Ökonomeetria kontrolltöö kordamisküsimused 2020 (0)

Ökonomeetria KT kordamisküsimused 1. Ökonomeetrilise mudeli komponendid.  ● Modelleeritavad   näitajad:  endogeenselt  (sisemiselt)   määratud   ehk  sõltuvad muutujad (Y). Väärtused määratakse mudeli siseselt ● Modelleeritavat   nähtust   mõjutavad   näitajad:  eksogeenselt  (väliselt)   määratud ehk sõltumatud, seletavad muutujad (X). Väärtused määratakse mudeli väliselt. ● Statistiliste meetoditega hinnatavad mudeli parameetrid (b). 
● Juhuslik komponent ehk vealiige (u). 2. Andmetüübid.  Ökonomeetriline mudel baseerub arvandmetel: ● Ristandmed (cross-sectional)
● Aegread (time series)
● Paneelandmed (panel data) Andmed saavad olla kas ● Kvalitatiivsed (ei saa mõõta arvudega, nt haridustase)
● Kvantitatiivsed (mõõdetakse arvudega, nt vanus) 3. Valimvaatlused ja parameetri hinnangu mõiste.  ● Uuritav objekt on üldkogum
● Andmebaas on üldjuhul valim  Järeldusi soovime teha üldkogumi kohta, selleks kasutame valimit.


Valimi parameetrite põhjal leitakse üldkogumi parameetrite hinnangud. Valimi põhjal leiame mudeli parameetrite hinnangud. Valim on juhuvalim => hinnang
on juhuslik suurus. 4. Punkthinnang, intervallhinnang.  Punkthinnang   (point   estimate)   on   statistik,   mis   annab   parameetrile   ühese   väärtuse.
Näiteks valimi aritmeetiline keskmine on punkthinnang kogumi keskväärtusele. Intervallhinnang (interval estimate) on lõik, mis sisaldab parameetri tegelikku väärtust
mingi etteantud tõenäosusega. Ka usaldusvahemik (confidence interval) 5. Hinnangfunktsioon.  Hinnangfunktsioon (estimator) on reegel üldkogumi parameetri(te) hinnangu(te)
leidmiseks. ● Ühe   ja   sama   parameetri   hindamiseks   võib   kasutada   erinevaid hinnangfunktsioone. ● Mõned sobivad paremini, mõned halvemini 6. Hinnangute omadused.  1. Nihe (bias). Iseloomustab süstemaatilist viga.
2. Efektiivsus (efficiency). Iseloomustab hinnangute hajuvust.
3. Mõjusus (consistency). Iseloomustab koondumist suurte valimite korral –  suure valimi korral 4. Asümptootiline jaotus  – suure valimi korral
5. Asümptootiline efektiivsus – suure valimi korral 7. Hinnangu nihe, nihketa hinnang. 


Hinnangu   nihe  võrdub   parameetri   hinnangu   keskväärtuse   ning   parameetri   tegeliku
väärtuse β vahega: Parameetri  hinnang   on  nihketa  (unbiased),   kui   hinnangu   keskväärtus   võrdub
parameetri tegeliku väärtusega: ● Kahest hinnangfunktsioonist on parem see, mis on nihketa.
● Nihketa hinnangfunktsioone võib olla mitmeid nt   sümmeetrilise   jaotuse   korral   on   üldkogumi   mediaani   nihketa
hinnanguteks valimi aritmeetiline keskmine ja valimi mediaan. 8. Hinnangu efektiivsus, efektiivne hinnang.  ● Efektiivne   hinnang   on   nihketa   vähima   dispersiooniga   hinnang   kõigi   nihketa hinnangute seas.  ● Hinnangute   dispersioone   tasub   võrrelda   vaid   nihketa   hinnangute   korral,   kuna hinnangu väike dispersioon ei ole eesmärk omaette. 9. Mõjus hinnang.  ● Hinnang   on  mõjus  (consistent),   kui   ta   koondub   tõenäosuse   järgi   parameetri


tegelikuks väärtuseks: : ● Kui  hinnang  on   mõjus,   siis  valimi   mahu   kasvades   tõenäosus,   et  hinnangu  ja parameetri tegeliku väärtuse erinevus oleks väiksem kui mistahes positiivne arv,
läheneb ühele. ● Hinnangu mõjusus on asümptootiline omadus
● Asümptootika: valimi maht n → ∞ (Wolfram) Uute valimite moodustamisel on näha, et väikese mahuga valimite korral võib
hinnang   tegelikust   väärtusest   päris   palju   erineda.   Valimi   mahu   suurenedes   läheneb
hinnang tegelikule väärtusele. Järelikult on valimi keskmine kogumi keskväärtuse jaoks
mõjus hinnang. 10. Hinnangu asümptootiline jaotus.  ● Asümptootiline jaotus näitab, millisele klassikalisele jaotusele läheneb hinnangu valimjaotus valimi mahu kasvamisel. ● Hinnang on asümptootiliselt normaaljaotusega, kui hinnangu valimjaotus läheneb valimi mahu kasvamisel normaaljaotusele ● Asümptootilist   jaotust   kasutatakse   parameetrite   usalduspiiride   leidmisel, testimisel. Sellest leitakse kriitilised väärtused, olulisuse tõenäosus 11. Hinnangu asümptootiline efektiivsus.  Mõjusat  hinnangut nimetatakse  asümptootiliselt  efektiivseks  (asymptotically  efficient),
kui   selle   asümptootilise   jaotuse   dispersioon   on   väiksem   suvalise   mõjusa
asümptootiliselt normaaljaotusega hinnangu dispersioonist.  Näiteks mõningad suurima tõepära meetodil leitud hinnangud. 12. Hüpoteeside kontrollimine: otsuse vastuvõtmine, kui on antud teststatistiku
empiiriline ja kriitiline väärtus.  ● Nullhüpotees: miski võrdub millegagi (erinevus on null)  – kogumi keskväärtus μ = μ0 
– kogumi A keskväärtus = kogumi B keskväärtus 
– mudeli parameeter β = 0


● Sisukas (alternatiivne) hüpotees: võrdus ei kehti
● Otsustamiseks kasutatakse juhuvalimit.
● Juhuvalimi keskväärtus on juhuslik suurus, st erineb arvust μ. 
● Kuidas otsustada, kas  – kogumi keskväärtus μ = μ0  kehtib nullhüpotees;  – kogumi keskväärtus μ ≠ μ0  kehtib sisukas hüpotees? ● Ehk:   kui   palju   võib   juhuvalimi   keskväärtus   erineda   nullhüpoteesiga   püstitatud väärtusest, et võime öelda: nullhüpotees ei kehti? ● Vaja kriteeriumi! Statistiline kriteerium ja teststatistik ● Otsustamiseks   vajaliku   statistilise   kriteeriumi   leidmiseks   kasutatakse teststatistikut. ● Valimi andmete põhjal arvutatakse teststatistiku empiiriline väärtus  – sõltuvalt sellest, mida kontrollitakse, on konkreetsed arvutusvalemid erinevad 
– z-test, t-test, F-test, χ 2 -test, …. ● Empiirilist väärtust võrreldakse vastava  kriitilise  väärtusega ja võetakse vastu otsus. Kriitilised väärtused ● Nullhüpotees   lükatakse   tagasi,   kui   valimile   vastava   teststatistiku   empiirilise väärtuse esinemise tõenäosus on väiksem kui olulisuse nivoo α ● Sagedasemad olulisuse nivood: 0,1; 0,05; 0,01
● Olulisuse nivoole vastav teststatistiku väärtus on kriitiline väärtus. ○ Näiteks kriitilised väärtused kahepoolse z-testi korral on -1,96 ja 1,96.  Kriitilistest   väärtustest   kaugemal   on   kriitiline   piirkond   (viirutatud),   kus   kehtib   sisukas
hüpotees


KOKKUVÕTVALT: ● Püstitatakse hüpoteesipaar: nullhüpotees ja sisukas hüpotees.
● Valitakse sobiv teststatistik.
● Valimi põhjal leitakse selle empiiriline väärtus.
● Võetakse ette olulisuse nivoo (tavaliselt 0,05).
● Võrreldakse  – kas empiirilist ja kriitilist väärtust või 
– olulisuse tõenäosust p ja olulisuse nivood α. ● Otsustatakse, kumb hüpotees tuleb vastu võtta  – Kui empiiriline väärtus on kriitilisest suurem (ehk p < α), on nullhüpotees
ümber lükatud ja tuleb vastu võtta sisukas hüpotees. 13. Hüpoteeside kontrollimine: otsuse vastuvõtmine, kui on antud teststatistiku
empiirilisele väärtusele vastav olulisuse tõenäosus ja olulisuse nivoo.  Olulisuse nivoo ja olulisuse tõenäosus ● Statistika- ja ökonomeetriapaketid võimaldavad hüpoteeside kontrollimisel leida lisaks teststatistiku empiirilisele väärtusele ka sellele vastavat tõenäosust. ● See   on  olulisuse   tõenäosus  p  (näitab   tõenäosust,   kui   hästi   valim   sobib nullhüpoteesiga) ● Nullhüpotees lükatakse tagasi, kui olulisuse tõenäosus p < α olulisuse nivoo (nt 0,05) 14. Olulisuse nivoo ja kahte liiki vead. 


