Õppematerjal (9)

Eesti Maaülikool - Matemaatika - Kõrgem matemaatika

4 HEA

19
VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID
DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma
1) arvväärtuse (pikkuse),
2) sihi ja
3) suunaga,
nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... .
MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga ― oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame
a = AB, kusjuures :

arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus,
2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B),

suund on määratud punktide järjestusega.
OLULISED VEKTORID :
Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori-teks. Kasutatakse tähistust e, st ‌e ‌= 1.
Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata.
VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED:
Vektorid a ja b on võrdsed (a = b), kui neil on samad arvväärtused, sihid ja suunad.
Vektorid a ja b on teineteise vastandvektorid (a = –b), kui neil on samad arvväärtused ja sihid, kuid nad erinevad suuna poolest.
Vektorid a, b on kollineaarsed (a || b), kui nad on samasihilised ehk kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad samal sirgel.
Vektorid a, b, c, ... on komplanaarsed, kui nad pärast ühisesse alguspunkti viimist asuvad ühel tasandil.
LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA
VEKTORITE LIITMINE : V × V → V: (a, b) → a + b = c.

KOLMNURGA REEGEL: kui esimene liidetav on a = AB, siis
lugedes teise liidetava b alguspunktiks B, on summavektoriks
c = AC, kusjuures C on vektori b lõpp-punkt.
Analüütiliselt: AB + BC = AC.

RÖÖPKÜLIKU REEGEL: kahe vektori liitmiseks tuleb nad viia
ühisesse alguspunkti ja lugeda summavektoriks nende vektorite poolt määratud rööpküliku selle diagonaaliga antud vektor , millel on liidetavatega ühine alguspunkt.
MÄRKUS. Sõnastatud reeglid on samaväärsed.
OMADUSED

Kommutatiivsus : a + b = b + a.
2) Assotsiatiivsus : (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c.
3) Nullvektori omadus: a + 0 = a.
VEKTORI KORRUTAMINE ARVUGA: R × V → V: (λ, a) → λa:
1) korrutisvektori pikkus: ‌λa ‌= ‌λ ‌ ‌a ‌,
2) korrutisvektori siht: λa || a,
3) korrutisvektori suund: λa ↑↑ a, kui λ > 0, λa ↑↓ a, kui λ MÄRKUS. Vektori korrutamisel arvuga saadakse esialgsega kollineaarne vektor. Muutuda võivad vektori pikkus ja suund.
OMADUSED
1) Assotsiatiivsus arvuga korrutamise suhtes: λ(μa) = (λμ)a.
2) Distributiivsus arvude liitmise suhtes: (λ + μ)a = λa + μa.
3) Distributiivsus vektorite liitmise suhtes: λ(a + b) = λa + λb.
4) Arvu “üks” omadus: 1 a = a.

VEKTORITE SÜSTEEMI BAAS

DEFINITSIOON 1. Kui elementide hulgas V = VEKTOR-RUUMIKS ja tema elemente vastavalt VEKTORITEKS.
DEFINITSIOON 2. Kui on antud nullist erinevate vektorite süsteem
e1, e2, . . . , en ja arvude süsteem λ1 , λ2 , . . . , λn , siis avaldist
λ1e1 + λ2e2 + . . . +λnen , ( A )
mis määrab mingi vektori, nimetatakse vektorite e1, e2, . . . ,en LINEAARSEKS KOMBINATSIOONIKS. Kui selles avaldises kõik kordajad võrduvad üheaegselt nulliga, st λ1 = λ2 = . . . = λn = 0, siis öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on TRIVIAALNE . Vastasel korral, kui kas või üks kordajatest λi , i = 1, 2 , . . . , n, on nullist erinev, öeldakse, et lineaarne kombinatsioon on MITTETRIVIAALNE .
DEFINITSIOON 3. Kui avaldis (A) võrdub nullvektoriga ainult siis, kui kõik kordajad on nullid , st ainult siis, kui avaldis (A) on triviaalne lineaarne kombinatsioon, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . ,en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUMATU SÜSTEEMI.
DEFINITSIOON 4. Kui leidub mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon (A), mis võrdub nulliga, siis öeldakse, et vektorid e1, e2, . . . , en moodustavad LINEAARSELT SÕLTUVA SÜSTEEMI.
DEFINITSIOON 5. Vaadeldava vektorite hulga maksimaalset sõltumatute vektorite hulka nimetatakse selle vektorite hulga BAASIKS. Baasivektorite arvu nimetatakse vaadeldava vektorite hulga MÕÕTMEKS.
MÄRKUS. Sõltumatute vektorite hulga maksimaalsus tähendab seda, et kui lisada baasile kas või üks vektor, tekib lineaarselt sõltuv vektorite süsteem.
DEFINITSIOON 6. Kui vaadeldava baasi elemendid e1, e2, . . . , en on paarikaupa ristuvad ühikvektorid, siis nimetatakse seda baasi ORTONORMEERITUD BAASIKS.

