Projektike ,,Funktsioonide uurimine" Ülesande püstitus Koostada VBA toega Exceli rakendus, mis võimaldab teha etteantavas vahemikus (a x b) kolme ühemuutuja funktsiooni Fy, Fz ja Fyz = Fy + Fz (vt. funktsioonide variantide tabel) graafikud ning leiab nullkohad ja antud karakteristikud (vt. karakteristikute variantide tabel) iga funktsiooni jaoks. Algandmed loeb programm töölehelt, karakteristikud kirjutatakse töölehele, kuhu paigutatakse ka diagramm graafikutega ning tabel argumendi ja funktsioonide väärtustega diagrammi loomiseks. Realiseerida kolm varianti, igaüks omaette töölehel. 1. Argumendi ja funktsioonide väärtused kirjutatakse töölehele ning nende alusel leitakse vajalikud karakteristikud ja tehakse graafikud 2. Argumendi ja funktsioonide väärtused salvestatakse ühemõõtmeliste massiividesse ning sealt töölehele. Karakteristikud leitakse massiivides olevate väärtuste alusel 3. Argu...
Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z cosx = m = x = ±arccosm + 2n ; n Z tanx = m = x = arctanm + n ; n Z SIN, COS, TAN joonised ! SIN x I - I -3/4 I -/2 I /4 I -/6 I 0 I sin x I 0 I -0,7 I -1 I -0,7 I -0,5 I 0 I x I /6 I /3 I /2 I 5/6 I 2/3 I I sinx I 0,5 I 0,9 I 1 I 0,5 I 0,9 I 0 I
Koosinusfunktsioon M. Kallasvee DEFINITSIOON FUNKTSIOONI Y=COS X NIMETATAKSE KOOSINUSFUNKTSIOONIKS. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON ON PAARISFUNKTSIOON, S.T. koosinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. COS(-X)=COSX OMADUSED FUNKTSIOONI FUNKTSIOONI y=cos x y=cos x määramispiirkonnaks muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude on lõik [-1;1]. hulk. X=R Y=[-1;1] OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x on perioodiline funktsioon. KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x perioodiks on 2. GRAAFIK y=cosx 1 0,939693 0,766044 0,5 0,173648 -0,17365 y=cosx -0,5 1,5 y-telg
xn nxn-1 logax 1 x ln a 1 1 sinx cosx x x2 x 1 cosx -sinx 2 x Astmefunktsioonide puhul kasuta valemit ( xn)`= nxn-1 Leida tuletised
Koonus: V= St= Sk= Ruutvõrrand x1,2= Silinder: V=Sp St=2 D0 2 erinevat lahendit Püramiid: V= S= Sk +Sp Sk=n D0 lahendid puuduvad Prisma: V=Sp S=PpõhiH D=0 2 sama lahendit Kera: V= S=4 D= x1 f xi- (xi-)2 (xi-)f Paarisfunktsioon: f(-x)=f(x) Paaritufunktsioon: f(-x)=-f(x) Tuletis: ()´= (logax)´= (lnx)`= (sinx)´=cosx (cosx)`=-sinx (tanx)`= Hajuvuskarakteristik: a3b3=(ab)(a2abb2) (ab)3=a33a2b3ab2b3 logab = c b = ac logax1x2 = logax1+logax2 logaxn = nlogax
II:+ I:+ II: - I: + II: - I: + III:- IV:- III: - IV:+ III:+ IV: - · sin= cos(90°-) · sin·sin= -1/2[cos(+)-cos(-)] · cos= sin(90°-) · cos·cos= 1/2[cos(+)+cos(-)] · sin(-x)= -sinx · sin·cos= 1/2[sin(+)+sin(-)] · cos(-x)= cosx · SIINUSTEOREEM: a/sin= b/sin= c/sin= 2R · tan(-x)= -tanx · KOOSINUTEOREEM: · sin2+cos2= 1 · a2= b2+c2-2·b·c·cos · tan= sin/cos · cos= b2+c2-a2/2·b·c · cot= cos/sin= 1/tan · b2= a2+c2-2·a·c·cos · tan·cot= 1 · cos= a2+c2-b2/2·a·c
Taandamisvalemid võimaldavad taandada mistahes nurga radiaanideks. ja on teineteise täiendusnurgad 90°-ni, kui + = 90°. Siinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=sinx. Tegu on paarisfunktsiooniga, periood on 2. Arkussiinuseks nimetatakse funktsiooni y=arcsinx. Tegu on siinusfunktsiooni pöördväärtusega, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille sin on x, paarisfunktsioon. Koosinusfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=cosx. Tegu on paarisfunktsiooniga (sümmeetriline y telje suhtes), perioodiks 2. Arkuskoosinuseks nimetatakse funktsiooni y=arccosx. Tegu on koosinusfunktsiooni pöördväärtusega, vähim positiivne nurk, mille cos on x. Tangensfunktsiooniks nimetatakse funktsiooni y=tanx. Arkustangensiks nimetatakse funktsiooni y=arctanx. Tegu on tangensfunktsiooni pöördfunktsiooniga, absoluutväärtuselt vähim nurk, mille tangens on x. y sin = r x cos = r y tan =
