Matemaatiline analüüs KT2 vastused (0)

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas
käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu Δx suhtes, kui Δx läheneb
nullile ? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused.
Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on
diferentseeruv punktis a. Eeldame, et
f′(a)≠0
kasutades mõisteid:
Δx = x − a − argumendi muut kohal a
Δy = f(x) − f(a) − funktsiooni muut kohal a .
Näitasime, et
Seega kui tähistame ja f’(a) vahe järgmiselt :
Kehtib võrdus
Püüame avaldada funktsiooni muutu Δy argumendi muudu Δx kaudu. Selleks
avaldame kõigepealt võrdusest suhte
ja korrutame saadud avaldise Δx-ga. Saame valemi
Valemist näeme, et funktsiooni muut Δy koosneb kahest liidetavast,
millest esimene on diferentsiaal dy = f′(a)Δx ja teine on β.
Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis Δx → 0. Võrdleme
neid suurusi Δx suhtes. Esiteks, eelduse f′(a) ≠ 0 põhjal saame :
Teiseks kehtib valem :
Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev
suurus kui Δx ja teine liidetav β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev
suurus Δx suhtes. Järelikult väikese Δx korral hakkab diferentsiaal funktsiooni
muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni
muudu peaosaks. jääkliikme β võib väikese Δx korral funktsiooni muudu
avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem
Δy ≈ dy kui Δx ≈ 0 .
Diferentsiaali omadused.
1. d(u + v) = du + dv,
2. d(u − v) = du − dv,
3. d(uv) = vdu + udv,
4. d(Cu) = Cdu , C − konstant,
5. d() = kui v ≠ 0.
24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid . Sõnastada ja tõestada
Fermat ’ lemma .
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
lokaalseteks ekstreemumiteks.
Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne
ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis
f′(x1) = 0.
Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum.
Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii,
et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus
Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka
paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x − x1 Jagame võrratuse negatiivse arvuga x − x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel võrratuse
märk muutub vastupidiseks, saame
See võrratus jääb kehtima ka siis, kui me võtame temast piirväärtuse protsessis
x → x1. Seega tuletise definitsiooni põhjal
Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x − x1 > 0. Jagades võrratuse
positiivse arvuga x − x1 saame
Võtame piirväärtuse:
Võrratused ja näitavad, et f′(x1) ≥ 0 ja f′(x1) ≤ 0. See on
võimalik vaid siis, kui f′(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on
lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne
miinimum.
25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem . Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem . Sõnastada ja tõestada Lagrange ’i teoreem. Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu.
Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et
f′(c) = 0.
Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul.
Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne , st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f′(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a, b) korral.
Edasi vaatleme juhtu, kui M≠ m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b).
Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ lemma põhjal saame f′(c) = 0. Teoreem on tõestatud.
Rolle’i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega .
Teoreem 3.5 (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad , vahemikus (a, b) diferentseeruvad ja iga x ∈ (a, b) korral kehtib võrratusg′(x)≠0, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et
Tõestus. Defineerime järgmise funktsiooni:
Arvutame:
Seega F(a) = F(b). Ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a, b] ja diferentseeruv vahemikus (a, b). Järelikult rahuldab F(x) Rolle’i teoreemi eeldusi. Rolle’i teoreemi põhjal leidub vahemikus
(a, b) vähemalt üks punkt c nii, et F′(c) = 0.
Leiame funktsiooni F(x) tuletise:
Seega
Siit järeldub, et
Jagades suurusega g′(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi . Teoreem on tõestatud.
Teoreem 3.6 (Lagrange'i teoreem). Kui funktsioon f on l~oigul [a, b] pidev ja vahemikus
(a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et
Tõestus. Lagrange’i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. Tõepoolest, võttes Cauchy teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g′(c) = 1 ja
valemist
järeldubki .
Lagrange’i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest
A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega
Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t′ oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t′ tõus on f′(c). Kuna sirged t ja t′ on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega
Korrutades b − a-ga saame valemi .
