Lineaaralgebra I osaeksam 2013 (2)

1.  Kompleksarvu  mõiste,  imaginaarühik,   kaaskompleksarv ,  kompleksarvude  võrdsus  ja 
nulliga võrdumise tingimus. Kompleksarvu moodul, argument ja  trigonomeetriline  kuju. 
 
Kompleksarvuks  z  nimetatakse   avaldist   z  =  a  +  bi,  (1)  kus  a  ja  b  on   reaalarvud   ja  i  on  nn. 
imaginaarühik,  mis  on  määratud  võrdustega  i =
−1 või  2
i = −1 .  Kaht  kompleksarvu 
z = a + bi   ja  z = a − bi ,  mis  erinevad  ainult  imaginaarosa  märgi  poolest,  nimetatakse 
kaaskompleksarvudeks.  Kokkuleppe  põhjal  1)  kaht  kompleksarvu  z = a + b i   ja 
1
1
1
z = a + b i  loetakse võrdseteks  (z = z ) , kui  a = a
b = b , s.t. kui nende reaalosad on 
2
2
2
1
2
1
2  ja 
1
2
võrdsed  ja  imaginaarosad  on  võrdsed;  2)  kompleksarv  võrdub  nulliga,  s.o.  z = a + bi = 0 siis 
ja ainult siis, kui a = 0 ja b = 0.  z = a + bi = r cosϕ + i sin ϕ  ehk  z = r(cosϕ + i sin ϕ ) Avaldist 
võrduse  paremal  poolel  nimetatakse  kompleksarvu  z  =  a  +  bi  trigonomeetriliseks  kujuks; 
suurust  r  nimetatakse  kompleksarvu  z  mooduliks  ja  suurust  ϕ   selle  kompleksarvu 
argumendiks. 
 
2. 
Kompleksarvude 
liitmise, 
lahutamise , 
korrutamise 
ja 
jagamise  
valemid. 
Trigonomeetrilisel  kujul  antud  kompleksarvude  korrutamise,  jagamise,   astendamise   ja 
juurimise valemid. 
 
Liitmine : z + z = (a + b i) + (a + b i) = (a + a ) + b
+ b i
)   
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
Lahutamine:  z − z = a
+b i) − a
+b i) = a
−a ) + b
( −b i
)  
1
2
1
1
2
2
1
2
1
2
Korrutamine :  z z = a
+b i) a
+b i) = a a +b a i + a b i +b b i2 = a
( a −b b ) + b
( a + a b i
)  
1 2
1
1
2
2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
Trigonomeetriline:  z z = r r
ϕ +ϕ + i
ϕ +ϕ
 
1 2
1 2 [cos(
sin(
1
2
1
2 ]
a + b i
a a + b b
a b + a b
z
r
Jagamine:  1
1
1
2
1 2
2 1
1 2
i Trig: 1
1
[cos(ϕ −ϕ ) + isin(ϕ −ϕ )  
1
2
1
2 ]
a + b i
a 2 + b2
a 2 + b2
z
r
2
2
2
2
2
2
2
2
″
Astendamine :  [r(cosϕ + i sinϕ)] = r (
′ cos nϕ + isin nϕ)  
ϕ 2 π
ϕ 2 π
n
 + k
+ k 
Juurimine :  n r(cosϕ + i sinϕ) = r 
+ isin
  

n
n

3. Geomeetriline  vektor .  Lineaarsed   tehted  geomeetriliste vektoritega (liitmine ja skalaariga 
korrutamine). Lineaarsete  tehete  8 omadust. 
Geomeetriliseks  vektoriks  nimetatakse  suunatud  lõiku.  Liitmine:  AB + BC = AC .  Arvu 
(skalaari)  ja  geomeetrilise  vektori  α   korrutiseks   nimetatakse   vektorit   cα,  mis   rahuldab  
tingimusi: 1. vektor cα on paralleelne vektoriga α ; 2. kui c ≥ 0 , siis vektori cα suund ühtib 
vektori α suunaga, c  )
1 on lineaarselt sõltumatud, kui ükski  nendest  ei 
1
2
m
avaldu lineaarse kombinatsioonina ülejäänud m −1  vektorist . Nullist erinevat vektorit (s.t. juht 
m  =1  ülalt)  nimetatakse  samuti  lineaarselt  sõltumatuks.  Vastandjuhul  nimetatakse  vektoreid 
a , a ,...,a
1
2
m   lineaarselt  sõltuvateks.   Vektorruumi   V   vektorid   α  ja  β  on  paralleelsed  ehk 
kollineaarsed , kui üks nendest kahest vektorist on teise vektori kordne. 
6.  Vektorruumi  baasi  definitsioon.  Loomulik  ehk  kanooniline  baas.  Vektorruumi  mõõde 
ehk  dimensioon . Baasivektorid. Vektori koordinaadid. 
Mittetühja hulka B, kus B ⊂ V, nimetatakse vektorruumi V  baasiks , kui 1. vektorite hulk B 
on lineaarselt sõltumatute vektorite hulk ja 2. iga vektor ξ vektorruumist V avaldub lineaarse 
kombinatsioonina  hulka  B  kuuluvatest  vektoritest.  Tavaliselt  valitakse  vektorruumi  paljude 
baaside hulgast välja üks baas B, mis enamasti tekib loomulikul viisil. Sellist kokkuleppeliselt 
välja  valitud  baasi  nimetatakse  vaadeldava  vektorruumi  loomulikuks  ehk  kanooniliseks 
baasiks.  Vektorite  arvu  vektorruumi  V  mis  tahes  baasis  nimetatakse  vektorruumi  mõõtmeks 
ehk  dimensiooniks  ja  seda  tähistatakse  dimV.  V  n-mõõtmeline  vektorruum  ja 
B = {ε ,ε ,...,ε }tema 
mingi 
baas. 
Vektoreid 
ε ,ε ,...,ε   hakkame  nimetama 
1
2
n
1
2
n
baasivektoreiks.  Iga  vektor  ξ  avaldub  lineaarse  kombinatsioonina  baasivektoritest: 
ξ = x ε + x ε + ... + x ε , x x ,..., x ∈R.  Vektoriga  ξ  üheselt  määratud  arve  x x ,..., x
1 1
2
2
n
n
1
2
n
1
2
n  
avaldisest (1) nimetatakse vektori ξ  koordinaatideks  antud baasil B 
7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, 
veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). 
Lineaarsete tehete 8 omadust. 
Maatriksiks   nimetatakse  m   reast   ja  n  veerust   koosnevat   ristkülikukujulist  arvude  tabelit. 
Arve aij  maatriksist  nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, 
teine indeks veerunumbrit. Arvud  a , a ,...,a  asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud 
11
22
nn
a , a
,...,a
1n
2n 1
−
−  asuvad  maatriksi  A  kõrvaldiagonaalil.  Maatriksi  reavektoriteks 
1
n
nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. 
 
Maatriksi veeruvektoriteks nimetatakse aritmeetilisi vektoreid. 
 
(m × n) -   maatriksite   A = (a )   ja  B = (b )  summaks   nimetatakse  (m × n) -  maatriksit 
ij
ij
A + B = (c ) ,  kus  c = a + b kõigi  indeksite  i  ja  j  võimalike  väärtuste  korral.  Maatriksi 
ij
ij
ij
ij
m×n
A = (a ) ∈ R
 
korrutiseks 
skalaariga 
c∈ 
ℝ 
 
nimetatakse 
maatriksit 
ij
m×n
cA = c ⋅ A = (c ) ∈ R
  ∈ℝ,  kus  c = ca kõigi  indeksite  i  ja  j  võimalike  väärtuste  korral. 
ij
ij
ij
Maatriksi korrutamiseks arvuga c tuleb tema kõik elemendid läbi korrutada selle arvuga.  
 
8. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete 
ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks 
Maatriksi  mille  reavektoriteks  on  α ,α ,... α
,  korrutiseks maatriksiga  mille  veeruvektorid 
1
2
m
on 
β , β ,..., β ,  nimetatakse  maatriksit  kus  α ⋅ β   tähistab  vektorite  α ja β  
1
2
p
i
j
i
j
skalaarkorrutist.  Maatriksite  korrutamise  omadused  ja  seosed  lineaarsete  tehete  ning 
korrutamise vahel on  
järgmised:  1.  maatriksite  korrutamine  ei  ole  kommutatiivne,  s.t.  leiduvad  sellised  maatriksid 
A ja B, et AB ≠ BA ; 2. maatriksite korrutamine on  assotsiatiivne , s.t. A (BC)= (AB) C alati, 
kui  vaadeldavad  maatriksid  on  korrutatavad;  3.  liitmine  ja  korrutamine  on  seotud 
distributiivsusega,  s.t.  A(B+C)=AB+AC,  (A+B)C=AC  BC  alati,  kui  antud  tehted  on 
teostatavad;  4.  kui  eksisteerib  maatriksite  korrutis  AB,  siis  a(AB)=(aA)B=A(aB)  iga  a∈  ℝ 
korral. m-ndat järku ühikmaatriksiks nimetatakse m-ndat järku ruutmaatriksit. 
 
9. Transponeeritud  maatriks . Sümmeetriline  maatriks . Maatriksi ridade ja veergude 
elementaarteisendused. 
 
Maatriksi 
m×n
A = (a ) ∈ R
transponeeritud 
maatriksiks 
nimetatakse 
maatriksit 
ij
T
n×m
A = b
) ∈ R
,  mille  veeruvektoriteks  on   parajasti   maatriksi  A,  s.t. b = a   iga  i  ja  j 
ij
ji
ij
võimaliku  väärtuse  korral.  Ruutmaatriksit  A  nimetatakse  sümmeetriliseks  maatriksiks,  kui
AT = A . Maatriksi A ridade elementaarteisenduseks nimetatakse üleminekut maatriksilt A  
maatriksile  B  järgmise  kahe  võimaliku  reegli  abil:  1.  maatriksi  A  mingile  reavektorile 
liidetakse  mingi  arvu  kordne  maatriksi  A  mingi  teine  reavektor;  2.  maatriksi  A  mingit 
reavektorit korrutatakse mingi nullist erineva arvuga.