● I liiki vea tõenäosuse ülempiir on olulisuse nivoo α.
● See määratakse ära enne hüpoteesi kontrollimist. 
● Võetakse enamasti kas 5% või 1% (mõnikord ka 10%) 
● Olulisuse nivoo alandamine (α väärtuse vähendamine)  ○ vähendab I liiki vea tõenäosust; 
○ suurendab II liiki vea tõenäosust 15. Kovariatsioon, selle arvutusvalem ja omadused.  Dispersioon: ühe suuruse hajumine:   Kovariatsioon: kahe suuruse koosmuutumine Diskreetsete tunnuste korral:  Erinevalt dispersioonist võib kovariatsioon olla nii positiivne kui ka negatiivne: Kovariatsiooni omadused: 1. Sümmeetrilisus:  2. Kui X=Y, siis  ● Kovariatsioon on dispersiooni üldistus
● Dispersioon on kovariatsiooni erijuht: kovariatsioon iseendaga 3.   Sõltumatute  juhuslike   suuruste   kovariatsioon   on   võrdne   nulliga:


● Vastupidine ei kehti, st kui kovariatsioon on null, ei pruugi suurused olla sõltumatud. ● 4. Kui  siis nimetatakse suurusi X ja Y korreleeruvateks Positiivne   kovariatsioon:   suurematele   X   väärtustele   vastavad   ka   suuremad   Y
väärtused, väiksematele X väärtustele väiksemad Y väärtused Negatiivne   kovariatsioon:   suurematele   X   väärtustele   vastavad   väiksemad   Y
väärtused, väiksematele X väärtustele suuremad Y väärtused.  16. Korrelatsioonikordaja, selle arvutusvalem ja omadused.  ● Kovariatsiooni puudus: absoluutväärtus võib olla väga suur! => Raske hinnata seose tugevust. ● Normeeritakse nii, et absoluutväärtuse maksimaalne väärtus oleks 1 ● Korrelatsioonikordaja absoluutväärtus näitab lineaarse seose tugevust.
● Märk näitab seose suunda: positiivne või negatiivne rAB = 0,58 rAC= - 0,87 A ja C vahel on tugevam seos kui A ja B vahel


Korrelatsioonikordaja valem: 17. Hüpoteesi kontrollimine korrelatsioonikordaja olulisuse kohta: nullhüpotees
ja sisukas hüpotees.  Korrelatsioonikordaja   statistilise   olulisuse   kontrollimine   seisneb   hüpoteeside   paari       H0: r = 0;  H1: r  ≠ 0;  kontrollimises 18. Regressioonanalüüs ja regressioonmudeli komponendid.  Regressioonmudel koosneb deterministlikust ja juhuslikust komponendist. Y = deterministlik komponent + juhuslik komponent Tinglik keskväärtus on deterministlik komponent y=E[Y|X]+u Näiteks lineaarne regressioonmudel y=ax+b + u ax+b - deterministlik komponent ehk tinglik keskväärtus u - juhuslik komponent Regressioonanalüüs   uurib   suuruste   vahelist   sõltuvust   ja   võimalusi   selle
funktsionaalseks kirjeldamiseks etteantud valemi põhjal.  Regressioonanalüüsi   käigus   leitakse   regressioonmudeli   deterministlik   komponent,   st
leitakse vastava matemaatilise funktsiooni parameetrite hinnangud. 19. Vähimruutude meetodi olemus.  Vähimruutude   meetod   on   kõige   tuntum   meetod,   selle   abil   minimeeritakse  hälvete
ruutude summat. ● Lineaarne mudel: harilik vähimruutude meetod OLS (Ordinary Least Squares). 
● Mittelineaarne   mudel:   mittelineaarne   vähimruutude   meetod   NLS   (Nonlinear Least Squares)


● Teatud   juhtudel   üldistatud   vähimruutude   meetod   GLS   (Generalized   Least Squares) Vähimruutude   meetodi   kasutamiseks   peab   mudel   olema  lineaarne  parameetrite
suhtes. Vähimruutude meetod: regressioonmudeli parameetrite hinnangud leitakse nii, et
jääkide ruutude summa on minimaalne. 
Parameetrite hinnangute valemite tuletamine: 
Hälvete ruutude summa RSS (Residual Sum of Squares). Tuleb leida kahe muutuja
funktsiooni miinimumkoht. 
Matemaatilisest analüüsist: I järku osatuletised peavad võrduma nulliga 20. Vähimruutude meetodil leitud hinnangute omadused, kui kehtivad klassikalise
lineaarse mudeli eeldused.  On võimalik näidata (Gauss-Markovi teoreem), et sel moel leitud hinnangud on ● nihketa;
● efektiivsed, so vähima dispersiooniga kõigi nihketa lineaarsete hinnangute seas;
● lineaarsed vaatluste yi suhtes.


KUI
Kehtivad klassikalise lineaarse mudeli eeldused Sellisel juhul  annab vähimruutude meetod  lineaarse regressioonmudeli jaoks parima
lineaarse nihketa hinnangu (BLUE) 21. Lineaarse mudeli parameetrite tõlgendus üldjuhul.  y = b + ax
a - sirge tõus (näitab, kui palju muutub y, kui x muutub ühiku võrra)
b - konstant ehk vabaliige (näitab, millega võrdub y, kui x=0) 22. Parameetrite hinnangute usalduspiirid, millest sõltub usaldusvahemiku laius  Usalduspiiride leidmisel lähtutakse sellest, et parameetrite hinnangute standardiseeritud
erinevused tegelikest väärtustest alluvad t jaotusele vabadusastmete arvuga v=n-2  Parameetrite hinnangute standardvead näitavad, kui täpsed on parameetrite hinnangud.
Täpsemate   hinnangute   saamiseks   peavad   x   väärtused   võimalikult   palju   hajuma.
Usalduspiiride leidmisel lähtutakse sellest, et parameetrite hinnangute standardiseeritud
erinevused tegelikest väärtustest alluvad t jaotusele vabadusastmete arvuga. 


23. Hüpoteeside testimine parameetrite jaoks ja parameetrite statistilise olulisuse
kontrollimine (t-test).  Parameetrite statistiline olulisus Kõige sagedamini on regressioonmudeli korral vaja testida, kas tunnused Y ja X on
omavahel seotud, st kas tõusuparameeter a erineb oluliselt nullist. Ökonomeetriapakettides   leitakse   t   ja   p   väärtused   just   selle   juhu   jaoks.   See   on
parameetrite  statistilise  olulisuse  kontrollimine.  Kui nullhüpotees on ümber  lükatud
(võetakse vastu sisukas hüpotees), on parameeter oluliselt nullist erinev, järelikult seos
on olemas. 24.   Koguhajuvus,   seletatud   hajuvus,   jääkhajuvus   ja   neid   iseloomustavad


suurused.  ● Sõltuva tunnuse Y koguhajuvus on TSS
● Sõltuva tunnuse Y jääkhajuvus on RSS. 
● Regressioonmudeliga kirjeldatud hajuvus ehk seletatud hajuvus ESS =TSS-RSS 25. Determinatsioonikordaja, selle arvutus ja tõlgendamine.  Determinatsioonikordaja   näitab,   kui   suur   osa   koguhajumisest   on   mudeli   poolt   ära
seletatud


Kui mudeli parameetrid on statistiliselt olulised, tuleb hinnata ka mudeli kirjeldusvõimet.
Kvantitatiivseks kirjeldamiseks kasutatakse determinatsioonikordajat R2.  Kui   võrrelda   determinatsioonikordajat   ja   korrelatsioonikordajat,   siis
determinatsioonikordaja sisu on paremini mõistetav, aga ei näita seose suunda. 26. Mudeli korrektne esitamine.  Regressioonanalüüsi põhitulemuste esitamisel esitatakse ● parameetrite hinnangud;
● parameetrite standardvead;
● determinatsioonikordaja R2 ; 
● valimi maht n (lugeja jaoks vajalik, kui soovib t-testi läbi viia) VARIANT   2:   Mõnikord   esitatakse   parameetrite   all   sulgudes   standardvigade   asemel
vastavad   t-statistiku   väärtused.   See   võimaldab   lugejal   neid   kohe   võrrelda   vastava
kriitilise väärtusega. 
VARIANT   3:   Mõnikord   esitatakse   sulgudes   vastavad   olulisuse   tõenäosused.   Sellisel
juhul ei pea lugeja arvutama kriitilist väärtust, võib kohe võrrelda olulisuse nivooga ja
hinnata, kui võimsalt on mingi tunnuse mõju tõestatud. 
Variandid 2 ja 3 on vastuvõetavad vaid siis, kui huvi pakub vaid koefitsientide erinevus
nullist.