TULETISED Astmeline:=n* nt. =5* Trigonomeetrilised: (=cosx = - sinx = Logaritmfunk. tuletised: (; ' Eksponentfunk tuletised: ' = *1 (e lne=1)= Tuletised : ' = ' (x)' = 1 (c)'=0 (-x)' = -1 Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise tuletis 1.Summa tuletis (u+v)' = u' + v' Nt. + (= + 2. Vahe tuletis (u-v)' = u'-v' 3. Korrutise tuletis (u*v)' = u'*v + u*v' 4. Jagatise tuletis (
funktsiooni väärtus. Funktsiooni esitusviisid on : 1) Analüütilised ehk valemiga 2) Tabeliga ehk arvuliselt 3) Graafiliselt ehk geomeetriliselt Joonis 3. Mõnede lihtfunktsioonide graafikud (põhiliste elementaarfunktsioonide), määramis – ja muutumispiirkonnad. Joonis 4. Ilmutatud funktsioon ja ilmutamata funktsioon Kui funktsioon on antud kujul y = f (x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutatud. Nt. y=x2+3x , y= sinx+cosx Kui funkts. on antud kujul F( x, y ) = 0, Kusjuures y=y(x), siis öeldakse, et funktsioon on ilmutamata ehk võrrandiga antud. Nt. x2 + y2 = 4 (ringjoon) ehk x2 + y2 – 4 = 0. Praegu saab siit y nö. „ilmutada“: y2 = 4 - x2 ehk y=± √ 4−x 2 Joonis 5. Nt. ey = x + y , siit y „ilmutada“ ei saa. Funktsiooni parameetriline esitlus. Funktsiooni parameetrilise esituse jaoks võetakse kasutusele mingi kolmas täht, tavaliselt t, mida nim. parameetriks
Siinusfunktsioon on paaritu funktsioon. Siinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Funktsiooni y=cosx määramispiirkonnaks on kogu reaalarvude hulk R. Koosinusfunktsioon on paarisfunktsioon, graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. Koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2(pii). Tangensfunktsioon on paaritu funktsioon. Tangensfunktsiooni graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes. Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga (pii). Arvu m arkussiinuseks nimetatakse vähimat nurka, mille siinus on m.
Eksponentfunktsioon y=a a>0,a≠1 X=(∞;∞) Y=(0;∞) Logaritmfunktsioon y=logx a>0,a≠1 a x=(0;∞) Y=(∞;∞) Siinusfunktsioon y=sinx X=(∞;∞) Y=)1;1( Koosinusfunktsioon y=cosx X=(∞;∞) Y=)1;1( Tangensfunktsioon y=tanx=sinx/cosx X= Y=(∞;∞) Kootangensfunktsioon y=cotx=cosx/sinx =(∞;∞) 9. Jada mõiste. Punkti ümbruse erinevad definitsioonid. Jada (x ) võib vaadelda kui funktsiooni n f
4. Liitfunktsioon Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne 5. Põhilised elementaarfunkts. 1)astmefunkts y=xa; a IR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a 1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=log ax, a>0, a 1 4)trig. F- nid y=sinx; cosx;tanx;cotx 5)arkus f-nid y=arcsinx;... NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid. Elementaarf-n saadakse põhilistest elementaarf-nidest aritmeetiliste tehete +liitf-nide moodustamise abil *täisrats f-nidpolünoomid *murdrats f-nidpolünoomide jagatis *irrats f-nidmurrulised astendajad 6.Tõkestamatult kahanev ja kasvav suurus Kahanev: Suurus x: x1,x2,x3..xn=f(n),...tekib vaadeldava suuruse (x) väärtuste jada: xn=1/n=>(tabel) *def.1 Suurus xn on tõkestatud sel korral, kui vastavalt
y = ax , kus astme alus a on konstantne ja rahuldab võrratust a > 0. Lisaks sellele võrratusele eeldame veel, et a ei võrdu 1, sest a = 1 korral saame konstantse funktsiooni y = 1 x = 1. Eksponentfunktsiooni korral X = R ja Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 ja 0 < a < 1 kvalitatiivselt erinev . Funktsioon y = a x on kasvav kogu oma määramispiirkonnas, kui a > 1 ja kahanev kogu oma määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sinx, y = cosx, y = tanx ja y = cotx radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: y = sinx : X = R, Y = [-1,1], y = cosx : X = R, Y = [-1,1], y = tanx : X = R {(2k + 1)/ 2 * ||k Z }, Y = R, y = cotx : X = R {k||k Z}, Y = R. Funktsioonid y = sinx ja y = cosx on perioodilised perioodiga 2 ning y = tanx ja y = cotx perioodiga . Funktsioonid y = sinx, y = tanx ja y = cotx on paaritud ning y = cosx paaris. 4
1+tan=1/cos tan(90°-)=cot IV veerand 270°<<360° 360°- sin2=2sincos 2 2 cos2=cos-sin cot=1/tan=cos/sin sin ++-- cos +--+ tan/cot +-+- Siinusfunktsioon y=sinx SINUSOID [0;2] X=R Y=[-1;1] -1sinx1 sin(-x)=-sinx paaritufunktsioon-graafik on sümmeetriline koordinaatide alguspunktide suhtes Siinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2=360° koosinusfunktsioon y=cos X=R Y=[-1;1] -1cosx1 cos(-x)=cosx paarisfunktsioon-graafik on sümmeetriline y-telje suhtes koosinusfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga 2 Tangensfunktsioon y=tan x ei tohi võrduda 90°, 270°, -90°, -270° tan(-x)=-tanx paaritufunktsioon Tangensfunktsioon on perioodiline funktsioon perioodiga Arkusfunktsioon Siinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arcsinx Arkussiinus x on nurk, mille siinus on x y=arcsin(-x)=-arcsin n X=(-1)arcsinm+n Koosinusfunktsiooni pöördfunktsioon y=arccosx
arcsin(sinx)=x ja sin(arcsiny)=y suuruse muutumispiirkonnaks. y=cosx pööramisel ahendatakse X[0;], Y=[-1;1] muutuva suuruse väärtused kuuluvad arvu a ümbrusesse Funktsiooni definitsioon Pöördfunktsioon x=arccosy (a-,a+), st rahuldavad võrratust |x-a|<. 11.Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused kui funktsioonid.
Põhiseosed : Kui sinx=m, siis x=(-1)n arcsinm + n, sin 2 + cos 2 = 1 kus n Z sin tan = cos Kui cosx=m, siis x=±arccosm + 2n, tan · cot = 1 kus n Z 1 1 + tan 2 = Kui tanx=m, siis x=arctanm + n, kus n cos 2 Liitmisvalemid : Z sin( ± ) = sin cos ± cos sin Viete'I teoreem ax2+bx+c=0 cos( ± ) = cos cos sin sin
muutumispiirkonna väärtustele y vastavusse need väärtused x määramispiirkonnast, mille korral f(x)=y. Elementaarseteks põhifunktsioonideks nimetatakse analüütiliselt antud funktsioone: Konstantne funktsioon : y=0 Astmefunktsioon y=x astmes a Eksponentfunktsioon y=a astmes x Logaritmfunktsioon y= loga astmes x Trigonomeetrilised funktsioonid: y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx Argusfunktsioonid: y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx, y=arccotx Elementaarseteks funktsioonideks nimetatakse funktsiooni, mis saadakse põhielementaar-funktsioonidest lõpliku arvu aritmeetiliste tehete ja liitfunktsioonide moodustamise tulemusena. Tõkestatud funktsiooniks nimetatakse funktsiooni f(x) piirkonnas A tõkestatuks, kui leidub reaalarv k, nii et |f(x)|<= k iga X kuulub hulka A korral.
läheneb arvule b. Parempoolse piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa+) f(x) = b või f(x) b kui xa+ 5. Lõpmata väikesed ja lõpmata suured suurused. Def. Muutuvat suurust ehk funktsiooni (x) nim. lõpmata väikeseks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=0. Lõpmata väikest suurust nim. ka hääbuvaks suuruseks. Asjaolu. et (x) on lõpmata väike suurus piirprotsessis xx0, tähistatakse ka kujul (x)=o(1) (xx0). Näide. Funktsioonid x, x kuubis, sinx, 1-cosx, e astm x miinus 1 ja ln(1-x) on piirprotsessis x0 lõpmata väikesed suurused, sest lim x0 x=0, lim x0 x kuubis =0, lim x0 sinx=0, lim x0 (1-cosx)=0, lim x0 (e astm x miinus 1)=0, lim x0 ln(1- x)=0. Definitsioon2. Muutuvat suurust (x) nim. lõpmata suureks suuruseks piirprotsessis xx0, kui lim xx0 (x)=. LSS nim. ka vohavaks suuruseks. Näide. Suurused 1/x, 1/x kuubis, 1/sinx, 1/ (1-cosx), 1/(e ast x miinus 1) ja 1/(ln(1-x)) on piirprotsessis xx0 lõpmata suured, sest lim x0
sin 2 x + 2 sin x cos x - 3 cos 2 x = 0 : cos 2 x sin 2 x 2 sin x cos x 3 cos 2 x + - =0 cos 2 x cos 2 x cos 2 x Edasine lahenduskäik nagu tan 2 x + 2 tan x - 3 = 0 ruutvõrrandi kujulistes võrrandites. 5. Võrrandite graafiline lahendamine Näide: Joonestada ühte teljestikku funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud. Leida 0 [ 0 ] jooniselt võrrandi sinx = cosx lahendid lõigul 180 ;270 . Põhjendada vastust. Funktsioonide väärtuste tabeli koostamisel võetakse x reale nurgad kas radiaanides 3 0; ; ; ; ; ; ;2
hulk on funktsiooni muutumispiirkond Y. 2. Funktsioonide liigitus paarisfunktsiooniks ja paarituksfunktsiooniks. Kaks tuntumat paarisfunktsiooni ja kaks tuntumat paaritutfunktsiooni. - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=f(x), siis on tegemist paarisfunktsiooniga. Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. f(x)=x2, sest (-x)2=x2 f(x)=cosx, sest cos(-x)=cos x - Kui terves määramispiirkonnas kehtib funktsiooni f(x) jaoks võrdus f(-x)=-f(x), siis on tegemist paaritu funktsiooniga. Graafik on sümmeetriline 0-punkti suhtes. f(x)=x3, sest (-x)3=-x3 f(x)=sinx, sest sin(-x)=-sinx f(x)=tanx, sest tan(-x)=-tanx 3. Funktsiooni piirväärtuse mõiste ja sümbol. Piirväärtuse 5 omadust. - Kui funktsiooni f(x) argumendi x väärtuste jada xn läheneb arvule a ükskõik kummalt
a) Pn(x) 0 ei ole kar. Qn(x)=B0xn+...+Bn _ võrr. lahend _____________________________ 0 on kar. võrr. lahend xQn(x) b) exPn(x) ei ole kar. exQn(x) võrr. lahend ____________________________ on kar.võrr. xkexQn(x) k-kordne lah. ______________________________________________ c) ex(Pn(x)cosx+ ex(Us(x)cosx+ +i ei ole kar. +Qm(x)sinx) võrr. lahend +Vs(x)sinx), s=max(m,n) _____________________________ +i on kar. xex(Us(x)cosx+ võrr. lahend +Vs(x)sinx) ______________________________________________ MÄRKUS. Otsitava erilahendi yMHE avaldistes esinevate polünoomide kordajad leitakse määramata kordajate meetodil.
sinx=m = *=(-l)' arcsin m+nn, neZ.'2 TE 7n 1-n 2 COSX=m = X=+afCCOSm+2nIE, neZ, 0(arccosru(n JE tanx=m + x=arctanm+n/7, neZ, TE 22 ,A.rkusfunktsioonide omadusi sin(aresin x) = :g arcsin(-x) = - arcsin(x)
F''(x)=0 1. Leia funktsioonide tuletised 2 - 3x 1) y=2x5-3,8x4+x2-2 2) y = x -1 3)y=(x+1)sinx-x cos x 4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5
(Paaris
juured)
e. Eksponent- ja trigonomeetrilised funktsioonid, nende määramispiirkonnad,
väärtuste hulgad ja graafikud
e.i. y=, kus astme alus a on konstantne ja rahuldab väärtust a>0. Lisaks ,
sest a=1 korral saame konstantse funktsiooni y==1.
Eksponentfunktsiooni korral . y= on kasvav kui a>1. y= on kahanev kui
0
6. On antud funktsioon y = x 3 -2 x 2 . Leia selle funktsiooni 3 6.1. nullkohad; 6.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 6.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 6.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 6.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 6.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 3. 7. Antud on funktsioonid f(x) = cos2x ja g(x) = sin2x. 7.1. avalda cos2x suuruste sinx ja cosx kaudu; 7.2. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 7.3. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 7.4. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) > g(x) 8. Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata taraga maksimaalse ümbermõõduga ristkülikukujuline maatükk. Leia maatüki mõõtmed, kui maatüki pindala on 400 m². Aritmeetiline ja geomeetriline jada. 1
Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Def
Def. Astmefunktsioon on funktsioon kujul y= , kus a on nullist erinev konstantse astendaja. Selle funktsiooni määramispiirkond, väärtuste hulk ja graafik sõltuvad oluliselt astmest a. Def. Eksponentfunktsioon on funktsioon kujul y= , kus astme alus a on konstantne ja a>0 ja a1. Määramispiirkond X= ja väärtuste hulk Y=(0,). Def.Trigonomeetrilised funktsioonid on funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: 4. Def. Eeldame, et argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud, st, et iga y Y leidub ainult üks x nii, et valitud y on selle x-I kujutiseks. Kui see on nii, siis öeldakse, et funktsioon f on üksühene. Üksühese funktsiooni korral on võrrand y=f(x) muutuja x suhtes üheselt lahenduv. Def
= , kus B 0 78. Siinusf-n, selle graafik ja omadused y=sinx x a lim g ( x a x ) B 79. Koosinusf-n, selle graafik ja omadused y=cosx 91. Piirväärtus lõpmatuse kohal 80. Tangensf-n, selle graafik ja omadused y=tanx 81. Kootangesf-n ja selle graafik y=cotx 82. Trigonomeetrilised põhivõrrandid 83. Võrrand sinx=m x = ( - 1) arcsin m + n , n Z n 84. Võrrand cosx=m x = ± arccos m + 2n , n Z 85. Võrrand tanx=m ja cotx=m x = arctan m + n , n Z x = arc cot m + n , n Z 86. Homogeensed trig.võrrandid 87. Jadad 88. Aritmeetiline jada
4 4 Võrrandi lahendid on x = ( 1 + 2n ) , n Z ; x = 0,5 ( 1 + 4n ) , n Z Kontroll: Kui n = 0, siis x1 = ( 1 + 2 0) = ; x2 = 0,5 ( 1 + 4 0 ) = 0,5 sin - cos = 0 - ( -1) = 1 v = p sin 0,5 - cos 0,5 = 1 - 0 = 1 v = p Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 3) Lahendame võrratuse f (x) > 0 lõigus [0; ] . Võrratuse võib lahendada graafiliselt. Selleks tuleb joonestada funktsioonide y = sinx ja y = cosx graafikud lõigul [0; ] . Võrratuse sinx > cosx lahendamiseks tuleb leida sellised argumendi x väärtused, mille korral funktsiooni y = sinx graafik asub ülevalpool funktsiooni y = cox graafikut. Leiame graafikute lõikepunkti abstsissi. Graafikute lõikepunkti võib leida ka jooniselt. Lõigus [0; ] saab x väärtuseks olla ainult 450. x = 450 = . Täpsema tulemuse saamiseks võib lahendada võrrandi sin x cos x = 0. 4
13) Summa tuletis ( u + v )´= u’+v’ x 14) a) Astme tuletis ( xn)´= n*xn-1 b) tuletis (ax)´= a lna 1 1 15)a) ( ln x)´= x b) (logax)´= xlna 16) (sinx)´= cos x 1 17) a) (cosx)´= -sin x b) (tanx)´= cos2 x 18) (ex)´= ex 19) Kirjuta sirge võrrand teades tõusu k ja punkti A(x 1; y1) : y-y1=k(x-x1) 20) Kirjuta joone y =f(x) puutuja võrrand, kui puutepunkt on A(x 1; y1), millega võrdub sel juhul tõus, kirjuta täpselt tuletise kaudu: y-y1=f’(x1)(x-x1) 21) Kirjuta sirgete paralleelsuse tunnus: k1=k2 22) Kirjuta sirgete ristumise tunnus: k1*k2 = -1 23) Kirjuta x-telje võrrand : y = 0 24) Kirjuta y-telje võrrand : x = 0
selles punktis diferentseeruv. Tuletise arvutamist nimetatakse diferentseerimiseks. C ’ = 0, C - konstant a a−1 ( x )’ = a x x ( a )’ = a x lna, sealhulgas ( e x )’ = ex ) log ¿ 1 1 ¿ )’ = xlna , sealhulgas (lnx)’ = x ¿ (sinx)’ = cosx (cosx)’ = -sinx 1 (tanx)’ = cos2 x 15. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f’(a) ja argumendi muudu ∆x = x − a korrutist ja t¨ahistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt: dy = f ’ (a) ∆x dy f ’ (a) = dx 16
on diferentseeruvad selles punktis ja ( f + g )( x0 ) = f ( x0 ) + g ( x0 ) ( f - g )( x0 )= f ( x0 )- g ( x0 ) ( fg )( x0 )= f ( x0 ) g ( x0 )+ f ( x0 ) g ( x0 ) (cf )( x0 ) = c f ( x0 ), c = const f f ( x0 ) g ( x0 ) - f ( x0 ) g ( x0 ) 0 ( x ) = 2 g g ( x0 ) 4 Näide Leiame funktsiooni y = x sinx + cosx tuletise. Summa diferentseerimise reegli abil (x sin x + cos x ) = ( x sin x) + (cos x) Korrutise diferentseerimise reegli abil = x sin x + x(sin x) + (cos x) = sin x + x cos x - sin x = x cos x 5 Näide Leiame funktsiooni y = tan x tuletise. Jagatise diferentseerimise reegli abil sin x
DEF 16. Punkti (x;y) kohavektori pikkust nim. polaarraadiuseks. Nurka , mille punkti (x;y) kohavektor moodustab x-telje pos. Suunaga nim. polaarnurgaks, kusjuures vastu kellaosuti liikumise suunda mõõdetud nurk loetakse positiivseks ja kellaosuti liikumise suunas mõõdetud nurk negatiivseks. 1.2 Elementaarfunktsioonid 1.Konstantne funktsioon y=c 2.Astmefunktsioon y=x 3.Eksponentfunktsioon y=ax 4.Logaritmfunktsioon y=logax 5.Trigonomeetrilised funktsioonid y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx DEF 1. Elementaarfunktsiooniks nim. iga funkstiooni, mis on esitatav põhiliste elementaarfunktsioonide kaudu. DEF 2. Funktsiooni Pn(x)=a0xn+a1xn-1+...+an-1x+an nim. n-astme polünoomiks ehk täisratsionaalseks funktsiooniks. Algebra põhiteoreem: igal komplekssete kordajatega n-astme polünoomil Pn(x) on täpselt n kompleksset nullkohta x1, x2,...,xn. DEF 3. Ratsionaalfunktsiooniks ehks murdratsionaalseks funktsiooniks nim. kahe polünoomi
