LOGARITMIMINE Logaritmi I definitsioon Arvu b logaritmiks alusel a nimetatakse arvu c, kui arvuga c alust a astendades saadakse arv b. logab = c <-> ac = b logab = c [logaritm b-st alusel a] a logaritmi alus a > 1 v 0 < a < 0 ; a 1 b logaritmitav b > 0 c logaritmi väärtus cR log10 = 1, kuna 101=10 [kümnendlogaritm 10-st] lneb = c [naturaallogaritm b-st] Naturaallogaritmi alus on e2,7 Logaritmi II definitsioon logx2 log2x = (logx)2 log-1x log log-1x = Logaritmimise reeglid ja nende järeldused I Korrutise logaritmimise reegel Korrutise logaritm on võrdne tegurite logaritmide summaga. logabd = logab + logad Järeldus: Logaritmide summa on võrdne korrutise logaritmiga. logab + log...
ARVUDE LOGARITMIMINE JA POTENSEERIMINE Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga, s.t Loga N1 * N2 = loga N1 * loga N2 Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega, s.t loga N1 / N2 = loga N1 loga N2 Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega, s.t loga Nc = c* loga N Neet kolm valemit on logaritmimise eeskirjad. Need valemid on potenseerimise eeskirjad, kui vasak ja parem pool ära vahetada: s.t loga N1 * loga N2 = Loga N1 * N2 s.t loga N1 loga N2 = loga N1 / N2 s.t c* loga N = loga Nc Näited (logaritmimine): 1.) log 10x = log 10 + log x = 1+ log x 2.) log 100a / b = log (100a) log b = log 100 + log a log b = 2 + log a log b 3.) log 10 m = m * log 10 = m*1 = m Näited (potenseerimine): 1.) log a + loga 5 = log 5a 2.) log 50 log...
r - arvu N logaritm alusel a Logaritmi omadused: logaa = 1 loga1 = 0 alog a N = N a2log a N = ( alog a N)2=N2 a2+log a N =a2alog a N =a2N a2-log a N= a2 : (alog a N)= a2 : N a-log a N= N-1 Kümnendlogaritm Logaritmi aluseks on arv 10, mida ei kirjutata logN (log10N) Naturaallogaritm Logaritmi aluseks on arv e, mida ei kirjutata lnN (lneN) Avaldise logaritmimine ja potentseerimine Logaritminime avaldise logaritmi leidmine Potentseerimine avaldise logaritmi järgi avaldise leidmine · Korrutise logaritm võrdub tegurite logaritmide summaga logaN1N2= logaN1+ logaN2 · Jagatise logaritm võrdub jagatava ja jagaja logaritmide vahega loga(N1 : N2)= logaN1 logaN2 · Astme logaritm võrdub astendaja ja astme aluse logaritmi korrutisega logaNc = c logaN
Õppematerjalide loomist toetab AS Topauto/autod, markide Seat, Suzuki, Hyundai ning kasutatud autode müüja üle Eesti 6. Logaritm- ja eksponentfunktsioonid. Logaritm- ja eksponentvõrrandid ning võrratused Põhiteadmised · Arvu logaritmi mõiste ja omadused; · naturaallogaritm; · eksponent- ja logaritmfunktsioonid, nende graafikud ja omadused. Põhioskused · Avaldiste logaritmimine ja potentseerimine; · üleminek logaritmi ühelt aluselt teisele; · eksponent- ja logaritmfunktsiooni omaduste kasutamine vastavate võrrandite ja võrratuste lahendamisel; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide graafikute skitseerimine ja lugemine; · eksponent- ja logaritmfunktsioonide pöördfunktsioonide, nende määramis- ja muutumispiirkondade leidmine ning graafikute skitseerimine. Valemid · Arvu logaritm ja selle omadused
· Statistiliste meetoditega hinnatavad mudeli parameetrid (). · Andmete ettevalmistamine · Juhuslik komponent ehk vealiige (u). sobivasse formaati viimine; ühikute teisendamine; vajadusel logaritmimine. · Andmetes esinevate vigade avastamine arvväärtused antud Y f ( X, , u ) registreerimisvead; tahtlikud vead. arvväärtused antud