27. Regressioon läbi nullpunkti.  Mõnikord tuleb siiski hinnata lineaarset mudelit, kus teatud kaalutlustest lähtudes peab
vabaliige puuduma.
Seda nimetatakse regressiooniks läbi nullpunkti (Regression through the Origin, RTO)
ja sellise mudeli üldkuju ühe tunnuse korral on y=ax+u Deterministlik komponent on võrdeline seos  28.   Seletavate   tunnuste   astmeid,   ruutjuurt   ja   pöördväärtust   sisaldava
mittelineaarse mudeli lineariseerimise võtted.  29.   Sagedamini   kasutatavad   erikujulised   mudelid:   log-log,   log-lin,   lin-log   ja
hüperboolne mudel.  1. Log-log   mudel  -   logaritmime   kõiki   tunnuseid,   saame   log-log   mudeli (logaritmimata   tunnused   on   väga   asümmeetrilised,   logaritmitud   tunnused   on
asümmeetrilisemad) Log-log mudeli kordaja tõlgendus näide:  Log-log   mudeli   kordaja   näitab,   mitu   %   muutub   Y,   kui   X   suureneb   1%.   See   on
elastsuskordaja.
Lineaarse mudeli puhul on piirkalduvus konstantne.
Log-log mudeli puhul on elastsuskordaja konstantne! 2. Log-lin mudel - logaritmitakse ainult sõltuvat tunnust (Y). Lineariseeritud mudel : ln y=b+rt, kus parameeter r on kasvumäär ja sõltumatu tunnus t on aeg. Sõltuva
tunnuse logaritmimine teisendab eksponentsiaalse kõvera lineaarseks.


3. Lin-log   mudel   -  logaritmitakse   ainult   sõltumatut   tunnust   (X).   lin   log   mudel: y=b+a*ln_x+u 4. Hüperboolne mudel - y= b+a(1/x)+u KOKKUVÕTVALT: 30. Mitmese lineaarse regressioonmudeli parameetrite tõlgendamine. 


Mitmene lineaarne regressioonmudel
Lihtsa   regressioonmudeli   korral   on   üks   sõltumatu   tunnus   X,   mis   mõjutab   sõltuva
tunnuse Y käitumist. Reaalses elus võib sõltuvale tunnusele Y mõjuda aga mitmeid
erinevaid tegureid. Nt. hüvise nõudlust mõjutab sissetulek, hüvise hind, teiste hüviste
hinnad jne. ● Parameetrite arv on k
● Seletavate tunnuste ehk regressorite arv on k-1: ● Parameetrite hinnangud leitakse vähimruutude meetodil (OLS) Parameetrite tõlgendamine: Loomaliha nõudlusfn. ● Kui   loomaliha   hind     tõuseb   1   sent   ja   sealiha   hind   jääb   konstantseks,   siis loomaliha nõutav kogus väheneb 0,54 naela elaniku kohta aastas.  ● Kui sealiha hind tõuseb 1 sent ja loomaliha hind jääb konstantseks, siis loomaliha nõutav kogus suureneb 0,195 naela elaniku kohta aastas.  ● Kui x2 suureneb ühiku võrra ja ülejäänud seletavad tunnused x3 , … xk jäävaks samaks, siis y muutub b2 võrra. ● Ceteris paribus: kõik muu jääb samaks
● bj   on   y   marginaalväärtus   xj   suhtes,   matemaatiliselt osatuletis 31. ANOVA tabel, F-statistiku arvutamine.  ANOVA tabel
N-valimi maht


K-parameetrite arv F   statistik
on keskruutude jagatis. Allub Fisheri ehk F- jaotusele Programmis Gretl näeb ANOVA tabelit, kui mudeli aruandes valida Analysis -> ANOVA 32. Regressioonmudeli statistilise olulisuse kontrollimine F-testiga.  Mudeli statistilise olulisuse kontrollimiseks kasutatakse F - testi
H0 - kõik seletavate tunnuste kordajad on nullid, b2=b3=… =bk =0
H1 - vähemalt üks kordaja b2 , b3 …., bk on nullist erinev
Nullhüpotees: Y on määratud oma keskväärtusega:


F-   statistiku   empiirilist   väärtust   võrreldakse   F-jaotuse   kriitilise   väärtusega   (või
empiirilisele väärtusele vastavat olulisuse tõenäosust p võrreldakse olulisuse nivooga
α).
Kui empiiriline väärtus ületab kriitilise (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel onα), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on
statistiliselt oluline. 33. Korrigeeritud determinatsioonikordaja kasutamine.  Determinatsioonikordaja R2 :
• Väärtus on lihtsalt tõlgendatav 
• Maksimaalne väärtus 1, st saab võrrelda, kui lähedal on arvule 1. 
• Aga ei allu ühelegi tuntud jaotusseadusele, seega pole võimalik leida kriitilist väärtus,
pole võimalik kasutada testimisel (kui suur peab olema, et mudel oleks usaldusväärne? 
Determinatsioonikordaja   R2  puudus:   lisades   mudelisse   uusi   tunnuseid, determinatsioonikordaja alati suureneb. Ka siis, kui lisame suvalise juhusliku tunnuse. Et paremini võrrelda mudeleid, kus on erinev arv tunnuseid, kasutatakse korrigeeritud
(modifitseeritud, adjusted) determinatsioonikordajat: kus n on valimi maht ja k mudeli parameetrite arv.
Kui lisame mudelisse ühe tunnuse, siis on korraga kaks efekti: Korrigeeritud   determinatsioonikordaja   tõlgendus   ei   ole   sama,   mis   tavalisel
determinatsioonikordajal R2 , sest valem on teistsugune, komplitseeritud.
Kui   suur   osa   koguhajuvusest   on   mudeliga   seletatud,   näitab   ikka   tavaline
determinatsioonikordaja R2 .
Korrigeeritud   determinatsioonikordaja   on   vaid   üks   kvantitatiivne   näitaja,   mida
kasutatakse erinevat arvu tunnuseid sisaldavate mudelite võrdlemiseks.  34. Parameetrite mitteolulisuse võimalikud põhjused. 


1. Tunnus ei sobi mudelisse. 
2. Teooriast lähtudes peaks tunnus suurust Y mõjutama ja mudelis olema, kuid valimi
maht on liiga väike ja standardviga tuleb liiga suur. 
3. Esineb multikollineaarsus. 
• Mudelisse võetud tunnused on omavahel tugevas korrelatsioonis, ei ole sõltumatud. 
• Parameetrite standardvigade hinnangud tulevad sel juhul suured. 
4. Vabadusastmete arv n-k liiga väike, st kui tunnuste arv on suur ja valimi maht n
väike. • Soovitatav, et parameetrite arv k on oluliselt väiksem valimi mahust n. 35. Klassikalise lineaarse mudeli eeldused.  1. Eeldus: mudel on lineaarne parameetrite suhtes
Eristada tuleb: 
• lineaarsus regressorite suhtes; 
• lineaarsus parameetrite suhtes. 2. Eeldus: vaatluste arv ei tohi olla väiksem kui hinnatavate parameetrite arv 3. Eeldus: regressori väärtused valimis ei tohi olla ühesugused  4. Eeldus: regressorid ei tohi olla lineaarselt sõltuvad 5. Eeldus: regressorid X on eksogeensed 6. Eeldus: juhuslike liikmete keskväärtus peab olema 0 7. Eeldus: Homoskedastiivsus 8. Eeldus Cov(ui , uj )=0, jääkliikmete autokorrelatsiooni puudumine 9. eeldus: juhuslike liikmed peavad alluma normaaljaotusele 10. Aegread peavad olema statsionaarsed!


36. Regressorite suhtes lineaarne mudel  Kui mudel ei ole lineaarne regressorite suhtes, aga on lineaarne parameetrite suhtes,
saab   seda   lineariseerida   ning   parameetrite   hindamiseks   kasutada   harilikku
vähimruutude meetodit OLS.
Mudeli saab kirjutada kujul y, x2, x3  ,.... võivad olla ka mingid funktsioonid (ln, √) mõõdetud suurustest. 37. Parameetrite suhtes lineaarne mudel.  Kui mudel ei ole lineaarne parameetrite suhtes, ei saa mudelit kirjutada kujul  Ei   saa   kasutada   harilikku   vähimruutude   meetodit   OLS.   On   võimalik   kasutada
mittelineaarset vähimruutude meetodit NLS.  Lineaarne parameetrite suhtes: parameetrid esinevad mudelis vaid astmes 1. Näiteks


38. Mis juhtub, kui vaatluste arv on väiksem kui parameetrite arv?  2. Eeldus: vaatluste arv ei tohi olla väiksem kui hinnatavate parameetrite arv
Vaatluste arv n ≥ k parameetrite arv. 
Näiteks üks regressor, 2 parameetrit: yi = axi + b + ui
Kui meil on 1 objekt, st 1 arvupaar, ei saa määrata 2 parameetrit. Sirge määramiseks
tasandil peab olema vähemalt 2 punkti. 39. Mis juhtub, kui regressori väärtused valimis on ühesugused?  3. Eeldus: regressori väärtused valimis ei tohi olla ühesugused  Matemaatiliselt: regressori dispersioon peab olema positiivne arv: 
St, seletava tunnuse Xj väärtused peavad hajuma. Kui hajumist ei
ole, ei saa me hinnata, kuidas Xj muutumine mõjutab Y. 40. Mis juhtub, kui regressorid on lineaarselt sõltuvad?  4. Eeldus: regressorid ei tohi olla lineaarselt sõltuvad
Lineaarne sõltuvus on, kui 


