Õpitöö oli suuline ja kestis 5 aastat. Kõik oli salajane. Seal õppis ka tema naine. Tema teoreemi tõestas arvatavasti hoopis tema naine. Pytharoras avastas ka, et maailm on kerakujuline. Pytharoras leidis ka 5 elemendi: eetri. 4 elementi on tuli, vesi, maa ja õhk. Peale tema surma lagunes ka kool. Täisnurksel kolmnurgal on 2 kaatetit ja 1 hüpotenuus. Kaatetid a;b, hüpotenuus c. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. (Ringile teotub nurk ja diameetriks on hüpotenuus) Sellel teoreemil on 150 tõestust. Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusile konstrueeritud ruudu pindala on võrdne kaatetitele konstrueeritud ruutude pindalade summaga. Ehk lihtsamalt: TÄISNURKSE KOLMNURGA KAATETITE RUUTUDE SUMMA ON VÕRDNE HÜPOTENUUSI RUUDUGA. Eeldus: kolmnurk on täisnurkne Väide: aruut+bruut=cruut
Pytharoras Pythagoras elas aastatel 580 eKr 500 eKr.Ta oli Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik, pütagoorlaste koolkonna rajaja.Pythagoras määras helide arvsuhteid monokordi abil.Pythagoras oli antiikolümpiamängude kahekordne rusikavõitluse võitja.Ta ema oli Pythais Samoselt ja isa Mnesarchos, foiniikia kaupmees Tüürosest. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane.Teoreem ise täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summa võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga oli tuntud juba ammu enne teda babüloonia ja egiptuse matemaatikas. Ta oli arvatavasti Pherekydese õpilane ja sai mõjutusi Anaximandroselt. Ta lahkus Samoselt, sest talle oli vastuvõetamatu türann Polykratese valitsus, ning reisis tõenäoliselt Egiptuses ja Babüloonias. Püsivamalt elas ta Lõuna-Itaalias Krotonis, ...
(Sk=m*P, P=4a), sest nurk m-i ja H vahel on täisnurkne (m on põhikülje keskpunkti kaugus püramiidi tipust). 0 Pythagorase teoreem: H ruudus+a ruudus=m ruudus. 0 Külgpindala valem on P*m, seega kui hetkel oleks a=4cm, H=3cm, siis m=5cm, sest (4*4)+(3*3)=(5*5), 16+9=25. 0 Ruutjuur 25st on 5 ja seega on külgpindala 5cm*(4a)=5cm*16cm=90 ruutsentimeetrit. 0 Täispindala seega 90+(4 ruudus)=90+16=116 ruutsentimeetrit Kas teadsid seda? Pythagorase teoreemil on lõputult palju täisarvulisi lahendeid, need kõik on arvude 3, 4 ja 5 korrutamisel ühe ja sama arvuga saadud arvud, näiteks 6, 8 ja 10 või 33, 44 ja 55. Loodan, et aitas!
kolmnurga külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24. Pythagorase teoreem - täisnurkses kolmnurgas kaatetite (a ja b) ruutude summa võrdub hüpotenuusi (c) ruuduga. Sellel teoreemil on kõige rohkem tõestusi maailmas (370). 25. Eukleidese teoreem - Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'
ühes punktis.Kaks lõikuvat sirget määravad ühe tasapinna.Jõuhulk koosneb liidetava jõusüsteemi jõududest,mis kantakse vastavalt suunale ja pikkusele nii,et iga järgneva jõu alguspunkt langeb kokku eelmise jõu lõpuga.Lihtsaim tasapinnaline koonduv jõusüsteem koosneb kolmest jõust. 2.1.Ül lahendus graafanalüütiliselt on trigonomeetria ül.kus kolmnurga kahte külge otsitakse ühe külje ja nurkade järgi.Lahendus põhineb siinus teoreemil, mis ütleb, et kolmnurga külgede ,ja vastasnurkade siinuste suhe on konstant.Ül lahendus lihtsustub, kui õnnestub leida jõukolmnurgaga sarnane kolmnurk konstruktsiooni jooniselt.Graafanalüütilisel lahendusel määratakse sisejõu märgi kindlaks jõuhulknurga ja konstruktsioonijoonise üheaegsel vaatlemisel.Toereaktsiooni märk näitab reaktsiooni jõutegeliku suunda ja joonisel oleva suuna vahekorda.Negatiivne märk tähendab seda, et reaktsiooni suund on vastupidine joonisel esitatule