Saame ∆y ∆u F ´ (x )= lim ∗ lim =f ´ u (u)∗g ´ x ( x ) ∆u→0 ∆ u ∆ x→ 0 ∆ x m.o.t.t Logaritmi omadusi lna b=blna ln ( ab )=lna+lnb a ln =lna−lnb b Logaritmiline diferentseerimine ehk tuletise võtmine logaritmi abil. Seda võtet peab rakendama, kui funktsioon on kujul y=[ f (x ) ] g( x) Võib rakendada, kui funktsiooni eelnev logaritmimine teeb tuletise võtmise lihtsamaks x x (¿¿ α ) ´ , ( a ) ´ tabelis ¿ x (¿¿ x) ´ ei ole tabelis ¿ Joonis 15. Ilmutamata kujul ehk võrrandiga antud funktsiooni diferentseerimine Joonis 16. Erinevate matemaatiliste tehete näited Wordi kasutamisel: df dx 0 ∞ lim c=c x→ a ❑ lim f ( x )=∞ x→∞ lim [ c f ( x ) ]=c lim f ( x ) x→ a x→ a
kasvamise ja kahanemise bioloogilised Eksponentfunktsio olemust; ülesanded. on, selle graafik ja 2) lahendab liitprotsendilise omadused. Arvu kasvamise ja kahanemise logaritm. Korrutise, ülesandeid; jagatise ja astme 3) kirjeldab eksponentfunktsiooni, logaritm. x Logaritmimine ja sh funktsiooni y = e omadusi; potentseerimine. 4) selgitab arvu logaritmi mõistet Üleminek logaritmi ja selle omadusi; logaritmib ning potentseerib lihtsamaid avaldisi; ühelt aluselt 5) kirjeldab logaritmfunktsiooni ja teisele. selle omadusi; Logaritmfunktsioon 6) joonestab eksponent- ja
5 4) Eksponendiga läbi jagamine Vahel tekib olukordi, kus võrrandis on kaks erinevat alust, mida samaks teisendada on peaaegu võimatu. Sellises olukorras tuleb võrrandit ühega neist läbi jagada. Seda võib teha, kuna positiivne arv mistahes astmel pole kunagi 0. Logaritmvõrrand Logaritmvõrrandite peamisteks lahendusvõteteks on potentseerimine ja logaritmimine. Kui mõlemal pool võrdusmärki on üks logaritm samal alusel, siis võib logaritmid ära kaotada ja võrrelda ainult sisemist osa. Seda võtet nimetatakse potentseerimiseks. Näide: log57 + log53x = log5105 -> log521x=log5105 -> (Potentseerimine) 21x=105|:21 -> x=5 Kindlasti tuleb teada logaritmide omadusi, mis on kirjas ülevalpool.
töötasu tõuseb 0,015 tuh $ võrra log-log mudel · = 4,8 + 0,257 ln sales ln salary Kui käive tõuseb 1%, siis töötasu tõuseb 0,257% Sõltuva tunnuse logaritmimine teisendab eksponentsiaalse kõvera Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. lineaarseks. See on elastsuskordaja. Parameeter r on kasvumäär. Lineaarne mudel: piirkalduvus on konstantne. Log-log mudel: elastsuskordaja on konstantne. Allikas: http://www.usgovernmentspending.com
Ei näita, kui palju kõrgem tase madalamast erineb. Seetõttu on statistilised arvutused koolihinnetega (aritmeetilise keskmise leidmine) ebakorrektsed. Näiteks 50 cm on 10 korda pikem 5 cm-st. Ei saa väita aga, et hinde "4" saanud õpilane on oma teadmistelt täpselt kaks korda tugevam hinde "2" saanust. Järjestuskaalas mõõdetud suurustega võib teha tehteid, mis ei muuda tunnuse väärtuste järjekorda. Näiteks numbriliste väärtuste asendamine tähestiku järjekorras tähtedega, logaritmimine, ruutu tõstmine.Ei tohi liita ja lahutada, leida aritmeetilist keskmist vms. 3. Intervallskaala (scale). Skaalajaotuse intervallid on täpselt ühepikkused. Näiteks inimese vanus, testimisel saadud õigete vastuste arv, ülesande lahendamiseks kulunud aeg, pulsi sagedus, töötajate arv. Intervallskaalad jagunevad veel kaheks: 5 · vahemikskaala - nullpunkti asukoht on kokkuleppeline (Celsiuse skaala temperatuuri mõõtmiseks, aeg)