erinev. *Eksponentfunktsioon on funktsioon j argmisel kujul: kus astme y=a , rahuldavad ka nende jadade piirväärtused. alus a on konstantne ja rahuldab v orratust a > 0. *Trigonomeetrilised 22. Sõnastada tõkestatud funktsioon. Tõestada, kui funktsioonil f on antud funktsioonid y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx protsessis lõplik piirväärtus, siis on ta selles protsessis tõkestatud 7. Liitfunktsioon ja pöördfunktsioon. V:Funktsiooni f nim ülalt tõkeskatud(alt tõkestatud) funktsiooniks hulgal X1 U X1 Liitfunktsioon ja selle komponendid (näide). Funktsioonide y = f(u) ja u = kui leidub selline reaalarv M(m), et iga x e X1 korral kehtib võrratus f(x) M
määramispiirkond 5) Leidke selline a väärtus , mille korral funktsioon y 9 a3 graafik lõikab x x x-telge kohal 1. Vastus: 1) -2; 2) (1;0) (0;-2) ; 3) x1 0; x2 log 3 2 0, 63 ; 4) 1; 5) a = 3 7. Trigonomeetriline võrrand Lahenda järgmised võrrandid või võrratused! a) sinx cosx = 0,5 Vastus : x = 450 +1800n , n -6- - 2 x n ; x 2n n z b) sin2x -2sinxcos2x =0 Vastus 3
vastavusse n-järku Taylori polünoom: Et üldjuhul need asjad ei ole võrdsed, siis kehtib seos: Kogu seda asja nim Taylori valemiks punktis a, ning seda esimest osa Taylori n-järku polünoomiks kohal a ( Tn(x) ) ja Rn-i nim Taylori valemi jääkliikmeks. Funktsiooni f(x) Taylori valemit a=0 korral nim f-ni f(x) n-järku Maclaurini valemiks: Ja seda sama asja ilma Rn(x)-ta nim Maclaurini polünoomiks Mn(x)=. Ning selljuhul oleks Rn(x) Maclaurini valemi jääkliige. N. F(x)=ex N.Leian y=cosx jaoks (2n+1)-järku Maclaurini valemi: [leian 3 tuletist kohal x ja 0] 1.20. Taylori valemi jääkliige Uurin abifunktsiooni: Eeldame, et see f-n f(x) on n+1 korral diferentseeruv. Kui see on nii siis on see nii ka F(x) korral. Siis on võimalik kasutada Rolle'i teoreemi. Kui , siis F(x) peaks olema a ja x vahel selline koht kus tuletis on 0. Rollei teoreem väitis et kui otspunktide tuletised on võrdsed siis vahepeal on koht, kus F(c)=0, järelikult: Kui n=p-1 siis p=n+1
37. positiivne täisarv (tõestuseta). Funktsioonide y = sin x ja y = cos x tuletised tõestuseta. Funktsiooni y = x tuletis on nx , kus n on positiivne täisarv, s.o. kui y = x , n n -1 n 38. siis y = nx . n -1 39. Funktsiooni sin x tuletis on cos x , s.o.kui y=sinx, siis y = cos x . 40. Funktsiooni cos x tuletis on -sinx, s.o.kui y = cosx , siis y = -sinx. 41. 42. Konstandi, summa, korrutise ja jagatise tuletiste valemid. 43. Konstandi valem: C'=0 44. Summa valem: (u+v)'=u'+v' 45. Korrutise valem: (uv)'=u'v+uv' u u v - uv = 46. Jagatise valem: v v2 47. 48. Liitfunktsiooni tuletise valem. dy dy du = 49. dx du dx 50. 51
üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. 27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta). ∫ dx =x+C x a−1 ∫ x a dx = a+1 + C , kus a ≠ -1 dx ∫ x = ln |x| + C x a ∫ a x dx = lna + C , kus a>0, a ≠ 1 ∫ sin xdx = - cosx + C ∫ cos xdx = sinx + C dx ∫ cos2 x = tanx + C dx ∫ sin2 x = - cotx + C dx 1 x ∫ k2 + x2 = k arctan k +C dx x ∫ = arcsin k +C √ k 2−x 2 [ f ( x ) ∓ g ( x ) ] dx =¿
1 6 Li + n 1 4 He + 3 H 3. 3 0 2 1 17. Mida nimetatakse tööks mehaanikas? Andke valem ning selles kasutatud füüsikaliste suuruste nimetused ja nende ühikud SI süsteemis. (3 p.) A=F*s*cosx A-töö s-teepikkus F-jõud x-nurk F ja s vahel.’ Meh. Tööks nim. mõjuva jõu, teepikkuse ja jõu ja tee vahelise nurga koosinuse korrutist. 18. Kirjutage Clapeyron- Mendelejevi võrrand ideaalse gaasi oleku kohta. Selgitage esinevad füüsikalised suurused ja kirjutage nende mõõtühikud SI-s.(3 p.) pV m = *R T M p-rõhk(1Pa), V-ruumala(1m3), m=mass(1kg), t-temperatuur(1Kelvin), M-molaarmass (1 kg/mol), R-universaalne