VEKTORI KOORDINAADID ANTUD BAASIS

TEOREEM . Kui vektorid a, e1, e2, . . . , en moodustavad lineaarselt sõltuva süsteemi, siis saab ühe neist alati avaldada teiste lineaarse kombinatsioonina:
a = λ1e1 + λ2e2 + . . . + λnen . ( A )
MÄRKUS. Kui e1, e2, . . . , en moodustavad baasi, siis kordajaid avaldises (A) nimetatakse vektori a KOORDINAATIDEKS selles baasis. Võime kirjutada:
a = ( λ1, λ2, . . . , λn ). ( B )
Ortonormeeritud baasi puhul nimetatakse koordinaate RISTKOORDI-NAATIDEKS.
MÄRKUS. Kui lisaeeldusi pole tehtud, siis loetakse koordinaadid (B) alati ristkoordinaatideks.
NÄITEID

Ühel sirgel asuvate vektorite hulk on 1-mõõ, sest ühel sirgel asuvad vektorid on kollineaarsed ja avalduvad kujul a = λe. Siinjuures e ≠ 0 ja avaldis a – λe = 0 on mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon vektoritest a ja e. Vektoril a on üks koordinaat, mida võib tähistada kujul a = (λ).

Ühe tasandi vektorid moodustavad 2-mõõtmelise vektorruumi baasiga < , sest nullist erinevad mittekollineaarsed vektorid on
lineaarselt sõltumatud ja tasandi iga vektor avaldub kujul a = λ1e1 +
+ λ2e2, mis on vektorite a, e1 ja e2 mittetriviaalne lineaarne kombinat-
sioon . Seega vektoril a on kaks koordinaati ehk a = (λ1, λ2). Ortonor-
meeritud baasi tasandil tä, kus i = (1, 0), j = (0, 1).

Ruumivektorid moodustavad 3-mõõtmelise vektorruumi, sest nende hulgas moodustavad baasi kolm nullist erinevat mittekomplanaarset vektorit , mis on alati lineaarselt sõltumatud. Iga vektor ruumis avaldub aga baasivektorite lineaarse kombinatsioonina a = λ1e1 + λ2e2 + λ3e3, mis on nelja vektori mittetriviaalne lineaarne kombinatsioon. Ruumivektoril aa = (λ1,λ2, λ3).
Ortonormeeritud baasi ruumis tähistatakse<, kus i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1).

LINEAARSED TEHTED VEKTORITEGA KOORDINAATIDES

Vektorite liitmine koordinaatides toimub koordinaathaaval. Seega, kui
a = (a1 , a2 , . . . , an) ja b = (b1 , b2 , . . . , bn),
siis summavektori koordinaadid on liidetavate vektorite samanimeliste koordinaatide summad , st
a + b = ( ai + bi ), i = 1, 2, . . . , n.

Vektori korrutamine arvuga toimub koordinaathaaval. Seega vektori korrutamisel arvuga tuleb iga tema koordinaat korrutada selle arvuga:
λa = ( λai ), i = 1, 2, . . . , n.
JÄRELDUS (vektorite kollineaarsuse analüütiline tunnus). Kaks vektorit on kollineaarsed parajasti siis, kui nende koordinaadid on võrdelised, st
a || b ↔ a1 / b1 = a2 / b2 = . . . = an / b n = λ.

MAATRIKSI MÕISTE

DEFINITSIOON. Olgu m ja n naturaalarvud ja ai j mingid mn reaalarvu, kus i = 1, 2, . . . , m ja j = 1, 2, . . . , n. Siis arvude tabelit Am×n = || ai j ||, milles on m RIDA elementidega
ai 1, ai 2, . . . , ai n , i = 1, 2, . . . , m ( 1 )
ja n VEERGU elementidega
a1 j , a2 j , . . . , am j , j = 1, 2, . . . , n, ( 2 )
nimetatakse (m × n)- MAATRIKSIKS .
Maatriksi ELEMENDI aij esimest indeksit i nimetatakse maatriksi REAINDEKSIKS. Selle abil loendatakse maatriksi ridu. Teist indeksit j nimetatakse vastavalt maatriksi VEERUINDEKSIKS. Tema abil loendatakse maatriksi veerge.
MÄRKUS 1. Maatriksi Am × n rea elemendid (1) on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena. Neid vektoreid on m tükki ja neid nimetatakse maatriksi REAVEKTORITEKS
ai R = ( ai 1, ai 2 , . . . , ai n ), i = 1, 2, . . . , m. ( 3 )
Reavektor on vaadeldav (1×n)-maatriksina.
MÄRKUS 2. Maatriksi Am × n veeru elemendid (2) on vaadeldavad m-mõõtmelise vektori koordinaatidena. Neid vektoreid on n tükki ja neid nimetatakse maatriksi VEERUVEKTORITEKS
aj V = ( a1j , a2j , . . . , am j ), j = 1, 2, . . . , n. ( 4 )
Veeruvektor on vaadeldav (m×1)-maatriksina.

ERIKUJULISI MAATRIKSEID

DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi Am × n kõik elemendid aij võrduvad nulliga, siis nimetatakse maatriksit NULLMAATRIKSIKS.
Maatriksi ridade ja veergude arvud m ja n on tema PÕHIPARA- MEETRID .
Kui m ≠ n, siis on tegemist RISTKÜLIKMAATRIKSIGA.
Kui m = n, siis on tegemist RUUTMAATRIKSIGA ja arvu n nimetatakse selle maatriksi JÄRGUKS.
Ruutmaatriksi elemendid a11 , a22 , . . . , ann moodustavad tema PEADIAGONAALI ja elemendid a1n , a2 n-1 , . . . , an 1 vastavalt KÕRVALDIAGONAALI.
DEFINITSIOON 2. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali elemendid ei ole nullid ja kõik ülejäänud elemendid võrduvad nulliga, siis nimetatakse seda maatriksit DIAGONAALMAATRIKSIKS.
Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel võrdsed, siis nimetatakse seda maatriksit SKALAARMAATRIKSIKS.
Kui skalaarmaatriksi peadiagonaali elemendid võrduvad ühega, siis nimetatakse seda maatriksit ÜHIKMAATRIKSIKS ja tähistatakse E.
DEFINITSIOON 3. Kui ruutmaatriksi peadiagonaali all (või kohal) olevad elemendid on kõik nullid, st akl = 0, kui k > l (või k ), siis nimetatakse maatriksit KOLMNURKSEKS.
DEFINITSIOON 4. Öeldakse, et maatriks Am×n on TRAPETSKUJULINE,
kui elemendid tema nullist erinevate elementide a11, . . . , akk all, mis on koondatud maatriksi ülemisse vasakusse nurka, on nullid ja mõned viimased read võivad koosneda nullidest. St kui Am×n jaoks a11a22 . . . akk ≠ 0, k ≤ min(m, n), siis tema trapetskuju on järgmine:
a11 a12 . . . a1k a1 k+1 . . . a1n

