Matemaatiline analüüs KT2 (1)

20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas
käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu Δx suhtes, kui Δx läheneb
nullile ? Tõestada ei ole vaja.
Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f′(a)≠0.
Valemist näeme, et funktsiooni muut Δy koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f′(a)Δx ja teine on β.
Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis Δx → 0.
Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui Δx ja teine liidetav β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus Δx suhtes. Järelikult väikese Δx korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese Δx korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem
Δy ≈ dy kui Δx ≈ 0 .
21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOONID . Sõnastada Fermat ’ lemma
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
lokaalseteks ekstreemumiteks.
Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0.
22. Sõnastada Rolle’i teoreem (tõestust ei küsi). Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada Lagrange ’i teoreem (tõestust ei küsi). Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu.
Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et
f′(c) = 0.
Geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega .
Lagrange'i teoreem – Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et
Lagrange’i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt. Punktidest A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega
Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t′ oleks joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas punktis, siis sirge t′ tõus on f′(c). Kuna sirged t ja t′ on paralleelsed, siis on nende tõusud omavahel võrdsed, seega
Korrutades b − a-ga saame valemi .
Kokkuvõttes: Lagrange’i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks.
23. Kõrgemat järku tuletiste ja diferentsiaalide definitsioonid (kõrgemat järku
diferentsiaalide valemeid ei küsi).
Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f′ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f′ on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f′ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f′′. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f′′′ jne.
Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n – 1 - järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks.
Kui funktsioonil on olemas kõik tuletised f(n), kus n = 1, 2, 3, . . ., ja neil on lõplikud väärtused, siis nimetatakse seda funktsiooni lõpmata arv kordi diferentseeruvaks.
Kõrgemat järku diferentsiaalid .
dy(x) = f’(x)dx
d2y(x) = f'' (x)dx2
d3y(x)=f''' (x)dx3
Funktsiooni y = f(x) n-järku diferentsiaaliks nimetatakse selle funktsiooni n − 1 - järku diferentsiaali diferentsiaali ja tähistatakse dny . Kehtib valem
dn y(x)=f(n)(x) dxn
24. Funktsiooni Taylori polü noomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?
Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks. Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine:
25. FUNKTSIOONI KASVAMISE JA KAHANEMISE SEOS TULETISE MÄRGIGA (SÕNASTADA VASTAV TEOREEM, TÕESTUST EI KÜSI)
Teoreem : Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited:
1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b).
2. Kui f′(x) 26. FUNKTSIOONI KRIITILISE PUNKTI DEFINITSIOON. LOKAALSE EKSTREEMUMI TARVILIK TINGIMUS. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE PIISAVAD TINGIMUSED
Funktsiooni kriitilisteks punktideks (ehk esimest järku kriitilisteks punktideks) nimetatakse funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub.
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt.
Siinkohal tuleb rõhutada seda, et teoreemile vastupidine väide ei kehti. See tähendab, et igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla ehk funktsioonil võib olla selliseid kriitilisi punkte, kus ekstreemumit ei ole.
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt.
1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
Teoreem: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f′(x1) = 0.
1)Kui f′′(x1) 2)Kui aga f′′(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
27. NÕGUSA JA KUMERA JOONE DEFINITSIOONID. NÕGUSUSE JA KUMERUSE SEOS TEIST JÄRKU TULETISE MÄRGIGA. Joone käänupunkti definitsioon. Käänupunkti tarvilik tingimus. Käänupunkti piisav tingimus.
Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
Teoreem: Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited:
1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b).
2. Kui f′′(x) Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks.
Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt.
Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab. märki, siis on P = (x1, f(x1)) joone y = f(x) käänupunkt.
28. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot. Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x →∞
Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile.
Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi võrrand on x = a.
Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
lim f (x) = −∞ lim f (x)= ∞
x→a− x→a−
lim f(x) = −∞ lim f(x) =∞
x→a+ x →a+
Kaldasümptoot ja horisontaalasümptoot.
Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y=kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b.
29. ALGFUNKTSIOONI DEFINITSIOON. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise kohta (tõestust ei küsi). FUNKTSIOONI MÄÄRAMATA INTEGRAAL ja selle geomeetriline sisu.
Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x kuulub D korral kehtib võrdus F ′(x) = f(x).
Teoreem Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks ja tähistatakse ∫ f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt ∫ f(x)dx = F(x) + C , C − konstant . Algfunktsiooni leidmist nimetatakse integreerimiseks.
Geomeetriline sisu
Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Määramata integraali võib ka tõlgendada kui üheste funtksioonide parve y = F(x) + C, kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda funktsioonide parve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, millel jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil.
30. Integraalide tabel
31. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi integreerimise valem määramata integraali jaoks
Vaatleme määramata integraali
(5.2)
Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõottega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = φ(x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni φ pöördfunktsiooni ψ-ga. Seega
x = ψ(u) (5.3)
Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena:
Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = ψ’(u)du (5.4)
Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise
Ositi integreerimine.
Avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime.
32. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted.
Integraalsumma mõiste.
Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 1 2 n = b.
Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga Δxi , st
Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa:
Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b].
Määratud integraali mõiste.
Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn = max<. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt , et pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse
Seega definitsiooni kohaselt
Integraali osad kannavad järgmisi nimetusi: a – integraali alumine raja, b – integraali ülemine raja, [a,b] – integreerimislõik, x – integreerimismuutuja, f – integreeritav funktsioon, f(x)dx – integraalialune avaldis.
33. Töö arvutamine sirgjoonelisel liikumisel muutuvas jõuväljas. Tuletada vastav valem.
Kui F(jõud) on konstantne , siis avaldub töö valemiga A = F(b − a).
Kui F ei ole konstantne, siis tuleb töö arvutamisel kasutada integreerimist. Idee on järgmine: jaotame vaadeldava lõigu [a, b] väikesteks osalõikudeks nii, et igal osalõigul on jõud ligikaudselt konstantne. Igal osalõigul arvutame töö eraldi, kasutades selleks ülaltoodud valemit. Seejärel liidame osalõikudel tehtud tööd kokku saades töö tervel lõigul [a, b]. Niiviisi saame ligikaudse töö valemi.
34. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine.
Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega ).
Tähistame selle kujundi pindala sümboliga S. Meie eesmärk on tuletada valem pindala S jaoks. Selleks jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 Fikseerime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Tähistame Δxi = xi − xi−1 .
Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad :
Saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks:
Oma geomeetrilise sisu tõttu nimetatakse seda valemit ristkülikvalemiks.
35. Määratud integraali omadused
36. Teoreem muutuva ü lemise rajaga integraalist ilma tõestuseta. NEWTON- LEIBNITZI VALEM
Teoreem muutuva ülemise rajaga integraalist
Teoreem: Kui f on pidev lõigul [a, b], siis funktsioon Φ, mis avaldub valemiga Φ(x) = ∫ xa f(t)dt, on funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b].
Newton-Leibnitzi valem.
Teoreem: Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem
∫ba f(x)dx = F(b) − F(a) =: F(x)|ba
37. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi integreerimise valem määratud integraali jaoks
Ositi integreerimise valem:
38. Üks määratud integraali rakendus omal valikul, koos tõestusega
Tõestada keha ruumala valem ristlõigete pindalade kaudu ja tuletada sellest pöördkeha ruumala valem
Olgu antud ruumiline keha V , mis paikneb tasandite x = a ja x = b vahel. Tähistame selle keha ruumala samuti V -ga. Tuletame valemi V arvutamiseks. Tekkiva ristlõike pindala sõltub lõiketasandi asukohast, seega on ta muutuja x funktsioon. Tähistame ristlõike pindala S (x) -ga. Eeldame, et S (x) on pidev.
Tükeldame lõigu [a, b] osalõikudeks punktidega
a =


= b.
Valime igal osalõigul [, ] ühe punkti . Tähistame Δ = -
Vaatleme tasandite x =
ja x =
vahele jäävat keha kihti Δ. Kui Δ on väike, siis muutub ristlõike pindala S (x) osalõigul [, ] vähe ja me saame ta lugeda ligikaudselt võrdseks S ()-ga, st
S (x) ≈ S () kui x ∈ [, ].
Sellisel juhul on Δ ligikaudselt silinder, mille põhja pindala ja kõrgus on vastavalt S () ja Δ. Seega avaldub Δ ruumala ligikaudselt valemiga
Terve keha ruumala ligikaudse valemi saame summeerides ruumalad:
Mida peenem on lõigu [a, b] jaotus, seda täpsem on ligikaudne võrdus Δ ≈ S ()Δ ning seda täpsem on ka terve keha ruumala valem. Teisest küljest: valemi paremal poolel seisab funktsiooni S integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult saame pikima osalõigu pikkuse lähenemisel nullile järgmise täpse valemi keha
ruumala jaoks ristlõigete pindalade järgi:
Pöördkeha ruumala
Olgu antud funktsioon f lõigul [a, b]. Eeldame, et f (x) on pidev ja f (x) ≥ 0. Vaatleme joontega y = f (x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit K. Paneme kujundi K pöörlema ümber x-telje. Tulemusena saame pöördkeha V. Keha V lõikamisel x-teljega ristuva tasandiga tekkiv lõige on ring, mille raadius võrdub f (x)-ga (sest kujundi K kõrgus punktis x on f (x)). Seega on ristlõike pindala
ja üldisest keha ruumala valemist saame järgmise valemi V ruumala jaoks: