Teoreem: Kolmnurga küljed on võrdelised vastasnurkade siinustega.Kehtivad võrdused: . Eeldus: On antud ABC, küljed a,b,c ja küljed ,,. Väide: =2R Tõestus: 1)Avaldame ABC pindala kolmel erineval viisil: Sabc=absin ; Sabc=bcsin ; Sabc=acsin Pindala väärtus valitud valemist ei olene : Sabc=absin = Sabc=bcsin ?= Sabc=acsin |: Absin=bcsin=acsin | : abc = Kui arvud on võrdes on võrdsed ka nende pöördarvud: 2) Näitan, et = 2R 1. Joonestan tipust C diameetr CD=d=2R 2. Ühendan punktid B ja A 3. D=A= 4. Saan DBC=90kraadi 3)ABC: sin= ja saan 2R= (võrde välisliikmeid võib vahetada)
Pythagorase teoreem Täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi ruut on võrdne kaatetite ruutude summaga. Esmalt tõestame seda nii nagu tegi Eukleides oma raamatus "Elemendid." Vastavlalt Eukleidese teoreemile on ja Liites need kokku saame, et Kellele võib olla see sarnaste kolmnurkade ja teise teoreemi kaudu tõestamine ei sobi, siis all on ka natuke teistsugune tõestus. Olgu meil antud ruut küljepikkusega . Selle ruudu pindala avaldub kujul . Konstrueerime ruudu A+B sisse veel ühe ruudu külepikkusega C. Selle ruudu pindala avaldub siis kujul . Avaldame nüüd selle ruudu pindala läbi ruudu A+B pindala ehk , kus on täisnurkse kolmnurga pindala. Lahti kirjutatult saame siis, et
1. Pythagorase teoreem Pythagorase teoreemi sõnastus: täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. c²=a²+b² 1.1 Pythagorase ''püksid'' Pythagorase teoreemi väljendavas võrduses võib vaadelda suurusi a², b², c² kui selliste ruutude pindalasid, mille kylgedeks on a, b ja c. Seoses sellega võib pythagorase teoreemi sõnastada ka järgmiselt: täisnurkse kolmnurga kaatetitele joonestatud ruutude pindala summa on võrdne hüpotenuusile joonestatud ruudu pindalaga. 1.2 Kasutamine 1.2.1 Täisnurkne kolmnurk c²=a²+b² c= a2+b2 a²=c²-b² a= c ²-b ² b²=c²-a² b= c ²-a ² 1.2.2 Ruut d²=a²+a²=2a² d= 2 a2 a²+a²=d² 2a²=d² | :2 2 a²= d 2 a= d 2 2 1.2.3 Ristkülik d²=a²+b² d= a2+b2 b²=d²-a² b= d ²-a² a²=d²-b² a=
Ülesanne Laualamp laseb valgust pastaka peale, mis seisab topsis. Kui kõrge on tops, kui teame, et tops on pool pastaka kõrgusest ja pastaka vari on 12 cm ning pastakas on sarnane teise pliiatsiga tema kõrval, mille vari on 8 cm ja pikkus 6 cm. Leian kesklõigu: 12 : 8 = 1,5 Korrutame kesklõigu pliiatsi kõrgusega, et leida pastaka kõrguse: 1,5 x 6 = 9 (cm) Kuna teama, et topsi kõrgus on pool pastaka kõrgusest , siis võima arvutada: 9 : 2 = 4,5 (cm) Vastus: Pastakatopsi kõrguseks on 4,5 sentimeetrit.
Ko*g 4),t2qt N 45824 ANI", L;Ju, v,(r) = ,? fnn=40 K& a(r)-.t Yh{- 2. t(g }trr: 2.t4g I,,= 0r44n l:0145h (: o,4d r!' U= 0rl 5* otr Fvx,gnrurwrvAfts (orrio^.1 [,*].t'.. &^rya f-" t.,.' T:T" ' = IV AlrItt) dd$'- .f''''nJ" ->-To=o #-r^ 041-^^fl ["*-*]' %aw ]"9-']- ]-%" ^***"4 .t l...
Pythagorase teoreem Autor: Maris Rannaveer Juhendaja: Ivi Madison Pythagoras Pythagoras (umbes 580 eKr - 500 eKr) oli vanakreeka filosoof ja matemaatik, pütagoorlaste koolkonna rajaja. Ta oli esimene idealistlik Kreeka filosoof. Sündis saarel nimega Samos. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane. Teoreem ise täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summa võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga oli tuntud juba ammu enne teda Babüloonia ja Egiptuse matemaatikas. Näited Click to edit Master text styles Second level Third level Fourth level Fifth level
Korrapärase nelinurkse püramiidi täispindala Pythagorase teoreemi abil Alustuseks selgitan mis asi üldse on Pythagorase teoreem: Pythagorase teoreemi põhimõte kehtib vaid täisnurkse kolmnurga juhul. Sõnastus on lihtne: hüpotenuus võrdub kaatetite ruutude summa ruutjuurega, seega hüpotenuusi ruut võrdub kaatetite ruutude summaga (a ruudus+b ruudus=c ruudus). Näiteks, kui täisnurkse kolmnurga kaatetid (kaks lühemat külge) on 3 ja 4 siis peab hüpotenuus võrduma 5-ga. 0 Vaja on vaid aluskülge ja püramiidi kõrgust. 0 Olgu aluskülg a ja kõrgus H.