a22 . . . a2k a2 k+1 . . . a2n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . akk ak k+1 . . . akn
0 0 . . . 0 0 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 0 0 . . . 0
MÄRKUS. Kolmnurkne maatriks on trapetskujulise erijuhtumiks k = m =n.
TEHTEID MAATRIKSITEGA

MAATRIKSI TRANSPONEERIMINE. Operatsiooni, mille käigus
maatriksi Am×n = || ai j || read ja veerud vahetavad oma osa,
nimetatakse maatriksi TRANSPONEERIMISEKS. Tulemuseks
saadakse maatriks Bn×m = || aj i || = (Am×n)T , millel on n rida ja
m veergu.
2) MAATRIKSI ELEMENTAARTEISENDUSED. Operatsiooni, mille
puhul maatriksi ühele reale (või veerule) liidetakse
elementhaaval nullist erineva arvuga korrutatud teine rida
( veerg ), nimetatakse maatriksi ELEMENTAARTEISENDUSEKS.
LAUSE. Maatriksi kahe rea (veeru) koha ümbervahetamine on
teostatav järjestikuste elementaarteisenduste abil, korrutades
viimaks ühe rea (veeru) teguriga -1. Tõestada!
3) MAATRIKSITE LIITMINE. Liita saab ainult samade parameetritega
maatrikseid. Olgu antud maatriksid Am×n = || ai j || ja Bm×n = || bi j ||.
Nende maatriksite summaks on samade parameetritega maatriks
Cm×n = ||ci j ||, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate
elementide summad (vrd vektorite liitmist koordinaatides):
ci j = ai j + bi j , i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
4) MAATRIKSI KORRUTAMINE ARVUGA: Maatriksi Am×n = || ai j ||
korrutamisel arvuga λ saadakse samade parameetritega maatriks
(λA)m×n = λ Am×n = || ci j ||, mille elemendid saadakse lähtemaatriksi
kõikide elementide korrutamisel selle arvuga (vrd vektori korrutamist
arvuga koordinaatides):
ci j = λ ai j , i = 1 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
5) KAHE MAATRIKSI KORRUTAMINE. Omavahel saab korrutada
ainult selliseid maatrikseid, mille puhul esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Tulemuseks on maatriks, mille ridade arv võrdub esimese teguri ridade arvuga ja veergude arv vastavalt teise teguri veergude arvuga, st
Am×n Bn×p = Cm×p .
Kui Am×n = || ai j ||, Bn×p = || bj k || ja Cm×p = || ci k ||, siis on korrutamise
reegel esitatav seosega
ci k = ai 1 b1 k + ai 2 b2 k + . . . + ai n bn k = ∑ai j aj k, ( A )
j
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n; k = 1, 2, . . . , p.
Valemit (A) võib sõnades väljendada järgnevalt: selleks, et saada korrutismaatriksi i-nda rea k-ndat elementi, tuleb esimese teguri i-s reavektor korrutada skalaarselt teise teguri k-nda veeruvektoriga, mis koordinaatides saadakse kui samanimeliste koordinaatide korrutiste summa.
MÄRKUS 1. Maatriksite korrutamine ei ole üldiselt kommutatiivne, st kui AB eksisteerib, siis BA ei tarvitse eksisteerida ja isegi kui ta eksisteerib, siis sageli AB ≠ BA. Erijuhtudel võivad maatriksid olla kommuteeruvad, st tegurid korrutises on vahetatavad ja tulemused osutuvad võrdseteks (vt märkus 3).
MÄRKUS 2. Maatriksite hulgas leiduvad NULLITEGURID, st sellised nullist erinevad maatriksid, mille korrutis on nullmaatriks : lühidalt AB=0, A ≠ 0, B ≠ 0.
NB! Arvude hulgas on selline olukord võimatu.
MÄRKUS 3. Ühikmaatriks E etendab maatriksite hulgas ÜHIKU osa, st Em×m Am×n = Am×n , Am×n En×n = Am×n . Lühidalt EA = AE = A.
RUUTMAATRIKSI DETERMINANT
Olgu antud n-järku ruutmaatriks An×n = || ai j ||. Temale seatakse vasta-vusse reaalarvuline parameeter , mida nimetatakse n-ndat JÄRKU DETERMINANDIKS ja mis on sobivalt valitud märgiga kõikvõimalike niisuguste n teguri korrutiste summa, kus tegurid on valitud maatriksi erinevatest ridadest ja erinevatest veergudest. Tähistades maatriksi A determinandi | A |, võib eelöeldu kirja panna järgmiselt:
A → | A | = Σ (-1)σ a1 i a2 j . . . an k ,
(i, j,...,k)
kus (i, j,...,k) on n-elemendiline permutatsioon arvudest 1, 2, . . . ,n ja σ on inversioonide arv selles permutatsioonis.
Permutatsioonid erinevad üksteisest ainult elementide järjekorra poolest ja n-elemendiliste permutatsioonide arv on n- faktoriaal , st neid on
n! = 1∙ 2 ∙ . . .∙ n tükki.
Öeldakse, et kaks arvu k ja l moodustavad permutatsioonis inversiooni, kui suurem arv asetseb väiksema ees. St kui ( . . . k . . . l . . .) ja k > l, siis nad moodustavad inversiooni, vastasel korral aga mitte.
NÄITEID