Sellisel   juhul   saab   suvalise   regressori   avaldada   teiste   regressorite   lineaarse
kombinatsioonina. Näiteks Kahe regressori korral: lineaarne sõltuvus tähendab kollineaarsust. Näiteks Kollineaarsus: punktide omadus paikneda ühel sirgel. 
Rohkem kui 2 regressorit: multikollineaarsus.
EI TOHI ESINEDA TÄPSET MULTIKOLLINEAARSUST.
Võib esineda ligikaudne multikollineaarsus. 41. Eksogeensuse eeldus, kaks tingimust.  Regressorid X on eksogeensed: regressorite X väärtused on fikseeritud või sõltumatud
juhuslikest liikmetest. 1) Väärtused on fikseeritud, ei muutu juhuslikult, ei ole stohhastilised. Millal X väärtused fikseeritud? Näide: tarbimismudeli hindamine. Pered,   kelle   sissetulek   X   on   1000   eurot.   Mingi   hüvise   tarbimiskulud   võivad   sellistel
peredel olla 200 eurot, 250 eurot, 260 eurot jne. Saame leida E [ Y I X = 1000 ] Pered, kelle sissetulek on X on 1500 eurot. Mingi hüvise tarbimiskulud võivad sellistel
peredel olla 250 eurot, 300 eurot, 400 eurot jne. Saame leida E [ Y I X = 1500 ]


Selle   tingimuse   täitmine   on
majandusandmete korral tihti võimatu.
Kui   see   pole   täidetud,   peab   olema
täidetud   teine   tingimus:   sõltumatus
juhuslikest liikmetest u. 2) Regressorid   ja   juhuslikud liikmed on sõltumatud: Cov(ui , Xaj)=0 Kui näiteks tunnuse X2 ja juhuslike liikmete ui vahel on seos, siis me ei saa tunnuse X2
mõju   sõltuvale   tunnusele   Y   puhtalt   eraldada.   Näiteks   yi=b1+b2xi+ui  Suuremale
juhuslikule liikmele ui vastab suurem yi Kui aga X ja ui  vahel on positiivne korrelatsioon, siis samal ajal on meil ka suurem xi
Seega näib, et suurema yi  põhjustas suurem xi. Parameetri b2  hinnang tuleb suurem.
Saame nihkega hinnangu. 42. Millal eksogeensuse eeldus pole täidetud?  See eeldus pole täidetud, kui mudelist on välja jäetud mõni oluline tunnus.


43. Mis juhtub, kui eksogeensuse eeldus pole täidetud?  Kui see eeldus pole täidetud, siis saame nihkega hinnangud. Selle eelduse täitmist on kõige raskem kontrollida. Puuduvad spetsiaalsed testid. Seda
nimetatakse ka eksogeensuse tingimuseks. 44. Mis juhtub, kui juhuslike liikmete keskväärtus pole 0?  6. eeldus: juhuslike liikmete keskväärtus peab olema 0
•   Kui   eeldus   kehtib:   mudelisse   mittelülitatud   sõltumatute
tunnuste   mõju   sõltuva   tunnuse   Y   keskväärtusele   on
summaarselt null. 
•   Kui   mudeli   hindamisel   on   mudelisse   lülitatud   ka   konstant   (vabaliige),   siis   on   see
eeldus automaatselt täidetud. 
• Eelduse kehtivust tuleb kindlasti kontrollida siis, kui konstanti mudelisse pole võetud
(regressioon läbi nullpunkti).  – Kui siis see eeldus pole täidetud, saame parameetrite hinnangud nihkega.


–   Kontrollimiseks  salvestada   jääkliikmed  ja   viia   läbi  nende   keskväärtuse   võrdlemine
nulliga (t-test). 45. Mis on heteroskedastiivsus, mis on homoskedastiivsus.  46. Heteroskedastiivsuse võimalikud põhjused.  • Matemaatilise mudeli vale kuju.  – näiteks log-lin asemel hinnatakse lineaarset mudelit  • Mõni oluline seletav tunnus on mudelist välja jäänud. 
• Üks või mitu seletavat tunnust on asümmeetrilised. 
• Üksikute erindite (outliers) esinemine vaatluste hulgas. 
• Andmekogumismeetodid paranevad -> vaatlusvigade suurus väheneb, st juhuslikud
liikmed vähenevad. 
• Muud põhjused  – suurema kasumiga ettevõtetel on dividendipoliitikas suuremad erinevused; 
– suurema sissetulekuga peredel on säästmisharjumused rohkem hajunud.  HETEROSKEDASTIIVSUST VÕIB PÕHJUSTADA NII MUDEL KUI KA ANDMED 47. Heteroskedastiivsuse mõju 


• Vealiikmete dispersioon EI ESINE parameetrite HINNANGUTE arvutusvalemites. 
•   Järelikult   heteroskedastiivsus   parameetrite   hinnanguid   ei   mõjuta.   Need   on   ikka
nihketa. 
•   Vealiikmete   dispersioon   ESINEB   parameetrite   hinnangute   STANDARDVIGADE
arvutusvalemites.  – Parameetrite hinnangud ei ole enam efektiivsed. 
– Parameetrite usalduspiirid tulevad valed. 
–   Mudeli   ja   parameetrite   olulisuse   testimine   (F-test   ja   t-testid)   võivad   anda
valesid tulemusi.  • Järelikult võime teha valesid järeldusi mudelisse kuuluvate või mittekuuluvate tunnuste
suhtes. ● Hinnangud ei ole efektiivsed
● Parameetrite usalduspiirid tunduvad valed 48. White’i testi idee, nullhüpotees ja sisukas hüpotees.  White’i heteroskedastiivsuse test
Näiteks kahe regressoriga regressioonmudel Testimiseks 1. Viiakse läbi mudeli (1) hindamine ja leitakse jääkliikmed 2. IDEE: kui
jääkliikmete   dispersioon   ei   ole   konstantne,   siis   see   sõltub   regressoritest   x.
Kontrollimiseks   hinnatakse   regressioonmudelit,   kus   sõltuvaks   tunnuseks   jääkliikmete
dispersioon Nullhüpotees: mudelis (2) on vaid konstant, H0 :   Teststatistik  kus R2 u on mudeli (2) determinatsioonikordaja
Kuil TR2 väärtus ületab kriitilise (p<α), on tegemist heteroskedastiivsusega. White’i test programmis Gretl:


49. Mida teha, kui heteroskedastiivsus esineb? 
Heteroskedastiivsuse eemaldamiseks: 
• logaritmida tunnuseid; 
• kontrollida mudeli spetsifikatsiooni:  – kas mudelil on õige kuju; 
– kas mõni oluline tunnus on äkki välja jäetud; 
– mudelit teisendada, uuesti hinnata.  Kui heteroskedastiivsust eemaldada ei õnnestu: 
*   leida   heteroskedastiivsuse   suhtes   kohandatud  standardvigade   hinnangud
(heteroskedasticity-consistent standard errors, robust standard errors)  – Nende kasutamisel võib heteroskedastiivsus esineda, need arvestavad seda. 50. Kohandatud standardvigade kasutamine.  • Kasutada siis, kui heteroskedastiivsusest/autokorrelatsioonist ei õnnestu vabaneda. 
• Kohandatud standardvead EI KAOTA heteroskedastiivsust. 
• Nad võtavad heteroskedastiivsust arvesse.  –   Nende   arvutamisel   kasutatakse   teistsugust   metoodikat   kui   tavaliste
standardvigade korral. yi = b + axi + ui


( White’i testi tegemisel selgus, et heteroskedastiivsus esineb. Mudelit hinnati uuesti,
kasutades kohandatud standardvigu. 
Kas nüüd tuleb uuesti läbi viia White’i test?
Ei oma mõtet, sest kohandatud standardvigade kasutamine juhuslike vigade jaotust ei
mõjuta.   Heteroskedastiivsus   jääb   ikka   sisse.   Kohandatud   standardvead   on
heteroskedastiivsuse suhtes kohandatud, arvestavad sellega. ) 51. Mis on autokorrelatsioon?  Autokorrelatsioon on korrelatsioon ühe ja sama tunnuse erinevate väärtuste vahel, mis
on järjestatud. (Loengud lk 179) Testimine : 
Aegrea korral tunnuse väärtused erinevatel ajamomentidel (järjestus aja järgi).
Ristandmete   korral   tunnuse   väärtused   erinevatel   objektidel   (järjestus   mingi   muu
tunnuse järgi). 52. Positiivne ja negatiivne autokorrelatsioon.  (Loengud lk 180-181)
Positiivne : kahanemisele järgneb kahanemine ja kasvamisele järgneb kasvamine


Negatiivne:Kasvamisele järgneb kahanemine ja kahanemisele kasvamine. 53. Durbin-Watsoni statistiku väärtuste interpreteerimine
Statistiku DW väärtuse interpreteerimine: 1. Kui autokorrelatsioon puudub, siis   ja DW ≈2. 2. Kui jääkide vahel on positiivne autokorrelatsioon, siis DW <α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on 2 ja kui positiivne autokorrelatsioon on väga tugev, siis   ja DW ≈0.
3. Kui jääkide vahel on negatiivne autokorrelatsioon, siis DW > 2 ja kui negatiivne autokorrelatsioon on väga tugev, siis   ja DW≈4 54. Durbin-Watsoni statistiku testimine: nullhüpotees ja sisukas hüpotees. 