mudeli lineariseerimise võtted. 32. Sagedamini kasutatavad erikujulised mudelid: log-log, log-lin, lin-log ja hüperboolne mudel. Logaritmimata tunnused on väga asümmeetrilised. Logaritmitud tunnused on sümmeetrilisemad. Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on elastsuskordaja. Lineaarne mudel: piirkalduvus on konstantne. Log-log mudel: elastsuskordaja on konstantne. ln yt=b+alnx + u Log-lin: Sõltuva tunnuse logaritmimine teisendab eksponentsiaalse kõvera lineaarseks. Parameeter r on kasvumäär. Ln yt=b+rt+u 33. Mitmese lineaarse regressioonmudeli parameetrite tõlgendamine. · Reaalses elus võib tunnusele Y mõjuda aga mitmeid erinevaid tegureid. Parameetrite arv on k. Regressorite arv on k-1. Kui x2 suureneb ühiku võrra ja ülejäänud seletavad tunnused x3 , ... xk jäävaks samaks, siis y muutub b2 võrra. · Ceteris paribus: kõik muu jääb samaks. 34. ANOVA tabel, F-statistiku arvutamine
Regressioonanalüüsi põhitulemuste esitamisel esitatakse: Parameetrite hinnangud, parameetrite standardvead, determinatsioonikordaja R2, valimi maht n 27) Regressioon läbi nullpunkti Ühe tunnuse korral y = ax + u Deterministlik komponent on võrdeline seos y = ax (Vabaliige garanteerib, et regressioonjääkide summa u = 0 ) 28) Seletavate tunnuste astmeid, ruutjuurt ja pöördväärtust sisaldava mittelineaarse mudeli lineariseerimise võtted (loeng 2) Tunnuste logaritmimine, mille tulemusena saame log-log mudeli. Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on elastsuskordaja. Log- log mudeli kordaja on konstantne. Lin-log ja log-lin mudel 29) Sagedamini kasutatavad erikujulised mudelid: log-log, log-lin, lin-log ja hüperboolne mudel (loneg 2 vbl) 30) Mitmese lineaarse regressioonmudeli parameetrite tõlgendamine q=79-0,54p+0,19p+u Kui p1 tõuseb 1 ühiku võrra ja teised tunnused jäävad
asümmeetrilisemad) Log-log mudeli kordaja tõlgendus näide: Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1%. See on elastsuskordaja. Lineaarse mudeli puhul on piirkalduvus konstantne. Log-log mudeli puhul on elastsuskordaja konstantne! 2. Log-lin mudel - logaritmitakse ainult sõltuvat tunnust (Y). Lineariseeritud mudel : ln y=b+rt, kus parameeter r on kasvumäär ja sõltumatu tunnus t on aeg. Sõltuva tunnuse logaritmimine teisendab eksponentsiaalse kõvera lineaarseks. 3. Lin-log mudel - logaritmitakse ainult sõltumatut tunnust (X). lin log mudel: y=b+a*ln_x+u 4. Hüperboolne mudel - y= b+a(1/x)+u KOKKUVÕTVALT: 30. Mitmese lineaarse regressioonmudeli parameetrite tõlgendamine. Mitmene lineaarne regressioonmudel Lihtsa regressioonmudeli korral on üks sõltumatu tunnus X, mis mõjutab sõltuva tunnuse Y käitumist. Reaalses elus võib sõltuvale tunnusele Y mõjuda aga mitmeid
Sirge määramiseks tasandil peab olema Näiteks yi b1 x2b2i x3bi3 ui Cobb-Douglas, aga juhuslikud liikmed liituvad. vähemalt 2 punkti. yi b axi ui a^ xi yi n x y X Logaritmimine ei aita. Kui mudel 1 x 2 i n x2
Mikroökonoomika (MJRI.09.028) Seminarid Helje Kaldaru 2013 1. Majandusteooria metoodika ja optimaalne tarbimisplaan Ülesanne 1.1. Kauba A turu-uuringute tulemusena saadi järgmised andmed kauba hinna ja koguse kohta ceteris paribus (ostjate valmidus osta vastava hinna korral kaupa teatud koguses): Hind 100 50 10 1 Kogus 1 2 10 100 Millist üldist seaduspära märkate? Mida kõrgem on hind, seda väiksem ostetud kogus. Kui uuringu läbiviijad märgivad, et andmed on saadud ceteris paribus, siis millised asjaolud ei ole majanduses muutunud? Tarbijate hulk ja/või sissetulek, raha ostujõud, kauba kvaliteet, tarbijate maitse-eelistused, (veel midagi?). Oletagem, et sama seos kummagi kauba hinna ja nõutava koguse vahel valitseb kõigi mittenegatiivsete (mida see tähendab?) hinda...
