Millest sin x < x < tan x Jagame selle võrratuse iga liikme läbi arvuga sin x, tulemuseks saame: x 1 sin x 1< < milest järeldub: cos x < < 1 (1.1) sin x cos x x Kuna punkt a = 0 asub elementaarfunktsioon y= cos x määramispiirkonnas, siis teoreemist (1*) järeldub, et limx0=cos0 = 1. Rakendades võrratusele (1.1) keskmise muutuja omadust, saamegi võrduse (**) M.O.T.T LISA: TEOREEM 1* kui punkt a kuulub elementaarfunktsiooni f määramispiirkonda, siis limxaf(x) = f(a). 1 lim (1 + ) x = e x x 8. Ekvivalentsed lõpmata väikesed funktsioonid, nende rakendamine piirväärtuste leidmisel Funktsiooni = (x) nimetame lõpmata väikeseks (hääbuvaks) piirprotsessis x a, kui lim xa (x)= 0. Lõpmata väikeseid funktsioone = (x) ja = (x) nimetatakse ekvivalentseteks piirprotsessis x a, kui
Olgu a ∈ D hulga D kuhjumispunkt ning olgu f : D → R ja h: E → R sellised funktsioonid, et f (D) ⊂ E. Kui f on pidev punktis a ja h on pidev punktis b := f (a) , siis liitfunktsioon h ◦ f : D → R on pidev punktis a. Olgu (xk) selline jada, et xk ∈ D{a} ja xk → a. Teoreemi 3.2 kohaselt on meie eesmärgiks näidata, et h ◦ f (xk) → h ◦ f (a) . Funktsiooni f pidevusest punktis a järeldub, et uk := f (xk) → f (a) = b. Seega järeldub funktsiooni h pidevusest punktis b koonduvus h (u k) → h (b). Niisiis, h ◦ f (xk)) = h (f (xk)) = h (uk) → h (b) = h (f (a)) = h ◦ f (a) , s.t. h ◦ f on pidev kohal a. 18. Lõigus pidev funkstsioon, selle omadused Defineerida funktsiooni pidevus tema määramispiirkonna alamhulgas: Olgu X funktsiooni f määramispiirkonna D alamhulk. Kui f on pidev igas punktis x ∈ X, siis öeldakse, et ta on hulgas X pidev. Funktsiooni f : D → R nimetatakse pidevaks, kui ta on oma määramispiirkonnas D pidev.
Suurust y nimetatakse funktsiooni muuduks (ehk kasvuks) punktide a ja a + x vahel ehk üleminekul punktist a puntki a + x . Pidevuse tingimus: Funktsiooni f nimetatakse pidevaks punktis a, kui lim y = 0 ehk lim f (a + x ) = f (a ) . x 0 x 0 Teoreem: Funktsioon f on pidev puntkis a siis ja ainult siis, kui x = o(1) y = o(1) . Aritmeetilised tehted säilitavad pidevuse, s.t. kehtib teoreem: Teoreem: Kui u = u ( x ) ja v = v( x ) on pidevad funktsioonid punktis a , siis ka nende summa u ( x ) + v(x ) , vahe u (x ) - v( x ) , korrutis u ( x ) v( x ) ja jagatis u ( x ) v( x ) (v(a ) 0 ) on pidevad funktsioonid punktis a . Tõestus: Tõestus u = u ( x ), x X u ja v = v(x ), x X v summa u + v = u ( x ) + v( x ), x X u X v korral. u on pidev punktis a , s.t. lim u ( x ) = u (a ) , a X u . v on pidev punktis a , s.t. lim v( x ) = v(a ) , a X v .
