näitaja, mida mõõdetakse ja mis võib erinevatel objektidel omada erinevaid väärtusi. Tunnused võivad olla uuritavad ja taust- ehk abitunnused Tõenäosuslik/juhuslik valik (probability/random sampling): – populatsiooni igal liikmel on teatud tõenäosus saada valimisse kaasatud, – valik on tehtud mõne juhusliku valiku meetodiga, mis on kooskõlas nende tõenäosustega, – valimist hinnangute kalkuleerimisel võetakse arvesse valiku tõenäosused Valiidsus [Validity] – määr, mille ulatuses uuring või katse mõõdab seda, mida ta on ette nähtud mõõtma. Valimi kriteerium (Sampling criteria) - on eelnevalt kindlaksmääratud elementide omaduste loend, mis on olulised valimi moodustamiseks. Näiteks: vanus, sugu, perekonnaseis, haiguse tüüp, võime kirjutada. Valimifreim (Sampling frame)- on objektide nimekiri, mille põhjal moodustatakse valim.
Miks kahendsüsteem Vasakpoolsel joonisel on mürad suured, parempoolsel väikesed. Miks kahendsüsteem Olukord on keerukam, kui nivoosid ei ole 2, vaid rohkem. Järgmisel joonisel on kujutatud olukorda, kus nivoosid neli. Veategemise tõenäosus on nüüd otsustamisel suurem kui kahenivoolise edastuse puhul, sest igale otsusele on olemas 3 alternatiivi. Juhul, kui vastuvõtja otsustab, et edastati ,,0", on olemas veel mingisugused tõenäosused, et edastati hoopis ,,1", ,,2" või ,,3" jne. Kui kasutatakse suuremad nivoode arvu, seda suurem on ka bitivea tõenäosus (eeldusel et müratase jääb samaks). Miks kahendsüsteem Pildilt selgus , et oluline on nivoode erinevus ( 0 ja 1 vastavad pinged) Ja veel kiirus ühest olekust teise ümberlülitamisel Tuleb välistada vea tekkimise võimalus ARVUSÜSTEEMID JA ELEKTROONIKA Kümnendsüsteemis on kümme numbrit:
tõenäosus on võrdne ühe sündmuse tõenäosuse ja teise sündmuse tingliku tõenäosuse korrutisega, st P(AB) = P(A) *P(B/A)=P(B)*P(A/B). Kui sündmused on sõltumatud, siis P(AB)=P(A)*P(B). 18. Täistõenäosuse valem – on ühe keerulise sündmuse tõenäosuse arvutamiseeskiri. Saagu sündmus A kaasneda ühega sündmustest B1,B2..Bn, mis moodustavad sündmuste täieliku süsteemi. Sündmuste Bi(i=1..n) tõenäosused P(Bi) olgu teada. Samuti olgu teada ka sündmuse A sündmustega Bi koostoimumise tinglikud tõenäosused P(A/Bi). Sündmuse A tõenäosus P(A) leidmiseks kehtib täistõenäosuse valem. P(A)=P(B1)*P(A/B1)+P(B2)*P(A/B2)+..+P(Bn)*P(A/Bn). 19. Bayesi valem – Olgu teada sündmuste B tõenäosused ning samuti olgu teada ka sündmuse A tinglikud tõenäosused tingimusel, et mingi sündmus Bi on toimunud tingliku tõenäosusena P(A/B). Sooritame katse ja