määramispiirkonnas, kui 0 < a < 1. Trigonomeetrilised funktsioonid y = sin x, y = cos x, y = tan x ja y = cot x radiaanides antud argumendiga x. Trigonometriliste funktsioonide määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad: y = sin x : X = R, Y = [-1, 1] , y = cos x : X = R, Y = [-1, 1] , y = tan x : X = R {(2k + 1)/2 * || k Z},Y = R, y = cot x : X = R {k || k Z}, Y = R. Graafikud. funktsioonid kujul y=sinx,y=cosx,y=tanx ja y=cotx radiaanides antud argumendiga x. Määramispiirkonnad ja väärtuste hulgad on järgmised: Üksühese funktsiooni mõiste. Olgu antud funktsioon y = f(x). Vastavalt funktsiooni definitsioonile on tegemist kujutisega, mis seab igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnast vastavusse ühe kindla y väärtuse. Üksühese funktsiooni pöördfunktsioon - nimetatakse kujutist, mis seab igale f(x)-le funktsiooni f väärtuste hulgast vastavusse x-i
Määramispiirkond: Eksponentfunktsioon y = , kus astmealus a on konstantne ja rahuldab võrratust a>0. Lisaks sellele eeldame veel, a 1, sest muidu oleks see konstantne funktsioon. X=R, Y = (0,). Graafik on juhtudel a > 1 (kasvav) ja 0 < a < 1 (kahanev). Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sinx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paaritu funktsioon y = cosx, X = R, Y = (-1,1), graafik perioodiline perioodiga 2, paarisfunktsioon y = tanx, X = R / || k Z, Y = R, graafik periood on , paaritu funktsioon y = cotx, X = R/ k || k Z, Y = R, periood on , paaritu funktsioon 4. Üksühese funktsiooni mõiste Funktsioonis y = f(x) on igale argumendi x väärtusele oma määramispiirkonnas seatud vastavusse ühe kindla y väärtus. Eeldame, et ka argument x on funktsiooni väärtuse f(x) kaudu üheselt määratud. St. iga y korral hulgast
Vastus: 1) -2; 2) (1;0) (0;-2) ; 3) ; 4) 5) a = 3 9.Trigonomeetriline võrrand ja võrratus Lahenda järgmised võrrandid või võrratused! a) sinx cosx = 0,5 Vastus : x = 450 +900n , n 2 x n ; x 2n n z 3
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste x0=a, x1, x2,..,xn=b kohta (tõestusega).
f(x)dx = F(x) + C , C - konstant Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on u¨ksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellu¨kke abil 34. Integraalide tabel. 1. dx = x + C , kuna (x + C)' = 1. 2. xa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a -1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)'= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.dx /x = ln|x| + C. 4. a x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. sinx dx = -cosx + C. 6. cosxdx = sinx + C. 7.dx /cos2 x = tanx + C. 8. dx /sin2 x = -cotx + C. 9. dx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: dx /1+x2 = arctanx + C. 10.dx / k2-x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.[f(x) ± g(x)]dx =f(x)dx ±g(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See t¨ahendab, et [f(x)g(x)]dx f(x)dx · g(x)dx ja [f(x) : g(x)]dx f(x)dx : g(x)dx. 2. af(x)dx = a f(x)dx, kus a on konstant. 3
Seega on f funktsioon, mis on määratud hulgas D. Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi välja argumendi väärtusel x. Kui tähistada x-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut järgmiselt: y = f(x+x)-f(x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame: f (x) = Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C= 0 , C - konstant 2) ( ) = a 3) ( ) = ln a , sealhulgas ( )´= 4) ( )´ = , sealhulgas (lnx)´= 5) (sin x)´ = cosx 6) (cos x) = -sin x 7) (tan x) = 8) (cot x) = - 9) (arcsin x) = 10) (arccos x)´ = - 11) (arctan x)´ = 12) (arccot x)´= - 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni diferentsiaali mõiste. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f(a) ja argumendi muudu x = x-a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f(a)x .
