Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Ülesanne Massiivid: variant nr. 25 Üliõpilane Allar Plaksi Õppejõud Ermo Täks hnikaülikool ainstituut iant nr. 25 Matrikli nr. 062005 Õpperühm EALB-41 Spetsifikatsioonid Üldprotseduurid Peaprotseduur Op_Mas_1() Määratleb muutujad ja massiivid. Loeb töölehelt antud massiivid, kasutades alamprotseduure Loe_Tab ja Loe_Tulp Käivitab alamprotseduurid erinevate tegevuste täitmiseks. Kirjutab tulemid töölehele. Protseduur Tee_Mas_1() Genereerib vastavalt etteantud ridade ning veergude arvule suvalised numbrid, mis hiljem massiividesse loetak Protseduur Loe_Tab(A, m, n, Aprk) Loeb töölehele piirkonnast Aprk sisse väärtused ja salvestab sellle maatrksis A. Protseduur Loe_Tulp(B, n, Bprk) Loeb töölehe piirkonnast Bprk sisse väärtused ja salvestab need vektoris B. Protseduur Kir_Tab(A, m,n, Aprk) Kirjutab töölehele erinevad...
c d Etteantud 100 300 110 Absmassiv 191 114 121 166 125 171 100 207 232 209 130 266 116 138 236 241 191 171 130 241 201 peadiagonaal maxel asub reas asub veerus 114 266 3 1 207 138 241
Maatriksi astak Maatriksi astak r võrdub maatriksi lineaarselt sõltumatute reavektorite (veeruvektorite) maksimaalse arvuga. Ülejäänud reavektorid (veeruvektorid) avalduvad nende r vektori kaudu 1 0 ... 0 0 1 ... 0 En = R n× n ... ... ... ... 0 0 ... 1 Maatriksid Ruutmaatriksid m = n Peadiagonaal Diagonaalmaatriksid, Ühikmaatriksid det A = a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 - - a13a22a31 - a11a23a32 - a12 a21a33 A R 3×3 det A = a11a22 - a12a21 A R 2×2 Ruutmaatriksi determinant Determinant on ruutmaatriksit iseloomustav arv Pöördmaatriks AA-1 = A-1 A = E det A 0 Ruutmaatriks on regulaarne, kui Regulaarse ruutmaatriksi pöördmaatriks on sama järku ruutmaatriks. Maatriksi ja tema pöördmaatriksi korrutis on ühikmaatriks.
6)Maatriks, parameetrid, erikujulised maatriksid. Maatriksiks nimetame nende arvude tabelit, milles on m rida ja n veergu. Maatriksi rea elemendid on vaadeldavad n-mõõtmelise vektori koordinaatidena(reas asuvad sama vektori koordinaadid); veerud aga m-mõõtmelise vektori koordinaatidena(veerus on samanimelised koordinaadid). m=n ruutmaatriks; mn ristkülikmaatriks. Lisaks veel trapetskuju maatriks, kolmnurkkuju maatriks, diagonaalmaatriks, nullmaatriks, ühikmaatriks. Peadiagonaal ja kõrvaldiagonaal. Parameetrid: a ij- maatriksi elemendid; m-ridade arv; n-veergude arv; reaindeks-i ja veeruindeks-j. 7)Maatriksite liitmine, arvuga korrutamine ja maatriksite korrutamine. Liita saab ainult samade parameetritega maatrikseid elementhaaval ning summaks saame samade parameetritega maatriksi, mille elemendid on liidetavate maatriksite vastavate elementide summad. Maatriksi korrutamisel arvuga saadakse samade parameetritega maatriks, mille elemendid saadakse