kuuluvad arvu a ümbrusesse (a - , a + ). Jada piirväärtuse kirjutusviis on järgmine: xn a või lim xn = a . Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvaks. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Lõpmatult kahanevad ja kasvavad suurused. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Teoreem 2.1. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1 / on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suurused
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.8 L~opmatult kahanevate ja l~opmatult kasvavate suuruste v~ordlemine. 43 2.9 Funktsiooni pidevus. Katkevuspunktide liigitus. . . . . . . . . . . 45 ¨ 2.10 Uhepoolne pidevus. Pidevus hulkadel. Elementaarfunktsioonide pidevus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.11 L~oigul pidevate funktsioonide omadusi. . . . . . . . . . . . . . . . 52 3 Tuletis ja diferentsiaal 57 3.1 Tuletise, diferentseeruva funktsiooni ja diferentsiaali m~oisted. . . 57 3.2 N¨aiteid tuletiste kohta rakendustes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Tuletiste arvutamise p~ohireeglid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4 Ilmutamata funktsiooni, p¨o¨ordfunktsiooni ja parameetrilise funk- tsiooni diferentseerimine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Teoreem 3 Olgu funktsioon y =f(x) pidev lõigul [a, b] Siis mistahes väärtuse jaoks, mis asub funktsiooni vähim ja suurima väärtuse vahel m k M leidub vähemalt üks selline punkt x3 [a, b] , et f(x3)=k Järeldus: Kui funktsioon on pidev lõigul [a, b] ja f(x1)>0 ja f(x2)<0, x1 , x 2 [a, b] . Siis leidub niisugune x3 ]x1 , x 2 [ , et f ( x 3 ) = 0 © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 9 Funktsiooni tuletis ja selle geomeetriline tähendus. Puutuja ja normaali võrrand. Olgu antud funktsioon y = f (x) Anname argumendile x muudu x Siis funktsioon saab vastava muudu y = f ( x + x ) - f (x) Definitsioon 1 Funktsiooni y = f ( x) tuletiseks nimetatakse piirväärtust y f ( x + x) - f ( x) y ' = lim = lim x 0 x x 0 x y
z = f ( x, y ) Pinna z = f ( x, y ) ja tasandi y = b lõikejoon on x := . y = b Joon x ja tema puutuja asuvad tasandil y = b ja punktis A võetud puutuja tõus on funktsiooni f ( x, b ) - f (a, b ) z = f ( x, b ) tuletis punktis a , kuid seejuures f ( x, b ) = f x (a, b ) = lim . x =a x 0 x Seega f x (a, b ) on joone x punktis A võetud puutuja tõus tasandil y = b . 3 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) 6
kui 𝑥1 < 𝑥2 , 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2) Funktsioon f on piirkonnas X kahanev, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) Funktsioon f on piirkonnas X konstantne, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab võrdne funktsiooni väärtus, s.t. kui 𝑥1 < 𝑥2, 𝑠𝑖𝑖𝑠 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) Kui funktsiooni f(x) tuletis lõigu (a,b) ulatuses on negatiivne, so f’(x) < 0, siis f-n kahaneb selles vahemikus. Kui funktsiooni f(x) tuletis lõigu (a,b) ulatuses on positiivne, so f’(x) > 0, siis f-n kasvab selles vahemikus. 7. Liitfunktsioon. Näited. Võime saada uusi funktsioone ka mitme funktsiooni kompositsioonina. Liitfunktsiooni saame kahe või enama funktsiooni järjest rakendamisel. Näiteks kui 𝑦 = 𝑓(𝑢) = √𝑢 𝑗𝑎 𝑢 = 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1, siis y on funktsioon x-ist, st
27. Trigonomeetriliste avaldiste integreerimine. 28. Määratud integraal ja selle omadused. 1. Funktsioon. Määramispiirkond, väärtuste hulk. Me vaatleme integraali (sinx,cosx)dx Keskväärtusteoreem (tõestusega). Pöördfunktsioon. 1. Universaalne asendus tan x/2=t Olgu y=f(x) pidev lõigul [a,b] Jaotame lõigu n osaks punktidega 2. Funktsiooni piirväärtus. Teoreemid piirväärtuste
