Vähendatud programmi teooria 2 (6)

Matemaatiline analüüs I
(Vähendatud programmi teooria vastused)
Lokaalse ekstreemumi mõiste.
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ¨umbruses (x1 − ϵ, x1 + ϵ);
2. iga x ∈ (x1 − ϵ, x1 + ϵ) korral kehtib v˜orratus f(x) ≥ f(x1).
Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni
lokaalseteks ekstreemumiteks.
Fermat ' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne
ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f′(x1) = 0.
Rolle'i teoreem . Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f′(c) = 0.
Rolle’i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt
teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid
A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem
väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne x teljega .
Teoreemi illustreerib joonis 3.7. Vasakpoolsel graafikul on ¨uks taoline
punkt c, parempoolsel graafikul aga kaks punkti c1 ja c2.
Lagrange 'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev ja
vahemikus (a, b) diferentseeruv, siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt
c nii, et
f(b) − f(a) = f´(c)(b − a) .
Lagrange’i teoreemi geomeetrilist sisu vaatleme jooniselt 3.8. Punktidest
A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) läbi tõmmatud lõikaja t tõus võrdub suhtega
Viime paralleellükkega sirge t uude asendisse nii, et saadud uus sirge t′ oleks
joone y = f(x) puutuja. Tähistame puutepunkti x-koordinaadi c-ga. Kuna
funktsiooni graafiku puutuja tõus võrdub funktsiooni tuletisega vaadeldavas
punktis, siis sirge t′ tõus on f′(c). Kuna sirged t ja t′ on paralleelsed, siis
on nende tõusud omavahel võrdsed, seega
Korrutades b − a-ga saame valemi (3.26). Kokkuvõttes: Lagrange’i teoreem
väidab, et sileda joone lõikaja saab paralleellükkega viia selle joone puutujaks.
Kõrgemat järku tuletised . Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas
D. Siis on tema tuletis f′ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f′ on
samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f′ tuletise
ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f′′. Seda protseduuri võib
jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni
kolmanda tuletise f′′′ jne.
Taylori polünomi valem. f(x) funktsiooni lineaarset lähendit punkti x = a ümbruses, mis avaldub valemiga
Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori poüunoomi ka McLaurini polünoomiks.
Seega on funktsiooni f(x) McLaurini polünoom järgmine:
TEOREEM- Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga
Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad
järgmised väited:

Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b).

Kui f′(x) Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik
tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks (täpsemini: esimest järku kriitilisteks punktideks).
Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt.
Funktsiooni lokaalsete eksteemumite piisavad tingimused:
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus I. Olgu x1 funktsiooni
f kriitiline punkt.
1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub
plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f′(x1) = 0.
Kui f′′(x1) Kui aga f′′(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy-teljestikus. Eeldame, et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks, et joonel y = f(x) oleks igas
punktis puutuja.
Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone
puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes
vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga
Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b).
Siis kehtivad järgmised väited:
1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b).
2. Kui f′′(x) Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,
nimetatakse selle joone käänupunktiks.
Asümptoodi mõiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget
l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti
eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile .
Punkt eemaldub lõpmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide alguspunktist
kasvab piiramatult.
Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged. Asümptoodi
võrrand on x = a.
Millistel tingimustel on sirge a=x joone y=f(x) vertikaalasümptoot?
Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib
vähemalt üks järgmistest piirväärtustest:
limx→a− f(x) = −∞, limx→a− f(x) = ∞,
limx→a+f(x) = −∞ või limx→a+f(x) = ∞.
Kaldasümptoodid. Need on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi
erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on
sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b.
Valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate jaoks piirprotsessis x→∞
Kui y = kx+b on joone y = f(x) asümptoot protsessis x → ∞, siis k ja b avalduvad valemitega
Algfunktsiooni mõiste. Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F ′(x) = f(x).
TEOREEM- algfunktsioonide üldavaldise kohta
Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
Määramata integraali mõiste. Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist
F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks
ja tähistatakse∫f(x)dx. Seega definitsiooni kohaselt
∫f(x)dx = F(x) + C , C – konstant
Geomeetriline sisu
Määramata integraal ei ole ühene funktsioon. Iga x korral on tal lõpmatult
palju erinevaid väärtusi, mis sõltuvad valitud konstandist C. Teisest küljest võib
määramata integraali tõlgendada kui üheste funktsioonide parve y = F(x)+C,
kus konstandi C igale väärtusele vastab üks ühene funktsioon. Kujutades seda
funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve,
mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil.
Asendusvõte. Vaatleme määramata integraali
∫f(x)dx .
Integraali (5.2) avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja
vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon
u = φ(x)
ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi.
Eeldame, et φ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni φ pöördfunktsiooni ψ-ga. Seega
x = ψ(u)
Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx
du = ψ′(u).
Korrutades seda võrdust du-ga saame
dx = ψ′(u)du .
Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b].
Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures
a = x0 1 2 = b.
Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn = max<. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt , et pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
Määratud integraali geomeetriline sisu.
Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) ≥ 0. Vaatleme joontega
y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see
ümbritsetud pideva joonega ).
Kõvertrapetsi pindala leidmise valem.
Newton- Leibnitzi valem. Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon l~oigul [a, b], siis kehtib valem: