võrdust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Saame avaldise ∫ f ( x) dx = ∫ f [ψ (u)]ψ ’(u) du . ∫ udv=uv −∫ vdu 29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i- nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi, st ∆xi = xi – xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 n + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = ∑ f ( pi ) ∆x1 i=1 Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn = max{∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks
Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S
O-ga saame Q O O. Kasutades eelnevaid valemeid saame avaldise 5 5 0Q O 1Q O O. Ositi integreerimis valem: 5 O T OT 5T O 29) Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Olgu antud funktsioon , mis on pidev lõigul 0 , 1. Jaotame lõigu 0 , 1 osalõiguks punktidega U, , , ... , , kusjuures U " " "" . Tähistame järjekorras B-nda osalõigu pikkuse sümboliga J , st J J JW . Valime igal osalõigul 0 JW , J 1 ühe punkti XJ . Moodustame summa Y X X X Z XJ J J[ Seda summat nimetatakse funktsiooni integraalsummaks lõigul 0 , 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st max_ , , ... , `. Muudame
määramata konstante. Viiesvdu võrduseteisele poolele saame Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste.Tähistame pikima osalõigu pikkuse
4) Kasutades valemeid (5.3) ja (5.4) asendame x ja dx integraali (5.2) all. Saame avaldise Ositi integreerimine. Avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 32. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga xi , st Valime igal osalõigul [xi-1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa: Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus.
kus n on positiivne täisarv ja a on reaalarvuline konstant. Samuti saab seda võtet kasutades leida integraale arkusfunktsioonidest. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi , st ∆xi = xi − xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi ] ühe punkti pi . Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = Xn i=1 f(pi)∆xi Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga %n, st %n = max{∆x1, ∆x2, . . . , ∆xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus %n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal
iii. Integreerime seda avaldist b.iv. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) b.v. Viies võrduse teisele poolele saamegi 14. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. a. Funktsiooni f integraalsumma lõigul : b. Määratud integraal: b.i. Definitsioon 1: b.i.1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga b.i.2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. b.i.3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. b.ii. Definitsioon 2: Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b],
Paneme kirja funktsiooni tuletise diferentsiaalide jagatisena: dx du = (u). Korrutades seda võrdust du-ga saame dx = (u)du . Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn = b. Määratud integraali mõiste. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Määratud integraali geomeetriline sisu. Olgu funktsioon f pidev lõigul [a, b]. Eeldame, et f(x) 0. Vaatleme joontega y = f(x), x = a, x = b ja y = 0 piiratud kõvertrapetsit (joonisel 5.2 on see ümbritsetud pideva joonega).
x 0 2. Arvutan integraal Simpsoni valemiga. Lahendus: Kontrollimiseks arvutan täpse väärtuse Newton-Leibnizi valemiga 1 1 e dx e | 1,718. x x 0 0 Edasi jaotan lõigu [0, 1] neljaks osaks ehk n=4, siis ühe osalõigu pikkus 1 0 h 0,25 4 ja jaotuspunktideks on punktid x0=0, x1=0,25, x2=0,5, x3=0,75 ja x4=1. Seega Simpsoni valemi järgi: 1 1 0 0 1 1 0 e dx 3 4 e e 4(e e ) 2e 12 1 2,718 4(1,284 2,117) 2 1,649 1,718. x 0, 25 0, 75 0,5
ehk f(x) ≈ f(pi) kui x [ , ] . (5.18) Järelikult on Si ligikaudselt ristkülik ja tema pindala avaldub ligikaudu kõrguse ja aluse korrutisena: Si ≈ f(pi) . Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad: ∑ . (5.19) Seda valemit saab kasutada määratud integraali ∫ ligikaudseks arvutamiseks. Mida väiksem on xi, seda vähem muutub funktsioon f osalõigu [ , ] peal, järelikult seda täpsem on valem (5.18). Mida peenem on [a, b] tükeldus, seda täpsem on ka pindala valem (5.19). Piirporotsessis ϱn → 0 saame ligikaudsest valemist (5.19) järgmise täpse valemi pindala jaoks: ∫ (5.20) Lebesgue’i teoreem Funktsioon f on lõigul [a;b] Riemanni mõttes integreeruv parajasti siis, kui ta on tõkestatud lõigul [a;b] ja pidev peaaegu kõikjal st katkev hulgal, mille Lebesgue mõõt on null.
Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, ses mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante. Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted a. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega , kusjuures Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga , st Valime igal osalõigul [] ühe punkti . Moodustame summa Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a,b] b. Määratud integraali mõiste Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga , st . Muudame lõigu [a,b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a,b], siis on integraalsummal taolises piirprotsessis lõplik
Määratud integraali mõiste Vastavalt joonisele 1, jaotame funktsioon y=f ( x ) lõigu [a ; b] vabalt valitud viisil n - osalõiguks punktidega x 1 , x 2 , x 3 , … x n−1 , seejuures a=x 0< x 1 <…< x k−1 < x k < x k+1 <…< x n =b . Selliselt tekkinud osalõigud on [ x k−1 ; x k ], kus k =1,2, 3,... , n ning nende osalõikude hulka nimetatakse lõigu [a ; b] tükelduseks. (I. Tammeraid) Tähistame k -osalõigu pikkuse järgnevalt ∆ x k =x k −x k −1 . Järgnevalt igalt osalõigult valime vabalt ühe punkti ξ k ∈ [ x k−1 ; x k ] , kus k =1,2, 3,... , n , ning moodustame korrutised f (ξ k ) ∆ x k . (L. Pallas) Liites sellised korrutised omavahel saame funktsiooni y=f ( x ) integraalsumma lõigul [a ;b] : n S abBA =∑ f ( ξ k ) ∆ x k . k =1 Saadud summat nimetatakse ka Riemanni summaks. (H
· Valides vastava i väärtuse, võib ju iga jaotusvariandi puhul koostada erinevad integraalsummad: n S n= i =1 f( )xi i · Nii saab moodustada osajaotustest ja ka vastavatest integraalsummadest korrastatud jadasid · Vaatame üht osajaotuste jada, kus iga jaotuse puhul läheneb osalõikude arv n lõpmatusele ja seega kõige pikema osalõigu pikkus (max x) läheneb nullile. Võtame igas osalõigus suvalise i väärtuse. Nii saame koostada ühe konkreetse integraalsumma. Võttes ette järgmise jaotusvariandi ja iga osajaotuse kohta taas suuruse i, saame teise arvutada teise integraalsumma ja sedaviisi saame praktiliselt lõputu hulga integraalsummasid, millest saab kokku panna integraalsummade jada.
integraalid sisaldavad juba määramata konstante. udv=uv - vdu Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted. Funktsiooni integraalsumma Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a,b]. Jaotame lõigu osalõiguks punktidega x 0 , x 1 , x 2 , ... x n , kusjuures a=x 0< x 1 < x 2< ...< x n=b Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga x i , st x i=x i-x i-1 Valime igal osalõigul [ x i-1 ; x i ] ühe punkti pi . Moodustame summa n S n=f ( p 1 ) x1 + f ( p 2 ) x2 +...+ f ( pn ) x n= f ( pi ) x i Seda summat nimetatakse funktsiooni f i=1 integraalsummaks lõigul [a,b] Määratud integraali mõiste
6. Asendame x ja dx integraali all saame Ositi integreerimise valem Olgu ja kaks diferentseeruvat funktsiooni. 1. Paneme kirja nende korrutise diferentsiaali 2. Integreerime seda avaldist 3. Kuna , siis (konstandi C võib valemist välja jätta sest mõlemad määramata integraalid sisaldavad juba määramata konstante) 4. Viies võrduse teisele poolele saamegi 36. See summa on funktsiooni integraalsumma lõigul Määratud integraal 1. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga 2. Muudame [a,b] tükeldust järjest peenemaks nii, et pikima osalõigu pikkus läheneb nullile. 3. Kui f on pidev lõigul [a,b] siis integraalsummal on taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Või Olgu reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatatud funktsioon lõigus [a,b], siis määratud integraal On arvuliselt võrdne xy-tasandil funktsiooni graafiku x-telje ning vertikaalsete sirgetega ja piiratud kujundi märgiga pindalaga. S
mille korral a2k 2 1 k cos t a2x2 - k 2 = 2 2 - k2 = k 2 -1 = . a sin t sin t sin t 42. Määratud integraali mõiste: Määratud integraali mõoiste. Tähistame pikima osalõigu [xi-1; xi] pikkuse sümboliga n, st n = max{x1; x2; ... ; xn}. Muudame lõigu [a; b] tükeldust järjest peenemaks selliselt et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a; b] siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirv. Seda piirv nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a; b] ja tähistatakse: ab f(x)dx 43. Määratud integraali omadusi: esimesed kaks ongi definitsioonid mis laiendavad määratud integraali juhule a b. 1
Mida väiksem on xi, seda vähem muutub algfunktsioon sellel lõigul, siis () = () - () = () Tõestus: Kuna funktsioon f osalõigu [-1 , ] peal, järelikult seda täpsem on valem (5.18). Mida fC[a; b], siis G´(x) = f (x), seega G on f mingi algfunktsioon ja iga f algfunktsioon F on peenem on [a, b] tükeldus, seda täpsem on ka pindala valem (5.19).
Tõestus Oletame, et c asub lõigul [a ; b] . Jaotame selle lõigu osalõikudeks valides esmaseks jaotuspunktiks c . Seejärel jätkates lõigu [a ;b] jaotamist tekivad lõikudel [a ; c] ja [c ; b] omakorda osalõigud. Integraalsumma kogu lõigu [a ; b] ulatuses on ∑ f ( ξ k ) ∆ x k= ∑ f ( ξ k ) ∆ x k + ∑ f ( ξ k ) ∆ x k . [a ;b ] [a ; c] [c ;b] Kui lõigul [a ; b] suurima osalõigu pikkus λ → 0 , siis mõlemal tekkinud lõigul suurimate osalõikude pikkused lähenevad nullile. Seega, kui mõlemale poole rakendada piirväärtust λ → 0 , saame esialgse väite. Omadus 6. Kui funktsiooni f ( x) vähim väärtus lõigul [a ; b] on m ja sama funktsiooni suurim väärtus lõigul [a ; b] on M , siis kehtib b m(b−a)≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M ( b−a ) . a Tõestus
Tähistus. Geomeetriline tähendus. Kõvertrapetsi pindala leidmine: Vaatleme lõigus [a, b] pidevat funktsiooni y = f(x), kusjuures eeldame, et f(x) ≥ 0. Lähendame kõvertrapetsi pindala ristkülikute pindalade summaga. Üldistame: Olgu antud lõigus [a, b] pidev funktsioon f(x). Jaotame lõigu [a, b] punktidega x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < b = xn n osaks, kus osalõikude pikkused tähistame ∆xi = xi − xi−1. Valime igas osalõigus punkti x∗i (selleks punktiks võib olla osalõigu vasakpoolne otspunkt, parempoolne otspunkt, maksimum või miinimumpunkt või igasugune muu punkt). Vastavale osalõigule ehitatud ristküliku alus on ∆xi ja kõrgus on f(x∗i) ning seega i-nda ristküliku pindala on f(x∗i) ∆x Kogu joonealust pindala saame seega lähendada järgmise ristkülikute pindalade summaga: 𝑓(𝑥1∗ )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2∗ )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛∗ )∆𝑥𝑛 = ∑𝑛𝑖=1 𝑓( (𝑥𝑖∗ )∆𝑥𝑖
kus J x veejoone tasandi WL keskinertsimoment x telje suhtes [m4]; laeva veealune ruumala [m3] . Kui punktist K , s.t. kiilupunktist, mis on ka koordinaattelgede algpunkt, tõmmata ristsirge KN ujuvusjõu vertikaalsirgele, siis püstuvuse õlg GZ moodustub vahest: GZ = KN - KE = KN - KG sin , kus KN -- laeva kuju püstuvuse õlg (KG = 0); KE -- laeva massi püstuvuse õlg (KG = 0). Laeva püstuvuse õla leidmine kahe osalõigu vahest on tingitud sellest, et püstuvuse massiõlg sõltub laeva lastist ja seda saab määrata ainult laeval. 35 3. Laeva püstuvus Kuid püstuvuse nn. "kujuõlad" arvutatakse eelnevalt funktsioonina veeväljasurvetest kreeninurkadele ning koostatakse KN graafikud või KN tabelid ekspluatatsioonis kasutamiseks. Laeva staatilise püstuvuse õlga GZ suurtel kreeninurkadel ei saa määrata valemiga GZ = GMsin
sin2x=1-cos2x b)n=2l+1>0 => sin x cos x cos xdx = t (1 - t ) dt , as t=sinx dt
m 2l n 2 l
=cosxdx c)m=2k>0, n=2l>0 =>sin2x=1/2 (1-cos2x), cos2x=1/2(1+cos2x),
sinxcosx =1/2 sin2x d) m=2k<0, n=2l<0=> [t=tanx]=>dx=dt/1+t 2; cos2x=1/1+t2;
sin2x=t2/1+t2
32.Määratud int mõiste
Antud y=f(x)-pidev lõigul[a;b], konstruktsioon n N-> a=x0
Konstandi C võib sellest valemist välja jätta, sest mõlemad määramata integraalid udv ja vdu sisaldavad juba määramata konstante. Viies vdu võrduse teisele poolele same udv = uv - vdu . (5.6) Saadud avaldis kannab ositi integreerimise valemi nime. 36. Funktsiooni integraalsumma Seda summat nimetatakse funktsiooni f integraalsummaks lõigul [a, b]. ja maaratud integraali moisted. Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga n, st n = max{x1,x2, . . . ,xn}. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt, et pikima osalõigu pikkus n läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus. Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse Wikipediast Olgu f(x) reaalarvulise muutuja x pidev ja tõkestatud funktsioon lõigus [a, b], siis määratud integraal