TEIST JÄRKU DETERMINANT (n = 2). Teist järku ruutmaatriksi determinant sisaldab 2! = 1∙2 liidetavat, mis on maatriksi kahe elemendi korrutised. Täpsemalt, teist järku determinant on peadiagonaali elementide korrutise ja kõrvaldiagonaali elementide korrutise vahe:
A2×2 → | A | = a11 a22 – a12 a21.

KOLMANDAT JÄRKU DETERMINANT (n = 3) koosneb 3!=1∙2∙3 liidetavast, mis on maatriksi kolme elemendi korrutised ja nende märgid määratakse vastavalt SARRUSE REEGLILE:
A3×3 → | A | = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 –
– a13 a22 a31 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33 .
MÄRKUS. Determinandi mõiste võimaldab lahendada küsimust maatriksi A rea-(veeru)vektorite lineaarsest sõltuvusest (|A| = 0 ) või sõltumatusest (|A | ≠ 0).
DETERMINANTIDE OMADUSI

LAUSE 1. Maatriksi transponeerimisel determinant ei muutu.
JÄRELDUS 1. Determinandi read ja veerud on samaväärsed.
LAUSE 2. Kui paigutada determinandis ümber kaks rida (veergu), siis muutub determinandi märk vastupidiseks.
LAUSE 3. Determinandi mingi rea (veeru) korrutamisel mingi arvuga, korrutub kogu determinant selle arvuga.
JÄRELDUS 2. Kui determinant sisaldab nullidest koosnevat rida (veergu), siis võrdub see determinant nulliga.
LAUSE 4. Kui determinandi kaks rida (veergu) on omavahel võrdsed, siis võrdub determinant nulliga.
LAUSE 5. Kui determinandi mingi rea (veeru) iga element kujutab endast kahe liidetava summat, siis on see determinant esitatav kahe sama järku determinandi summana, kus esimeses determinandis koosneb vastav rida (veerg) esimestest liidetavatest ja teises determinandis teistest liidetavatest, ülejäänud read (veerud) jäävad aga endisteks.
LAUSE 6. Determinant ei muutu, kui determinandi ühe reaga (veeruga) liita nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (veerg). Teisisõnu, elementaarteisendused ei muuda determinanti.
DETERMINANTIDE ARVUTAMINE

Iga determinandi arvutamisel saab kasutada determinantide eelpool sõnastatud OMADUSI. Selleks võib vastata järgmistele küsimustele või teha vajalikud arvutused.

Kas determinant sisaldab NULLIDEST KOOSNEVAT RIDA (VEERGU)? Vt järeldust 2.

Kas determinant sisaldab VÕRDSEID RIDU (VEERGE)? Vt lauset 4.

Elementaarteisenduste abil saab teisendada determinandi KOLMNURKSELE KUJULE , st kujule, mil peadiagonaali all või kohal on kõik elemendid nullid (lause 6). Siis võrdub determinant PEADIAGONAALI ELEMENTIDE KORRUTISEGA:
| A | = a11 a22 . . . ann , kui akl = 0, k > l (või k

DETERMINANDI ARENDAMINE REA (VEERU) JÄRGI. Sel viisil saab alandada arvutatavate determinantide järku ühe võrra.
DEFINITSIOON 1. Determinandi |A| = | ai j |, i, j = 1, 2, . . . , n elemendile akl vastavaks MIINORIKS Mkl nimetatakse (n – 1)-järku determinanti, mis saadakse antud determinandist, jättes välja tema k-nda rea ja l-nda veeru.
DEFINITSIOON 2. Avaldist Akl = (–1)k+l Mkl nimetatakse determinandi | A | elemendile akl vastavaks ALAMDETERMINANDIKS.
TEOREEM. Iga determinant on esitatav kujul, mida nimetatakse tema arendiseks k-nda rea järgi :
| A | = ak 1 Ak 1 + ak 2 Ak 2 + . . . + ak n Ak n , k = 1, 2,. . . , n (A)
või kujul, mida nimetatakse tema arendiseks l-nda veeru järgi:
| A | = a1 l A1 l + a2 l A2 l + . . . + an l An l , l = 1, 2, . . . , n. (B)
JÄRELDUS. Avaldised (A) ja (B) on seda lihtsamad, mida rohkem nulle ja ühtesid esineb reas ( veerus ), mille järgi arendust teha, sest seda vähem on vaja arvutada alamdeterminante määravaid miinoreid.
DETERMINANDI ARVUTAMINE

Saavutada elementaarteisendustega mingisse ritta (veergu) ainult üks nullist erinev element.