Kokkuvõttes: Lagrange’i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks.
26. Sõnastada ja tõestada l’ Hospitali reegel 0/0 tüüpi määramatuse korral.
l’Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis .
Tuletamine . Arvutame lim┬(x→0)⁡〖 sinx /x〗. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l’Hospitali reeglit:
27. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid. Tuletada kõrgemat järku diferentsiaalide valemid.
Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f′ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f′ on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f′ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f′′. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni
kolmanda tuletise f′′′ jne.
Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n – 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks.
Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks.
Kõrgemat järku diferentsiaalid .
dy(x) = f’(x)dx
Selles tähistuses on diferentsiaal argumendi x funktsioon. Kui see funktsioon on piisavalt heade omadustega, võib temast uuesti diferentsiaali arvutada. Niiviisi saame me funktsiooni f teist järku diferentsiaali. Seda tähistatakse d^2 y.
Tuletame valemi teist järku diferentsiaali jaoks:
Seega
d^2 y(x)=f^'' (x)dx^2.
Võttes teist järku diferentsiaalist diferentsiaali saame kolmandat järku diferentsiaali d^3 y.
Järelikult
d^3 y(x)=f^''' (x)〖dx〗^3.
Seda protseduuri võib jätkata.
Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse〖 d〗^n y . Kehtib valem
d^n y(x)=f^((n) ) (x) 〖dx〗^n.
Lõpuks märgime, et jagades selle võrduse mõlemaid pooli suurusega dx^n saame
järgmise valemi n-järku tuletise jaoks:
(d^n y)/(dx^n )=f^((n) ) (x).
28. Funktsiooni Taylori polünoom (tuletada vastav valem). Millal nimetatakse
Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
Taylori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised lähendid polünoomide hulgast. Polünoomiga on lihtne opereerida. Polünoomi väärtuse arvutamisel tuleb ju teostada ainult aritmeetilisi tehteid (liitmist, lahutamist, korrutamist ja jagamist). Näiteks taskuarvuti leiab funktsioonide a^x, sin x jms tegelike väärtuste asemel nende funktsioonide polünomiaalsete lühendite väärtusi. Polünoomi on lihtne ka diferentseerida ja integreerida. Seetõttu kasutatakse polünomiaalset lähendamist inseneriteadustes üsna palju.
Käsitlesime f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a üumbruses, mis avaldub valemiga
P_1 (x)=f(a)+f^' (a)(x-a).
Funktsioon P1(x) koos oma tuletisega langeb punktis x = a kokku funktsiooniga f(x), st
P_1 (a)=f(a),P_1^' (a)=f^' (a).
Polünoomi P_n nimetatakse funktsiooni f Taylori polünoomiks ehk n-järku lähendiks punkti a ümbruses.
Kui x ≈ a, siis kehtib ligikaudne valem
f(x)≈P_n (x).
Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine:
29. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga. Tõestada vastav teoreem.
Teoreem : Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited:
1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b).
2. Kui f′(x) Tõestus. Tõestame väite 1. Olgu f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral. Valime vahemikus (a, b) kaks suvalist punkti x1 ja x2 nii et x1 Lagrange’i teoreemi põhjal leidub vahemikus (x1, x2) vähemalt üks punkt c nii, et kehtib võrdus
f(x2) − f(x1) = f′(c)(x2 − x1) .
Selle võrduse paremal poolel olev tuletis f′(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f′(x) positiivsust vahemikus (a, b). Nullist suurem on ka vahe x2 − x1, kuna me valisime punktid x1 ja x2 selliselt , et x1 0. Sellest järeldubki soovitud võrratus f(x1) 30. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Funktsiooni lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Tarviliku tingimuse põhjendus. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Piisavate tingimuste põhjendused.
Funktsiooni kriitilisteks punktideks (ehk esimest järku kriitilisteks punktideks) nimetatakse funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub.
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt.
Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole.
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt.
1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
Vaata lk 90 joonist 4.2!
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f′(x1) = 0.