NPV 18833808 15972672 12713201 -13342032 11 Kui NPV on suurem kui 0, siis on soovitatav projekt realiseerida. 7. KINNISVARAPROJEKTI RISKIANALÜÜS Riskianalüüs võimaldab investoril ennetada projektiga kaasnevaid ohte ja seeläbi vähendada projektist tulenevaid riske. Tõenäosuspuu meetodi kasutamisel nähakse ette võimalikud projekti oodatavad tõenäosused . Arendaja eeldab, et 4 variandi tõenäosused on vastavalt 0,2, 0,2, 0,3 ja 0,3. NPV väärtused: NPV, Tõenäosus NPV- (NPV- (NPV- Variant mln. (P) NPV*P ENPV ENPV)2 ENPV)2*P 1. 18,834 0,20 3,767 12,061 145,5 29,1 2. 15,973 0,20 3,195 9,200 84,6 16,9 3. 12,713 0,30 3,814 5,940 35,3 10,6 4
n 8 p 0.5 0 0.0039 1 0.0313 pa 0.0352 s korda. (Arvutada 4 kohta peale koma.) korda. (Arvutada 4 kohta peale koma.) õenäosus, et vapp tuleb peale vähem, kui kaks korda. (Arvutada 4 kohta peale koma.) Kaks korvpallurit viskavad 6 korda järjest korvile. Tõenäosused tabada igal viskel on vastavalt 0,6 ja 0, n 3 n 3 p 0.6 p 0.7 p1 p2 0 0.0640 0 0.0270 1 0.2880 1 0.1890 2 0
Anatoomilised sõrmejälg Käitumuslikud allkiri Molekulaarsed DNH ( DNA ) struktuur Täpsus Biomeetrilisel autentimisel toimib juhuslikkus ja otsus loomult statistilised. Iga otsus on mingi tõenäosusega väär : Tõendi väär mitteaktsepteerimine ( false rejection ); Tõendi väär aktsepteerimine ( false acceptance ) Täpsus 2 Autentimissüsteemi täptsust iseloomustavad nende vigade tõenäosused: Tõendi väära mitteaktsepteerimise tõenäosus FRR ( false rejection rate ) Tõendi väära aktsepteerimise tõenäosus FAR ( false acceptancerate ) Need vead on pöördsõltuvuses Volitustõendi tüübi valik Valiku tegemiseks võetakse arvesse : Turbetehnilisi aspekte : Ohud ja nõrkused, vahetatavus, täpsus Kasutsulike aspekte : Omaksvõtt, kasutamise mugavus, püsivus Majanduslikke aspekte : Alginvisteering, kasutajapõhised kulud.
tõenäosus ning seetõttu on teada, et teist klienditeenindajat pole mõtet palgata. P0 = 1 - Tõenäosus, et teenindajal on tööseisak: 1-0,166(6)= 0,833(3) On päris suur tõenäosus, et vahel pole teenindajal kassa juures midagi teha, see tähendab on tekkinud tööseisak. Selleks, et teenindaja saaks siiski head palka on talle tööseisaku ajaks määratud saali korrashoiu töö. Riiulitel olev kaup peab olema korralikult kokkupandud. Kogu poe üldilme peab olema korrashoitud. Tõenäosused n kliendi olemasolu kohta teenindussüsteemis(kaupluse leti juures) on alljärgnevas tabelis: tellimuste arv Tõenäosus p= (0,1667)astmes n * teenindussüsteemis(n) 0,1667 1 0,02779 2 0,00463 3 0,00077
c)tegeleb ümberjaotamisega. 66. Majanduspoliitika kujundajad ja elluviijad peavad lähtuma eeldusest, et (majanduspraktikas on a) nii reeglid kui ka nende rakendamine jäigad; b) nii reeglid kui ka nende rakendamine perfektsed; c) nii reeglid kui ka nende rakendamine ebatäiuslikud. 67. Risk on a) kvantitatiivne ja mõõdetav; b) kvalitatiivne ja mittemõõdetav. c) kvantitatiivne ja mittemõõdetav. 