Arendada determinant selle rea (veeru) järgi.
MAATRIKSI ASTAK

Iga maatriksiga Am×n seotakse parameeter r = rank A , mida nimetatakse selle maatriksi ASTAKUKS. See võrdub maatriksi rea- ja veeruvektorite hulkade mõõtmega ja võimaldab leida nende hulkade baasid.
DEFINITSIOON 1. Fikseeritud r ≤ min(m, n) puhul nimetatakse maatriksi Am×n r-JÄRKU MIINORIKS r-järku determinanti Mr , mis on moodustatud maatriksi r väljavalitud rea ja veeru lõikekohtadel asuvatest elementidest.
DEFINITSIOON 2. Kui maatriksil Am×n leidub vähemalt üks nullist erinev r-järku miinor Mr ja ei leidu ühtki (r+1)-järku nullist erinevat miinorit, siis öeldakse, et maatriksi ASTAK on r = rank A.
DEFINITSIOON 3. Astakut määravat nullist erinevat miinorit Mr nimetatakse BAASIMIINORIKS.
NB! Üldiselt ei ole baasimiinorid üheselt määratud.
MÄRKUS. Maatriksi read ja veerud, mis määravad baasimiinori, on vektoritena lineaarselt sõltumatud ja moodustavad baasid vastavates hulkades .
TEOREEM. Elementaarteisendused ei muuda maatriksi astakut.
JÄRELDUS. Astaku määramiseks teostatakse elementaarteisendusi, saavutamaks MAATRIKSI TRAPETSKUJU, mille puhul peadiagonaalil asuvad nullist erinevad elemendid on koondatud maatriksi vasakusse ülemisse nurka, nende all asuvad nullid ja viimased read võivad koosneda nullidest. Peadiagonaali nullist erinevate elementide arv määrab astaku r ja maatriksi vasakul üleval nurgas asuvad elemendid määravad baasimiinori. Esimesed r rea- ja veeruvektorit moodustavad baasid vastavalt maatriksi rea- ja veeruvektorite hulgas.
PÖÖRDMAATRIKS

DEFINITSIOON 1. Kui maatriksi A jaoks eksisteerib selline maatriks A-1, mille puhul on rahuldatud tingimused
A A-1 = A-1 A = E, ( A )
siis neid maatrikseid nimetatakse teineteise PÖÖRDMAATRIKSITEKS.
DEFINITSIOON 2. Ruutmaatriksit, mille determinant on nullist erinev, nimetatakse REGULAARSEKS.
JÄRELDUS. Maatriks Am×n on regulaarne , kui m = n ja |An×n | ≠ 0.
LAUSE. Pöördmaatriks leidub ainult regulaarmaatriksil.

PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ALAMDETERMINANTIDE ABIL
An×n = || ai j || → A-1n×n = | An×n |-1 || A j i ||, ( B )
kus Ai j on elemendile ai j vastav alamdeterminant ja rea elementidele vastavad alamdeterminandid moodustavad valemis (B) uue maatriksi veerud, st toimub alamdeterminantidest moodustatud maatriksi transponeerimine. Tulemust saab kontrollida tingimuse ( A ) abil.

PÖÖRDMAATRIKSI LEIDMINE ELEMENTAARTEISENDUSTE ABIL
|| A | E || → || E | A-1 ||.
Teostades elementaarteisendusi laiendatud maatriksi ridadega nii, et
lähtemaatriksi A kohale tekib ühikmaatriks E, osutub, et lisatud ühikmaatriksi E asemele tekib otsitav pöördmaatriks A-1. Seda on võimalik kontrollida, kasutades tingimust ( A ).
VEKTORI KOORDINAADID ERINEVATES BAASIDES

Kui baasis en×1 = ( e1, e2, . . . , en )T on vektori x koordinaadid
xn×1 = (x1, x2,. . . , xn )T ja baasis e´n×1= ( e´1, e´2, . . . , e´n )T vastavalt
x´n×1= (x´1, x´2, . . . , x´n )T , siis kerkib küsimus, kas ja kuidas on kõnesoleva vektori koordinaadid nendes eri baasides omavahel seotud.
Maatriksesituses: kui e´n×1= An×n en×1, siis An×n on nn BAASITEISENDUSE maatriks. Ta on alati regulaarmaatriks ja seega leidub tal pöördmaatriks A-1n×n ning x´n×1 = ( A-1n×n)Txn×1.
LINEAARSED VÕRRANDISÜSTEEMID

DEFINITSIOON 1. Tundmatuid x1, x2, . . . , xn esimeses astmes sisaldavaid võrrandeid nimetatakse LINEAARSETEKS. Süsteemi m lineaarsest võrrandist n tundmatu suhtes esitame detailselt kujul
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm .
DEFINITSIOON 2. Lineaarse võrrandisüsteemi (1) kordajatest moodustatud maatriksit nimetatakse selle SÜSTEEMI MAATRIKSIKS
Am×n = || ai j ||, kus i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n.
Maatriksit A, millele on lisatud nn VABALIIKMETE VEERG
Bm×1 = (b1, . . . , bm )T,
nimetatakse süsteemi (1) LAIENDATUD MAATRIKSIKS A|B. See on vastavalt parameetritega m×(n + 1).
Kui tähistada tundmatute veergu Xn×1 = (x1, x2, . . . , xn )T, siis saab süsteemi (1) esitada MAATRIKSKUJUL
AX = B. ( 2 )
DEFINITSIOON 3. Iga tundmatute komplekti X, mis muudab samasuseks kõik võrrandid süsteemis (1) või maatriksvõrrandi (2), nimetatakse LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDIKS .
MÄRKUS. Süsteemi lahend ei tarvitse olla üheselt määratud ja võib sõltuda teatud arvust parameetritest. Selliseid lahendeid nimetatakse SÜSTEEMI ÜLDLAHENDITEKS. Lahendeid, mis saadakse üldlahendist parameetrite fikseerimise teel, nimetatakse SÜSTEEMI ERILAHEN-DITEKS.
DEFINITSIOON 4. Kui süsteemil on lahend olemas, siis nimetatakse süsteemi LAHENDUVAKS, vastasel korral aga MITTELAHENDUVAKS ehk vastuoluliseks.
DEFINITSIOON 5. Lineaarseid võrrandisüsteeme, millel on samad lahendite hulgad, nimetatakse EKVIVALENTSETEKS.
LINEAARSE VÕRRANDISÜSTEEMI LAHENDUVUSTINGIMUS
KRONECKER-CAPELLI TEOREEM (1864). Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui süsteemimaatriksi A astak on võrdne laiendatud maatriksi A|B astakuga, st rank A = rank A|B.
HOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM

DEFINITSIOON 1. Lineaarset võrrandisüsteemi nimetatakse HOMO-GEENSEKS, kui tema vabaliikmete veerg koosneb nullidest, st maatrikskujul AX = 0.
TEOREEM 1. Homogeenne võrrandisüsteem on alati lahenduv.
JÄRELDUS. Lahendit X = 0, mille puhul x1 = x2 = . . . = xn = 0, nimetatakse TRIVIAALSEKS ja see rahuldab samaselt maatriksvõrrandit AX = 0.
TEOREEM 2. Kui võrrandis AX = 0 leiab aset võrdus rank A = n, siis on homogeensel süsteemil olemas ainult triviaalne lahend. Mittetriviaalne lahend eksisteerib siis, kui rank A = r ja r n.

DEFINITSIOON 2. Homogeense süsteemi (n – r)-mõõtmelise lahendite ruumi erilahenditest koosnevat baasi nimetatakse selle süsteemi LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEMIKS.
JÄRELDUS. Homogeense süsteemi üldlahend XHÜ on fundamentaal-süsteemi elementide X1, . . . , Xn-r lineaarne kombinatsioon:
XHÜ = C1 X1 + . . . + Cn.-r Xn-r .
MÄRKUS. Lihtsaimaks fundamentaalsüsteemiks on nn NORMAALNE LAHENDITE FUNDAMENTAALSÜSTEEM. Selle moodustavad võrrandi AX=0 lahendivektorid, mille viimased n-r koordinaati omandavad ükshaaval väärtusi 1 ja ülejäänutele omistatakse väärtused 0:
X1
= ( x11, x12, . . . , x1r , 1, 0, . . . , 0 ),
X2
= ( x21, x22, . . . , x2 r , 0, 1,. . . , 0 ),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Xn-r = ( xn-r 1, xn-r 2, . . . , xn-r r , 0, 0, . . . , 1).
MITTEHOMOGEENNE LINEAARNE VÕRRANDISÜSTEEM

DEFINITSIOON . Lineaarset võrrandisüsteemi AX = B nimetatakse MITTEHOMOGEENSEKS, kui tema vabaliikmete hulgas kas või üks on nullist erinev, st vabaliikmete veerg ei võrdu nulliga: B ≠ 0.
LAUSE. Mittehomogeense lineaarse võrrandisüsteemi AX = B üldlahend XMHÜ on avaldatav tema mingi erilahendi XMHE ja vastava homogeense süsteemi AX = 0 üldlahendi XHÜ summana:
XMHÜ = XMHE + XHÜ.
CRAMERI PEAJUHTUM

DEFINITSIOON. Kui lineaarses võrrandisüsteemis AX = B on tundmatute arv võrdne võrrandite arvuga ja süsteemimaatriksi determinant on nullist erinev, siis öeldakse, et tegemist on CRAMERI PEAJUHTUMIGA, st
m = n ; |A | ≠ 0.
TEOREEM (1750). Kui on tegemist Crameri peajuhtumiga, siis lahendub lineaarne võrrandisüsteem alati. See lahend on üheselt määratud ja tundmatud xi avalduvad selliste determinantide suhetena, kus nimetajaks on süsteemimaatriksi determinant |A | ja lugejaks determinant |Ai |, mis on eelmisest saadud i-nda veeru asendamisel vabaliikmete veeruga.
CRAMERI VALEMID:
xi = | Ai | / | A | , i = 1, 2, . . . , n.
MAATRIKSVÕRRAND

Maatrikskujul antud võrrand AX = B LAHENDUB MAATRIKSKUJUL parajasti siis, kui maatriksil A leidub pöördmaatriks A-1. Seega, kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriks on regulaarne, ehk ta on nullist erineva determinandiga ruutmaatriks (vrdl Crameri peajuhtumiga), siis on süsteemi võimalik lahendada maatrikskujul:
X = A-1B.
GAUSSI MEETOD