acaaaaactaggattacaaaaaaaacaactgcttgtagtagaagacagccaaaaaggcattgctgcc gctaaagcagccaatctgacagtttttgccattaccgactataacggtgttttatttgatacagaaccttttt atctgaggcgacgagaagatttttttaagacaaagggaattcccattgatcacccgatatggcattgatc agagtcaagctgatcacaagatagatcatttaggacaactgtgtgtaaaaatcggttgttttggatcgtg acgatcgatgctagctgatcgat Vastus: Peadiagonaal on nihutatud. Järjestused on paralleelsed. · atgttgatgattaaaggaattatttttgatatggacggtgttttatttgatacagaacctttttatctgaggcg acgagaagatttttttaagacaaagggaattcccattgatcacttgaactctaaagattttattgggggca atctccaagaattatggaaagagttgttaggtaaaaatagggatgatgctatcgttaaggcaattacaac tgactatgacgcttacaaacaagcgcataagcctccttatcaaaaactgttgattacagaagtgaactct tgtcttgaacagttgaaaaaacaaggtatcaaactggctgtggcatcaaactcgaagcgtcaggatgtt
ehk dimensiooniks ja seda tähistatakse dimV. V n-mõõtmeline vektorruum ja B = { 1 , 2 ,..., n } tema mingi baas. Vektoreid 1 , 2 ,..., n hakkame nimetama baasivektoreiks. Iga vektor avaldub lineaarse kombinatsioonina baasivektoritest: = x1 1 + x2 2 + ... + xn n , x1, x2 ,..., xn R. Vektoriga üheselt määratud arve x1, x2 ,..., xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit. Arve aij maatriksist nimetatakse maatriksi elementideks. Esimene indeks märgib reanumbrit, teine indeks veerunumbrit. Arvud a11 , a 22 ,..., a nn asuvad maatriksi A peadiagonaalil ja arvud a1n , a2 n-1 ,..., an1 - asuvad maatriksi A kõrvaldiagonaalil
0 0 -1 -1 0 0 0 -1 0 0 0 -1 Järgnevalt koostame kovariatsioonimaatriksi E, mille peadiagonaal koosneb plokkidest. Ploki moodustavad tabelis 2 toodud elemendid δ 2x , δ 2y , δ 2z , δ xy , δ xz ja δ yz . Moodustatud 24x24 maatriks E ning selle pöördmaatriksiks olev kaalumaatriks W on toodud lisatud Excel’i failis. Moodustatud maatriksid viime programmi Matrix ning teeme läbi tasanduse kaalutud vähimruutude meetodil
Igal real on oma number. MAATRIKSITE PÕHIKUJUD 1. RISTKÜLIKUMAATRIKS mn 4 -2,7 3 A= 6 2 0 2. RUUTMAATRIKS m=n 1 3 2 A= 0 1,2 4 2 1 2 PEADIAGONAAL moodustavad võrdsete indeksitega elemendid (Nt.: a11, a22, ... ann). KÕRVALDIAGONAALi moodustavad peadiagonaaliga risti olevad elemendid. 3. DIAGONAALMAATRIKS peaelemendid on 0-st erinevad, aga väljaspool peadiagonaalist on nullid. 1 0 0 A= 0 3 0 0 0 5 4. ÜHIKMAATRIKS tähistatakse (E) või (I) (selle peadiagonaali kõik elemendid
Kui mn, siis nim maatriksit
ristkülikmaatriksiks. Kui m=n, siis ruutmaatriksiks.
· Kui ruutmaatriksi peadiogonaali element 0 ja kõik ülejäänud elemendid =0, siis nim
maatriksit diagonaalmaatriksiks. Kui diagonaalmaatriksi kõik elemendid on omavahel
võrdsed, siis nim seda skalaarmaatriksiks.
· Kui skalaarmaatriksi kõik peadiagonaali elemendid =1, siis nim seda ühikmaatriksiks.
Tähistatakse E.
· Kui ruutmaatriksi peadiagonaal all (või kohal) olevad elemendid on kõik 0 (akl=0; k
Saab näidata, et vektor avaldub kujul (1) üheselt. Def. Vektoriga üheselt määratud arve x1 , x2 , ... , xn avaldisest (1) nimetatakse vektori koordinaatideks antud baasil B. Seejuures kasutatatakse tähistust = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) B . Kui kontekstist on selge, millist baasi B vaadeldakse, siis jäetakse indeks B ära: = ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) . 7. Maatriksi definitsioon. Maatriksi elemendid, peadiagonaal, kõrvaldiagonaal, reavektor, veeruvektor. Lineaarsed tehted maatriksitega (liitmine ja skalaariga korrutamine). Lineaarsete tehete 8 omadust. Def. 1. ( m × n ) -maatriksiks nimetatakse m reast ja n veerust koosnevat ristkülikukujulist arvude tabelit a11 a12 K a1n a21 a22 K a2 n A=
Maatriks ristkülikukujuline arvudega tabel, milles on m-rida ja n-veergu. Tähistused: (maatriksit tähistatakse suure tähega) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a2n i =1,2,..., m = A( aij ), ... ... ... ... j =1,2,..., n a m1 am2 ... a mn Maatriksi järk tähistab maatriksi môôtmeid; A on m*n järku maatriks. Maatriksi liigid: 1) Ruutmaatriks: m=n; 2) Diagonaalmaatriks: a11, a22, amm - peadiagonaal (diagonaalil ei ole 0; muud elemendid 0-d); 3) Ühikmaatriks (diagonaalmaatriksi erijuht): a11 = a22 ... = amm = 1; (Täh. E); 4) Nullmaatriks: aij = 0, iga i ja j korral; (Täh ). 2. Tehted maatriksitega (korrutamine arvuga, liitmine, lahutamine, korrutamine). 1) Korrutamine arvuga: A=(aij), kR; kA=C; C=(cij), kus cij = kaij. 2) Maatriksite liitmine: (m*n) ma. A, (p*q) ma. B ja m=p, n=q. A+B=C (m*n-järku); cij = aij + bij, iga i ja j korral.
Kujutame hulga X elemente graafi tippudena ja joonistame tipust x tippu y kaare, kui kehtib xRy. Nt, jaguvusrelatsioon d. Avaldis: algebralised avaldised, nt võrratused. 22) Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse a. refleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt samasusrelatsioon. Maatriksil on peadiagonaalis kõik ühed, graafis on iga tipu juures silmus. b. antirefleksiivseks, kui iga x X korral (x, x) R. Nt relatsioon . Maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest, graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. c. sümmeetriliseks, kui (x, y) R korral alati (y, x) R. Nt relatsioonid = ja . Maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, suunatud graafis iga kaare jaoks on olemas ka vastupidise suunaga kaar. d. antisümmeetriliseks, kui (x, y) R ja (y, x) R korral alati x = y. Nt võrratused. Maatriksi iga väljaspool peadiagonaali asuva elemendi 1 suhtes on
V õib ka olla, et üht neis t korrutis tes t ei leidu, teine on aga olmas . Maatrik s it A n im etataks e regu laars ek s , kui te ma deter min ant ei võrdu nulliga: DA 0 Maatrik s it A n im etataks e s in gu laars ek s , kui te ma deter min ant võrdub nulliga: DA = 0 R uu tm aatrik s i p ead iagon aal moodus tub ele ment ides t a 1 1 , a 2 2 , ..., a n n . Ü h ikm aatrik s ik s n im etataks e niss ugus t maatriks i t, mi lle peadiagonaal i ele mendid võrduvad ühega j a ülej äänud ele mendid võrduvad nulliga. 1 0 0 0 1 0 E= Ü hikma atriks ig a korrutamine maatr iks it ei muuda. 0 0 1 A E =E A = A N u llm aatrik s ik s n im etatak s e ma atriks i t, mi lle kõik ele mendid on nullid. PÖÖRDMAATRIKS R uu tm aatrik s i A p öörd m aatrik s ik s n im etatak s e niis ugus t maa triks it, mil le