1)Kui f′′(x1) 2)Kui aga f′′(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
Kui funktsioonil eksisteerivad esimest ja teist järku tuletised kriitilises punktis, siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka teise tuletise märgi abil. Joonisel 4.2 toodud juhul 1 on funktsiooni graafik miinimumpunkti ümbruses nõgus, (ülespoole kaarduv) ja juhul 2 on graafik maksimumpunkti ümbruses kumer (allapoole kaarduv). Graafik on nõgus, kui funktsiooni teine tuletis on positiivne, ja kumer, kui teine tuletis on negatiivne.
31.Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
Kospekti joonisel (lk 93) 4.4 vasakpoolsel graafikul on kujutatud nõgusat joont. Liikudes
vasakult paremale joone puutuja tõus suureneb ja seega joon kaardub ülespoole. Parempoolsel on kujutatatud kumerat joont. Liikudes vasakult paremale joone puutuja tõus väheneb ja joon kaardub allapoole.
Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga. Põhjendus.
Põhjendus: Seal, kus f ‘ kasvab, on joon y = f(x) nõgus ja seal, kus f ‘ kahaneb, on joon y = f(x) kumer. Kuid f’ kasvamine ja kahanemine on ju seotud f′′ märgiga. Siis same kirjutada järgmised laused :
1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on f ‘ kasvav vahemikus (a, b).
2. Kui f′′(x) 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on f ‘ kahanev vahemikus (a, b).
Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi:
Teoreem 4.5. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited:
1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b).
2. Kui f′′(x) Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks.
Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt.
Põhjendus: Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral teist järku tuletis võrdub nulliga
või lõplik teist järku tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni teist järku kriitilisteks punktideks.
Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab. märki, siis on P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt.
Põhjendus: Kui f′′(x) on väiksem nullist punktist x1-st vasakul ja suurem nullist punktist x1 paremal. Siis on joon y = f(x) kumer punktist x1 vasakul ja nõgus punktist x1 paremal. Punktis P = (x1, f(x1)) asendub kumerus nõgususega, seega on P = (x1, f(x1)) käänupunkt.
32. Joone asümptoodi definitsioon: Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile.
Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a.
Olgu sirge x = a joone y = f(x) vertikaalasõmptoot. Kui punkt M = (x, y) eemaldub lõpmatusse joont y = f(x), siis vastavalt asümptoodi definitsioonile tema kaugus sirgest x = a läheneb nullile. Seega peab punkti M x- koordinaat lähenema arvule a kas vasakult või paremalt, st kas x → a− või x → a+. Teisest küljest: kuna punkti M kaugus koordinaatide alguspunktist kasvab piiramatult, siis peab vähemalt üks selle punkti koordinaatidest piiramatult kasvama. Nagu nägime, x koordinaat läheneb lõplikule arvule a. Seega kasvab punkti y-koordinaat piiramatult, st kas y → −∞ või y → ∞. Me saame formuleerida järgmise väite.
Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
lim f (x) = −∞ lim f (x)= ∞
x→a− x→a−
lim f(x) = −∞ lim f(x) =∞
x→a+ x →a+
Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot.
Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on
y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b.
Tultada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x → ∞.
Kui x → ∞, siis eemaldub punkt M = (x, f(x)) lõpmatusse mööda joont y = f(x). Kuna y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot, siis punkti M kaugus sirgest y = kx + b läheneb nullile. Tähistame punkti M ristprojektsiooni sirgel y = kx + b tähega P. Kuna punkti M kaugus sirgest y = kx + b võrdub lõigu MP pikkusega |MP|, saame
lim|MP| = 0 . (4.2)
x→∞
Ühtlasi näeme jooniselt, et |MN| = |MP| /cos α , kus α on asümptoodi tõusunurk. Kuna α jab muutumatuks protsessis x → ∞, siis (4.2) põhjal
lim|MN| = lim |MP| /cos α = 1 lim |MP| = 0 (4.3)
x→∞ x→∞ cos α x→∞
Edasi paneme tähele, et |MN| võrdub funktsioonide f(x) ja kx + b väärtuste vahega, st
|MN| = f(x) − kx − b.