H0: positiivne autokorrelatsioon puudub
H1: positiivne autokorrelatsioon eksisteerib Näide Loengud lk 182 55. Kõrgemat järku autokorrealtsioon. 
• DW statistik hindab autokorrelatsiooni vaid vahetult järgnevate
juhuslike liikmete ut ja ut-1 vahel (1. järku autokorrelatsioon).
• Aga autokorrelatsioon võib esineda ka
ut ja ut-2 vahel (2. järku autokorrelatsioon)
ut ja ut-3 vahel (3. järku autokorrelatsioon)
jne
• Näiteks
– kvartaalsete andmete korral ut ja ut-4 vahel
– kuiste andmete korral ut ja ut-12 vahel


56. Breusch-Godfrey autkorrelatsiooni testi idee, nullhüpotees, sisukas hüpotees.
(Loengud lk 183)
H0: autokorrelatsioon puudub
H1: autokorrelatsioon esineb 1. Viiakse läbi mudeli (1) hindamine ja leitakse jääkliikmed 
2. IDEE: kui järjestikuste jääkliikmete vahel on seos, siis seda seost saab modelleerida.
Selle   kontrollimiseks   hinnatakse   regressioonmudelit  jääkliikmete  jaoks.   Mudelisse
võetakse r eelmist jääkliiget. r määrab ära, mitmenda järguni autokorrelatsiooni testitakse Võib kasutada kaht erinevat teststatistikut. Mõlema teststatistiku arvutamisel lähtutakse
abiregressiooni (2) determinatsioonikordajast R2 u 1. Teststatistik, mis allub F-jaotusele:
Kui LMF väärtus ületab kriitilise (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel onα), võtta vastu H1, esineb autokorrelatsioon.
Sobib väikeste valimite korral. 2. Teststatistik, mis asümptootiliselt allub χ2-jaotusele: Kui TR2 väärtus ületab kriitilise (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel onα), võtta vastu H1, esineb autokorrelatsioon.
Sobib rohkem suurte valimite korral 57. Jääkliikmete autokorrelatsiooni mõju. 
(Loengud lk 183)
Jääkliikmete autokorrelatsiooni mõju on sama, mis heteroskedastiivsusel:
• parameetrite hinnangud on nihketa,
• parameetrite standardvead tulevad valed.


58. 1. järku autokorrelatsiooni eemaldamine: idee.  ( Loengud lk 183) 59. Jarque-Bera testi idee, nullhüpotees, sisukas hüpotees. (Loengud lk 185) Juhuslike liikmete normaaljaotumust kontrollitakse Jarque-Bera testiga. ● Jarque-Bera (JB) testi korral leitakse analüüsitava suuruse asümmeetriakordaja S ja püstakuse kordaja K ning nende põhjal arvutatakse Jarque-Bera teststatistik ● Suurte valimite korral allub χ 2 jaotusele vabadusastmete arvuga 2.
● Normaaljaotuse korral S = 0 ja K = 3, järelikult JB=0 Nullhüpoteesiks on, et jääkliikmed alluvad normaaljaotusele. Kui JB empiiriline väärtus
ületab kriitilise (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel onα), lükatakse nullhüpotees normaaljaotuse esinemise kohta ümber. Suvalise tunnuse jaotuse võrdlus normaaljaotusega:
Gretlis: Põhimenüüst Variable -> Normality test Mudeli jääkliikmete normaaljaotuse testimine JB testiga: 
1.   Peale   mudeli   hindamist   jäägid   salvestada:   aruande   aknas   Save->   Residuals.
Salvestatakse nime all uhat1 
2. Valida välja uhat1 ja põhimenüüst Variable -> Normality test Puudus:
Kui valim on väike, (nt n=42) siis JB test võib anda vale tulemuse. Töötab ainult
suure valimi korral. 60. Mis juhtub, kui jäägid ei allu normaaljaotusele? 


•   Kui   muud   eeldused   on   täidetud,   siis   OLS   hinnangud   on   ikka   parimad   lineaarsed
nihketa hinnangud (BLUE, Best Linear Unbiased Estimator). 
•   Suurte   valimite   (n>100)   korral   teststatistikud   alluvad   ikka   (asümptootiliselt)
standardsetele jaotusseadustele => testimine annab õiged tulemused.  – Suure valimi korral ei tekita jääkide jaotuse kõrvalekaldumine normaaljaotusest
probleeme.  •   Väikeste   valimite   korral   teststatistikute   jaotus   võib   erineda   standardsest   jaotusest,
millest   leitakse   kriitilised   väärtused   ja   olulisuse   tõenäosus   =>   testimise   tulemused
võivad olla valed.  – Väikese valimi korral omab jääkide normaaljaotus tähtsust. 61. Mis on erind?  Erind (outlier) on sõltuva tunnuse suhtes, suure jäägiga. ● Nendes vaatluspunktides on probleem mudeli kehtivusega. 
● Avastamiseks uurida jääkide diagramme. 
● Kasutada standardiseeritud jääkide arvutamist 62. Mis on omapärane vaatlus?  Omapärane vaatlus (leverage): ühel või mitmel sõltumatul tunnusel ekstreemne väärtus. ● Võivad oluliselt mõjutada regressioonanalüüsi tulemust
● Kindlasti tuleb andmestikust välja jätta, kui ilmneb, et on tehtud mõõtmisvigu või registreerimisvigu (valesti andmebaasi kantud)


63. Mis on mõjus vaatlus?  Mõjus vaatlus (influential): nii erind kui ka omapärane vaatlus.
Suure jäägiga ja ühel või mitmel sõltumatul tunnusel ekstreemne väärtus


Kui standardiseeritud jäägi absoluutväärtus:
>2 ebatüüpiline
>3 erind Programmis Gretl automaatselt ei arvutata. 
Saab ise arvutada: salvestada jäägid ja luua uus tunnus: jääk / mudeli standardviga. 64. Milleks kasutatakse mütsi-maatriksit, mida see võimaldab arvutada?  Milleks kasutatakse mütsi maatriksit??? Mudelväärtuste leidmiseks?


65. Mida näitab vaatluse omapära?  Mütsi-maatriksi diagonaalelement hii on i-nda vaatluse omapära (leverage). 
Omapära hi näitab i-nda vaatluse mõju sama vaatluse Y hinnangule. 0 < hi < 1 66. Mis on prognoositud jääk? 


• i-nda vaatluse jäägi võib leida ka siis, kui regressioonmudeli hindamisel jätame selle
vaatluse valimist välja. 
•   Sisuliselt  on  tegemist  seletavatele  tunnustele  Xi  vastava  sõltuva   tunnuse  väärtuse
prognoosimisega ilma i-nda vaatluseta. 
• Tähistame seda yi *  Prognoositud jääk  ui* = yi - yi* Prognoositud jääk võimaldab hinnata, kuidas mudel prognoosib sõltuvat tunnust ilma i-
ndat vaatlust arvestamata.
•   Kui   prognoositud   jäägid   on   suured,   siis   i-nda   objekti   sõltuva   tunnuse
mudelväärtust ei saa ülejäänud vaatluste alusel piisavalt täpselt prognoosida. 
• St see vaatlus ei sobi hästi sellesse mudelisse. Deleted residuals, predicted residuals, jackniffe residuals  67. Multikollineaarsus, selle liigitus.  Multikollineaarsus esineb siis, kui regressorite vahel on lineaarne sõltuvus. Ei   tohi   esineda   täpset   multikollineaarsust,   aga   võib   esineda   ligikaudne
multikollineaarsus. Kui mudel ise on statistiliselt oluline, aga parameetrid on kõik statistiliselt mitteolulised,
on tõenäoliselt tegemist multikollineaarsusega. Esineda võib kahte liiki multikollineaarsus: ● Prefektne multikollineaarsus - kaks või rohkem tunnust on omavahel lineaarselt seotud ● Ligikaudne multikollineaarsus - Multikollineaarsuse all mõeldakse tavaliselt just seda; ökonomeetriliste mudelite korral kõige problemaatilisem


68. Tugeva ligikaudse multikollineaarsuse ilmingud.  ● Mudel on statistiliselt oluline, F-testi olulisuse tõenäosus on väike, aga enamus tunnuseid statistiliselt mitteolulised, tunnuste standardvead suured ● Korrelatsioonikordajad sõltumatute tunnuste vahel on väga suured, suuremad kui nende korrelatsioonikordaja sõltuva muutujaga.  ● Parameetrite märgid ebaloogilised.
● Parameetrite hinnangud väga tundlikud ○ üksikute tunnuste lisamise või eemaldamise suhtes
○ vaatluste arvu suurenedes või vähenedes Tugev ligikaudne multikollineaarsus tähendab, et sõltumatute tunnuste vahel on tugev,
kuid mitte perfektne lineaarne seos
Kui seos on tugev, siis selle determinatsioonikordaja R(abi) 2 on suur