68. Määramatuse puhul a) võivad esineda nii objektiivsed kui subjektiivsed tõenäosused; b)võivad esineda objektiivsed tõenäosused; c) võivad esineda subjektiivsed tõenäosused. 69. Puhta riski puhul on mingi sündmuse esinemise korral tulemuseks a) kasum või kahjum; b)ainult kahjum; c) ainult kasum. 70. Puhtaid, staatilisi ja üksikuid riske a) pole põhimõtteliselt võimalik kindlustada; b)kindlustavad kindlustusfirmad; c) saab kindlustada ainult juhul, kui kmdlustaja või edasikindlustaja rollis on valitsus. 71. Teleoloogiline (äri)eetika
tööstuslikku pööret ning maailma jagunemist rikka tsentrumi (tuuma) ja vaese perifeeria vahel; c)kapitalism tekkis kiiresti ja edukalt ainult seal, kus protestantlik reformatsioon oli edendanud eetilist tööd, säästmist ja korduvinvesteerimist. 109. Motiivide struktuuri moodustavad a)valijate tahe; b)valimiseelsed lubadused; c)ideoloogiad, huvid, survetegurid. 68.Määramatuse puhul a)võivad esineda nii objektiivsed kui subjektiivsed tõenäosused; b)võivad esineda objektiivsed tõenäosused; c)võivad esineda subjektiivsed tõenäosused. N 112. Nn. kolmanda tee ideoloogia defineerib võrdsust a)võrdsusena sotsiaalsetes standardites; b) kui osalust ühiskonna ja riigiasjade ajamises; c)võrdsete sissetulekutena. 95.Neli kõige olulisemat otsustusinstitutsiooni on a)parlament, valitsus, kesk-emissioonipank, avalik-õiguslikud omavalitsusinstitutsioonid; b) parlament, valitsus, kesk-emissioonipank, riigikohus;
49,999 0,37143 50 0,88571 59,99 0,88571 60 1 70 1 milline o n tõenäosus et saame vähemalt 70 senti 6. Urnis on 6 kuuli : 4 MUSTA JA 2 VALGET. Kuule võetakse kuni esimese valge kuuli saamiseni. Võtmiste arv o Kõik võimalikud väärtused väärtuste tõenäosused keskväärtus dispersioon jaotusfunktsiooni graafik Xi Pi Xi*Pi Xi^2*Pi V 1 0,333333 0,333333 0,333333333 Juhusliku suuruse 5 x jao MV 2 0,266667 0,533333 1,066666667 2,5 MMV 3 0,2 0,6 1,8 1,5 2,2,5
Sündmus A - laost juhuslikult võetud detail on kvaliteetne Hüpotees H1 - detail toodeti esimesel tööpingil Hüpotees H 2 - detail toodeti teisel tööpingil Hüpotees H 3 - detail toodeti kolmandal tööpingil P(A)=(5/10)*0.94+(3/10)*0.9+(2/10)*0.85 2. Bayes'i valem 5 olgu {H1,H2,..Hk} üksteist välistavate sündmuste täissüsteem, teadaolevateks loeme ka hüpoteeside Hi tõenäosiusi P( H i ) . Katse tulemusena toimub sündmus A. Sündmuse A tinglikud tõenäosused iga hüpoteesi suhtes P( A | H i ) on teada. Millised on hüpoteeside Hi tõenäosused sõltuvalt sellest kas toimus sündmus A( P( H i | A ) ) ? P( H i ) P( A | H i ) P( H i | A ) = k P( H j ) P( A | H j ) . j =1 Näide 2: Eelmise näite andmetel arvutame tõenäosuse, et praaktoode pärineb esimeselt liinilt. St A on sündmus, et toode on praak ja H1 sündmus, et pärineb esimeselt liinilt.