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne xteljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7. Vasakpoolsel graafikul on ¨uks taoline
külgedest siis ja ainult siis, kui see kolmnurk on täisnurkne. 22. Kolmnurga alus - Kolmnurga aluseks nimetatakse seda kolmnurga külge, mille suhtes kõrgus määratakse. 23. Kolmnurga kõrgus - Kolmnurga kõrgus on alusele selle vastastipust joonestatud ristlõik ning ka selle ristlõigu pikkus. 24. Pythagorase teoreem - täisnurkses kolmnurgas kaatetite (a ja b) ruutude summa võrdub hüpotenuusi (c) ruuduga. Sellel teoreemil on kõige rohkem tõestusi maailmas (370). 25. Eukleidese teoreem - Teoreem väidab, et täisnurkse kolmnurga kaatet on hüpotenuusi ja hüpotenuusil võetud selle kaateti projektsiooni keskmine võrdeline. Tähistame täisnurkse kolmnurga kaatetid tähtedega a ja b ning hüpotenuusi tähega c. Hüpotenuusi aluseks võttes tõmbame kolmnurgale kõrguse. Kõrgusest ühele poole jääb nüüd kaateti a projektsioon mille tähistame a'
Mark 4.00 out of 4.00 Question text Mis asjaolul põhineb alumiiniumisulamite termotöötluse võimalikkus (karastamine ja vanandamine)? Select one: 1. Kuumutamise käigus muutuvad sulami omadused pinnakihi läheduses - nt. nitriitimine, tsementiitimine 2. Sulamites esineb piiratud lahustuvus, mis erineb suuresti madalal ja kõrgel temperatuuril - nt. toatemperatuuril Cu lahustuvus Al-s max. 0,2% ning 548 oC juures max. 5,7% 3. Termotöötluse võimalikkus põhineb Gaussi teoreemil 4. Õige kuumutustemperatuuri valiku ja jahutusreziimi põhjal on enamus sulameid termotöödeldavad Question 5 Correct Mark 4.00 out of 4.00 Question text Millised on karastatud duralumiiniumisulami omadused ning mikrostruktuur (kõrgele temperatuurile kuumutatud sulam on jahutatud kiirelt)? Abiks õpiku joonis 3.3, lk 194: PS: struktuurides on terad ühesugused (valged, mitte helesinised). Select one or more: 1. tugevus väheneb, plastus kasvab 2
vanandamine)? Vali üks: 1. Õige kuumutustemperatuuri valiku ja jahutusreziimi põhjal on enamus sulameid termotöödeldavad 2. Sulamites esineb piiratud lahustuvus, mis erineb suuresti madalal ja kõrgel temperatuuril - nt. toatemperatuuril Cu lahustuvus Al-s max. 0,2% ning 548 oC juures max. 5,7% 3. Kuumutamise käigus muutuvad sulami omadused pinnakihi läheduses - nt. nitriitimine, tsementiitimine 4. Termotöötluse võimalikkus põhineb Gaussi teoreemil Tagasiside Õige vastus on: Sulamites esineb piiratud lahustuvus, mis erineb suuresti madalal ja kõrgel temperatuuril - nt. toatemperatuuril Cu lahustuvus Al-s max. 0,2% ning 548 oC juures max. 5,7% . Küsimus 5 Õige Hinne 4,00 / 4,00 Küsimuse tekst Millised on karastatud duralumiiniumisulami omadused ning mikrostruktuur (kõrgele temperatuurile kuumutatud sulam on jahutatud kiirelt)? Abiks õpiku joonis 3.3, lk 194: PS: struktuurides on terad ühesugused (valged, mitte helesinised).
vaadeldavad piirprotsessis lõpmata suureks suuruseks, kui lim (x)=+
Lss (lõpmata suur suurus) omadus:
(x) (x+) lss (x+) , kui iga kuitahes suure L korral leidub selline arv N,
et | (x)|> L alati kui x > N
4) Milline on y=f(x) graafik lõigul (a;b), kui
Kui funktsioon y=f(x) on lõigul (a;b) pidev ja omadab selle otspunktides erinevate märkidega
väärtused, siis leidub punktide a ja b vahel vähemalt üks punkt x=c, milles funktsioon
omandab väärtuse null f(c) = 0
Sellel teoreemil on geomeetriline sisu: Pideva funktsiooni graafik, mis ühendab punkte M1(a;
f(a)) ja M2(b;f(b)), kus f(a) < 0 ja f(b) > b lõikab x telge vähemalt ühes punktis.