69.   Multikollineaarsuse   tugevuse   hindamine:   variatsiooniindeks   VIF   ja   selle
arvutamine.  , selle valemiga saab arvutada parameetrite varieeruvusindeksit Multikollineaarsuse tugevus saab hinnata kolmel erineval moodusel: ● Korrelatsioonimaatriks   (suure   arvu   regressorite   korral   ebamugav;   näitab   vaid paarikaupa esinevat kollineaarsust) ● Varieeruvusindeks VIF (matemaatliliselt lihtsalt arusaadav; kasutame seda)
● Konditsiooniindeks (matemaatiliselt keerukam) Varieeruvusindeks VIF
Gretlis Analysis>Collinearity
Kõik   parameetrid,   mille   korral   on   väärtus   oluliselt   suurem   kui   10,   on   tugevalt
multikollineaarsed. Kui väärtus on 10 lähedal, aga parameetrite märgid on loogilised,
siis võime ignoreerida. Stadardvead ja VIF


70. Mis juhtub parameetrite hinnangutega ja nende standardvigadega, kui esineb
multikollineaarsus?  Kui multikollineaarsus esineb, siis: ● parameetrite standardvead ja usaldusvahemikud on suured
● Parameetrite hinnangud on nihketa
● Parameetrite korrektne interpretatsioon pole võimalik


71. Mida teha multikollineaarsuse esinemise korral?  Saab ignoreerida probleemi, kui ● Parameetrite märgid on loogilised
● Parameetrid on statistiliselt olulised Saab vähendada multikollineaarsust juhul, kui: ● Parameetrite märgid pole loogilised
● Parameetrid pole statistiliselt olulised Multikollineaarsuse vähendamine: ● Jätta kollineaarne tunnus mudelist välja.  ○ Sellega võib kaasneda mudeli kirjeldustaseme langus.
○ Tunnuste   väljajätmisel   mudelist   tuleb   jälgida,   et   välja   ei   jäetaks   olulisi tunnuseid, mille väljajätmisel võib saada nihkega hinnangud. ● Teisendada andmeid. ○ Näiteks kahe kollineaarse tunnuse asemel kasutada nende suhet. ● Suurendada valimi mahtu.
● Kasutada paneelandmeid. 72. Kitsendused parameetritele, kitsendatud ja kitsendamata mudel. 


Kitsendamata mudel U (unrestricted)  Kitsendatud mudel R (restricted)  ● Kitsendused kehtivad, kui erinevus nende mudelite kirjeldatavuse tasemes ei ole oluline. ● Kui suur võib erinevus olla, et võiksime öelda: see pole oluline?
● Vaja kriteeriumi!
● Tuleb läbi viia F-test Näiteid erinevatest lineaarsetest kitsendustest 73. Kitsenduste testimine F-testiga: nullhüpotees ja sisukas hüpotees.  H0 : erinevus pole oluline, kitsendused kehtivad
H1 : erinevus on oluline, kitsendused ei kehti 1. Mõlemat mudelit hinnatakse vähimruutude meetodil.
2. Hindamise käigus leitakse mõlema mudeli jaoks jääkide ruutude summa RSS(U) ja RSS(R) 3. Arvutatakse F-statistik


Kus m - kitsenduste arv
N - valimi maht
K - parameetrite arv kitsendamata mudelis Kui F<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel onF(kriitiline) või  p>a, siis võetakse vastu  H0: kitsendused kehtivad, kitsendatud
mudel pole halvem, võib kitsenduse panna
Kui  F>F(kriitiline) või  p, siis võetakse vastu  H1: kitsendused  ei kehti,  kitsendatud
mudel on oluliselt halvem Gretlis mudeli aknas Tests>Linear restrictions 74. Tunnuste eemaldamise ja lisamise testimine kitsenduste F-testiga.  Tunnuste eemaldamine mudelist: Kitsendamata mudel: 
Kas tunnuse x2 võib mudelist eemaldada, ilma et mudel oluliselt halveneks?
Kitsendus:
b2=0 Kitsendatud mudel:  Kui kitsendatud mudel ei ole oluliselt halvem kitsendamata mudelist(H0), võib tunnuse
x2 eemaldada.
Testimiseks F-test.
Gretlis mudeli aknas Tests>Omit variables
Kui p>a, siis võtame vastu H0: kitsendatud mudel ei ole oluliselt halvem
Kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona, siis võtame vastu H1: kitsendatud mudel on oluliselt halvem Tunnuse lisamine mudelisse: Kitsendatud mudel: 
Kas tunnuse x4 lisamisel mudelisse mudel paraneb oluliselt? Kitsendamata mudel: 


Kitsendus: Kui kitsendatud mudel on oluliselt parem kitsendamata mudelist (H1), võib tunnuse x2
lisada.
Testimiseks kitsenduste F-test.
Gretlis mudeli aknas Tests>Add variables
Kui p>a, siis võtame vastu H0: kitsendatud mudel ei ole oluliselt halvem
Kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona, siis võtame vastu H1: kitsendatud mudel on oluliselt halvem 75. Mida tähendab parameetrite stabiilsuse testimine?  Soovime analüüsida, kas regressioonmudeli mingi parameetri väärtus on  ühesugune
või erinev meie valimi kahes alamvalimis.
Näiteks: ● kas on erinevus arenenud riikide ja arenguriikide vahel;
● kas esineb erinevus kahel ajaperioodil Ka struktuursete muutuste testimine Kas sirgete A ja B tõus on ühesugune või oluliselt erinev? Testimiseks mitmed võimalused:
Kui murdepunkt on teada: ● Chow test;
● fiktiivse tunnuse abil. Kui murdepunkt pole teada ● QLR test;
● CUSUM test. 76. Chow test parameetrite stabiilsuse kohta: testi idee, nullhüpotees ja sisukas
hüpotees.  Gretlis mudeli aknas Tests>Chow test>murdepunkt
Struktuursete muutuste kontrollimiseks kasutatakse Chow testi.


Kui   vastu   võetakse   H0,   siis   struktuurseid   muutusi   ei   esine   ning   kitsenduse,   et
parameetrid on ühesugused, võib peale panna. H0: parameetrid on stabiilsed
H1: parameetrid ei ole stabiilsed, parameetrid muutuvad. Kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona, siis võetakse vastu H1 ehk esineb struktuutne muutus. Parameetrid muutuvad
Kui p>a, siis võetakse vastu H0 ehk parameetrid on stabiilsed. (Kui Chow testi p>a, siis võtame vastu H0: sel aastal murdepunkti ei esine)
Kui   võetakse   vastu   H1,   siis   tuleb   mudelit   hinnata   kahes   alamvalimis   (algus-
(murdepunkt-1) ja murdepunkt-lõpp). ● Ristandmete   korral   saab   Chow   testi   läbi   viia   mingi   välja   valitud   tunnuse muutumise suhtes. ● Objektid   peavad   andmebaasis   olema   reastatud   selle   tunnuse   kasvamise   (või kahanemise) järgi. ● Valim tuleb kaheks jagada: ette tuleb anda objekti järjenumber, millise objekti juures kaheks jagatakse. 77. QLR test struktuursete muutuste testimisel: testi idee, nullhüpotees ja sisukas


hüpotees.  Gretlis mudeli aknas Tests>QLR test
Struktuursete muutuste murdepunkti avastamiseks viiakse läbi QLR test ● QLR (Quandt likelihood ratio) testi korral leitakse Chow testi Fstatistiku väärtus järjest erinevate murdepunktide (break-points) τ jaoks. ● Valitakse   see   murdepunkt,   mille   korral   F-statistiku   väärtus   on   kõige   suurem. Teststatistik on maksimaalne F-statistiku väärtus: ● Test annab õiged tulemused siis, kui murdepunkt on piisavalt kaugel vaadeldava perioodi algusest või lõpust. ○ Tavaliselt võetakse mõlemalt poolt 15%, st F-statistik leitakse 70% valimi keskel olevate potentsiaalsete murdepunktide jaoks. ● Kui võrreldakse korraga mitmeid F-statistiku väärtusi, ei saa kriitilise väärtuse leidmiseks   kasutada   F-jaotust.   Kasutada   tuleb   mittestandardset   jaotust
(Andrews)  H0: ei esine struktuurseid muutusi
H1: esineb struktuurseid muutusi Kui p>a, siis võtame vastu H0: ei esine struktuurseid muutusi.
Kui p, siis võtame vastu H1: esineb struktuurseid muutusi.
QLR test annab ka suurima F väärtuse. Murdepunktide läbimine QLR testi korral Näiteks aegrea pikkus (valimi maht) T=20.
F-statistik leitakse valimi keskel oleva 14 perioodi (potentsiaalse) murdepunkti jaoks.


78. Rekursiivne hindamine ja CUSUM test: nullhüpotees ja sisukas hüpotees.  ● Algul hinnatakse mudelit väikese alamvalimi põhjal. ○ Alustatakse valimist mahuga r +1, kus r on parameetrite arv mudelis. ● Hinnatud mudeli põhjal leitakse järgmise vaatluse silutud väärtus.
● Kuna järgmise vaatluse tegelik väärtus on teada, leitakse jääk.
● Nüüd   võetakse   valimisse   ka   järgmine   vaatlus   ning   leitakse   parameetrite hinnangud 1 võrra suurema valimi põhjal. ● Leitakse järgmise vaatluse jääkliige.
● Niimoodi jätkatakse, kuni kõik vaatlused on kaasa haaratud. ● Saab  kasutada  aegridade   korral  ja  mingi  tunnuse  abil   järjestatud   ristandmete korral. ● Tulemusi saab uurida visuaalselt.
● Testimiseks on olemas sobivad statistikud CUSUM test
Gretlis mudeli aknas Tests>CUSUM test
Rekursiivse hindamise alusel on välja töötatud CUSUM test. Test põhineb rekursiivse
hindamise jääkliikmete ut normaliseeritud kumulatiivsel summal. se - mudeli standardviga (terve valimi põhjal)
r - mudeli parameetrite arv


n - valimi maht Kui   struktuurseid   muutusi   pole,   siis   summad   Wp   alluvad   normaaljaotusele
keskväärtusega 0: Wp ~ N(0, p-r) 
Testimiseks Harvey-Collier statistik.  H0 : struktuursed muutused puuduvad
H1: esinevad struktuursed muutused, parameetrid pole konstantsed
Märkus: teine test, CUSUMSQ test, on sobiv jääkliikmete dispersiooni testimiseks. Harvey-Collier p-value!
Kui p>a, siis võetakse vastu H0: ei esine struktuurseid muutusi
p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona, siis võetakse vastu H1: esinevad struktuursed muutused Rekursiivne hindamine: valimi suurendamine 79. Mudeli spetsifikatsioonivigade liigitus.  1. Mudelis on mõni ebaoluline tunnus. 
2. Mõni oluline tunnus on välja jäänud. 
3. Mudeli funktsionaalne kuju on vale.


80. Mis juhtub, kui mudelist on oluline tunnus välja jäänud?  Kui jätame välja olulise tunnuse:  ● Nihkega on ainult nende tunnuste kordajad, mis on korrelatsioonis välja jäänud tunnusega. ● hinnangud ei ole mõjusad
● hüpoteeside testimine annab valesid tulemusi
● prognoosid tulevad valed.  Aga, nihkega on ainult nende tunnuste kordajad, mis on seotud (korrelatsioonis) välja
jäänud tunnusega. Oluline tunnus on välja jäänud: ● Kui X2 ja X3 vahel esineb mõningane korrelatsioon, siis mudeli (2) parameetrite hinnangud on nihkega ja ei ole mõjusad. ● Kui X2 ja X3 vahel korrelatsioon puudub on vabaliikme a1 hinnang nihkega
● Juhusliku vea dispersiooni hinnang on ebaõige


● Parameetrite standardhälvete hinnangud on nihkega ● Järelikult hüpoteeside  testimise protseduurid ei  võimalda teha õigeid järeldusi parameetrite olulisuse kohta. ● Kuna hinnangud on nihkega, tulevad valed prognoosid ja valed usalduspiirid. 81. Mis juhtub, kui mudelis on sees mitteoluline tunnus?  1. Parameetrite hinnangud on nihketa
2. Hinnangud võivad olla mõjusad
3. Parameetrite standardvead on suuremad kui võrreldaval mudelil
4. hinnangud ei ole efektiivsed
5. hüpoteeside testimine võib anda valesid tulemusi. 82. Mis on nominaalne ja tegelik olulisuse nivoo?  ● Olgu meil võimalike seletavate tunnuste kandidaate m tükki.
● Nendest valitakse välja k tunnust, mis lülitatakse mudelisse.
● Iga tunnuse olulisuse hindamiseks eraldi kasutatakse olulisuse nivood α (see on nominaalne olulisuse nivoo).  ● Siis tegelik olulisuse nivoo  Paljude   võimalike   tunnuste   korral   ei   anna   kasutatav   nominaalne   olulisuse   nivoo
parameetrite statistilise olulisuse hindamisel kokkuvõttes tõelist tulemust. 
Tegelik olulisuse nivoo mõningatel juhtudel, kui nominaalne olulisuse nivoo on 5%.


83. Mudeli funktsionaalse kuju hindamine RESET testiga: testi idee, nullhüpotees
ja sisukas hüpotees.  Ramsey   (1969)   pakkus   välja   mudeli   spetsifikatsioonivigade   testi   ehk   RESET   testi
(regression specification error test). 1. Hindame lineaarset mudelit  2. Mudelist (1) leiame silutud väärtused 3. Hindame mudelit 
4. Leiame F-statistiku   R1 2 ja R2 2 on vastavalt mudelite (1) ja (2) determinatsioonikordajad
n – valimi maht, 
m - uute regressorite arv mudelis (2), 
k – tunnuste arv kokku mudelis (2)  H0 :  lisamine ei parandanud mudelit oluliselt, mudeli kuju on õige. H1:  lisamine parandas mudelit oluliselt, mudeli kuju on vale. Kui F > Fkr (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel onα), võtta vastu H1 . Siis on mudeli (1) kuju on vale.
Gretlis Tests -> Ramsey’s RESET squares and cubes 84. Mis on fiktiivsed tunnused ja kuidas neid kasutatakse kvalitatiivsete tunnuste


mudelisse panekuks?  ● Fiktiivne   ehk   binaarne   tunnus   on   kaheväärtuseline   tunnus,   mis   võib   omada väärtusi 0 või 1 ning mis vastab kvalitatiivse tunnuse kindlale tasemele. ● Fiktiivsete   tunnuste   arv   mudelis   on  ühe   võrra   väiksem  kvalitatiivse   tunnuse tasemete arvust. Väärtus, mille fiktiivset tunnust mudelis pole, on baasväärtus. 85. Mis on baaskategooria? 
Baaskategooria   moodustab   see,   mis   tunnus   on   mudelist   väljas.   Kui   on   3   seletavat
tunnust, siis 1 kategooria võetakse baaskategooriaks ning 2 kategooriat on fiktiivsed
tunnused


86. Mis on ANOVA mudel ja ANCOVA mudel?  ANOVA 
Tüüpiline regressioonmudel sisaldab: ● Kvantitatiivseid seletavaid tunnuseid
● Kvalitatiivseid seletavaid tunnused Mõlemat tüüpi seletavaid tunnuseid sisaldav mudel on ANCOVA mudel, ANCOVA mudel võimaldab hinnata ka kvantitatiivsete seletavate tunnuste mõju. Need
on kovariandid ehk ühismuutujad (covariates, concomitant variables). – Ühismuutujad,
sest on ühised kõigile kvalitatiivse tunnuse kategooriatele.


87. Fiktiivsete tunnuste kordajate tõlgendamine.  Fiktiivseete tunnuste tõlgendamise näide (vt IPodi näidet)


88.   Fiktiivsete   tunnuste   mitteolulisus   ja   tunnuste   komplekti   eemaldamise
testimine. 


● Ära eemalda üht fiktiivset tunnust, kuna see ei ole eraldi tunnus, vaid vastab ühele väärtusele! ● Kui eemaldad, siis eemalda terve komplekt!
● Pane peale kitsendus: D1 = 0, D2 = 0, D3 = 0!
● Test -> Omit variables 
● Kui p <α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on 0,05 -> siis kitsendust ei tohi peale panna, kuna mudel halvenes oluliselt


89.   Struktuursete   muutuste   testimine   fiktiivse   tunnuse   abil:   testi   idee,
nullhüpotees ja sisukas hüpotees, neli võimalikku tulemust.  Tests - > Chow test -> Määra ajahetk, kus esineb murre. H0 - parameetrid on stabiilsed - ära muuda mudelit - p > 0,05
H1 - Parameetrid ei ole stabiilsed - mudeli hindamine tuleb viia läbi kummaski alavalimis
eraldi p <α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on 0,05 Testid, mis uurivad terve valimi läbi:  ● QLR (quandt likelihood ratio) test
● Rekursiivne hindamine RLS (recursive least squares) ○ CUSUM test
○ CUSUMSQ test


90. Tunnuste koosmõju: kuidas hinnata, tõlgendamine. 


91. Sesoonsuse hindamine fiktiivsete tunnuste abil.  Sesoonsus   -   aegridade   kompleksanalüüsis   korral   jagatakse   ajas   muutuva   suuruse
muutmine mitmeks komponendiks. Add -> observation range dummy - > lisada mudelisse ainult 3 dummyt - 4 jääb baas
mudeliks. 


Ülesanded (praktiline andmeanalüüs)  1. Lineaarse mudeli hindamine vähimruutude meetodil.  Model>OLS ??? Vähimruutude meetodi korral minimeeritakse sirge ja üksikute punktide vaheliste y-telje
sihiliste hälvete ui ruutude summat.  2. Regressioonmudeli hindamise aruande tõlgendamine:  ● parameetrite hinnangud;  Parameetrite hinnangud leitakse vähimruutude meetodil (OLS).
Parameetri a hinnang ja parameetri b hinnang (vabaliige)


● parameetrite standardvead;  ● parameetrite t-statistikud;  Parameetrite t-statistikud on gretlis t-ratio all.  ● t-statistikute olulisuse tõenäosused;  Parameetrite t-statistikute olulisuse tõenäosused on p-value all. ● mudeli statistilise olulisuse F-test;  P-value (F)


● determinatsioonikordaja;  R-squared ● korrigeeritud determinatsioonikordaja;  Adjusted R-squared ● Durbin-Watsoni statistik.  Durbin-Watson Gretl Tools->Statistical Tables->DW 3. Parameetrite statistilise olulisuse testimine. 


Parameetrite   statistilise   olulisuse   testimine: Nullhüpotees H0 : bj = 0 ehk parameetrid on statistiliselt mitteolulised
Sisukas hüpotees H1 : bj ≠ 0 ehk parameetrid on statistiliselt olulised Kui t-statistiku väärtus ületab kriitilise (olulisuse tõenäosus p on väiksem kui olulisuse
nivoo α), on vastav parameeter oluliselt nullist erinev: tunnuse lülitamine mudelisse on
põhjendatud. Kui p<α, siis võetakse vastu H1
Vastupidisel juhul tuleb tunnus mudelist eemaldada ja viia läbi uue mudeli hindamine.  4. Mudeli statistilise olulisuse testimine.  H0: kõik seletavate tunnuste kordajad on nullid, b2=b3=… =bk =0
H1 vähemalt üks kordaja b2 , b3 …., bk on nullist erinev ehk  mudel on statistiliselt
oluline
Nullhüpotees: Y on määratud oma keskväärtusega F-statistiku   empiirilist   väärtust   võrreldakse   F-jaotuse   kriitilise   väärtusega   (või
empiirilisele väärtusele vastavat olulisuse tõenäosust p võrreldakse olulisuse nivooga
α). 
Kui empiiriline väärtus ületab kriitilise (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on
statistiliselt oluline 5. Tunnuste lisamine ja eemaldamine.  Tunnuseid   tuleb   lisada/eemaldada   ükshaaval.   Kõigepealt   tuleb   tunnused   järjestada
kõige tugevama seose järgi.
Gretlis View>Correlation matrix>kõik tunnused peale y. 6. Korrigeeritud determinatsioonikordaja kasutamine.  Lisades   mudelisse   uusi   tunnuseid,   peab   vaatama   korrigeeritud
determinatsioonikordajat.   Kui   uue   parameetri   lisamisel   korrigeeritud
determinatsioonikordaja   suureneb,   siis   mudel   paraneb   ja   saame   jätkata.   Kui   aga
korrigeeritud   determinatsioonikordaja   väheneb,   siis   tuleb   uus   tunnus   mudelist
eemaldada ja jätkata vanaga. 7. Heteroskedastiivsuse testimine (White’i test). 


Mudel (kui OLS on tehtud juba): Tests>Heteroskedasticity>White’s Test
Kui esineb heteroskedastiivsus, siis logaritmida tunnuseid. Kui peale logaritmimist ei
kao heteroskedastiivsus ära, siis kasutage kohandatud standardvigade hinnanguid.
H0: mudelis ei esine heteroskedastiivsust
H1: heteroskedastiivsus esineb
Kui p>α, siis vastu võtta H0: heteroskedastiivsust ei esine! Heteroskedastiivsuse   testimisel   kasutatakse   abiregressiooni.   Selle   abiregressiooni
sõltuv tunnus on mudeli jääkliikmete ruudud, sest jääkliikmete dispersioon on määratud
jääkliikmete ruutudega. 8. Jääkide autokorrelatsiooni testimine: Durbin-Watsoni statistiku kasutamine ja
Breusch-Godfrey test.  H0: autokorrelatsioon puudub
H1: autokorrelatsioon esineb Breusch-Godfrey test:
Gretlis   Tests>Autocorrelation>Lag   order   to   test   X.   Kui   valimi   maht   on   väike,
vaadatakse LMF p-valued.
LMF statistiku p>a, võtame vastu H0: autokorrelatsioon puudub
LMF statistiku p, võtame vastu H1: autokorrelatsioon esineb Durbin-Watsoni statistiku kasutamine:
Mudeli parempoolne viimane näitaja (Durbin-Watson).
Leida   Durbin-Watsoni   alumine   ja   ülemine   kriitiline   väärtus   (Tools>Statistical
tables>DW)
(sisestame mudeli alusel valimi mahu ja mitu regressorit (v.a const) mudelis on. Kui esineb jääkliikmete 1. järku autokorrelatsioon, siis mida võib teha? ● Püüda autokorrelatsioonist vabaneda (nt lisada tunnuseid, viitaegu) ● Kasutada mõnd autokorrelatsiooni eemaldamise protseduuri ● Kasutada kohandatud standardvigu Millised   on   Durbin-Watsoni   statistiku   puudused *  teatud   väärtuste   korral   pole   võimalik   otsustada,   kas   autokorrelatsioon   esineb   või   mitte
* sõltub ainult vahetult üksteisele järgnevatest jääkliikmetest ut ja ut-1


9. Jääkide normaaljaotuse testimine: Doornik-Hansoni test.  H0: jääkliikmed alluvad normaaljaotusele
H1: jääkliikmed ei allu normaaljaotusele Kui   DH   empiiriline   väärtus   ei   ületa   kriitilist   väärtust   (p>a),   siis   võetakse   vastu   H0:
jääkliikmed alluvad normaaljaotusele
Kui   DH   empiiriline   väärtus   ületab   kriitilise   väärtuse   (p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona),   siis   võetakse   vastu   H1:
jääkliikmed ei allu normaaljaotusele Gretlis mudeli aknas Tests>Normality of residual
Teststatistik DH 10. Mudeli kuju testimine: RESET test.  Gretlis Tests>Ramsey’s test
Reset testi p-value
Kui p>a, siis võetakse vastu H0: mudeli kuju on õige
Kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona, siis võetakse vastu H1: mudeli kuju on vale 11. Tunnuste lisamise või eemaldamise F-test.  Fiktiivsete tunnuste eemaldamine: Gretlis mudeli aknas Tests>Omit variables


Kui p>a, siis võtame vastu H0: kitsendatud mudel ei ole oluliselt halvem Kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel ona, siis võtame vastu H1: kitsendatud mudel on oluliselt halvem   Fiktiivsete tunnuste lisamine: Gretlis mudeli aknas Tests>Add variables Kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on0,05 -> H1: tegevusala on statistiliselt oluline  Tavaliselt tunnuste eemaldamise/lisamise puhul peab eemaldamisel eemaldama
kõige   suurema   p-valuega   tunnuse.   Lisamisel   tuleb   lisada   kõige   suurema
korrelatsiooniga tunnused. View>Correlation 12. Parameetrite stabiilsuse (struktuursete muutuste) testimine: Chow test, QLR
test, CUSUM test.  Kui murdekoht on teada:  ● Chow test
● Fiktiivse tunnuse abil Kui murdepunkt pole teada ● QLR test
● CUSUM test ‘
Kui p>a, siis võtame vastu H0: Parameetrid on stabiilsed
Kui p <α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on a, siis võame vastu H1: Parameetrid ei ole stabiilsed, tuleb kahte mudelit eraldi
hinnata. Test-> QLR 13.   Uute   tunnuste   arvutamine:   logaritmimine,   ruutu   võtmine,   diferentside
leidmine.  Valin tunnuse(d) ning Gretlis menüüst valin:
Add>logs of selected variables
Add>squares of selected variables
Add>Seasonal difference of selected variables 14. Lineariseeritud mudelite hindamine (log-log, log-lin, ruutpolünoom). 


Log-log mudeli kordaja näitab, mitu % muutub Y, kui X suureneb 1% .
See on elastsuskordaja. Add - > Logs of selected variables - > Lisa mudelisse Struktuursete muutuste kontrollimiseks kasuta CUSUMi testi:
Tests - > Cusum test
Kui   p   >   0,   võta   vastu   H1   esinevad   struktuursed   muutused,   parameetrid   pole
konstantsed
Kui p < 0, võta vastu H0 ei esine struktuurseid muutusi 15. Valimi kitsendamine (alamvalimi tekitamine).  Soovime analüüsida, kas regressioonmudeli mingi parameetri väärtus on ühesugune
või erinev meie valimi kahes alamvalimis:
 Näiteks: – kas on erinevus arenenud riikide ja arenguriikide vahel;     – kas esineb erinevus kahel ajaperioodil.


16. Fiktiivsete tunnuste loomine ja nende kasutamine mudelis.  Kontrolli   esiteks,   kas   tunnus   on   diskreetne   -   >   Right   click   tunnuse   peale   -   >   edit
attributes   ->   linnkue:   treat   this   variable   as   discrete   ja   numeric   values   represent   an
encoding. -> Add -> Dummies for discrete variables Kontrolli kas võib mudelisse lisada -> test -> Add variables, 
kui p<α), võetakse vastu sisukas hüpotees: mudel on0,05 -> H1: tegevusala on statistiliselt oluline  17. Mudeli parameetrite tõlgendamine erineva kujuga mudelite korral: lineaarne,
log-log, log-lin, ANCOVA.  18. Arvutused mudeli järgi, mudelväärtuse leidmine.  19. Determinatsioonikordaja tõlgendamine. Determinatsioonikordaja   näitab,   kui   suur   osa   koguhajumisest   on   mudeli   poolt   ära
seletatud.
20. Eeldused kokkuvõtlikult