Dispersioon – diskreetse juhusliku suuruse dispersioon σ^2=∑(xi-µ)^2*pi Pidev juhuslik suurus - Pideva juhusliku suuruse korral ei saa rääkida mingi üksiku konkreetse väärtuse esinemise tõenäosusest. Selle korral on konkreetse üksiku väärtuse esinemise tõenäosus 0 Jaotustihedus jaotusfunktsiooni tuletis: Empiirilised jaotused - Teostame mingit katset palju kordi, iga kord registreerime juhusliku suuruse väärtuse ja leiame statistilised tõenäosused. Saame empiirilise jaotuse. Empiirilise jaotuse saab anda vaid tabeli või diagrammina. Teoreetilised jaotused - Teatud teoreetilistest printsiipidest tuletatud jaotusseadus on teoreetiline jaotus. Diskreetse juhusliku suuruse korral: valem tõenäosuste leidmiseks. Pideva juhusliku suuruse korral: valem jaotustiheduse leidmiseks. Tuntakse üle 100 erineva teoreetilise jaotuse. Diskreetsed jaotused: ühtlane jaotus, Bernoulli jaotus, Binoomjaotus, Poissoni jaotus. Pidevad jaotused: ühtlane
487729037 Minu meelest on väljakutsete arv Poissoni jaotusega. H0: „Väljakutsete arvu on Poissoni jaotusega.“ H1: „Väljakutsete arv ei ole Poissoni jaotusega“ Leian Poissoni jaotuse parameetrile λ STP hinnangu. 0∗10+1∗26+3∗31+3∗18+4∗8+ 5∗7 λ=´x = = 2.09 100 λ ⅈ −λ Teoreetilised tõenäosused p´i leiame valemist p´i= ∗e ´ⅈ ! ~ ~ Teoreetilised sagedused ni leiame valemist ni =n∗p´i ( ~ni−ni )2 m XValem = ∑ ~ ni = 3.451713868 i Kuna jaotusel on 1 parameeter siis vabadusastmete arv k= 6-2 = 4 XParem(0.05, 4) = 9.487729037 Kuna XValem < XParem siis tõenäosusega 0
Sellest kuidas ja kuna täpsemalt õnnestub bluffida kursuse 4. osas Võidu tõenäosuse arvestamine on aga raskem juhul kui sa saad kokku masti aga see pole parim võimalik mast. 100 % tead sa, et võidad juhul kui sul on äss, kuid kui sul on kuningas? Või kui lauas on paar ehk kellegil võib olla moodustunud maja või nelik? Kuidas siis teada kas panustada või mitte? Seda vaatame samuti kursuse neljandas osas ehk kuidas lugeda vastaseid. Siin mõned tõenäosused: eeldusel et viimane kaart on nägemata ja sul on kõrgeim kaart Kahepoolne reatõmme 4,8:1 Sinul on käes: laual: ( 5 või 10 annaks sulle rea ) Kaheksa kaarti annaks sulle parima võimaliku käe ( kaardipakis on neli 5-te ja neli 10-t ) ehk sul on 8 võimalust saada soovitud tulemus Mastitõmme 4,1:1 Sinul on käes: laual: Iga risti annaks sulle parima võimaliku masti ( kaardipakis on veel 9 ristit ) ehk sul on 9 võimalust saada soovitud tulemus Sisemine reatõmme 10,5:1
Leida tuleb nende sündmuste korrutise tõenäosus. Vastavalt sõltuvate sündmuste korrutise tõenäosuse valemile leiame, et otsitav tõenäosus p(A) avaldub järgmiselt: p ( A) = 0,9 0,8 0,6 0,9 0,99 0,385 Leitud tõenäosus ei ole väga suur, nii et Jukul tasub siiski riskida! ÜLESANDED LAHENDAMISEKS 1. On teada, et sündmused A, B ja C on sõltumatud, kuid üksteist mittevälistavad sündmused. Veel on teada järgmised tõenäosused: p ( A) = 0,6 3 p( B) = 8 2 p (C ) = 3 Leida p( A B) = p (C B) = p( A B C ) = 2. Tõenäosus, et juhuslikult välja valitud apelsin on riknenud, on 0,1. Mandariini korral on vastav tõenäosus 0,2. Kui suur on tõenäosus, et valides ühe apelsini ja ühe mandariini, riknenud puuvilju ei saada? 3. Väikeses poekeses on 2 naist ja 1 mees. Iga naine ostab poest tõenäosusega 0,8. Mehe puhul on vastav tõenäosus 0,1
