Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?

Vastus leiad õppematerjalist: Matemaatiline analüüs

Matemaatiline analüüs (0)

Tallinna Tehnikaülikool - Matemaatika - Matemaatiline analüüs 1

5 VÄGA HEA

Esitatud küsimused

Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes kui x läheneb nullile?
Millal nimetatakse Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?

Matemaatiline analüüs
23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad
diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile ? (tõestada!).
Loetleda diferentsiaali omadused.
Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x
Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb
nullile? (tõestada!).
funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x
ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid
suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a)  0 põhjal saame
lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a)  0.
∆x→0         ∆x→0                     ∆x→0
Teiseks kehtib
lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0.
∆x→0        ∆x→0                   ∆x→0
Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui
∆x ja teine liidetav β on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus ∆x suhtes. Järelikult
väikese ∆x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu
võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme β võib väikese ∆x
korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem
∆y ≈ dy kui ∆x ≈ 0.
Loetleda diferentsiaali omadused.
1. d(u + v) = du + dv,
2. d(u − v) = du − dv,
3. d(uv) = vdu + udv,
4. d(Cu) = Cdu, C − konstant,
5. d(u/ v)= (vdu−udv)/ v2 kui v  0.
24. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid . Sõnastada ja tõestada Fermat ’
lemma.
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²);
2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²);
2. iga x ∈ (x1 − Ɛ²,x1 +Ɛ ²) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks
ekstreemumiteks.
Sõnastada ja tõestada Fermat’ lemma.
Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles
punktis, siis f’(x1) = 0.
Tõestus. Vaatleme juhtu, kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt
lokaalse maksimumi deﬁnitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest
ümbrusest kehtib võrratus
f(x) − f(x1) ≤ 0
Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu
x punktist x1 vasakul. Siis x − x1  0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x −
x1 saame
f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0.
Võtame piirväärtuse:
F’(x1) = lim f(x) − f(x1)/ x − x1 ≤ 0.
              x→x1
Võrratused näitavad, et f’(x1) ≥ 0 ja f’(x1) ≤ 0. See on võimalik vaid siis, kui f’(x1) = 0. Seega
on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka
juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum.
25. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem .
Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust
f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0.
Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse
sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul
[a,b] konstantne , st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis
nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a,b) korral.
Edasi vaatleme juhtu, kui M  m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada
kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame kõigepealt , et mõlemad absoluutsed
ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M
ja teises otspunktis m ning võrratusest M  m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on
erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni väärtused lõigu otspunktides on võrdsed (vt
tingimus f(a) = f(b) teoreemi sõnastuses!). Tekib vastuolu. Järelikult ei olnud oletus, et
mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu ots- punktides a ja b, ˜oige.
Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või
vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a,b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga.
Kuna vahemikus (a,b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum,
omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal
diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat’ lemma põhjal saame f’(c) = 0. Teoreem on
tõestatud.
Rolle’i teoreemi geomeetriline sisu.
Teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graaﬁk sile joon, mille otspunktid A = (a,f(a)) ja B =
(b,f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub
vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni
graaﬁku puutuja on paralleelne x- teljega .
Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem.
Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a,b] pidevad , vahemikus (a,b) diferentseeruvad ja iga x ∈
(a,b) korral kehtib võrratus g’(x)  0, siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et
f(b) − f(a) /g(b) − g(a)=f’(c)/ g’(c)
Tõestus. Deﬁneerime järgmise funktsiooni:
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) −
×(𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑎))
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
Arvutame:
F(a) = f(a) – (f(b)−f(a)/ g(b)−g(a))* (g(a) − g(a)) = f(a),
F(b) = f(b) − f(b)−f(a)/ g(b)−g(a) *(g(b) − g(a)) = f(b) − (f(b) − f(a)) = f(a).
Seega F(a) = F(b). ühtlasi on F(x) pidev lõigul [a,b] ja diferentseeruv vahemikus (a,b). Järelikult
rahuldab F(x) Rolle’i teoreemi eeldusi. Rolle’i teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,b)
vähemalt üks punkt c nii, et F’(c) = 0. Valemist leiame funktsiooni F(x) tuletise: F’(x) = f’(x) −
f(b) − f(a) /g(b) − g(a) *g’(x).
Seega
F’(c) = f’(c) − f(b) − f(a)/ g(b) − g(a)*g’(c) = 0.
Siit järeldub, et
F’(c) = f(b) − f(a)/ g(b) − g(a)*g’(c).
Jagades suurusega g’(c), mis eelduse tõttu erineb nullist, saame valemi. Teoreem on
tõestatud.
Sõnastada ja tõestada Lagrange ’i teoreem.
Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev ja vahemikus (a,b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus
(a,b) vähemalt üks punkt c nii, et
f(b) − f(a) = f’(c)(b − a).
Tõestus. Lagrange’i teoreem on Cauchy teoreemi erijuht. Tõepoolest , võttes Cauchy
teoreemis g(x) = x saame g(b) = b, g(a) = a, g’(c) = 1 ja järeldubki (3.26).
Lagrange’i teoreemi geomeetriline sisu.
Lagrange’i teoreem väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone
puutujaks.
26. Sõnastada ja tõestada l’ Hospitali reegel  0/ 0  tüüpi määramatuse korral.
Olgu funktsioonid f ja g diferentseeruvad punkti a mingis ümbruses, kusjuures g’(x)  0 iga x
korral sellest ümbrusest. Peale selle, olgu
f(a) = g(a) = 0.
Kui eksisteerib piirväärtus lim x→a f’(x) /g’(x), siis eksisteerib ka piirväärtus lim x→a f(x)/ g(x)
ja kehtib valem lim x→a f(x)/ g(x)= lim x→a f’(x)/ g’(x)
Tõestus. Valime suvalise punkti x  a teoreemi sõnastuses mainitud arvu a ümbrusest. Tekib
kaks võimalust:
1. x > a. Siis Cauchy teoreemi põhjal leidub vahemikus (a,x) punkt c nii, et
f(x) − f(a) /g(x) − g(a)=f’(c) /g’(c)
2. x  0 iga x ∈ (a,b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a,b).
2. Kui f’(x) 0 iga x ∈ (a,b) korral. Valime vahemikus (a,b) kaks suvalist
punkti x1 ja x2 nii et x1