t. erinevus täpse pindala S ja ligikaudse pindala Sn vahel järjest väheneb. 9.2 Riemann'i summad Definitsioon 9.1 Olgu lõigus [a, b] antud funktsioon y = f (x). Teeme lõigus [a, b] ala- jaotuse n : a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, n N. (9.1) Alajaotus n = {x0 , x1 , . . . , xn } jagab kogu lõigu [a, b] väikesteks osa- lõikudeks [x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn-1 , xn ]. Tähistame iga osalõigu pikkuse xi = xi - xi-1 , i = 1, . . . , n. Rõhutame, et jaotus ei pea olema ühtlane, s.t. osalõikkude pikkused võivad üksteisest erineda. Järgnevalt valime igas osalõigus [xi-1 , xi ] suvaliselt ühe punkti ci [xi-1 , xi ], i = 1, . . . , n. (9.2) Nüüd saame igas osalõigus moodustada ristküliku, mille aluseks on osalõik [xi-1 , xi ] ja kõrguseks on f (ci ). Selliselt moodustatud summat
Projekteerimise alused 73 konstruktsioonidele nagu kõrghooned, korstnad, tornid jne, millel on ligikaudu ühesugune ristlõige ja saledus = h/b > 2 (h - kõrgus, b - laius tuule rist(?)tasandis), määratakse igale osalõigule mõjuv jõud Fwj avaldisega ( ) Fwj = qref ce z j c fj A j cd , (6.2) kus zj - osalõigu raskuskeskme kõrgus maapinnast; cfj - tuulejõu tegur osalõigule (vt. 10. pt.); Aj - osalõigu pindala. (4) Kui konkreetsel juhul ei ole määratud teisiti, eeldatakse, et mittesilindrilisele konstruktsioonile (hoonele) mõjub tuule resultantjõud ekstsentrilisusega b e= , (6.3) 10 kus b - konstruktsiooni (hoone) laius tuule risttasandis - vt
Vaatleme xy-tasandil kujundit aABb, mille määravad kõver AB ning sirged y = 0 (s.o. x-telg), x = a ja x = b. Sellist kujundit nimetatakse kõvertrapetsiks. Selgitada lõigu [a; b] alajaotuse ja selle diameetri mõistet. Olgu n mingi naturaalarv. Jagame lõigu [a, b] suvalisel viisil n osaks punktidega a = x0 < x1 < ··· < xn = b, edaspidi nimetame sellist jaotust lõigu [a, b] alajaotuseks ja märgime T[x 0, . . . , xn] või lühidalt T. Suurima osalõigu pikkust nimetame alajaotuse T diameetriks, seda tähistame sümboliga λ (T), s.t. λ (T) := max {Δxk | k = 1, . . . , n} . Selgitada ideed, kuidas ristküliksummade abil defineerida kõvertrapetsi pindala. 47. Tõkestatud funktsiooni Darboux’ summad ja Darboux’ integral. Integreeruvad funktsioonid (*) Defineerida lõigus [a; b] tõkestatud funktsiooni Darboux' ülem- ja alamsumma lõigu antud alajaotuse T korral. Selgitada nende geomeetrilist tähendust.
ja paneme tähele, et f (1) = −1 ning f (2) = 13. Teoreemi 3.11 põhjal on sel võrrandil vahe- mikus (1, 2) vähemalt üks lahend. Jagame lõigu [1, 2] kümneks võrdseks osaks ja arvutame funktsiooni väärtuse neis jaotuspunktides: f (1,1) = −0,63 . . . ; f (1,2) = −0,12 . . . ; f (1,3) = 0,55 . . . . Seega peab üks lahend paiknema arvude 1,2 ja 1,3 vahel. Jagame nendevahelise lõigu küm- neks võrdseks osaks, ning otsime üles osalõigu, mille otspunktides on funktsioonil f erimär- gilised väärtused: f (1,22) = −0,004 . . . ; f (1,23) = 0,058 . . . . Tähendab, üks lahend paikneb arvude 1,22 ja 1,23 vahel. Me võime fikseerida ligikaudse lahendi täpsusega 0,01. Nii jätkates saame me põhimõtteliselt leida lahendeid suvalise ette- antud täpsusega. Kuigi praktiliseks rakendamiseks on selline meetod ebaefektiivne, näitab ta kätte reaalselt rakendatava võrrandi lahendamise idee.
annaabi.ee 