funktsioonide (*)-arvutatavus Tallinn 2014 Sissejuhatus Käesolevas referaadis keskendume operaatori abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavusele, need funktsioonid on osaliselt rekursiivsed. Selleks, et uurida selliseid protsesse toome sisse vajalikud mõisted ja definitsioonid ning tõestame lemma, mis tõestab, et (*)-arvutatavatest funktsioonidest operaatori abil saadud funktsioonid on samuti (*)-arvutatavad. Anname ka sellise teoreemi tõestamise idee, mis ütleb, et iga osaliselt rekursiivne funktsioon on Turingi mõttes arvutatav ehk antud juhul (*)-arvutatav. 1. Osaliselt rekursiivsed funktsioonid. Operaatori µ abil saadud funktsioonide (*)-arvutatavus. Enne põhiosa juurde asumist toome sisse mõned vajalikud definitsioonid. Definitsioon 1.1. ([1], 9) Algfunktsioonideks nimetatakse järgmisi naturaalarvulisi funktsioone: Funktsioone nimetatakse valikufunktsioonideks. Definitsioon 1.2
- 2. Defineerimine Defineerimiseks nimetatakse mõiste seletust või küsimusele vastuse andmist. Algmõisteid ei defineerita, me teame selle nende tähendust. Algmõisted on näiteks punktihulk, punkt, sirge, tasand, hulk jne. Mõisteid defineerime algmõistete abil. Definitsiooniks nimetatakse mõiste täpset ja lühidat selgitust. Eristatakse algmõistet (üldtunnust) ja eritunnust. 3. Teoreem Teoreemiks nimetatakse mingi lause tõestust matemaatikas varem tuntud tõdede abil. Teoreemi tõestamist nimetatakse teoreemi tõestuse põhjendamist Aktsioomideks nimetatakse varem teada olevaid tõdesid. Teoreemi eelduseks nimetatakse lauset, mis on antud või on teada. Teoreemi väiteks nimetatakse lauset, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Tähistades teoreemi eeldust tähega p ja väidet tähega q, siis teoreemi üldkuju on p q (lausest p järeldub q) - järeldusmärk 3.Pöördteoreem
Mõistete seletamist lihtsamate ja tuntumate mõistete abil nimetatakse mõiste defineerimiseks ja mõiste seletust nimetatakse definitsiooniks. Mõisteid mida ei ole vaja defineerida ning nende tõesuse üle ei saa vaielda nimetatakse algmõisteteks. Algmõisted on näiteks: punkt, sirge, tasand, ruum jne. Mõitet defineeritakse mõiste eritunnuse kaudu. Näiteks ruudu definitsiooni: ruut on nelinurk, mille kõik nurgad ja küljed on võrdsed eritunnus on nelinurk. 3.teoreem, pöördteoreem, teoreemi eeldus ja väide. Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjandamist nimetatakse tõestamiseks. Näide: Aksioomideks nimetatakse tõdesid, millele tugineb teoreem. Teoreemis esitatud väite õigsust tõestatakse aksioomidest ja varem tõestatud teoreemidest lähtudes. Teoreemi eeldus ütleb mis on antud või teada. Teoreemi väide ütleb, mida on tarvis tõestada. Teoreemi eelduse ja
Hulkade A ja B ühend on a, b, c, d, e ja f. Defineerimine Defineerimine on mõiste lahti seletamine võimalikult täpselt ja lühidalt. Algmõiste Ei defineerita, aga teame. Mõisted Defineerime algmõiste abil. Teoreem Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda lauset teoreemiks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Teoreemi eeldus ja väide Teoreemis saab eristada kaht osa eeldust ja väidet. Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või mis on teada. Väide aga ütleb, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada. Näide. Kui-siis vormis on sõnastatud teoreem kui naturaalarv lõppeb nulliga, siis see arv jagub viiega. Selle teoreemi väide on : see arv jagub viiega. Pöördteoreem
algmõisteteks. Algmõisted näiteks punkt, sirge, tasand, ruum jne. Kas järgmised mõisted on korrektsed? Kolmnurga kõrguseks nimetatakse kolmnurga tipust tõmmatud lõiku. Rööpkülikuks nimetatakse nelinurka, mille vastasküljed on paralleelsed. 3 Teoreem Kui mingi lause tõesust saab põhjendada varem teadaolevate tõdede abil, siis seda lauset nimetatakse teoreemiks. Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse tõestamiseks. Lauseid, mida pole küll keegi tõestanud, kuid mille tõesuses pole põhjust kahelda, nimetatakse aksioomideks. Aksioomi Iga kaht erinevat punkti läbib ainult üks d: sirge. Iga sirglõiku on võimalik lõpmatult 4 pikendada. Teoreemi eeldus ja väide Eelduses pannakse kirja see, mis on teada
Märk V tähendab sidesõna ,, või" 2. DEFINEERIMINE * Defineerimine Küsimusele vastamine on mõistele definitsiooni andmine. * Algmõiste Mõiste alguses olev mõiste. * Definitsioon Annab täpse ja lühikese vastuse küsimusele ,,Mida nim?Mis on...? 3. TEOREEM * Kui mingi lause tõesust saab matemaatikas põhjendada varem teada olevate tõdede abil, siis nimetatakse seda teoreemiks. * Teoreemi tõesuse põhjendamist nimetatakse teoreemi tõestamiseks. * Tõestamist mitte vajavaid lauseid nimetatakse aktsioomideks. * Paralleelide aktsioom Väljaspool sirget olevat punkti läbib ainult üks sirge, mis on paralleelne antud sirgega. * Teoreemis saab eristada kaht osa eeldust ja väidet. Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või mis on teada. Väide aga ütleb, mida saab eeldusest järeldada ehk mida on tarvis tõestada.
Arv jagub 3-ga parajasti siis, kui tema ristsumma jagub 3-ga. Teoreem (võrdsuse tunnus KKK). Kui ühe kolmnurga kolm külge on vastavalt võrdsed teise kolmnurga kolme küljega, siis on need kolmnurgad võrdsed. 10.Teoreemi eeldus - teoreemi osa; ütleb, Ül.605,606 mis on antud või mis on teada; teoreemi Teoreem. Kui nelinurk on rööpkülik, siis üldkuju on p q eeldus on p tema vastasnurgad on võrdsed. Eeldus: nelinurk on rööpkülik NB kasutatakse teoreemi sõnastamisel ja Teoreem. Arv, mille ristsumma jagub 3-ga, tõestamisel jagub ka ise 3-ga.
Üksliikmeks nimetatakse avaldist, kus on kasutatud ainult korrutustehet. 1Mis on hulkliige? Hulkliikmeks nimetatakse üksliikmete summat. 1Mis on tegurdamine? Tegurdamiseks nimetatakse avaldise teisendamist korrutiseks. 1Nimeta tegurdamise võtted 1)Teguri sulgudest välja toomine 2)Korrutise abivalemite kasutamine 3)Rühmitamisvõtte kasutamine 4)Ruutkaksliikme tegurdamine 1Mis on teoreem? Teoreem on lause, mida on vaja tõestada teada olevate tõdede põhjal. 1Mis on teoreemi eeldus? Teoreemi eeldus ütleb, mis on antud või teada. 1Mis on teoreemi väide? Teoreemi väide ütleb, mida saab eeldusest järeldada, ehk mida on vaja tõestada. 1Mis on kolmnurga kesklõik? Tee selgitav joonis. Sõnasta teoreem kolmnurga kesklõigust. Kolmnurga kesklõiguks nimetatakse lõiku, mis ühendab haarade keskpunkte ja on paralleelne kolmanda küljega. Teoreem: Kolmnurga kesklõik on paralleelne kolmnurga ühe küljega ja võrdub poolega sellest küljest.
arvutamiseks). Enne uusaega, mil teadmised hakkasid globaalselt levima, on matemaatika areng kirjalike dokumentide kaudu teada üksnes vähestest kohtadest. Kõige vanemad matemaatikaalased tekstid pärinevad Vana- Egiptuse Keskmisest Riigist (Berliini papüürus, umbes 13. sajand eKr), Mesopotaamiast (kiilkirjatahvel Plimpton 322, umbes 19.18. sajand eKr) ja Vana-Indiast (Sulbasuutrad, umbes 8.6. sajand eKr). Kõik need tekstid puudutavad Pythagorase teoreemi, mis näib olemas üks vanemaid ja levinumaid matemaatika saavutusi pärast aritmeetika ja geomeetria põhialuseid. Esimesed tõendid Vana-Hiina matemaatikast on loendamissümbolid oraakliluudel, mis on dateeritud 14.13. sajandisse eKr. Hani dünastia ajast pärinevad "Meresaare käsiraamat" ja "Üheksa peatükki matemaatikakunstist".On säilinud väga vanu joonistusi, mis annavad tunnistust matemaatika tundmisest ja aja mõõtmisest taevakehade järgi.
a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et . Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse
x x1. Seega tuletise definitsiooni põhjal Järgnevalt olgu x punktist x1 paremal. Siis x - x1 > 0. Jagades võrratuse positiivse arvuga x - x1 saame Võtame piirväärtuse: Võrratused ja näitavad, et f(x1) 0 ja f(x1) 0. See on võimalik vaid siis, kui f(x1) = 0. Seega on lemma tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne miinimum. Analoogiliselt saab käsitleda ka juhtu, kui x1-s on lokaalne miinimum. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus
Pytharoras Pythagoras elas aastatel 580 eKr 500 eKr.Ta oli Vana-Kreeka filosoof ja matemaatik, pütagoorlaste koolkonna rajaja.Pythagoras määras helide arvsuhteid monokordi abil.Pythagoras oli antiikolümpiamängude kahekordne rusikavõitluse võitja.Ta ema oli Pythais Samoselt ja isa Mnesarchos, foiniikia kaupmees Tüürosest. Talle on omistatud Pythagorase teoreemi tõestamine, kuid peetakse tõenäoliseks, et selle teoreemi tõestas tegelikult mõni hilisem pütaagorlane.Teoreem ise täisnurkse kolmnurga kaatetitele ehitatud ruutude pindalade summa võrdub hüpotenuusile ehitatud ruudu pindalaga oli tuntud juba ammu enne teda babüloonia ja egiptuse matemaatikas. Ta oli arvatavasti Pherekydese õpilane ja sai mõjutusi Anaximandroselt. Ta lahkus Samoselt, sest talle oli vastuvõetamatu türann Polykratese valitsus, ning reisis tõenäoliselt Egiptuses ja Babüloonias. Püsivamalt elas ta Lõuna-Itaalias
f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) v¨ahemalt u¨ks punkt c nii, et f'(c) = 0. T~oestus. Kuna f(x) on pidev l~oigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja v¨ahima v¨a¨artuse sellel l~oigul. Olgu M suurim v¨a¨artus ja m v¨ahim v¨a¨artus. Kui M = m, siis on funktsioon l~oigul [a,b] konstantne, st k~oigi x [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f'(x) 0, ja teoreemi v¨aide on t¨aidetud iga c (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon v~oib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas l~oigu [a,b] otspunktis v~oi vahemikus (a,b). Oletame k~oigepealt, et m~olemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse l~oigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v¨a¨artus u¨hes otspunktis M ja teises otspunktis m ning v~orratusest M m tuleneb, et f(x) v¨a¨artused l~oigu otspunktides on erinevad. Kuid me ju eeldasime, et funktsiooni v¨a¨artused l~oigu
oma puutepunktiga lõikudeks 6 cm ja 10 cm alates täisnurga tipust. Lahendus. Teame, et kolmnurga küljed on siseringjoonele puutujateks ning puutuja on risti puutepunkti tõmmatud raadiusega. Samuti on teada, et puutujate lõikepunkt on puutepunktidest võrdsetel kaugustel. Leiame nüüd jooniselt võrdsed lõigud CE = CF = x AF =AD = 6 BE = BD =10. B Kasutame Pythagorase teoreemi. 16 2 x 6 10 x 2 2 16 2 x 2 12 x 36 x 2 20 x 100 10 12 x 20 x 100 256 36 10 8 x 192 : 8 E x 24 Saame kaatetid AB = 10 + 6 =16 (cm), ja
Kontroll: Olgu üks arv 19 ja teine 7 võrra suurem 19+7=26, nende arvude korrutis on 19*26=494. Vastus: Need arvud on 19 ja 26. 1)Leian põranda pindala S=ab S=3,*2,7=8,91 (m²) 2) Leian ruudukujulise plaadi pindala S=a² S=15²=225 (cm²)=0,0225 (m²) 3) Leian mitu ruudukujulist plaati mahub põrandale, kui vahesid pole jäetud 8,91:0,0225=396 (plaati) 4) 90% ON 396 396*100%/90%=440 (plaati) 1) Täisnurkne 2) Arvutan lõigu AB ligikaudse pikkuse 1) Kasutades Pythagorase teoreemi leian külje AC a²+b²=c² c=9²+12²=225=15 2) Kasutades Pythagorase teoreemi leian külje AB ligikaudse pikkuse a=15²-14²=29=5,39 (cm) 3) Leian ACD Pindala S=ab/2 S=9*12/2=54 (cm²) 4) Leian ABC pindala S=ab/2 S=14*5,39/2=37,73 (cm²) 3) Leian nelinurga ligikaudse pindala S=54+37,73=91,7 (cm²)
Negatiivse arvuga jagamine muudab võrratust, Võrratus jääb ka siis kehtima, kui võtta temast piirväärtus piirprotsessis . Seega tuletise definitsiooni põhjal: Võtame -i -st paremalt Ja piirväärtuse Järeldub, et ja Mis tähendab, et see on võimalik ainult siis, kui 3. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Rolle'i teoreem Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f (a) =f (b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt nii, et f`(c)=0. b. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu:
Valime vahemikus (a, b) kaks suvalist punkti x 1 ja x2 nii et x1 < x2. Kui meil õnnestub näidata, et kehtib võrratus f(x1) < f(x2), siis on f kasvav vahemikus (a, b) ning väide 1 ongi tõestatud. märk muutub vastupidiseks, saame Lagrange'i teoreemi põhjal leidub vahemikus (x 1, x2) vähemalt üks punkt c nii, et kehtib võrdus f(x2) - f(x1) = f(c)(x2 - x1) . See võrratus jääb kehtima ka siis, kui me võtame temast piirväärtuse protsessis Selle võrduse paremal poolel olev tuletis f(c) on nullist suurem, kuna me eeldasime f(x) positiivsust vahemikus (a, b).
X− X 1 f ( x ) −f ( X 1) f ' ( x 1 ) = lim ≤ 0. Võrratused näitavad, et f′(x1) ≥ 0 ja f ′(x1) ≤ 0. See on x→x1 X−X 1 võimalik vaid siis, kui f′(x1) = 0. Seega on teoreem tõestatud juhul, kui x1-s on lokaalne maksimum. 5. Sõnastada ja tõestada Rolle’i teoreem. Kirjeldada Rolle’i teoreemi geomeetrilist sisu. Tõestus. Olgu M ja m vastavalt funktsiooni f suurim ja vähim väärtus lõigul [a, b]. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x ∈ [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f tuletis nullfunktsioon, st f′(x) = 0 kõigi x ∈ [a, b] korral, ja teoreemi väide on täidetud suvalise c ∈ (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M > m. Funktsioon võib oma
· Relatsioon on transitiivne, sest kui x3 = y 3 ja y 3 = z 3 , x3 = z 3 , st kui (x, y) R ja (y, z) R, siis ka (x, z) R. Seega see relatsioon on ekvivalents. Materjal õpikus. Lk 9092 (ekvivalentsirelatsioon). Lk 9495, ülesanded 510, 1924. Kontrolltöö lahendused Diskreetsed struktuurid 2. variant Ülesanne 1. Raamat Mittediskreetne matemaatika koosneb 4-st peatükist, igaühes 7 teoreemi. Eksamiülesannete komplekt peab sisaldama 10 teoreemi tõestust, sealjuures igast peatükist vähemalt 2. Mitu võimalust on koostada nendele tingimustele vastav teoreemide tõestustest koosnev eksamikomplekt aines Mittediskreetne matemaatika? Lahendus. Kui komplekt sisaldab 4 teoreemi ühest peatükist ja ülejäänu- test igaühest 2, siis selle peatüki valikuks, millest võetakse 4 teoreemi, on 4 võimalust ja teoreemide endi valikuks 74 võimalust. Kolmest ülejäänud pea-
hulk N. Näide: n = (1, , , ...) Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x1, x2, x3, ... piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim xn = a Tõestus: 9. Lõpmatult kahanevad, lõpmatult kasvavad ja tõkestatud suurused (näited). Kaks olulist teoreemi (näited). Lõpmatult kahanev. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Näide: Lõpmatult kasvav. Muutuvat suurust a nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim = . Näide: Tõkestatud. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Näide: Teoreem1. Suurus a on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Teoreem2
Matemaatika 100 Mis on ruudu pindala valem? S=aa Matemaatika 200 Mis on vastus järgnevale tehtele: 2+2+2+2- 22? Vastus Matemaatika 200 Mis on vastus järgnevale tehtele: 2+2+2+2- 22? 4 Matemaatika 300 Mis on ristküliku pindala valem? Vastus Matemaatika 300 Mis on ristküliku pindala valem? S=ab Matemaatika 400 Mis on Pythagorase teoreemi valem? Vastus Matemaatika 400 Mis on Pythagorase teoreemi valem? a2+b2=c2 Bioloogia 100 Mis loom on pildil? Vastus Bioloogia 100 Mis loom on pildil? Tuhkur Bioloogia 200 Mis bakter on pildil? Vastus Bioloogia 200 Mis bakter on pildil? Kingloom Bioloogia 300 Keda nimetatakse bioloogiks? Vastus Bioloogia 300
I2 = –U10/R2 = –2/1 = –2A I3 = –U30/R3 = –(–0,5)/0,5 = 1A I4 = (U20 – U30)/R4 = (–0,5 – 1)/0,5 = –3A I5 = (U20 – U30 – E5)/R5 = (2–(–0,5) – 5,5)/1 = –4A I5 = (U20 – U10 + E6)/R6 = (1 – 2 + 2)/1 = 1A 3. Koostada elektriahela võimsuste bilanss ∑PRi = I12*R1 + I22*R2 + I32*R1 + I42*R4 + I52*R5 + I62*R6 ∑P = I1*U1 + I2*U2 + I3*U1 + I4*U4 + I5*U5 + I6*U6 4. Arvutada vool I5 ekvivalentse generaatori meetodil a. Norton'i teoreemi põhimõttel: R12 = R1 II R2 = 1*1/(1+1) = 0,5 Ω R1236 = R12 + R3 + R6 = 2 Ω R1236 = R12 +R3 + R6 = 2 Ω R12346 = R1236 II R4 = 0,4 Ω E1 = 3 V; E5 = 5,5 V; E6 = 2 V I11*(R1+R2) + I22*R2 = E1 I22*(R2+R3+R4+R6) + I11*R2 – I33*R4 = E6 I33*(R4) – I22*R4 = E5 IAB = -I33 = -14 A I5 = IAB * R12346 /(R12346 + R5) = -14*0,4/1,4 = -4 A b. Thévenin’i teoreemi põhimõttel: R12 = R1 II R2 = 1*1/(1+1) = 0,5 Ω
f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemalt üks punkt c nii, et f’(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a,b] konstantne, st kõigi x ∈ [a,b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f’(x) ≡ 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c ∈ (a,b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a,b] otspunktis või vahemikus (a,b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) väärtus ühes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M m tuleneb, et f(x) väärtused lõigu otspunktides on erinevad
Üldjuhul koosneb koonduv jõusüsteem rohkematest jõududest. Need võib üle kanda mõjusirgete lõikepunkti ja järjekorras liita jõukolmnurkade abil. Resultant on suunatud esimese jõu algusest viimase lõppu.(joon3). Tasandilise jõusüsteemi korral on resultanti võimalik leida graafiliselt, kujutades jõude valitud mõõtkavas ja seejärel mõõtes resultandi joonisel. Üldjuhul toimub resultandi ja suuna määramine arvutuslikult, kasutades vektoralgebra teoreemi: summavektori projektsioon koordinaatteljel võrdub liidetavate vektorite projektsioonide algebralise summaga. Ruumilise jõusüsteemi korral: Fres x =F1x + F2x + ... Fix (sama ka Fres y ja z) ; resultandi moodul: Fres=F2resx+F2resy+F2resz ja resultandi suunakoosinused: cos =cos(x, Fres) = Fres x / Fres (cos on y ja cos on z) Süsteemi tasakaal Koonduv jõusüsteem on ekvivalentne resultandiga Fres. Seega on keha tasakaaluks tarvilik ja piisav, et Fres=0
Einsteini, Podolsky, Rosen panid esineva mittelokaalsuse kvantmehhaanilise teooria puudulikkuse arvele ning oletasid, et mittelokaalsus on vaid näiline ja seda saab vältida täiendatud teoorias mis sisaldab niinimetatud varjatud lokaalseid parameetreid. /Albert, lk 70/ Einstein üritas sellist teooriat luua kogu oma ülejäänud elu 1955 aastani ning seda üritust jätkavad paljud füüsikud ja filosoofid tänaseni. Mida ütleb Belli teoreem? Milline on Belli teoreemi kehtivus, kas ta kehtib vaid kvantmehaanika kohta või hoopis üldisemalt? 1964 avaldas J.S.Bell (ja tõestas matemaatiliselt) teoreemi, mis sätestab et: „Ükski füüsikaline lokaalmuutujate teooria ei saa kunagi korrata kõiki kvantmehaanika ennustusi eksperimentide tulemuste kohta”. See tähendab, et mittelokaalsus on kvantmehaanika loomulik osa ja seega on vale kas kvantmehaanika või lokaalsuse printsiip looduses. Ning samuti seda, et on võimalik
1 2 x asub punktist x1 paremal. f ( x )-f ( x ) 0 lim f ( x )-f ( x 1 ) x> x1 1 x-x > 0 ' f ( x 1 )= xx 1 0 f ' ( x1) 0 f ' ( x 1 )=0 x-x 1 25.Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a)=f(b), siis leidub vahemikus (a,b) vähemaly üks punkt c nii, et f '(c)=0. Tõestus: Kuna f(x) on pidev lõigul [a,b], siis saavutab ta oma suurima ja väärtuse sellel lõigul
Divergents skalaarne funktsioon koordinaatidest Divergents näitab kuidas elektriväli muutub selle punkti läheduses. Mittehomogeenne väli ( väljatugevus ei ole kõigis punktides ühesugune) muutub iga telje suunas erinevalt. Iga välja punkt on laengu enda punktiks. Juhul kui div E on positiivne, siis nendes välja punktides asuvad välja allikad. Seal kus on negatiivne seal välja neelud. Vektori E jooned saavad alguse allikatest ja suubuvad neeludes. 4. Gaussi teoreemi rakendusi. · Ühtlaselt laetud lõputu tasandi väli. Vaatleme välja, mille tekitab konstantse pindtihedusega laetud lõputu tasand; konkreetsuse mõttes loeme laengu positiivseks. Sümmeetrilisusest järeldub, et väljatugevus on igas välja punktis suunatud tasandiga risti. Tasandi suhtes sümmeetriliselt paiknevates punktides on väljatugevus suuruselt ühesugune ja suunalt vastupidine. Kui me kujutame ette silindrilist pinda, mille moodustajad on risti tasandiga ja
KOONUS Ulvi Klemmer EKL 2kõ Koonus... ... Keha, mille moodustab ühe oma kaateti Täisnurkne ümber kolmnurk pöörlev täisnurkne kolmnurk. Täisnurkne kolmnurk Vaatleme täisnurkset kolmnurka ABC Täisnurkse kolmnurga puhul saame kasutada Pythagorase teoreemi m² = h² +r² Külgpindala B Täispinadala Ruumala A C Kaatet BC on koonuse telg. Hüpotenuus AB on koonuse moodustaja. Pöörleva kolmnurga teine kaatet CA moodustab ringi, mida nimetatakse koonuse põhjaks. Lõik CA on ka kolmnurga raadiuseks. Kolmnurga hüpotenuus moodustab pöörlemisel C A koonuse külgpinna. Punkti
4) Teeme kontrolli ja kirjutame vastuse 17. Millal on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit? Millal on kaks võrdset lahendit? Millal ruutvõrrandil lahendid puuduvad? Kui diskriminant on nullist suurem, siis on ruutvõrrandil 2 erinevat lahendit. Kui diskriminant on nulliga võrdne, siis on ruutvõrrandil 2 võrdset lahendit. Kui diskriminant on nullist väiksem, siis ruutvõrrandil puuduvad lahendid. 18. Viete'i teoreem. Millal võib kasutada Viete'i teoreemi? Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Viete'i teoreemi võib kasutada ainult taandatud ruutvõrrandis.
. . n . (2.1) N¨aiteks hulga N1 abil saab moodustada ainult u ¨he permutatsiooni 1, hulga N2 abil aga kaks permutatsiooni 12 ja 21. Hulga N3 abil saab aga moodus- tada juba kuus permutatsiooni. Need on 123, 231, 312, 213, 321, 132. Teoreem 2.1. Hulga Nn elementidest saab moodustada n! permutat- siooni. T~ oestus. T~oestame teoreemi matemaatilise induktsiooni abil elemen- tide arvu n j¨argi hulgas Nn . Nagu n¨agime n = 1 korral teoreem kehtib. Eespool ¨oeldu p~ohjal ka n = 2 ja n = 3 korral teoreem kehtib, olgugi et matememaatilise induktsiooni l¨abiviimiseks pole seda tarvis teada. Eel- dame, et teoreem kehtib n - 1 korral. Hulga Nn-1 abil saab moodustada (n - 1)! permutatsiooni. Tuleb t~oestada, et hulga Nn abil saab moodus- tada n! permutatsiooni. Jaotame hulga Nn k~oikide permutatsioonide hulga,
. . αn . (2.1) N¨aiteks hulga N1 abil saab moodustada ainult u ¨he permutatsiooni 1, hulga N2 abil aga kaks permutatsiooni 12 ja 21. Hulga N3 abil saab aga moodus- tada juba kuus permutatsiooni. Need on 123, 231, 312, 213, 321, 132. Teoreem 2.1. Hulga Nn elementidest saab moodustada n! permutat- siooni. T˜ oestus. T˜oestame teoreemi matemaatilise induktsiooni abil elemen- tide arvu n j¨argi hulgas Nn . Nagu n¨agime n = 1 korral teoreem kehtib. Eespool ¨oeldu p˜ohjal ka n = 2 ja n = 3 korral teoreem kehtib, olgugi et matememaatilise induktsiooni l¨abiviimiseks pole seda tarvis teada. Eel- dame, et teoreem kehtib n − 1 korral. Hulga Nn−1 abil saab moodustada (n − 1)! permutatsiooni. Tuleb t˜oestada, et hulga Nn abil saab moodus- tada n! permutatsiooni. Jaotame hulga Nn k˜oikide permutatsioonide hulga,
vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Tõestus. Kuna f(x) on pidev lõigul [a, b], siis saavutab ta oma suurima ja vähima väärtuse sellel lõigul. Olgu M suurim väärtus ja m vähim väärtus. Kui M = m, siis on funktsioon lõigul [a, b] konstantne, st kõigi x [a, b] korral kehtib f(x) = M = m. Sellisel juhul on f(x) tuletis nullfunktsioon, st f(x) 0, ja teoreemi väide on täidetud iga c (a, b) korral. Edasi vaatleme juhtu, kui M = m. Funktsioon võib oma absoluutse ekstreemumi saavutada kas lõigu [a, b] otspunktis või vahemikus (a, b). Oletame kõigepealt, et mõlemad absoluutsed ekstreemumid saavutatakse lõigu otspunktides a ja b. Siis on f(x) v.a.artus .uhes otspunktis M ja teises otspunktis m ning võrratusest M = m tuleneb, et f(x) v.a.artused lõigu otspunktides on erinevad.
ja T rahuldab topoloogia n˜ouet 20 . Analoogiliselt n¨aidatakse, et T rahuldab topoloogia n˜ouet 30 . Seega T on topoloogia hulgal X. Hulga X k˜oigi alamhulkade hulga P(X) mis tahes alam- hulga U jaoks leidub teda alamhulgana sisaldavaid topoloo- ¨ giaid hulgal X. Uheks selliseks topoloogiaks on n¨aiteks P(X) ise. V˜ottes k˜oigi hulka U alamhulgana sisaldavate hulga X topoloogiate u ¨hisosa, saadakse teoreemi 1.1 p˜ohjal topoloogia, mis on ilmselt v¨ahim hulga X alamhulkade hulka U sisal- dav topoloogia hulgal X. Saadud topoloogiat nimetatakse U poolt tekitatud (v˜oi indutseeritud) topoloogiaks hulgal X. N¨aide 1.3 Kui A ⊂ X ja U = {A}, siis U poolt tekitatud topoloogia hulgal X on T = {∅, A, X}. 1.2 Topoloogilise ruumi baas Sageli antakse topoloogia hulgal X baasi abil. Definitsioon 1.3 Topoloogilise ruumi (X, T ) lahtiste hulkade hulka B ⊂ T nimetatakse ruumi X baasiks, kui iga
lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Rolle'i teoreem. Kui funktsioon f on lõigul [a, b] pidev, vahemikus (a, b) diferentseeruv ja rahuldab tingimust f(a) = f(b), siis leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c nii, et f(c) = 0. Rolle'i teoreemil on lihtne geomeetriline sisu. See on järgmine. Nimelt teoreemi eeldustel on funktsiooni y = f(x) graafik sile joon, mille otspunktid A = (a, f(a)) ja B = (b, f(b)) asuvad x-telje suhtes samal kõrgusel. Teoreem väidab, et sellisel juhul leidub vahemikus (a, b) vähemalt üks punkt c, mille korral funktsiooni tuletis on null, st funktsiooni graafiku puutuja on paralleelne xteljega. Teoreemi illustreerib joonis 3.7. Vasakpoolsel graafikul on ¨uks taoline punkt c, parempoolsel graafikul aga kaks punkti c1 ja c2. Lagrange'i teoreem
Kui nii c 2 1 kui ka c2 on lõigul otspunktid, siis f(x) on konstantne lõigul ja punktiks c sobib suvaline vahemiku (a;b) punkt. Kui vähemalt üks punktidest c 1 või c2 ei ole lõigu [a;b] otspunkt, siis selles punktis on Fermat´ teoreemi põhjal f´(c)=0. Teiseks vaatleme järgnevalt juhtu f(a)=f(b)≠0. Moodustame abifunktsiooni F(x)=f(x)f(a). Funktsioon F(x) rahuldab lisatingimust F(a)=F(b)=0.Et ka F(x)∈C[a;b] ∩ D(a;b)∧F(a)=F(b), siis tõestuse esimese osa põhjal leidub selline punkt c∈(a;b), et F´(c)=0. Arvestades tingimust f´(x)=F´(x), saame f´(c)=0. Arv c∈(a;b) on esitatav ka kujul c=a+θ(ba), kus 0<θ<1.☐ 18
Pythagorase teoreem Pythagoras oli Vana-Kreeka filosoof, elades 580-500 e.m.a. Sündis Samosel, suri Musese kloostris. Võttis kasutusele ruudu ja kuubi mõiste arvutamisel. Pythagorasel oli kool Krootonis, kus elati askeetlikult. Neil oli pmst oma usk. Koolis õpiti teadust, arstiteadust, kunsti ja muusikat. Õpitöö oli suuline ja kestis 5 aastat. Kõik oli salajane. Seal õppis ka tema naine. Tema teoreemi tõestas arvatavasti hoopis tema naine. Pytharoras avastas ka, et maailm on kerakujuline. Pytharoras leidis ka 5 elemendi: eetri. 4 elementi on tuli, vesi, maa ja õhk. Peale tema surma lagunes ka kool. Täisnurksel kolmnurgal on 2 kaatetit ja 1 hüpotenuus. Kaatetid a;b, hüpotenuus c. Diameetrile toetuv piirdenurk on täisnurk. (Ringile teotub nurk ja diameetriks on hüpotenuus) Sellel teoreemil on 150 tõestust.
Impulss See artikkel räägib mehaanika mõistest; närviimpulsi kohta vaata artiklit Närviimpulss; teiste tähenduste kohta vaata lehekülge Impulss (täpsustus) Impulss ehk liikumishulk on füüsikaline suurus, mis võrdub keha massi ja kiiruse korrutisega. Kehtib ka liikumishulga jäävuse seadus, mis ütleb: suletud süsteemi kuuluvate kehade liikumishulkade geomeetriline summa on nende kehade igasuguse vastasmõju korral jääv. Suletud süsteem tähendab siin süsteemi, mis ei ole vastastikuses mõjutuses süsteemiväliste kehadega. Impulsi valem on: m = keha mass 0v = keha kiirus Ühik: kilogramm-meeter sekundi kohta (kg*m/s). Impulsi jäävuse seadus Artikkel vajab täiendamist, et anda teemast piisavat ülevaadet. Märkuse lisamise konkreetseid põhjusi vaata artikli muudatuste ajaloost või artikli arutelust. Impulsi jäävuse seadus on üks olulisemaid jäävusseaduseid füüsikas. See väidab, et igasuguse kehade süsteemi imp...
. . . . . . . . . . . . . . . 82 3.7 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1 Heine-Boreli lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2 Bolzano–Cauchy teoreemide tõestus Heine-Boreli lemma abil . . . . . . . . . 84 3.7.3 Weierstrassi teoreemide tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . 85 3.7.4 Cantori teoreemi tõestus Heine–Boreli lemma abil . . . . . . . . . . . . . . 85 4 Diferentseeruvad funktsioonid 87 4.1 Diferentseeruvuse mõiste ja diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.1.1 Tuletis, selle geomeetriline ja analüütiline tähendus . . . . . . . . . . 87 4.1.2 Tehetega seotud diferentseerimisreeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.1
(4a-3b)²-3b(3b-7a)= 16a²-24ab+9b²+21ab=16a²-3ab Arvutan avaldise väärtuse kui a=0,5 ja b=-2/3 16*0,5-3*0,5*(-2/3)=5 1)250*74%/100%= 185 (kr) 2) 50:250=0,2 0,2*100%=20% 3) 250-185-50=15(kr) 4)15:250=0,6 0,6*100%=6% Olgu üks arv x ja teine x-9, nende arvude korrutis on 532, Saan võrrandi x(x-9)=532 x(x-9)-532=0 x²-9x-532=0 kasutan lahendi valemit Leian teis arvu 28-9=19 Kontroll: üks arv on 28 ja teine 19 nende arvude korrutis On 532. 1.Leian seina pindala S=ab S=3,6*2,4=8,64 (m²) 2. Leian ristküliku kujulise plaadi pindala S=ab S=20*30=600 (cm²)=0,06 (m²) 3. Leian mitu ristküliku kujulist plaati mahub seinale, kui vahesid ei jääta 8,64:0,06=144 (plaati) 4. 90% ON 144 144*100%/90%=160 (plaati) 1. MNK ja LMK on täisnurksed 2. Arvutan külje LM ligikaudse pikkuse Kasutades Pythagorase teoreemi
meetodit kasutatakse siiani satelliitide jlgimisel. Aastatel 1802 ja 1809 kandideeris Gauss ka Tartu likooli professoriks. Tulemuste eest astronoomias mrati Gauss 1807 Gttingeni observatooriumi direktoriks. 1827 ilmunud t pani aluse diferentsiaalgeomeetriale. Gaussi kvera nime kannab normaaljaotuse kver. Kompleksarve nimetatakse ka vahel Gaussi arvudeks. Gaussi meetodi nime kannab meetod lineaarvrrandissteemide lahendamiseks. Arvuteoorias tegeles algjuurte ja algarvudega. Testas ruutvastavuse teoreemi. Aastal 1802 ilmunud ts vttis esmakordselt kasutusele miste ,,determinant", mis temal thistas ruutvrrandi diskriminanti. Gaussi pilastest on tuntuimad Dedekind ja Riemann.
geomeetria haru, milles kõrgemat matemaatikat kasutamata uuritakse lihtsamate kujundite põhilisi omadusi. See teos oli ilmumisajast kuni 20. sajandi alguseni kasutusel matemaatika ja geomeetriaõpikuna. Selles leidunud põhitõdesid kutsutakse nüüd Eukleidese geomeetriaks. Eukleidese geomeetrias valitseb range järjepidevus ja sisemine seos. Tema geomeetria aluseks on definitsioonid ja aksioomid, millele tuginevad teoreemid. Iga järgmise teoreemi tõestus põhineb eeltõestatuil. Eukledes tegeles ka astronoomiaga, optikaga, muusikaga ja veel mõne asjadega. Eukleidese teoreem: täisnurkse kolmnurga kaateti ruut võrdub korrutisega, mille üks tegur on hüpotenuus ja teine selle kaateti ristprojektsiooni hüpotenuusil. 300. aasta paiku eKr uuris vanakreeka matemaatik Eukleides kauguste ja nurkade vahelisi seoseid algul tasandil (idealiseeritud lamedal pinnal) ja siis ruumis. Näiteks on kolmnurga sisenurkade summa alati 180°
F(x,y)=k 4.Eraldatud muutujatega DV M(x)dx+N(y)dy=0 (1), kus M(x) sõltub ainult x-st või on konstant; N(y)- sõltub ainust y või on konstant. Lahendamine: M(x)dx+N(y)dy=0(2) * Tõestame et esiteks: (1)(2)* Olgu y=y(x) võrrandi (1) lahend, seega peab kehtima M(x)dx+N(y(x))d(y(x))=0*[M(x)+N(y(x))y´(x)]dx=0 | *[M(x) +N(y(x))y´(x)]dx=C* M(x)dx+N(y(x))y´(x)dx=C* M(x)dx+N(y(x))d(y(x))=C (2).*(1)rahul.(2)Teiseks kasutame teoreemi ilmutamata kujul olevast funktsioonist. Tähistame (x,y)=(x0...x)M(s)ds+(y0...y)N(s)ds,* siis saab (2) kirjutada lühidalt (x,y)=0. Kontrollime a,b ja c täidetust TIKF-st.*a) (x,y)= (x0...x)M(s)ds+ (y0...y)N(s)ds* x(x,y) =[(x0...x)M(s)ds+(y0...y)N(s)ds]x´=M(x)+0=M(x) <-pidev! * y(x,y) =[(x0...x)M(s)ds+ (y0...y)N(s)ds]y´=0+N(y)=N(y) <-pidev *b) (x0,y0) =(x0...x0)M(s)ds+(y0...y0)N(s)ds=0+0=0
Tõestus: Seega, kui Δa ϵ (-δ; 0) U (0; δ); siis suurused Δx ja Δy on samamärgilised, st y = f (x) on rangelt kasvav punktis a. 8. Keskväärtusteoreemid. Rolle’i teoreemi tõestus. Rolle’i teoreem Kui funktsioon on pidev lõigul [a; b] ja diferentseeruv vahemikus (a; b) ning f (a) = f (b), siis leidub
annaabi.ee 