7. c ( x ) = (c) x = x (c) 8. Kehtib Jacobi samasus x ( x ) = x ( x ) = x ( x ) = Üldjuhul x ( x ) ( x ) x 36. Kujutus. Lineaarne kujutus. Näiteid. Lineaarne kujutus koordinaatkujul. Lineaarse kujutuse maatriks. X, Y - hulgad; y = f(x); x,yR; V,W - vektorruumid Kujutuseks hulgast X hulka Y nimetatakse reeglit f, mis hulga X igale elemendile paneb vastavusse mingi elemendi y hulgast Y. f: X -> Y Näiteid: 1. funktsioonid f: DR -> R (y=lnx, f=ln; y=cosx, f=cos) 2. X = Rnxm; Y = R; det: X -> Y; x -> |x| Lineaarseks kujutuseks vektorruumist V vektorruumi W nimetatakse kujutust L: V -> W, mis rahuldab omadusi 1. (aditiivsus) L( + ) = L() + L() ,V ja 2. (homogeensus) L(c) = cL() cR; V Näiteid: 1. L() = V 2. samasuskujutus. 1v: V -> V; 1V() = V 3. V = W - geomeetriliste vektorite hulk tasandil; L(); L - projekteerimine x- teljele 4. V = C[a;b]; W=R; L = ab: V -> W; fV; ab(f) = abf(x)dx 5
Kirjutame funktsiooni f tuletise valemi välja argumendi väärtusel x. Kui tähistada Δx-ga argumendi muutu punktis x, siis avaldub vastav funktsiooni muut järgmiselt: Δy = f(x+Δx)−f(x). Seega vastavalt tuletise definitsioonile saame: f ′(x) = Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 1) C′= 0 , C − konstant 2) ( ) = a 3) ( )′ = ln a , sealhulgas ( )´= 4) ( )´ = , sealhulgas (lnx)´= 5) (sin x)´ = cosx 6) (cos x)′ = −sin x 7) (tan x)′ = 8) (cot x)′ = - 9) (arcsin x)′ = 10) (arccos x)´ = - 11) (arctan x)´ = 12) (arccot x)´= - 19. Funktsiooni diferentsiaali definitsioon. Funktsiooni tuletise esitus diferentsiaalide jagatisena. Funktsiooni diferentsiaali mõiste. Funktsiooni y = f(x) diferentsiaaliks punktis a nimetatakse tuletise f′(a) ja argumendi muudu Δx = x−a korrutist ja tähistatakse dy või df. Seega definitsiooni kohaselt dy = f′(a)Δx
Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille joone on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil. (JOONIS) 34. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). Integraalide tabel 1. dx=x+C 2.=+1+1+, -1 3. dx ax =ln |x|+C 4. a x dx = +C , kus a> 0, a 1 5. sinxdx=-cosx+C x lna dx dx 6. cosxdx=sinx+C 7. =tanx+C 8. =-cotx+C cos ² x sin ² x dx 1 x dx x 9. = arctan + C 10. =arcsin +C 2 k +x 2 k k k -x
Põhilised elementaarfunktsioonid: eksponent: y = a = exp a x a > 0, a 1 x · Eksponent ja logarithm funktsioon logaritm: y = log a x a > 0, a 1 · Astmefunktsioon - y = a x , a 0 · Trigonomeetrilised funktsioonid - siinusfunktsioon: y = sinx koosinusfunktsioon: y = cosx tangensfunktsioon: y = tanx kootangensfunktsioon: y = cotx · Arkusfunktsioonid - Arkussiinusfunktsioon: y = arcsinx arkuskoosinusfunktsioon: y = arccosx arkustangensfunktsioon: y = arctanx arkuskootangensfunktsioon: y= arccotx e x - e -x
Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil 34. Integraalide tabel. 1. ʃdx = x + C , kuna (x + C)’ = 1. 2. ʃxa dx = x a+1 /(a+1) + C, kus a −1, Kuna (x a+1 /a+1 + C)’= (a + 1)* xa /a+1 = xa. 3.ʃdx /x = ln|x| + C. 4. ʃa x dx = a x/ lna + C , kus a > 0,a 1 5. ʃsinx dx = −cosx + C. 6. ʃcosxdx = sinx + C. 7.ʃdx /cos2 x = tanx + C. 8.ʃ dx /sin2 x = −cotx + C. 9. ʃdx /k 2+x 2 = 1/k * arctan x/k + C. Erijuht: ʃ dx /1+x2 = arctanx + C. 10.ʃdx /√ k2−x2= arcsin x/ k + C. Määramata integraali omadused (sh omadus 3 koos tõestusega). 1.ʃ[f(x) ± g(x)]dx =ʃf(x)dx ±ʃg(x)dx. NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et ʃ [f(x)g(x)]dx ʃ f(x)dx · ʃg(x)dx ja ʃ [f(x) : g(x)]dx ʃf(x)dx : ʃ g(x)dx. 2
annaabi.ee 
