Matemaatiline analüüs 2 KT (0)

KT 2, MAT. ANALÜÜS

18. Esitada funktsiooni muut diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas
käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb
nullile ? Tõestada ei ole vaja.

• ∆y = f’(a)∆x + β
  
• Diferentsiaal ja jääkliige on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0.
  

19. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid . Sõnastada Fermat’
lemma (tõestust ei küsi).

• Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum, kui
  1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ);
  2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ) korral kehtib võrratus f(x) ≤ f(x1).
  
• Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui
  
• 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 − ɛ, x1 + ɛ);
  2. iga x ∈ (x1 − ɛ, x1 + ɛ ) korral kehtib võrratus f(x) ≥ f(x1).
  
• Fermat’ lemma - kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f’(x1) = 0.
  

20. Kõrgemat järku tuletiste definitsioonid.
Olgu funktsioon y = f(x) diferentseeruv hulgas D. Siis on tema tuletis f’ hulgas D määratud funktsioon. Oletame, et f0 on samuti diferentseeruv hulgas D. Siis saame me arvutada funktsiooni f’ tuletise ehk funktsiooni f teise tuletise, mida tähistatakse f’’. Seda protseduuri võib jätkata. Funktsiooni f teise tuletise diferentseerimisel saame selle funktsiooni kolmanda tuletise f’’’ jne.
Funktsiooni y = f(x) n-järku tuletiseks nimetatakse selle funktsiooni n − 1- järku tuletise tuletist ja tähistatakse f(n). Lõplikku n-järku tuletist omavat funktsiooni nimetatakse n-korda diferentseeruvaks.
21. Funktsiooni Taylori polünoomi valem (tuletada pole vaja). Millal nimetatakse
Taylori polünoomi McLaurini polünoomiks?

• Pn(x) = f(a) + (x-a) + (x-a + (x-a)3 + (x-a)n
  
• Kui a = 0, siis nimetatakse Taylori polünoomi ka McLaurini polünoomiks.
  

22. Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos tuletise märgiga (sõnastada
vastav teoreem , tõestust ei küsi).
Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited :
1. Kui f’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b).
2. Kui f’(x) ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b)
23. Funktsiooni kriitilise punkti definitsioon. Panna kirja lokaalse
ekstreemumi tarvilik tingimus (põhjendust ei küsi). Panna kirja
funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused (põhjendusi ei
küsi).

• Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral tuletis võrdub nulliga või lõplik tuletis puudub, nimetatakse selle funktsiooni kriitilisteks punktideks.
  
• Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt.
  
• Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt.
  1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum.
  
• 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum.
  
• 
  Olgu funktsiooni f kriitiline punkt x1 selline, et f’(x1) = 0.
  Kui f’’(x1) 1 lokaalne maksimum.
  Kui aga f’’(x1) > 0, siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum.
  

24. Nõgusa ja kumera joone definitsioonid. Nõgususe ja kumeruse seos teist
järku tuletise märgiga (sõnastada vastav teoreem ilma tõestuseta). Joone
käänupunkti definitsioon.

• Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer , kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb.
  
• 1. Kui f’’(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b).
  Kui f’’(x) ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b).
  
• Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast,vnimetatakse selle joone käänupunktiks.
  
• 
  

25. Joone asümptoodi definitsioon. Vertikaalasümptoot. Millistel tingimustel on
sirge x = a joone y = f (x) vertikaalasümptoot? Kaldasümptoot ja
horisontaalasümptoot. Esitada valemid kaldasümptoodi võrrandi kordajate
jaoks piirprotsessis x → ∞ (tuletada pole vaja).

• Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile.
  
• Vertikaalasümptoodid on y- teljega paralleelsed sirged .
  
• Sirge x = a on joone y = f(x) asümptoodiks siis ja ainult siis, kui kehtib vähemalt üks järgmistest piirväärtustest: , , või .
  
• Kaldasümptoodid on sirged, mis ei ole paralleelsed y-teljega. Asümptoodi võrrand on y = kx + b, kus k on asümptoodi tõus. Kaldasümptoodi erijuht on horisontaalasümptoot, mis on paralleelne x-teljega. Tõus k on sellisel juhul võrdne nulliga, st asümptoodi võrrand on y = b.
  
• k=
  b=
  

26. Algfunktsiooni definitsioon. Sõnastada teoreem algfunktsioonide üldavaldise
kohta (tõestust ei küsi). Funktsiooni määramata integraal ja selle
geomeetriline sisu.

• Funktsiooni F nimetatakse funktsiooni f algfunktsiooniks hulgas D, kui iga x ∈ D korral kehtib võrdus F’(x) = f(x).
  
• Kui F on funktsiooni f algfunktsioon hulgas D, siis kõik funktsiooni f algfunktsioonid hulgas D avalduvad kujul F + C, kus C on suvaline konstant.
  
• Funktsiooni f algfunktsioonide üldavaldist F(x)+C, kus C on konstant, nimetatakse funktsiooni f määramata integraaliks a tähistatakse . Seega definitsiooni kohaselt = F(x)+C.
  

Geomeetriline sisu. Kujutades seda funktsioonideparve graafiliselt tasandil xy-koordinaadistikus saame joonteparve, mille jooned on üksteisest tuletatavad y-telje sihilise paralleellükke abil.
27. Integraalide tabel. Määramata integraali omadused (ilma tõestusteta).