Gaussi (1777–1855) meetod on universaalne meetod lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks. Selle abil vastatakse küsimusele süsteemi lahenduvusest ja kui süsteem lahendub, siis leitakse tema üldlahend. Meetod tugineb järgmisele tulemusele.
LAUSE. Kui lineaarse võrrandisüsteemi AX = B ühele võrrandile liita nullist erineva arvuga korrutatud teine võrrand, saadakse süsteem, mis on esialgsega ekvivalentne .
GAUSSI MEETOD:
Kirjutada välja süsteemi AX = B laiendatud maatriks.
Teostades elementaarteisendusi ridadega (ülevalt alla), teisendada
süsteemi maatriks trapetskujule.
Kui rank A = r, aga rank A|B = r +1, siis süsteem ei lahendu.
4) Kui rank A = rank A|B = r ≤ n, siis süsteem lahendub. Toimub
tundmatute jaotus:
r = rank A baasitundmatut x1, x2, . . . , xr ,
n-r vaba tundmatut xr+1 , xr+2, . . . , xn .
Üldlahendi xMHÜ või xHÜ leidmiseks tuleb baasitundmatud avaldada
vabade tundmatute kaudu.
5) Selleks tuleb jätkata trapetskujulise maatriksi elementaarteisendusi
ridadega (alt üles), saavutamaks olukorda, kus nullist erinevate
elementide a11, a22, . . . , arr kohal olevad elemendid on nullid.
Soovitav oleks, et elemendid a11, a22, . . . , arr oleksid arvud 1.
6) Kirjutada välja lähtesüsteemiga ekvivalentne süsteem.
Avaldada sellest süsteemist baasitundmatud vabade tundmatute
kaudu.
8) Kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHÜ = B, AXHÜ = 0.
Kirjutada (võimalusel, vajadusel) välja mittehomogeense võrrandi
erilahend XMHE ja kontrollida tulemust maatrikskujul: AXMHE = B.
10) Kirjutada (vajadusel) välja homogeense süsteemi AX = 0
normaalne lahendite fundamentaalsüsteem X1, X2, . . . , Xn-r .
Kontrollida maatrikskujul, et igaüks neist on homogeense süsteemi
erilahend: AXk = 0, k = 1, 2, . . . , n-r .

.DOC Laadi alla originaalfail 19 lk · .doc · 386 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 19 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2009-01-12 Kuupäev, millal dokument üles laeti

386 laadimist Kokku alla laetud

9 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

intshenk Õppematerjali autor

valemi definitsioonid lahendus meetod vektoralgebra vektorid maatriksvõrrand crameri peajuhtum gaussi meetod lineaarsed võrrandisüsteemid maatriksi astak determinandid determinantide arvutamine ruutmaatriksi determinant

Sarnased õppematerjalid

doc

VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID

1 VEKTORALGEBRA PÕHIMÕISTEID DEFINITSIOON. Suurusi, mis on iseloomustatud oma 1) arvväärtuse (pikkuse), 2) sihi ja 3) suunaga, nimetatakse vektoriteks. Tähistame neid a, b,... . MÄRKUS. Geomeetriliselt on vektor a määratud kahe punktiga oma alguspunktiga A ja lõpp-punktiga B. Tähistame a = AB, kusjuures: 1) arvväärtuse määrab punktide vaheline kaugus, 2) sihi määrab punktidega antud sirge s(A,B), 3) suund on määratud punktide järjestusega. OLULISED VEKTORID: Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on üks, nimetatakse ühikvektori- = 1. teks. Kasutatakse tähistust e, st e Vektoreid, mille arvväärtus (pikkus) on null, nimetatakse nullvektoriteks. Kasutatakse tähistust 0. Nullvektori siht ja suund on määramata. VEKTORITE VASTASTIKUSED SEOSED: Vektorid a ja b on võrdsed (a

Kõrgem matemaatika

rtf

Lineaaralgebra eksam

1. Kompleksarv kui reaalarvude paar. Tehted kompleksarvudega. Tehete omadused. Kompleksarvu algebraline kuju. Tuletatavad tehted ja nende omadused. Kompleksarvuks nimetatakse reaalarvude paari (x,y). C = {(x;y) | x, y R} Tehted kompleksarvudega: z1 = (x1; y1) C; z2 = (x2; y2) C 1. liitmine: z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2) 2. korrutamine: z1 * z2 = (x1x2 - y1y2; x1y2 + x2y1) Kompleksarvudega tehete omadused 1. liitmine on kommutatiivne, st z1 + z2 = z2 + z1 z1, z2 C korral 2. liitmine on assotsiatiivne, st (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) z1, z2, z3 C korral 3. liitmise suhtes leidub nullelement (reaalarv 0, 0 + z = z + 0 = z z C korral), st leidub C, nii et z + = + z = z z korral; = (0; 0) = 0 4. igal kompleksarvul z = (x; y) = x + yi leidub (liitmise suhtes) vastandarv, st selline arv w C, et z + w = w + z = 0; w = -z 5. korrutamine on kommutatiivne, st z1z2 = z2z1 z1, z2 C korral 6. korrutamine on assotsiatiivne, st (z1z2)z3 = z1(z2z3) z1, z2, z3 C korral

Lineaaralgebra

pdf

Kõrgem matemaatika / lineaaralgebra

Kõrgema matemaatika kordamisküsimused 1. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Nullmaatriks. Transponeeritud maatriks 2. Maatriksite korrutise definitsioon. Korrutamise omadused ja seosed lineaarsete tehete ning korrutamise vahel. Ühikmaatriks. 3. Teist ja kolmandat järku determinandid. 4. Permutatsiooni definitsioon. Inversiooni definitsioon. n-järku determinandi definitsioon. Determinandi põhiomadused 5. Maatriksi elemendi minor. Alamdeterminant. Determinandi arendus rea ja veeru järgi. Determinantide teooria põhivalem. 6. Regulaarse maatriksi mõiste. Pöördmaatriksi definitsioon ja elementide leidmise eeskiri. Pöördmaatriksi omadused. 7. Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Vasturääkiv, kooskõlaline, määratu süsteem. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. 8. Süsteemi lahen

Algebra I

doc

Algebra ja geomeetria kordamine

MAATRIKS: Maatriks nimetatakse ümarsulgudesse paigutatud reaalarvude tabelit, milles on eristatavad read ja veerud. Maatriksi mõõtmed Maatriksit, milles on m rida ja n veergu nimetatakse täpsemalt (m,n)- maatriksiks ning arvupaari (m,n) selle maatriksi mõõtmeteks. Maatriksi järk Omadus, mis esineb ainult ruutmaatriksil: Näiteks Mat(n,n) nim. n-järku maatriksiks. Maatriksi elemendid nimetatakse reaalarve, milledest maatriks koosneb. Maatriksi ja maatriksite hulga tähistused Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega: A, B,....X, Y, Z. Maatriksite elemente tähistatakse vastavate väikeste ladina tähtedega, mis võivad olla varustatud ka indeksitega: a, b, c, jne. Kõigi (kõikvõimalike mõõtmetega) maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat abil ning kõigi (m, n)-maatriksite hulka tähistame edaspidi Mat(m, n) abil. Ruutmaatriks maatriks, mille ridade arv on võrdne veergude arvuga, s.t. m=n Ristkülikmaatriks maatriks, mille ridade arv

Algebra ja geomeetria

doc

KT spikker

1.Lineaarse võrrandisüsteemi definitsioon. Võrrandisüsteemi kordajad, vabaliikmed, lahend. Süsteemi maatriks ja laiendatud maatriks. Lineaarse võrrandi all mõistetakse võrrandit kujul a1 x1 + a2 x2 + ... + an xn = b , (1) kus a1 , a2 , ... , an ja b on fikseeritud arvud ning x1 , x2 , ... , xn on tundmatud. Arvu b nimetatakse vaadeldava võrrandi vabaliikmeks, arve a1 , a2 , ... , an aga tema kordajateks. Def. 1. Võrrandi (1) lahendiks nimetatakse selliseid tundmatute x1 , x2 , ... , xn väärtusi c1 , c2 , ... , cn R , et pärast nende paigutamist võrrandi (1) vasakusse poolde tundmatute asemele kehtiks võrdus a1c1 + a2c2 + ... + ancn = b . Võrrandi (1) lahend on n arvust c1 , c2 , ... , cn koosnev järjestatud lõplik jada. Seega saab teda vaadelda aritmeetilise vektorina

Lineaaralgebra

doc

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks

Crameri teoreem lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks See teoreem kehtib meelevaldsete lineaarsete võrrandisüsteemide lahendamiseks, kus võrrandite ja tundmatute arvud on võrdsed. Lisaks peavad võrrandisüsteemid olema korrastatud. Kui lineaarse võrrandisüsteemi maatriksi determinant on nullist erinev, siis avalduvad tundmatud murdudena, mille nimetajaks on süsteemi maatriksi determinant ja mille lugejad on maatriksi, mis saadakse süsteemi maatriksist vastava tunmatu kordajate veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinandid. Kui maatriks täidab Crameri teoreemi eeldusi, siis öeldakse, et tegemist on Crameri peajuhtumiga. Seega Crameri peajuhtumil 1) m=n, 2) |A| 0. Tähendab, Crameri peajuhul on lineaarsel võrrandisüsteemil üksainus lahend, mis avaldub valemitega x1=|A1|/|A| x2=|A2|/|A| .. xn=|An|/|A| Determinantide omadused, determinandi arendus rea (veeru) järgi Omadus 1. Transponeerimisel (ridade ja veergude ringivahetami

Lineaaralgebra

pdf

Kõrgem matemaatika 1 TK konspekt

https://courses.ms.ut.ee/MTMM.00.340/2020_fall/uploads/Main/KM%20I%20Konspekt%202 020%202601.pdf Tunnikontrolli nr 1 kordamisküsimused Tunnikontroll toimub praktikumi lõpus kuni 15 minuti jooksul. Tunnikontrollis on kolm küsimust, millest esimesed kaks on mõistete ja omaduste peale, lisaks näited mõistete kohta. Kolmas küsimus sisaldab ülesannet praktikumides 1-4 lahendatud ülesannete teemadel. 1) Definitsioon 1.1: maatriks Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit, kus arve aij nimetatakse maatriksi elementideks ja i=1,...,m ja j=1,...,n. See on m x n maatriks. 2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reavektor, veeruvektor Ruutmaatriks või ka n-järku ruutmaatriks on maatriks, millel on võrdne arv ridu ja veerge (m=n) Reavektor - kui maatriksis on ainult üks rida, siis nimetame maatriksit reavektoriks. Veeruvektor - maatriks, milles on ainult üks veerg. 3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus Kak

Matemaatika

doc

Kõrgem matemaatika

KORDAMISKÜSIMUSED 2015/2016 Kõrgem matemaatika MTMM. 00.145 (6EAP) 1. Maatriksi mõiste, järk, tähistused, liigid. Maatriks on ristkülikukujuline arvude tabel, milles on m-rida ja n-veergu ja mis on ümbritsetud ümarsulgudega. Maatriksit tähistatakse suure tähega. Kui aij on reaalarvud ning i = 1; 2;...;m ja j = 1; 2;...; n, siis tabelit: nimetatakse täpsemalt (m x n)-maatriksiks ja kasutatakse tähistusi Am x n või Amn. Arvupaari (m; n) nimetatakse maatriksi A mõõtmeteks. Tabelis paiknevaid arve aij nimetatakse maatriksi elementideks. i reaindeks; j veeruindeks. reamaatriks (1 x n); veerumaatriks (m x 1); ruutmaatriks m = n Tähistused: maatriksi järk naturaalarvude paar m x n (ridade ja veergude arv). ruutmaatriksi korral järk n (n = ridade arv = veergude arv). maatriksi liigid: nullmaatriks kõik elemendid 0. tähistus teeta ruutmaatriks rida

Kõrgem matemaatika

Rohkem sarnaseid