Konkurentsi absoluutne intensiivsus (ACI) = Xcontrol- Xcompetition. X tähistab isendite (liigi) seisundit (biomass, elumus ja viljakus). Konkurentsi suhteline intensiivsus (RCI) = (Xcontrol- Xcompetition)/Xcontrol. Xcontrol on olukord, kus konkurents ei mõju.RCI näitab liigi biomassi jms suhtelist vähenemist võrreldes konkurentsivaba olukorraga. Vajalik olukordades, kus tingimused muutvad. Aitab paremini puhverdada keskkonnamuutusest tulenevat mõju. Logaritmimine parandab jaotust. 5. Konkurentsi sümmeetria, selle avaldumine kooslustes Definitsioonid: konkurents on asümmeetriline, kui liigi 1 negatiivne mõju liigile 2 on suurem, kui liigi 2 mõju liigile 1. Konkurents on asümmeetriline, kui liik haarab ajaühikus endale suhteliselt rohkem ressurssi, kui on tema osa üldises biomassis. Avaldumine: intensiivne asümmeetriline konkurents tekitab isendite asümmeetrilise suurusjaotuse
(cth x) = - 2 . sh x 2.7 Logaritmiline diferentseerimine Logaritmilise diferentseerimise v~otet tuleb kasutada eelk~oige funktsioonide y = [f (x)]g(x) korral, st kui funktsioonis on muutuv suurus muutuval astmel. Astmefunktsiooni puhul peab astendaja olema konstantne, eksponentfunkt- siooni puhul aga alus konstantne. Seega antud funktsiooni tuletise leidmiseks ei saa kasutada kumbagi valemit. Logaritmimine v~oimaldab teisendada funktsiooni nii, et seda on v~oimalik diferentseerida olemasolevaid reegleid kasutades. Nimelt ln y = ln[f (x)]g(x) = g(x) ln f (x) ja [f (x)]g(x) on teisenenud korrutiseks, milles teine tegur on liitfunktsioon ln f (x). Seda diferentseeritakse korrutise tuletise leidmise reeglit ja liitfunkt- siooni tuletise leidmise reeglit rakendades. Muutuja y on x funktsioon, seega vasak pool ln y on liitfunktsioon ja selle tuletis avaldub standardsel kujul
Päriselus ja füüsikas teeme arvutusi kümnendsüsteemis. Loomulikud suurusjärgud on ühelised, kümnelised, sajalised ehk siis kümnekordsed. Seega on mugav kasu- tada ka logaritme alusel . Kui aga näiteks töötame kahendsüsteemis, on kõik arvud antud kahe astmete summana ehk oluline muutus toimub arvude kahega korrutamisel. Nii on ka loo- mulik suurusjärk kaks ning loomulik logaritmimine käibki alusel kaks. Kuna arvutid teevad kõike kahendsüsteemis, tuleb ka logaritm alusel kaks ehk esile just arvutitega tegelemisel. Logaritmi alusel nimetatakse naturaallogaritmiks ning teda tähistatakse vahel ka asemel lihtsalt -ga. Nagu nimest võib aimata, on temaski midagi loo- mulikku ja ilusat. Näiteks nägime juba, et sel juhul on tuletis kõige lihtsamas kujus:
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
