Matemaatiline analüüs (0)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs 1

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes kui x läheneb nullile?
Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?

Lõik failist

Matemaatiline analüüs
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad
diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile ? (tõestada!).
Loetleda diferentsiaali omadused.
Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb
nullile? (tõestada!).
funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x
ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid
suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 põhjal saame
lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0.
∆x→0         ∆x→0                     ∆x→0
Teiseks kehtib
lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0.
∆x→0        ∆x→0                   ∆x→0
Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui
∆x ja teine liidetav β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus ∆x suhtes. Järelikult
väikese ∆x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu
võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x
korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem
∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0.
Loetleda diferentsiaali omadused.
1. d(u + v) = du + dv,
2. d(u − v) = du − dv,
3. d(uv) = vdu + udv,
4. d(Cu) = Cdu, C − konstant,
5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v  0.
24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid . Sõnastada ja tõestada Fermat ’
lemma.
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²);
2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²);
2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks
ekstreemumiteks.
Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma.
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles
punktis, siis f’(x1) = 0.

Lae alla, et näha rohkem ▪ ▪ ▪

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 18 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2016-12-03 Kuupäev, millal dokument üles laeti

14 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

jaauna Õppematerjali autor

Vastused leiad küsimustele, mis puudutavad teist teooria tööd matemaatilises analüüsis

ekstreemum võrratus diferentsiaal funktsiooni muudu otspunktid funktsioon f

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline analüüs 2 KT

KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja.  ∆y = f’(a)∆x + β  Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liid

Matemaatiline analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs 1

23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et

Matemaatiline analüüs 1

docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs KT2

20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOON

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaos

Matemaatika

Rohkem sarnaseid