• = x + C
  

+ C , kus a ≠ -1
= ln
+ C
+ C , kus a>0, a ≠ 1
= - cosx + C
= sinx + C

= tanx + C

= - cotx + C

= arctan + C

= arcsin
+ C

• 
  , kus a on konstant
  Kui = F + C ja a,b on konstandid, siis = F(ax+b) + C
  

28. Kirjeldada asendusvõtet määramata integraali avaldamisel. Esitada ositi
integreerimise valem määramata integraali jaoks (tuletada pole vaja).

• Vaatleme määramata integraali . Integraali avaldamisel asendusvõttega tehakse selle integraali all muutuja vahetus. Selleks valitakse mingi funktsioon u = ϕ(x) ja integreerimine muutuja x järgi asendatakse integreerimisega muutuja u järgi Eeldame, et ϕ on üksühene ja diferentseeruv. Tähistame funktsiooni ϕ pöördfunktsiooni ψ-ga. Seega x = ψ(u). Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: = ψ’(u). Korrutades seda võrdust du-ga saame
  
• dx = ψ’(u)du . Saame avaldise =
  
• 
  

29. Funktsiooni integraalsumma ja määratud integraali mõisted.

• Integraalsumma mõiste. Olgu antud funktsioon f, mis on pidev lõigul [a, b]. Jaotame lõigu [a, b] n osalõiguks punktidega x0, x1, x2, . . . , xn, kusjuures a = x0 1 2 n = b. Tähistame järjekorras i-nda osalõigu pikkuse sümboliga ∆xi, st ∆xi = xi – xi−1. Valime igal osalõigul [xi−1, xi] ühe punkti pi. Moodustame summa Sn = f(p1)∆x1 + f(p2)∆x2 + . . . + f(pn)∆xn = ∆x1
  
• Tähistame pikima osalõigu pikkuse sümboliga ϱn, st ϱn<. Muudame lõigu [a, b] tükeldust järjest peenemaks selliselt , et pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile. Kui f on pidev lõigul [a, b], siis on integraalsummal Sn taolises piirprotsessis lõplik piirväärtus . Seda piirväärtust nimetatakse funktsiooni f määratud integraaliks lõigul [a, b] ja tähistatakse . Seega definitsooni kohaselt = .
  

30. Määratud integraali geomeetriline sisu: kõvertrapetsi pindala leidmine.
Esitada vastav valem ilma tuletamata.

• Terve kõvertrapetsi ligikaudse pindala valemi saame, kui summeerime osapiirkondade pindalad : S ≈ . Märgime, et saadud valemi paremal poolel seisab aluseid ∆xi ja kõrgusi f(pi) omavate ristkülikute ühendi pindala. Mida väiksem on ∆xi, seda vähem muutub funktsioon f osalõigu [xi-i, xi] peal, järelikult seda täpsem on valem. Seega, mida peenem on [a, b] tükeldus , seda täpsem on ka pindala valem. Teisest küljest, valemi paremal poolel on funktsiooni f integraalsumma lõigul [a, b]. Järelikult, kui pikima osalõigu pikkus ϱn läheneb nullile, siis läheneb nimetatud integraalsumma määratud integraalile . Kokkuvõttes, piirprotsessis ϱn → 0 saame ligikaudsest valemist järgmise täpse valemi pindala jaoks: S=.
  

31. Määratud integraali omadused (ilma põhjendusteta).

• ∓ g(x)]dx = ∓
  
• = C , C – konstant
  
• = 0
  
• = -
  
• =
  
• Kui a ≤ b ja f1(x) ≤ f2(x) iga x ∈ [a, b] korral, siis ≤
  

32. Newton -Leibnitzi valem ilma tõestuseta.
Kui F on pideva funktsiooni f algfunktsioon lõigul [a, b], siis kehtib valem = F(b) – F(a) = F(x)
33. Kirjeldada asendusvõtet määratud integraali arvutamisel. Esitada ositi
integreerimise valem määratud integraali jaoks (tuletada pole vaja).

• Vaatleme m¨a¨aratud integraali . Teeme integraali all asenduse valides uueks muutujaks u, mis s˜oltub x-st j¨argmisel viisil: u = ϕ(x). Eeldame, et ϕ on ¨uks¨uhene ja diferentseeruv. T¨ahistame ϕ p¨o¨ordfunktsiooni ψ-ga. Siis x = ψ(u). Paneme kirja funktsiooni ψ tuletise diferentsiaalide jagatisena: = ψ’(u). Korrutades seda v˜ordust du-ga saame dx = ψ’(u)du . Kasutades valemeid neid valemeid saame integraali all suurused x ja dx asendada vastavate u-st s˜oltuvate suurustega. Erinevalt m¨a¨aramata integraalist, tuleb m¨a¨aratud integraali korral lisaks suurustele x ja dx asendada ka integreerimisl˜oik koos rajadega. Uus integreerimisl˜oik koosneb funktsiooni u = ϕ(x) v¨a¨artustest, mis on saadud argumendi x varieerimisel ¨ule kogu esialgse integreerimisl˜oigu [a, b]. Uhtlasi on uue integraali alumine raja v˜ordne ¨ u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele a ja ¨ulemine raja on v˜ordne u v¨a¨artusega, mis vastab muutuja x v¨a¨artusele b. Seega on uue integraali alumine raja ϕ(a) ja ulemine raja ϕ(b). Kokkuv˜ottes saame j¨argmise valemi:
  

•