Seega võrduse (4.3) põhjal
Lim[f(x) − kx − b] = 0 (4.4)
x→∞.
Tuues x sulgude ette saame
Lim x [f(x) − k − b]= 0
x→∞ x x
Selles valemis oleva korrutise x·[f(x)− k – b]
x x
esimene tegur x läheneb lõpmatusele, kuid korrutis ise läheneb nullile. Järelikult peab teine tegur lähenema nullile, st
lim [f(x)− k − b]= 0 .
x→∞ x x
Selles avaldises b→ 0, kui x → ∞. Seega
x
lim [f(x)− k]= 0 ehk lim f(x)− k = 0 ehk k = lim f(x) (4.5)
x→∞ x x→∞ x x→∞ x
Võrdusest (4.4) saame veel
b = lim[f(x) − kx]
x→∞ (Vaadake lk 99)
33. Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks
hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F ′(x) = f(x).
Sõnastada ja tostada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta.
Teoreem 5.1. Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
Tõestus. Olgu F funktsiooni f algfunktsioon hulgas D. Kõigepealt kontrollime kas funktsioonid kujul F+C, kus C on konstant, on tõepoolest f algfunktsioonid hulgas D. Kuna F′(x) = f(x) iga x kuulub D korral, siis
[F(x) + C]′= F′(x) + C′= F′(x) = f(x) iga x ∈ D korral, mis näitab, et suvaline funktsioon F + C, kus C on konstant, on tõesti f algfunktsioon hulgas D.
Tõestame nüüd teoreemi väite: f-i kõik algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F +C. Selleks oletame vastuväiteliselt, et f-l leidub algfunktsioon G, mis ei avaldu kujul F +C. Arvutame G ja F vahe tuletise. Kuna G ja F on ühe ja sama funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D, siis saame
(G(x) − F(x))′ = G′(x) − F′(x) = f(x) − f(x) = 0 iga x kuulub D korral.
Nulltuletist omab aga ainult konstantne funktsioon. Seega G − F = C, kus C on mingi konstant. Viimasest võrdusest saame seose G = F +C, mis näitab, et G ikkagi avaldub kujul F + C. Jõudsime vastuolule. Teoreem on tõestatud.
Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse ∫ f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt ∫ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant .
Geomeetriline sisu
34. Integraalide tabel
35. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Tuletada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks.
Vaatleme määramata integraali
(5.2)
Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja
vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon
u = φ(x)
ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni φ pöördfunktsiooni
ψ-ga. Seega
x = ψ(u) (5.3)
Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena:
Korrutades seda võrdust du-ga saame
dx = ψ’(u)du (5.4)
Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame
avaldise
Ositi integreerimine. Olgu u = u(x) ja v = v(x) kaks diferentseeruvat funktsiooni. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali avaldise (vt. Diferentsiaali omadus 3 §3.3)
d(uv) = vdu + udv
Integreerime seda avaldist . Saame:
Kuna ∫d(uv) = uv + C integraalide tabeli valemi 1 põhjal, siis
Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid ∫udv ja∫vdu sisaldavad juba määramata konstante . Viies∫vdu võrduseteisele poolele saame
Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime
36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted.
Integraalsumma mõiste.
Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures
a = x0 1 2 n = b.
Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga Δxi , st
Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa:
Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b].
Määratud integraali mõiste.
Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn = max<. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse
Seega definitsiooni kohaselt
37. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem.
Kui F(jõud) on konstantne, siis avaldub töö valemiga
A = F(b − a)
Kui F ei ole konstantne, siis tuleb töö arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on järgmine: jaotame vaadeldava lõigu [a, b] väikesteks osalõikudeks nii, et igal osalõigul on jõud ligikaudselt konstantne. Igal osalõigul arvutame töö eraldi, kasutades selleks ülaltoodud valemit. Seejärel liidame osalõikudel tehtud tööd kokku saades töö tervel lõigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse töö valemi.
Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures
a = x0 1 2 n = b
Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga Δxi , st Δxi = xi−xi−1.
Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi
iga

Summeerides tööd üle osalõikude saame töö ligikaudse avaldise kogu lõigul [a, b]
Valemi (5.17) paremal poolel seisab funktsiooni F integraalsumma lõigul [a, b]. Integraalsumma läheneb määratud integraalile protsessis ϱn → 0. Seega saame ligikaudsest valemist (5.17) piirprotsessis ϱn → 0 järgmise täpse valemi töö jaoks:
38. Määratud integraali geomeetriline sisu.
Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega
y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see
ümbritsetud pideva joonega ).
Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem
pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . .
. . . , xn, kusjuures
a = x0 Fikseerime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Tähistame
Δxi = xi − xi−1 .
Vaatleme osalõigule [xi−1, xi] toetuvat kõvertrapetsi osa ΔSi (joonisel 5.2 on
selle küljed tõmmatud katkendliku joonega). Kui Δxi on väike, siis muutub
pidev funktsioon f osalõigul [xi−1, xi] vähe. Seega võib ta sellel osalõigul lugeda
ligikaudselt võrdseks konstandiga
f(pi) ehk f(x) ≈ f(pi) kui x ∈ [xi−1, xi] . (5.18)
Järelikult on ΔSi ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse
ja aluse korrutisena ΔSi ≈ f(pi)Δxi .
Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad :
f(pi)Δxi . (5.19)
Märgime, et saadud valemi paremal poolel seisab aluseid Δxi ja kõrgusi f(pi)
omavate ristkülikute ühendi (vt joonis 5.3) pindala.
Mida väiksem on Δxi, seda vähem muutub funktsioon f osalõigu [xi−1, xi]
peal, järelikult seda täpsem on valem (5.18). Seega, mida peenem on [a, b]
tükeldus, seda täpsem on ka pindala valem (5.19). Teisest küljest, valemi (5.19)
paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult, kui
pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraalsumma
määratud integraalile
Kokkuvõttes, piirporotsessis ϱn → 0
saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks:
(5.20)
Lõpuks tuleme veel tagasi valemi (5.19) juurde. Nagu nägime, seisab selle
paremal poolel joonisel 5.3 kujutatud ristkülikute ühendi pindala. Valemit
(5.19) saab kasutada määratud integraali
ligikaudseks arvutamiseks.
Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks.
39. Määratud integraali omadused (sh omadused 3 – 6 koos põhjendustega).
Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega
1.∫ ba [f(x) ± g(x)]dx =∫ ba f(x)dx ±∫ ba g(x)dx.
NB! Omadus 1 ei kehti korrutamise ja jagamise korral! See tähendab, et
∫ ba[f(x)g(x)]dx ̸=∫ baf(x)dx ·∫ bag(x)dx ja
∫ ba[f(x) : g(x)]dx ̸=∫ baf(x)dx :∫g(x)dx:
2.
∫ ba Cf(x)dx = C∫ ba f(x)dx, C - konstant.
3.
∫ aa f(x)dx = 0,
Põhjendus: kui a = b, siis on läbitud teepikkus võrdne nulliga, seega on
ka töö võrdne nulliga, st ∫ aa F(x) = 0.
4.
Kui a > b, siis ∫ ba f(x)dx = −∫ ab f(x)dx.
Põhjendus. ∫ Jõu F(x) poolt tehtud töö liikumisel punktist a punkti b on ba F(x)dx ning töö liikumisel punktist b punkti a on ∫ ab F(x)dx. Seega,kui materiaalne objekt liigub punktist a punkti b ja sealt tagasi punkti a,on kogu tehtud töö võrdne summaga
∫ ba F(x)dx +∫ ab F(x)dx. Kuid kunasel juhul on kogu läbitud teepikkus võrdne nulliga, kehtib võrdus∫ baF(x)dx +∫ abF(x)dx = 0.