-le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Kuna viimases lauses võib olla suvaline positiivne arv, saame me valida . Siis kehtivad kõigi -le järgnevate väärtuste korral järgmised seosed: . Seega defineerides näeme, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust . Seda oligi vaja tõestada. Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõestus: Olgu lõpmatult kahanev ja tõkestatud. Me peame näitama, et sellisel juhul on samuti lõpmatult kahanev, st . Vastavalt definitsioonile tuleb näidata, et suvalise kuitahes väikese positiivse arvu korral leidub selline suuruse väärtus nii, et kõik -le järgnevad väärtused rahuldavad võrratust
erineva märgiga väärtusi siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt c nii, et Tõestus Kolmas omadus lähtub esimesest kahest. Kui funktsiooni otspunktides on erineva märgiga väärtused siis peab nende vahele jääma 0, muidu ei saaks funktsiooni väärtus ühelt märgilt teisele üle minna. 18. · Funktsiooni tuletise definitsioon Olgu meil funktsioon f ja punkt a, mis kuulub selle funktsiooni määramispiirkonda. Funktsiooni tuletis on defineeritud järgmiselt: Kui funktsioon omab punktis lõplikku tuletist siis nimetame teda diferentseeruvaks. Tuletise leidmist kutsume aga diferentseerimiseks. · Tuletise valem argumendi muudu ja funktsiooni muudu kaudu argumendi muut kohal a funktsiooni muut kohal a Siis Teoreem Punktis a diferentseeruv funktsioon on selles punktis pidev Tõestus
· Jagatise piirväärtus võrdub piirväärtuse jagatisega eeldusel, et nimetaja lim y=a, lim z=b piirväärtus ei võrdu nulliga: lim(y/z)=a/b, b0 · Kui yuz ja lim y=lim z=a, siis ka lim u=a · Funktsioonil y=f(x) ei saa olla rohkem kui üks piirväärtus. L'Hospitali valem, selle kasutamise eeldused. See reegel on rakendatav ainult 0/0 ja / korral. Tuletis , selle rakendused. Tuletis, selle geomeetriline tähendus Funktsiooni tuletis on funktsiooni ja argumendi muudu suhte piirväärtus argumendi muudu tõkestamtul lähenemisel nullile. Funktsiooni tuletise geomeetriline tähendus on et funktsiooni graafiku puutuja tõus punktis mille abstsiss on x. Tuletise arvutamine definitsiooni järgi. · Funktsiooni tuletise leidmist nim ka diferentseerimiseks. Tuletise leidmiseks on vaja: · fikseerida argumendi mingi väärtus x ja arvutada sellele vastav funktsiooni väärtus
Jada piirva¨ artus. ¨ Arv e. Funktsiooni piirva¨ artus. ¨ Joone asumptoodid. ¨ ~ Lopmata ¨ vaikesed ja ~ lopmata ~ suured suurused. Funktsiooni pidevus. Loigul pidevate funktsioonide omadused. Funktsiooni tuletis. Liitfunktsiooni tuletis. Po¨ ordfunktsiooni ¨ tuletis. Parameetri-liselt esitatud funktsiooni tuletis. Ilmutamata ~ funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Pohiliste elementaarfunktsioonide tuletised. ~ Korgemat ¨ jarku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Teoreem 2.1 Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Teoreem 2.2 Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Tõkestatud suurus Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b) Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis x a, kus
Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim = 0. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim|| = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem). Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Tõkestatud suuruse definitsioon. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x ei võrdu a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b.
Tähistatakse x->- või lim x=-. Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub. 8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b
Tähistatakse x->- või lim x=-. Def. Öeldakse, et jada (x ) koondub arvuks a, kui tal on olemas lõplik piirväärtus lim x =a. Kui aga jadal (x ) lõplikku piiväärtust ei ole, siis öeldakse, et jada (x ) hajub. 8. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim =0. Def. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim | |= . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos on sõnastatud järgmiselt: Teoreem. Suurus on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus 1/ on lõpmatult kasvav. Def. Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Teoreem. Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. 9. Def. Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x->a, mis rahuldab tingimust xa, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Kirjutatakse lim f(x)=b
Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10)
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II
Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim || = . Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem): Lõpmatult kahanevate ja kasvavate suuruste vahel eksisteerib lihtne seos. Nimelt on nad teineteise pöördarvud. Kehtib järgmine väide. Vaata lk 31 tõestust. Tõkestatud suuruse definitsioon: Muutuvat suurust nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutisest: Kui suurus on lõpmatult kahanev ja suurus on tõkestatud, siis nende korrutis on lõpmatult kahanev. Vaata tõestust lk 32. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon ja geomeetriline sisu: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x a, mis rahuldab tingimust x = a, funktsiooni väärtus f(x) l¨aheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on.............. või f(x) b kui x a
,a+). a, lim=a. f. Koonduvad ja hajuvad jadad f.i. Lõplikku piirväärtust omavat jada nimetatakse koonduvateks. f.ii. Vastasel juhul nimetatakse jada hajuvaks. 8. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos (sõnastada vastav teoreem).Tõkestatud suuruse definitsioon. Sõnastada teoreem lõpmatult kahaneva jada tõkestatud suuruse korrutisest. a. Lõpmatult kahaneva ja lõpmatult kasvava suuruse definitsioonid a.i. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim=0 a.ii. Muutuvat suurust nimetatakse lõpmatult kasvavaks, kui lim||=. b. Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos Suurus on lõpmatult kahanev ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav.
Lõplikku piirväärtust omavat jada nim. koonduvaks, vastasel juhul nim. jada hajuvaks. 9) · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult väikeseks ehk lõpmatult kahanevaks, kui lim a = 0. Muutuvat suurust a nim. Lõpmatult kasvavaks, kui lim |a|=. · Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos ja teoreem Lõpmatult kahanev ja kasvav suurus on omavahel pöördarvud. Teoreem: Suurus a on lõpmatult kasvav siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kahanev. · Tõkestatud suuruse definitsioon Muutuvat suurust a nim tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud. · Lõpmatult kahaneva ja tõkestatud suuruse korrutise teoreem Kui suurus a on lõpmatult kahanev ja suurus B on tõkestatud, siis nende korrutis aB on lõpmatult kahanev. 10)
Näiteks kui f(x)=ex, siis f-1(y)=lny ja iga x korral ln(ex)=x. Pöördfunktsiooni f-1 leidub ainult niisugusel funktsioonil f, mis on kogu oma määramispiirkonnas kas kasvav või kahanev, sest üksnes selline f korraldab üksühese vastavuse oma määramispiirkonna ja muutumispiirkonna vahel. Kui funktsioon f rahuldab nimetatud tingimust vaid oma määramispiirkonna mingil osahulgal, siis saab rääkida üksnes selle funktsiooni vastava lahendi pöördfunktsioonist. Kui funktsiooni f tuletis f' on kohal x nullist erinev, siis pöördfunktsiooni f-1 tuletis kohal y=f(x) saab avaldada kujul ( f -1 )' ( y ) = f '1( x ) = f ' ( f 1-1 ( y ) ) 4. Funkts. Piirväärtus. Ühepoolsed piirväärtused. Funktsiooni piirv. Def: Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a kui suvalises piirprotsessis xa, mis rahuldab tingimust x a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b. Funktsiooni piirväärtuse kirjutusviis on: lim(xa) f(x) = b või f(x) b kui xa
1. Tõkestatud hulga mõiste. Ülalt/alt tõkestatud hulga mõiste. Tuua näide. 10,12Jada piirväärtus. Arvu a nimetatakse reaalarvude jada x 1, x2, x3, ... Tõkestatud hulga definitsioon Reaalarvudest koosnevat hulka A piirväärtuseks, kui iga kuitahes vaikese positiivse arvu korral saab näidata nimetatakse tõkestatuks, kui leidub lõplik vahemik (a,b) nii, et A(a,b). sellist jada elementi xn , millest alates kõik järgnevad jada elemendid kuuluvad Tõkestamata hulgad on lõpmatud vahemikud. arvu a ümbrusesse (a , a + ). Jada piirväärtust tähistatakse lim x n = a 2. Sõnastada arvu -ümbrus, arvu parem- ja vasakpoolne ümbrus. 11. Koonduva jada ja hajuva jada mõiste. kuitahes v aikese positiivse arvu korral saab n aidata sellist suuruse x v a Koonduv jada- lõplikku piirväärtust omav jada. Hajuv- mitteomav. a rtust, millest alates
Lõpmatult kahaneva ja kasvava suuruse omavaheline seos. Teoreem 2.1 Suurus α on lõpmatult kahanev siis ja ainult siis, kui suurus on lõpmatult kasvav. Teoreem 2.2 Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. Tõkestatud suurus Muutuvat suurust α nimetatakse tõkestatuks, kui selle suuruse muutumispiirkond on tõkestatud, leidub lõplik vahemik (a, b) Lõpmatult kahaneva ja tõestatud suuruse korrutis. Teoreem Kui suurus α on lõpmatult kahanev ja suurus β on tõkestatud, siis nende korrutis αβ on lõpmatult kahanev. 9. Funktsiooni piirväärtuse definitsioon Funktsioonil f on piirväärtus b kohal a, kui suvalises piirprotsessis x → a, mis rahuldab tingimust x≠a, funktsiooni väärtus f(x) läheneb arvule b Funktsiooni piirväärtuse geomeetriline sisu Kui funktsioonil f(x) on piirväärtus b punktis a, siis suvalises piirprotsessis
Iga x ( x - , x + ) korral kehtib võrratus f ( x) f (x ) ; 2.Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x lokaalne miinimum, kui 1.Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses ( x 1- , x 1+ ) ; 2.Iga x (x - , x + ) korral kehtib võrratus f (x) f (x ) . 3.Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks b Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f '(x1) = 0. a. Tõestus: 1. X asub punktist x1 vasakul f ( x )-f ( x1 ) 0 1 x¿ f ( x ) -f ( x 1 ) ¿ x< x1 x-x 1< 0 0 f ( x )-f ¿ f ' ( x1 ) 0 f ' ( x 1 )=0 x-x 1
2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Öeldakse, et funktsioonil f on punktis x1 lokaalne miinimum, kui 1. funktsioon f on määratud punkti x1 mingis ümbruses (x1 - , x1 + ); 2. iga x (x1 - , x1 + ) korral kehtib võrratus f(x) f(x1). Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. Fermat' lemma - Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f(x1) = 0. Tõestus : funktsioonil f on punktis x1 lokaalne maksimum. Siis, vastavalt lokaalse maksimumi definitsioonile, leidub punkti x1 ümbrus nii, et iga x korral sellest ümbrusest kehtib võrratus Selles ümbruses asuva arvu x me saame võtta punktist x1 nii vasakult kui ka paremalt. Asugu x punktist x1 vasakul. Siis x - x1 < 0. Jagame võrratuse negatiivse arvuga x - x1. Kuna negatiivse arvuga jagamisel võrratuse märk muutub vastupidiseks, saame