Võib ka olla, et üht neis t korrutis tes t ei leidu, teine on aga olmas . Maatrik s it A n im etatak s e regu laars ek s , kui tema determinant ei võrdu nulliga : DA 0 Maatrik s it A n im etatak s e s in gu laars ek s , kui te ma deter min ant võrdub nulliga: DA 0 R uu tm aatrik s i p ead iagon aal moodus tub ele ment ides t a 1 1 , a 2 2 , ..., a n n . Ü h ikm aatrik s ik s n im etataks e niss ugus t maatriks i t, mi lle peadiagonaal i ele mendid võrduvad ühega j a ülej äänud ele mendid võrduvad nulliga. 1 0 0 0 1 0 E Ü hikma atriks ig a korrutamine maatr iks it ei muuda. 0 0 1 AE EA A N u llm aatrik s ik s n im etatak s e ma atriks i t, mi lle kõik ele mendid on nullid. PÖÖRDMAATRIKS R uu tm aatrik s i A p öördm aatrik s ik s n im etatak s e niis ugus t maa triks it, mil le
(x,x)∈R o Kui X on lõplik hulk, siis saame R esitada maatriksina. Refleksiivsuse korral on relatsiooni maatriksi peadiagonaalil väärtused 1. o Refleksiivse relatsiooni suunatud graafis on iga tipu juures silmus. Antireflektsiivsus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse antirefleksiivseks, kui iga x∈X korral (x,x)∉R o Antirefleksiivse relatsiooni maatriksi peadiagonaal koosneb nullidest. o Antirefleksiivse relatsiooni suunatud graafis ei ole ühegi tipu juures silmust. Sümmeetrilisus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse sümmeetriliseks, kui (x,y)∈R korral alati (y,x)∈R o Sümmeetrilise relatsiooni maatriks on sümmeetriline peadiagonaali suhtes, sest elemendid r ij ja r ji on võrdsed. Antisümmeetrilisus o DEF: Hulgal X määratud relatsiooni R nimetatakse antisümmeetriliseks, kui (x,y)∈R ja
Vastuvõtja tundlikkuse ja reaktsiooni hälvitatuse eristamiseks püütakse kõigepealt esimest muutumatuna hoida ja varieerida teist. See saavutatakse (a) hüvitustabeli muutmisega või (b) stiimuli esinemise tõenäosuse muutmisega. Tabamuste (õigete vastuste) ja valehäirete proportsiooni graafiline koosesitus annab meile signaali avastaja tundlikkust iseloomustava vastuvõtja opereerimiskarakte- ristikute kõvera (ROC kõvera). Graafiku peadiagonaal iseloomustab täieliku tundetuse seisundit (ehk signaali olemasolu või puudumise juhuslikku oletamist), sellega ristuva diagoonaalilõigu pikkus on aga tundlikkuse näitajaks (mida pikem lõik, seda suurem tundlikkus). Signaali avastaja tundlikkus peab loomulikult sõltuma signaali tugevusest ja nii see ka on. Mida intensiivsem stiimul, seda kaugemale "paindub" ROC kõver graafiku peadiagonaalist. Mida tähendab signaali intensiivsus
oleks õige.Taldrikule või vaagnale roa komponentide asetamise puhul lähtutakse nn kuldsest lõikepunktist, mis on tähelepanu keskmes. See punkt on kellaosutil poole viie asendis, kuhu asetatakse taldrikul see komponent, mida soovitakse esile tõsta tavaliselt põhikomponent, näiteks liha või kalatükk. Vasakukäelistel on see punkt peegelpildis kella poole kaheksa asendis. Serveerides on tähtsad ka diagonaaljooned, millest peadiagonaal läbib kuldse lõikepunkti ja taldriku keskpunkti ning abidiagonaal on peadiagonaaliga risti. Kui praad koosneb kahest komponendist, asetatakse põhikomponent kuldsesse lõikepunkti ning teine komponent (nt põhilisand) peadiagonaali pidi ülespoole. Kui praad koosneb kolmest komponendist, pannakse põhikomponent kuldsesse lõikepunkti, põhilisand abidiagonaali alumisele osale ja teine lisand abidiagonaali ülemisele osale. Kastmed serveeritakse kas roaportsjonis või erladi
annaabi.ee 