5.
∫ ca f(x)dx =∫ ba f(x)dx +∫ cb f(x)dx.
Põhjendus. Jõu F(x) poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b ning punktist b punkti c on vastavalt ∫ ba F(x)dx ning ∫ cb F(x)dx. Seega, kui objekt liigub punktist a üle punkti b punkti c, on jõu poolt tehtudkogutöö võrdne summaga ∫ baF(x)dx +∫ cbF(x)dx.
6.
Kui a ≤ b ja f1(x) ≤ f2(x) iga x ∈ [a, b] korral, siis ∫ ba f1(x)dx ≤∫ ba f2(x)dx.
Põhjendus. Jõufunktsioonide F1(x) ja F2(x) poolt tehtud tööd liikumisel punktist a punkti b on vastavalt ∫ ba F1(x)dx ja ∫ ba F2(x)dx. Kui F1(x) ≤ F2(x) ja läbitud teepikkus on positiivne, st b > a, siis on jõu F2 poolt
tehtud töö suurem või võrdne jõu F1 poolt tehtud tööst, st ∫ ba F1(x)dx ≤ ∫ ba F2(x)dx.
Integraali keskväärtusteoreem koos tõestusega.

Kui f(x) on pidev lõigul [a, b], siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et
∫ ba f(x)dx = f(c) ∫ badx = f(c) (b − a) .
Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], saavutab ta sellel lõigul oma suurima
ja vähima väärtuse .Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Siis kehtivad iga x ∈ [a, b] korral võrratused m ≤ f(x) ≤ M. Määratud integraali omaduse 6 põhjal
∫ ba mdx ≤∫ baf(x) dx ≤∫ ba M dx.
Kuna m ja M on konstandid, siis omaduse 2 põhjal ∫ ba mdx = m ∫ ba dx ja ∫ ba M dx = M∫ ba dx.
Seega m∫ badx ≤ ∫ ba f(x)dx ≤ M ∫badx.
Jagades suurusega ∫ba dx saame m ≤ ∫ba f(x)dx∫ba dx ≤ M.
Näeme, et arv ∫ ba f(x)dx ∫ ba dx paikneb funktsiooni f(x) suurima ja vähima väärtuse
vahel. Kuna lõigul [a, b] pidev funktsioon f(x) saavutab sellel lõigul iga väärtuse
oma suurima ja vähima väärtuse vahel, siis leidub vähemalt üks punkt c ∈ [a, b] nii, et
f(c) =∫ ba f(x)dx∫ ba dx
Korrutades seda võrdust arvuga ∫ ba dx ja arvestades, et ∫ ba dx = b − a, saame valemi. Teoreem on tõestatud.
40. Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega. Newton -
Leibnitzi valem. Valemi tõestus.
Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist koos tõestusega.
Teoreem 5.3. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon Φ, mis avaldub valemiga
Φ(x) = ∫ xa f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b].
Tõestus. Teoreemi väite tõestamiseks peame näitama, et Φ (x) = f(x) iga x ∈ [a, b] korral.
Olgu x suvaline punkt lõigult [a, b]. Nagu tavaliselt, tähistame sümboliga Δx argumendi x muutu. Kasutades määratud integraali omadust 3 §5.7 arvutame:
Φ(x + Δx) =∫ x+Δx a f(t)dt = ∫ x a f(t)dt + ∫ x+Δx x f(t)dt = Φ(x) + ∫ x+Δx x f(t)dt .
Seega saame funktsiooni Φ muudu jaoks seose ΔΦ = Φ(x + Δx) − Φ(x) = ∫ x+Δx x f(t)dt . (5.22)
Integraali keskväärtusteoreemi põhjal leidub punktide x ja x +Δx vahel punkt c nii, et kehtib võrdus ∫ x+Δx x f(t)dt = f(c)(x + Δx − x) = f(c)Δx . (5.23)
Täpsemalt: Kui Δx > 0, siis leidub integraali keskväärtusteoreemi põhjal lõigul [x; x + Δx]
punkt c nii, et kehtib (5.23). Kui aga Δx punkt c nii, et kehtib ∫ x+Δx x f(t)dt = − ∫ x x+Δx f(t)dt = −f(c)(x − x − Δx) = f(c)Δx; st samuti kehtib (5.23).