.PDF Laadi alla originaalfail 18 lk · .pdf · 17 allalaadimist

50 punkti Autor soovib selle materjali allalaadimise eest saada 50 punkti.

~ 18 lehte Lehekülgede arv dokumendis

2016-12-03 Kuupäev, millal dokument üles laeti

17 laadimist Kokku alla laetud

0 arvamust Teiste kasutajate poolt lisatud kommentaarid

jaauna Õppematerjali autor

Vastused leiad küsimustele, mis puudutavad teist teooria tööd matemaatilises analüüsis

ekstreemum võrratus diferentsiaal funktsiooni muudu otspunktid funktsioon f

Sarnased õppematerjalid

docx

Matemaatiline analüüs 2 KT

KT 2, MAT. ANALÜÜS 18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja.  ∆y = f’(a)∆x + β  Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. 19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat’ lemma (tõestust ei küsi). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ); 2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs KT2 vastused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 kasutades mõisteid: x = x - a - argumendi muut kohal a y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . Näitasime, et Seega kui tähistame ja f'(a) vahe järgmiselt : Kehtib võrdus Püüame avaldada funktsiooni muutu y argumendi muudu x kaudu. Selleks avaldame kõigepealt võrdusest suhte ja korrutame saadud avaldise x-ga. Saame valemi Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Võrdleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f(a) 0 põhjal saame : Teiseks kehtib valem : Näeme, et esimene liid

Matemaatiline analüüs i

docx

Matemaatiline analüüs 1

23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis. x = x - a - argumendi muut kohal a Tuletamine. Arvutame lim(x0)?sinx/x?. Elementaarfunktsioon sinx/x ei ole x = 0 korral määratud (tekib määramatus y = f(x) - f(a) - funktsiooni muut kohal a . 0/0). Piirväärtuse arvutamisel kasutame l'Hospitali reeglit: Näitasime, et

Matemaatiline analüüs 1

docx

Matemaatiline analüüs 1, teine teooriatöö kordamisküsimused

23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y ' =f ( a ) +r ( x ) x Korrutame saadud avaldise x-ga ja saame y=f ' ( a ) x+ , kus =r ( x ) x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (Tõestada) ' lim f ( a ) x dy lim r ( x ) x =¿ x o = lim f ' ( a )=f ' ( a ) 0 x x x o lim = x o = lim r ( x ) =0 lim ¿ x o x x x o x o Loetleda diferentsiaali omadused 1. d (u +v )=

Matemaatika

docx

Matemaatiline analüüs l.

Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks nimetatakse suva

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatika analüüsi II Kontrolltöö

Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suurus ja kõrgemat

Matemaatiline analüüs 2

docx

Matemaatiline analüüs KT2

20. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Tõestada ei ole vaja. Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f (a)0. Valemist näeme, et funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f(a)x ja teine on . Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis x 0. Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on kõrgemat järku lõpmatult kahanev suurus x suhtes. Järelikult väikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seetõttu võime lugeda diferentsiaali dy funktsiooni muudu peaosaks. Jääkliikme võib väikese x korral funktsiooni muudu avaldises ära jätta. Kehtib ligikaudne valem y dy kui x 0 . 21. FUNKTSIOONI LOKAALSETE EKSTREEMUMITE DEFINITSIOON

Matemaatiline analüüs

docx

Matemaatiline analüüs I 2. teooria KT vastused

TÕESTUSED, TULETUSKÄIGUD, PÕHJENDUSED!!! 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana y = f'(a)x + , kus = r(x)x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f'(a)x ja teine on . M~olemad liidetavad on l~opmatult kahanevad protsessis x 0. V~ordleme neid suurusi x suhtes. Esiteks, eelduse f'(a) 0 p~ohjal saame lim dy x= lim f'(a)/x* x= lim f'(a) = f(a) 0. x0 x0 x0 Teiseks kehtib lim / x = lim r(x)x /x = lim r(x) = 0. x0 x0 x0 N¨aeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama j¨arku l~opmatult kahanev suurus kui x ja teine liidetav on k~orgemat j¨arku l~opmatult kahanev suurus x suhtes. J¨arelikult v¨aikese x korral hakkab diferentsiaal funktsiooni muudu avaldises domineerima. Seet~ottu v~oime lugeda diferentsiaali dy funkt- siooni muudu peaos

Matemaatika

Rohkem sarnaseid