5) Defineerida logax
Logaritmfunktsioon: y=logax (0
Funktsiooni f(x) ühepoolsed tuletised aga märgime vastavalt f'(a+) ja f'(a-), ehk f'(a+)= ning f'(a-)= . 27*(Diferentseeruvuse ja pidevuse seos. Näidata, et mingis punktis diferentseeruv funktsioon on pidev selles punktis) Funktsiooni diferentseeruvuse ja pidevuse vahel kehtib järgmine seos: Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev. Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f'(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f''(x)= (-1)(1+x)-2| x=0 =(-1)*1=-1 ; f'''(x)=(-1)(-2)(1+x)-3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2 ; f''''(x)= (-1)(-2)(-3)(1+x)-4| x=0 =(-1)*(-2)*(-3)*1=-6 ; fx(x)=(-1)k-1 (k-1)! k JNE.
31. Panna kirja viies järeldus süsteemi liikumishulga teoreemist, milles võrreldakse süsteemi masskeskme liikumise teoreemi ja liikumishulga teoreemi. 32. Mis määrab ära süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse? süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse määrab ära süsteemi välisjõudude peavektor 33. Millal on süsteemi liikumishulk võrdne nulliga? Kui süsteemi masskeskme kiirus on võrdne nulliga K=mvc 34. Mis ühist on süsteemi liikumishulga teoreemil ja masskeskme liikumise teoreemil? Sisuliselt sama eri vormid. Vt järeldus 5 35. Mida iseloomustab keha inertsmoment antud telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Kas see saab olla ka negatiivne? Keha massijaotust vaadeldava telje suhtes. Skalaarne. Mittenegatiivne. 36. Milleks on vaja inertsmomente? Kas translatoorse liikumise uurimiseks, või pöördliikumise uurimiseks, või mõlema uurimiseks, või mitte kummagi uurimiseks?
D(x) ⇒ f(x) ∈ C(x). Väga edukalt on Diferentseeruvuse ja pidevuse seost võimalik tõestada ka Lagrange teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f’(x)= (1+x)-1| x=0 =1 ; f’’(x)= (-1)(1+x) -2| x=0 =(- 1)*1=-1 ; f’’’(x)=(-1)(-2)(1+x) -3 | x=0 =(-1)*(-2)*1=2 ; f’’’’(x)= (-1)(-2)(-3)(1+x) -4| x=0 =(- 14
et sündmuse tekkimise jaoks kõik ajahetked on samaväärsed. Kasutatakse töökindlustehnikas, teenindussüsteemides. Jaotuse kirjeldamiseks kasutatakse tavaliselt ühe parameetriga mudelit, kus parameeter on sündmuste voo intensiivsusena/sagedusena. 3) Normaaljaotus: Normaaljaotus on domineerivalt kõige olulisem jaotus (nimetatakse ka Gaussi jaotuseks). Tekkemehhanism on esmajoones seotud keskse piirteoreemiga tõenäosusteoorias. Sellel teoreemil on tingimuste poolest veidi erinevaid variante, ent üldistatult võib öelda, et suvalise ühtmoodi jaotunud sõltumatute juhuslike suuruste summa või keskväärtuse jaotus läheneb liidetavate arvu kasvades normaaljaotusele. Kokkuvõtvalt võib seega öelda, et normaaljaotuse teke on väga sagedane ning seotud esmajoones juhuslike suuruste mõju liitumisega (sh süsteemitehnikas nt summaatoritega või lineaarsete süsteemidega, kvaliteeditehnikas hajuvuse nn jõemudeliga, metroloogias
6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte äärmise taseme viirutatud piirkonnas määravad miinimum- ja maksimumpunkti. II meetod põhineb lubatavate lahendite hulga 3. teoreemil, et ülesande min ja max saavutatakse mingite lubatavate lahendihulkade tipus. LP ülesandes on alati kolm võimalus 1) optimaalne lahend eksisteerib 2) sihifunktsioon on tõkestamata zmax= lõpmatus 3) lahend puudub. kitsendused vastuoluline 7. Kaks näidet LP ülesande kohta 1. Dieediülesanne: leib juust päevanorm 1. a11=1 a12=2 b1=3kcal 2. a21=1 a22=4 b2=4 ühik valku hind: c1=6 c2=21 Koostada selline menu, mille summa maks zàmin