P(A∩B) = P(A/B)*P(B) Järeldus1. Kuna sündmused A∩B ja B∩A ei erine teineteisest, siis P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A). Järeldus2. Kui sündmused A ja B on teineteisest sõltumatud, siis P(A∩B) = P(A)P(B) Kui sündmuse A toimumine sõltub mitmest erinevast sündmusest, siis sündmuse A täistõenäosus avaldub kujul: P(A) = P(A/B1)P(A/B2). . .P(A/Bn). 1.7 Bayesi valem. Olgu antud täielik sündmuste süsteem B1, B2, . . . , Bn ning olgu teada nende tõenäosused P(B1), P(B2), …., P(Bn).Tehakse katse, mille tulemuseks on mingi sündmus A, mille tinglikud tõenäosused on P(A/B 1), P(A/B2), . . . ,P(A/Bn) teada. Sündmuse Bi tinglik tõenäosus avaldub kujul: P ( H i ) P( A / H i ) P(Hi/A) = n . P( H ) P ( A / H ) i 1 i i Näide: Firma toodangust vastab 95% standardile. Lihtsustatud kontrolli süsteem
3.1. Projekteerimise lähteandmed- Raadiovastuvõtja projekteerimisel saab lähteandmed jagada järgmistesse gruppidesse: Tingimused {V}: sisendsignaali iseloom modulatsiooni liik , signaali sagedus ja amplituud, sageduse ja amplituudi muutuste diapasoon ning kiirus, signaali kestvus, häirete iseloomustus jms; Tingimused {P} (piirangud): Analoog või digitaaltöötlus, väljundsignaali iseloomustus; Tingimused {K} (kvaliteedi kriteeriumid): valehäirete tõenäosused, signaali avastamise aeg, amplituudi hindamise täpsus, energiatarve jms. Olenevalt infokandja kujust esineb kolm enamlevinut ülesannet: 1.Teadete vastuvõtmine diskreetide abil (signaali avastamine, eristamine); 2. Erinevate pidevatoimeliste väärtuste vastuvõtt (signaali parameetrite hindamine); 3.Võnkumiste vastuvõtt (filtreerimine). Olulisteks lähteandmeteks optimaalsete vastuvõtjate sünteesil see, et eeldatakse teada olevaks kodeerimise viis, modulatsioon,
1. Sea vastavusse 1. Sündmus C, mille korral toimub kas sündmus A või sündmus B või mõlemad koos C on sündmuste A ja B summa 2. Sündmus C, mille korral toimub nii sündmus A kui ka sündmus B C on sündmuste A ja B korrutis 3. Kindel on see, et toimub kas sündmus A või sündmus B või sündmus C A, B ja C moodustavad täeliku süsteemi 2. Juhusliku suuruse X väärtuste hulk on {2; 4; 5}. Vastavate väärtuste esinemise tõenäosused on p(2)=0,5; p(4)=0,2 ja p(5)=0,3. Suuruse X keskväärtus on järelikult 3,3 3. Kui sündmuse A tõenäosus p(A)= 0,7, siis selle vastandsündmuse tõenäosus on 0,3 4. Visatakse korraga kahte täringut. Kui suur on tõenäosus, et mõlemal täringul tuleb silmade arv "6"? 1/36 5. Kui p(A)=p(A|B), siis sündmused A ja B on sõltumatud 6. Kahe sündmuse korrutise tõenäosus võrdub nende sündmuste korrutiste tõenäosusega, kui sündmused A ja B on sõltumatud.
paremusjärjestus on muutuv); tegevusvariantide arv (binaarne, standarne, paljuvariandiline, lõpmatuvariandiline); oluliste väliskeskkonna tegurite arv (mõjud puuduvad, üks mõjur, mitu mõjurit, mitu koostoimes mõjurit); väliskeskkonna määramatus (ühesele määratud, objektiivsed tõenäosused, subjektiivsed tõenäosused, väliskeskkonna täielik määramatus); tegutsemise tulemuste ruumi omadused (ühe- või mitmemõõtmeline, otsesed ja kaudsed tulemused, eesmärgipärased ja kõrvaltulemused, lühi- ja pikaajalised, oodatud ja ootamatud tulemused); hindamiskriteeriumite arv ja olemus (üks või mitu kriteeriumit, kvantitatiivsed või kvalitatiivsed kriteeriumid);
Etalonstiimuli väärtus on ühtlasi ka keskmine väärtus ning ülejäänud väärtused erinevad üksteisest võrdse muutuja poolest, vastavalt siis 5 stiimulit väiksemate ühikutega ning 5 stiimulit suuremate ühikutega; *Arvuti slaidshow üksikstiimulite esitamiseks; *Katse protokoll (toorprotokoll, kuhu eksperimentaator märgib katseisiku tulemused ning süstemaatiline protokoll, kuhu eksperimentaator märgib süstemaatilised katseisiku poolt antud tulemused ning arvuta tõenäosused). Katsekäik: *Katseisik istub eksperimentaatorist 3m kaugusel näoga arvuti ekraani suunas, mis asub eksperimentaatori kõrval laual; *Eksperimentaator seletab katseisikule töö käiku ning vastab katseisiku küsimustele; *Katse alustuseks näitab eksperimentaator katseisikule etalonstiimulit umbes 1 sekundiks ning pärast seda järgneb 2 - 3 sekundiline intervall; *Seejärel näitab eksperimentaator katseisikule 11 üksikstiimulit, mille kohta katseisikul tuleb
toimuvate sündmuste arv, sündmuste toimumine teatud ajavahemikus ei sõltu selle ajavahemiku algus- ja lõppmomendist, kaks sündmust ei toimu samaaegselt ja sündmuste toimumise arv vahemikus ei sõltu nende arvust eelmises vahemikus. 44. Poissoni piirteoreem ja millal teda kasutada. Kui juhuslik suurus X on binoomjaotusega B(n,p), siis katsete arvu piiramatul suurendamisel on binoomjaotus lähendatav Poissoni jaotusega P(λ), kus λ=np. Seda saab kasutada siis, kui sündmuste toimumise tõenäosused on väiksed(alla 0,1) ja eeldatakse piisavalt suurt katsete arvu. (np)k −np Piirteoreem: B ( n , p ) ≈ P ( np )= k ! e PIDEV JUHUSLIK SUURUS 1. Milliseid juhuslikke suurusi nimetame pidevateks. Pidevaks juhuslikuks suuruseks nimetatakse juhuslikku suurust, mis võib omada väärtusi mingist reaalarvude vahemikust. Kuna seal on lõpmata palju erinevaid väärtusi, siis ei pole
Osakese ja selle antiosakese massid on võrdsed, mõned karakteristikud, nt elektrilaeng, on vastandmärgilised. Osake ja antiosake annihileeruvad kohtumisel esialgsed osakesed kaovad ning asemele tekib paar uusi osakesi ja antiosakesi. Elementaarosakeste põhilisteks karakteristikuteks on: a) seisumass; b) laengutüüpi kvantarvud, mis võimaldavad klassifitseerida ja määravad, millised muundumised on lubatud; c) eluiga; d) muundumisprotsesside tõenäosused. Elementaarosakeste laineomadused ja valguse kiiruse lähedaste liikumiskiiruste tõttu peab rakendama nii erirelatiivsusteooria kui kvantmehaanika mõistestikku ja seaduspärasusi. Osakese ja antiosakese tekkimise ja kadumise seletamiseks on vajalik käsitleda ka välja kui kvanditud süsteemi. II murrang: 1964 a. M.Gell-Mann ja G. Zweig näitasid, et osakesi saab klassifitseerida. Kõik tugevas vastastikmõjus osalevad osakesed koosnevad kvarkidest ja antikvarkidest.
erinevad tunnusepaarid lahknevad ja kombineeruvad üksteisest sõltumatult. Ristamissuhted Punneti võrgustik o Punnetti ruutmeetod genotüüpide ja nende sageduste arvutamiseks (monohübriidne ristamine). o Ruudustiku lahtrites on toodud genotüübid, mille sagedus leitakse isas- ja emasgameetide ja nende sageduste korrutamisel. o Gameetide ühinemine on juhuslik, seepärast nende sõltumatute sündmuste tõenäosused korrutatakse. Punneti ruutmeetodit saab kasutada ka nt Huntingtoni tõve pärandumise tõenäosuse arvutamiseks o o Huntingtoni tõbi avaldub tavaliselt 15-20 eluaasta vahel. Toimuvad isiksuse muutused: unustus (vaimsed võimed kaovad), mittekontrollitavad liigutused. Esineb tavaliselt sagedusega 1 : 20 000. Kui üks vanem HD, siis pooled järglastest HD.