Kahekordse 𝑥 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ cosφ punktil leidub niisugune ümbrus Uε (x2,y2), et iga P(x, y) ∈ Uε(x2, y2) on f(x, y) > f(x1, y1). Näide 1. Definitsioon 2 järgi on kahe muutuja funktisoonil z = x2 + y2 punktis P0(0; 0) lokaalne miinimum, sest f(0; 0) = 0 ja mis tahes integraali omadused: Omadus 1. Kahe funktsiooni summa kahekordne integraal on võrdne nende 𝑦 = 𝜌 𝑠𝑖𝑛ψ sinφ punktist P0 erineva punkti P(x, y) korral f(x, y) = x2 + y2 > 0.Näide 2. Funktsioonil z = x2 − y2 ei ole punktis P0(0; 0) funktsioonide kahekordsete integraalide summaga ∬𝐷[𝑓(𝑥, 𝑦) + 𝑔(𝑥, 𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 = ∬𝐷 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑧 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠ψ
a.2.1. Funktsioon f on määratud punkti x mingis ümbruses a.2.2. Iga korral kehtib võrratus a.3. Funktsiooni lokaalseid maksimume ja miinimume nimetatakse selle funktsiooni lokaalseteks ekstreemumiteks. b. Sõnastada ja tõestada Fermat' lemma Sõnastus: Kui funktsioonil f on punktis x lokaalne ekstreemum ja funktsioon on diferentseeruv selles punktis, siis f'(x)=0. Tõestus: b.1. b.2. 25. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem. Rolle'i teoreemi geomeetriline sisu. Sõnastada ja tõestada Cauchy teoreem. Sõnastada ja tõestada Lagrange'i teoreem. Lagrange'i teoreemi geomeetriline sisu. a. Sõnastada ja tõestada Rolle'i teoreem Sõnastus: Kui funktsioon f on lõigul [a,b] pidev, vahemikus (a,b) diferentseeruv ja
x a, kui lim |(x)| . Teoreem 2.5. Kui (x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x a ja (x) on tõkestatud, siis korrutis (x)(x) on lõpmatult kahanev piirprotsessis x a. Näide. Arvutame piirväärtuse , kus f(x) on suvaline funktsioon. Selleks esitame funktsiooni x sin[f(x)] korrutisena x sin[f(x)] = (x)(x), kus (x) = x ja (x) = sin[f(x)]. Esimene tegur x on lõpmatult kahanev, kui x 0 ja teine tegur on tõkestatud, kuna sin[f(x)] [-1, 1]. Seega teoreem põhjal saame )] = 0. 12. Lõplikult kahanevate suuruste võrdlemine. Olgu (x) ja (x) lõpmatult kahanevad suurused protsessis x a. See tähendab, et mõlemad need suurused lähenevad nullile, kui x a. 1. Kui eksisteerib lõplik nullist erinev piirväärtus =m siis nimetatakse suurusi ja sama järku lõpmatult kahanevateks suurusteks. 2. Kui l = 1, siis nimetatakse suurusi ja ekvivalentseteks lõpmatult kahanevateks suurusteks märkides seda kujul .
23Funktsiooni muudu peaosa ja jääkliige. Olgu antud funktsioon, mis on diferentseeruv punktis a. Eeldame, et f(a)0 26l'Hospitali reegli põhjal saab 0/0 tüüpi määramatusega piirväärtuse arvutamisel üle minna piirväärtusele, mille all kasutades mõisteid: esineb esialgse murru lugeja tuletise ja nimetaja tuletise jagatis.
6. Statsionaarne punkt (definitsioon). 7. Lokaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. 8. Globaalsete ekstreemumite leidmise algoritm. Võrdlus lokaalsete ekstreemumite leidmisega. 9. Pinna puutujatasandi võrrand. Mis on lineariseerimine ja mis on selle idee? 10. Täisdiferentsiaali valem. Rakendusi (nt veahinnang). 11. Gradient (definitsioon, omadused ja tähistused). 12. Tuletis suvalise ühikvektori suunas (tähistus, leidmine). 13. Kahekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kahekordset integraali? 14. Kahekordse integraali rakendusi. 15. Üleminek polaarkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 16. Kolmekordse integraali omadused. Kuidas arvutada kolmekordset integraali? 17. Üleminek silinderkoordinaatidele (millal kasutada, valemid üleminekuks). 18