masskeskme liikumise teoreemi ja liikumishulga teoreemi. Süsteemi masskeskme liikumise teoreem ja liikumishulga teoreem on ühe ja sama sisu kaks eri vormi. 211. Millega võrdub süsteemi liikumishulga muutumise kiirus? 212. Mis määrab ära süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse? 213. Millal on süsteemi liikumishulk võrdne nulliga? 214. Mis ühist on süsteemi liikumishulga teoreemil ja masskeskme liikumise teoreemil? 215. Mida iseloomustab keha inertsmoment antud telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Kas see saab olla ka negatiivne? Inertsmoment iseloomustab massijaotust selle telje suhtes. S.o. skalaarne suurus. Ei saa olla negatiivne. 216. Milleks on vaja üldse inertsmomente? On vaja inertsi mõõduks pöörlemisel ümber vaadeldava telje. 217. Mida nimetatakse süsteemi inertsmomendiks mingi telje suhtes? Valem.
masskeskme liikumise teoreemi ja liikumishulga teoreemi. Süsteemi masskeskme liikumise teoreem ja liikumishulga teoreem on ühe ja sama sisu kaks eri vormi. 211. Millega võrdub süsteemi liikumishulga muutumise kiirus? 212. Mis määrab ära süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse? 213. Millal on süsteemi liikumishulk võrdne nulliga? 214. Mis ühist on süsteemi liikumishulga teoreemil ja masskeskme liikumise teoreemil? 215. Mida iseloomustab keha inertsmoment antud telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Kas see saab olla ka negatiivne? Inertsmoment iseloomustab massijaotust selle telje suhtes. S.o. skalaarne suurus. Ei saa olla negatiivne. 216. Milleks on vaja üldse inertsmomente? On vaja inertsi mõõduks pöörlemisel ümber vaadeldava telje. 217. Mida nimetatakse süsteemi inertsmomendiks mingi telje suhtes? Valem.
y=f(x) tuletiseks argumendi x järgi nimetatakse funktsiooni muudu ja =¿ teoreemil baseerudes: f(x)= ln(1+x) |x=0 =ln 1 =e0 ; f’(x)= 1+ x argumendi muudu ∆x suhte piirväärtust, kui viimane läheneb nullile. Seega
Süsteemi liikumishulga muutumise kiiruse määrab ära süsteemile mõjuvate välisjõudude dK summa. =Fe dt 226. Millal on süsteemi liikumishulk võrdne nulliga? Süstemi liikumishulk on võrdne nulliga kui süsteemi kiirus on null. 29 227. Mis ühist on süsteemi liikumishulga teoreemil ja masskeskme liikumise teoreemil? Need on ühe ja sama sisu 2 eri vormi. 228. Mida iseloomustab keha inertsmoment antud telje suhtes? Kas see on skalaarne või vektoriaalne suurus? Kas see saab olla ka negatiivne? Keha inertsimoment mingi telje suhtes on skalaarne korrutis mis on võrdne keha kõigi punktide massi ja nende teljest arvatuna kauguste ruutude korrutiste summaga. See iseloomustab keha massijaotust telje suhtes ja on inertsi mõõduks pöörlemisel. Ei saa
Funktsioon f(x) peab vähemalt ühe oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x-teljega. Teoreem 3.5 (Cauchy teoreem). Kui funktsioonid f ja g on lõigul [a, b] pidevad, vahemikus (a, b)
Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. puutuja tõus väheneb. Kospekti joonisel (lk 93) 4.4 vasakpoolsel graafikul on kujutatud nõgusat joont. Liikudes Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) vasakult paremale joone puutuja tõus suureneb ja seega joon kaardub ülespoole. Parempoolsel on kujutatatud kumerat graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et joont. Liikudes vasakult paremale joone puutuja tõus väheneb ja joon kaardub allapoole.
Alampuu pügamine ja taasühendamine – katkestakse üks haru ning hakatakse seda paigutama erinevatele servadele ning valitakse parima skooriga puu. Puu kaheks jagamine ja taasühendamine – puu mingi serv katkestatakse, tekib kaks puud, mida hakatakse erinevaid servasid pidi ühendama ning valitakse parim. 40. Iseloomustage Bayesi meetodit ja selle kasutamist fülogeneetikas. Bayesi teoreemil põhinev statistiline tööriist, mis võimaldab varasemast teadaolevat infot kombineerida uute hüpoteesidega. Püüab hinnata puu tõenäosust, võttes arvesse eelteadmisi puu kohta. Bayesi meetod võimaldab lisaks DNA järjestusest saadud infole kasutada ka järjestusest sõltumatut infot. Kui on lisateavet, saab mõnele puule anda suurema aprioorse tõenäosuse, kui ei saavad kõik võrdse aprioorse tõenäosuse. Ehk Bayesi valemit
B – ellipsit e on vaja kasutada kärpimisjoonena joonte m ja s kärpimiseks; C – kuna põhimuutuja EDGEMODE=1, siis toimub kärpimine nii, hagu oleks ellips terviklik, seega on kärpimisjoonteks nüüd ellipsi allesjäänud osa e ja tema “mõtteline osa” n (ruudukesed – objektivalik “punkt joonel”) Eukleidese geomeetriast on meil viiendast klassist uduselt meelde jäänud, et “ ... igal teoreemil on oma pöörd-teoreem...” ja see tõsiasi kehtib ka arvutijoonestamise kohta. Käsule TRIM vastupidist toimet omavad käsud EXTEND [EX] ja LENGTHEN. Neist esimene töötab samuti piirjoontega, kuna teine muude vahenditega. * * * Ülesanne 2 Tihend 83 VIEWRES
ekstreemumitest (kas suurima või vähima väärtuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. Tähistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv absoluutne ekstreemum on ühtlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste põhjal diferentseeruv punktis c. Järelikult, Fermat' lemma põhjal saame f(c) = 0. Teoreem on tõestatud. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne xteljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7. Vasakpoolsel graafikul on üks taoline
Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f (c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on j¨argmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f (x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨ aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) v¨ahemalt u ¨ks punkt c, mille kor- ral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7
Funktsioon f (x) peab v¨ahemalt u ¨he oma absoluutsetest ekstreemumitest (kas suurima v~oi v¨ahima v¨a¨artuse) saavutama vahemikus (a, b) asuvas punktis. T¨ahistame selle punkti c-ga. Kuna vahemikus (a, b) asuv ab- soluutne ekstreemum on u ¨htlasi ka lokaalne ekstreemum, omab funktsioon f lokaalset ekstreemumit punktis c. Peale selle on f teoreemi eelduste p~ohjal diferentseeruv punktis c. J¨arelikult, Fermat' lemma p~ohjal saame f (c) = 0. Teoreem on t~oestatud. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on j¨argmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f (x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f (a)) ja B = (b, f (b)) asuvad x-telje suhtes samal k~orgusel. Teoreem v¨aidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) v¨ahemalt u ¨ks punkt c, mille kor- ral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x- teljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7
(3.10) koonduvate jadade omadust 2.5 rakendades, et f (c) = lim f (ak ) 6 0 ja f (c) = lim f (bk ) > 0, k→∞ k→∞ niisiis f (c) = 0. Tõestatud teoreemi geomeetriline tähendus selgub järgmisest väitest. Järeldus 3.12 Kui lõigus pideva funktsiooni graafiku otspunktid asuvad teine teisel pool x-telge, siis graafik lõikab x-telge vähemalt ühes punktis. Teoreemil 3.11 on ka rakenduslik väärtus, teda saab kasutada võrrandi lahendi olemasolu tõestamisel ja ka ligikaudse lahendi leidmisel. Näide 3.3. Vaatleme n-astme algebralist võrrandit f (x) := a0 xn + a1 xn−1 + . . .+ an = 0, eeldame, et n on paaritu arv. Kirjutades funktsiooni f ümber kujul a1 a2 an f (x) = xn a0 + + 2 + ...+ n , x x x
annaabi.ee 