normaaljaotus, koostasin võrdlaiade vahemikega histogrammi (joonis 1) vahemikus 0- 100, viie jaotusega, tulpade kõrguseks suhteline sagedus ehk vahemikku sattumise tõenäosus. Valitud intervallipiirideks said siis 20, 40, 60, 80 ja 100, mis normeerisin, jagades intervallipiiri ja valimi keskväärtuse hinnangu vahe standardhälbe hinnanguga. Normaaljaotusele vastavad intervallidesse sattumise tõenäosused leidsin tabelist ning arvutasin normaaljaotuse korral vahemikesse jäävate vaatluste arvu, korrutades valimi mahu vastavate tõenäosustega. Valemi järgi arvutatud 2-statistiku väärtus on peaaegu võrdne tabelist võetud kriitilise väärtusega 21-(f), kus f=k-3 (k-intervallide arv), seega ei ole saa kindlalt väita, et jaotus on normaaljaotus. Kontrollimaks samal olulisuse nivool, kas jaotus on ühtlane, arvutasin ühtlase jaotuse
korral sündmuse A toimumise tõenäosust täpseltk korda kui sündmuse tõenäosus igal katsel on p=P(A). kus q on sündmuse A vastandsündmuse toimumise tõenäosus q = 1 - P(A). Tuletus: Sündmus A toimub n katse korral m korda, siis sündmuse A vastandsündmus toimub n m korral. Binoomjaotus Juhuslikku suurust X, mille võimalikeks väärtusteks on naturaalarvud 0,1,2... n ja mille vastavad tõenäosused arvutatakse Bernoulli valemiga, nim binoomjaotusega juhuslikeks suurusteks. Binoomjaot. keskväärtus EX=np , dispersioon DX=npq, standardhälve DX. Keskväärtus: Dispersioon: Poissoni jaotus Poissoni jaotus harva esinevate sündmuste jaotusseadus. Poissoni jaotust kasutame kui katseseeriate arv n st. n30 ja tõenäosus p5. m on antud arv. Poissoni jaotusega juhuslikuks suuruseks nimetame juhuslikku suurust, mille väärtuste hulgaks on täisarvud 0,1,2 .. ja
Haploidses eukariootses rakus on üks, diploidses kaks komplekti kromosoome. 9. Ristamissuhete ettearvamine Punnetti võrgustikus Punnetti ruutmeetod genotüüpide ja nende sageduste arvutamiseks (monohübriidne ristamine). Ruudustiku lahtrites on toodud genotüübid, mille sagedus leitakse isas- ja emasgameetide ja nende sageduste korrutamisel. Gameetide ühinemine on juhuslik, seepärast nende sõltumatute sündmuste tõenäosused korrutatakse. (siia oleks näidet vaja) 10. Geenide aheldus ja rekombinantsed gameedid Kui geenid asuvad samas kromosoomis suhteliselt lähestikku, siis on geenid aheldunud ja päranduvad edasi järglasele enamasti koos. Geenide aheldust väljendab kõrvalekalle oodatavast geenide sõltumatu lahknemise Mendeli printsiibist. füüsiliselt aheldunud-asuvad samas kromosoomi DNA niidis geneetiliselt aheldunud (lahknevad sõltumatult teineteisest). Teema 2. Otsegeneetika: geenilt tunnusele. 1
magusa õuna Vastus 67/91 f) Kvaliteetse detaili tegemise tõenäosus esimesel tööpingil on 0,7 ja teisel 0,8. Esimesel tehakse 2 detaili ja teisel 3 detaili. Kui suur on tõenäosus, et kõik 5 on kvaliteetsed? Vastus ~ 0,25 g) Täringut heidetakse 2 korda . Leia järgmiste sündmuste tõenäosused: a) Kummagi täringuga saadakse ülimalt 3 silma b) Saadud silmade summa on vähemalt 9 silma c) Kummagi täringuga saadakse vähemalt 5 silma d) Saadud silmade summa on ülimalt 4 Vastus. a)0,25 b) 5/18 c) 1/9 d) 1/6 h) Vanaemal on keldris 15 purki maasikamoosi, neist 11 on selle aasta moosid. Leidke tõenäosus, et a) juhusliku purgi
annaabi.ee 