Võttes (5.22) ja (5.23) kokku saame seose ΔΦ = f(c)Δx, millest järeldub et ΔΦ/ Δx = f(c) .
Selle võrduse vasakul pool olev jagatis koondub funktsiooni Φ tuletiseks punktis x piirprotsessis Δx → 0. Peale selle, kuna c paikneb x ja x + Δx vahel, siis c → x, kui Δx → 0. Kokkuvõttes saame võrduse Φ′(x) = lim Δx→0 ΔΦ/Δx= lim c→x f(c) = f(x) .
Olemegi tõestanud, et Φ′(x) = f(x) iga x ∈ [a, b] korral ja sellega ka teoreemi väite.
Newton -Leibnitzi valem. Valemi tõestus.
Teoreem 5.4 Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem
∫ba f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x)|ba
Tõestus. Teoreemi eelduse kohaselt on F funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Peale selle, teoreem 5.3 põhjal on ka funktsioon Φ(x) = ∫ x a f(t)dt funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b]. Kuna ühe ja sama funktsiooni kaks algfunktsiooni võivad teineteisest erineda vaid liidetava konstandi võrra (teoreem 5.1), siis kehtib seos ∫ x a f(t)dt = F(x) + C . (5.25)
Järgnevalt leiame konstandi C väärtuse. Selleks paneme avaldises (5.25) muutuja x võrduma a-ga. Saame võrduse∫ aaf(t)dt = F(a) + C , mille vasak pool võrdub nulliga määratud integraali omaduse 1 põhjal. Seega, 0 = F(a) + C, millest tuletame valemi C = −F(a) konstandi C jaoks.
Nüüd saame kirjutada võrduse (5.25) kujul ∫ x af(t)dt = F(x) − F(a) .
Pannes selles avaldises muutuja x võrduma arvuga b, jõuamegi Newton-Leibnitzi
valemini (5.24). Teoreem on tõestatud.
41. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Tuletada ositi
integreerimise valem määratud integraali jaoks.
Ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks
42. Defineerida lõpmatute rajadega päratud integraalid. Sõnastada päratute
integraalide hindamisteoreemid. Defineerida päratud integraalid katkevatest
funktsioonidest.
Hindamisteoreemid
Päratud integraalid katkevatest funktsioonidest
43. Tuletada joonte y=f1(x) ja y=f2(x) vahel asuva kujundi pindala valem.
Pindala arvutamine. Kõvertrapetsi pindala avaldub valemiga.
Vaatleme tasandilist kujundit D, mis on alt piiratud joonega y = f1(x) ja ülalt joonega y = f2(x), kusjuures a ≤ x ≤ b. Meid huvitab D pindala S. Näitame, et S saab esitada
f2 ja f1 vahe integraalina, st
Valemi tõestamiseks nihutame D ülespoole x-telge. Selleks leiame sellise positiivse arvu C, mille korral kehtib võrratus f1(x) + C ≥ 0 ja defineerime funktsioonid
ning +C
Olgu joonte y = g1(x) ja y = g2(x) vahel paiknev kujund. Tänu C sobivale valikule asetseb kujund x-telje peal. Märgime, et juhul kui D asetseb juba x-telje peal, siis ei ole taolist nihutamise operatsiooni vaja teha, st võtame C = 0 ja = D.
Kujundite D ja pindalad on võrdsed. Järelikult tuleb S leidmiseks arvutada
pindala. Kuna jooned y = g1(x) ja y = g2(x) asetsevad ülalpool x-telge, siis võib kujundi pindala arvutada selliselt, et lahutame joone y = g2(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindalast joone
y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala. Kuna valemi
põhjal võrdub y = g2(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga
ning y = g1(x) ja x-telje vahele jääva kõvertrapetsi pindala integraaliga , siis
Lõpuks arvutame
Olemegi tõestanud valemi.
44. Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem
Olgu antud ruumiline keha V , mis paikneb tasandite x = a ja x = b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V -ga. Tuletame valemi V arvutamiseks.
Tekkiva ristlõike pindala sõltub lõiketasandi asukohast, seega on ta muutuja x funktsioon. Tähistame ristlõike pindala S (x) -ga. Eeldame, et S (x) on pidev.
Tükeldame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega
a =


= b.
Valime igal osalõigul [, ] ühe punkti . Tähistame
Δ = -
Vaatleme tasandite x =
ja x =
vahele jäävat keha kihti Δ. Kui Δ on väike, siis muutub ristlõike pindala S (x) osalõigul [, ] vähe ja
me saame ta lugeda ligikaudselt võrdseks S ()-ga, st
S (x) ≈ S () kui x ∈ [, ].
Sellisel juhul on Δ ligikaudselt silinder, mille põhja pindala ja kõrgus on vastavalt S () ja Δ. Seega avaldub Δ ruumala ligikaudselt valemiga
Terve keha ruumala ligikaudse valemi saame summeerides ruumalad:
Mida peenem on lõigu [a, b] jaotus, seda täpsem on ligikaudne võrdus Δ ≈ S ()Δ ning seda täpsem on ka terve keha ruumala valem. Teisest küljest: valemi paremal poolel seisab funktsiooni S integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult
saame pikima osalõigu pikkuse lähenemisel nullile järgmise täpse valemi keha
ruumala jaoks ristlõigete pindalade järgi:
Pöördkeha ruumala
Olgu antud funktsioon f lõigul [a, b]. Eeldame, et f (x) on pidev ja f (x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f (x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit K. Paneme kujundi K pöörlema ümber x-telje. Tulemusena saame pöördkeha V. Keha V lõikamisel x-teljega ristuva tasandiga tekkiv lõige on ring, mille raadius võrdub f (x)-ga (sest kujundi K kõrgus punktis x on f (x)). Seega on ristlõike pindala
ja üldisest keha ruumala valemist saame järgmise valemi V ruumala jaoks:


45. Tuletada joone pikkuse valem
Olgu antud joon võrrandiga y = f (x), kus a ≤ x ≤ b. Tähistame selle joone pikkuse l-ga. Meid huvitab valem l arvutamiseks. Eeldame, et f (x) on diferentseeruv. Jaotame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega
Tähistame
=, .
Vaatleme osalõigu [] kohale jäävat joone osakaart Δ.
Kuna f (x) on eelduse kohaselt diferentseeruv, on vaadeldav joon sile. Sile joon on aga sirgestuv (st suurendamisel muutub ”sirgemaks”). Järelikult on väikese korral osakaar ligikaudselt sirglõik.
pikkuse arvutamisel võib kasutada Pythagorase teoreemi. Tähistades
pikkuse samuti -ga saame
Edasi avaldame selles valemis esineva funktsiooni muudu argumendi muudu kaudu. Selleks sobib kasutada Lagrange’i teoreemi. Nimetatud teoreemi põhjal leidub vahemikus () punkti nii, et kehtib võrdus
f () – f () = f ’ ()( − ) .
Seega
Δ = f ′ ()Δ
ja valemit saab teisendada järgmiselt:
Terve joone ligikaudse pikkuse saame kui summeerime
ligikaudsed pikkused:
Mida väiksem on , seda ” sirgem ” on osakaar
ja järelikult on seda täpsem ka ligikaudne võrdus. Sellest tuleneb, et mida väiksemad on osalõigud, seda täpsem on valem. Teisest küljest, valemi paremal poolel seisab funktsiooni
integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult pikima osalõigu pikkuse
lähenemisel nullile saame järgmise täpse valemi vaadeldava joone pikkuse jaoks: