1. Kui paratu integraal 1 f(x)dx koondub, siis koondub ka rida s. 2. Kui paratu integraal 1 f(x)dx hajub, siis hajub ka rida s. Märgime, et funtsiooni f(x) nim. monotoonselt kahanevaks, kui iga x1 ja x2 korral, mis rahuldavad võrratust x1 < x2, kehtib mitterange võrratus f(x1) ¸ f(x2). 33. Funktsionaalrida ja selle koonduvuspiirkond. Olgu antud funktsioonide jada u1(x), u2(x),u3(x). Avaldist s(x)= u ( x) i=1 =u1(x)+ u2(x)+ u3(x)+.... Nim. funktsionaalreaks. Suurus s(x) s6ltub i muutujast x ehk on x funktsioon. Kuna funktsioon ui(x) omandab iga x korral oma määramispiirkonnast ühe kindla reaalarvulise väärtuse, siis muutuja x fikseerimisel saame funktsionaalreast teatud arvrea
Punkti kaugus sirgeni. Kahe sirge vaheline nurk. 12. Tasandi võrrandid. Punkti kaugus tasandist. Kahe tasandi vaheline nurk. II osa Matemaatiline analüüs (12 punkti) 13. Arvrea mõiste, arvrea summa ja koondumise tarvilik tingimus. 14. Geomeetriline ja harmooniline rida. 15. Arvrea absoluutne ja tingimisi koonduvus. Arvrea koonduvustunnused: Cauchy, D’Alembert’i ja Leibnizi tunnused 16. Astmerea mõiste, astmerea koonduvusraadius ja koonduvuspiirkond. 17. Funktsiooni arendamine astmereaks; Taylori rida. 18. Fourier’ rea mõiste, funktsiooni arendamine Fourier’ reaks. 19. Mitme muutuja funktsiooni mõiste, geomeetriline tõlgendus, määramispiirkond. 20. .Kahe muutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuse mõiste. Piirväärtuse omadused ja arvutamine 21. Esimest järku osatuletiste mõisted, nende geomeetriline tõlgendus, osatuletiste arvutamine. 22. Liitfunktsiooni osatuletised. 23
kolmemõõtmelisel juhul ). Konservatiivse jõuvälja mõiste. 44. Esimest liiki pindintegraali definitsioon. Pinna pindala ja pinna massi arvutamine (tuletada vastavad valemid). 45. Arvrida, arvrea osasumma ja arvrea summa. Geomeetriline rida ja selle koonduvus. Sõnastada ja tõestada arvrea koonduvuse tarvilik tingimus. 46. Arvridade koonduvustunnused: majoranttunnus, d'Alemberti tunnus, integraaltunnus ja Leibnitzi tunnus. 47. Funktsionaalrea mõiste. Funktsionaalrea koonduvuspiirkond. Funktsionaalrea majont. Majoranttunnus funktsionaalrea koonduvuse hindamisel. 48. Astmerea mõiste. Asterea koonduvusvahemik ja koonduvusraadius. Nihutatud asterida. Taylori ja McLaurini read.
Järeldus: rida (U ) on pos rida. Teoreem: kui koondub rida (U ) , siis koondub ka rida (U). Def: rida (U) nim absol. koonduvaks, kui rida (U ) koondub. Dirichlet' teoreem: absoluutselt koonduva rea iga ümberjärjestus koondub samaks summaks S. Def: koonduvat rida (U), mille (U ) rida hajub, nim tingimisi koonduvaks. Riemanni teoreem: tingimisi koonduval real leidub alati niisugune ümberjärjestus, mille summaks on suvaliselt ette antud arv S, mis võib olla ka või - Funktsionaalrida ja tema koonduvuspiirkond DEF: Rida, mille liikmed on mingi argumendi funktsioonid: n =1 un(x)= u1(x)+ u2(x)+ ...+un(x)+... nimetame funktsionaalreaks (u(x)). un(x)- funktsionaalrea üldliige. Olgu liikmed un(x) määratud piirkonnas X on reaalarvude hulk. Iga xo puhul piirkonnas X saame arvrea: n =1 un(xo)= u1(xo)+ u2(xo)+ ...+un(xo)+... Koonduvusküsimused: 1.Kui rida koondub lim S n ( x0 ) = S ( x0 )
koondub. Seejuures Rn = S - S n < an+1. Seega, kui lähendame S Sn , siis absoluutne viga on väiksem kui esimese ärajäetud liikme absoluutväärtus. n 1 1 1 Näide Rida (-1) = 1 - + - ... koondub Leibnizi tunnuse põhjal, selles n =0 n +1 2 3 1 näites an = . n +1 3. Astmeread 3.1. Astmerea mõiste ja koonduvuspiirkond. Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2 a n ( x - c) = a0 + a1 ( x - c) + a 2 ( x - c) + ... (5) n =0
Küsimus Vastus Mis on funktsioon? Kui hulga X igale elemendile x on seatud Mis on sõltumatu muutuja, vastavusse kindel element y hulgast Y, siis sõltuv muutuja? öeldakse, et hulgal X on defineeritud funktsioon, mida tähistatakse kujul y=f(x) või y=y(x) Sõltumatu – element x (argument) Sõltuv – element y Mis on funktsiooni Argumendi x väärtuste hulka, mille puhul määramispiirkond, saab määrata funktsiooni y väärtusi vastavalt muutumispiirkond? eeskirjale f(x), nimetatakse funktsiooni Mis on funktsiooni loomulik määramispiirkonnaks. määramispiirkond? Määramispiirkonnale vastavat funktsiooni väärtuste hulka nime...
Vektorruum Mittetühja hulka V nimetatakse vektorruumiks üle reaalarvude hulga R, kui sellel hulgal on defineeritud lineaarsed tehted: hulga V elementide liitmine ja korrutamine skalaaridega nii, et on täidetud järgmised tingimused: hulk V on kinnine elementide liitmise suhtes ja hulk V on kinnine skalaariga korrutamise suhtes Vektorruumi 1) leidub nullelement omadused 2) iga elemendi a korral leidub tema vastandelement a 3) (a+b)+c=a+(b+c) 4) a+b=b+a 5) k(a+b)=ka+kb 6) (k+l)a=ka+la 7) (kl)a=k(la) 8) 1a=a Vektorruumi Vektorruumi alamruumiks nimetatakse vektorruumi V mittetühja alamhulka U, alamruum kui U on vektorruumi V tehete suhtes vektorruum üle ...
Rida nimetatakse absoluutselt koonduvaks kui koondub selle rea liikmete absoluutväärtuste rida. Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? Teooriaküsimused nr. 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? 2. Mis on astmerida? 3. Mis on funktsiooni Taylori rida, mis on funktsiooni Maclaurini rida? 4. Milline tingimus on nii tarvilik kui ka piisav, et funktsiooni f(x) Taylori rida koonduks funktsiooniks f(x)?
Iga absoluutselt koonduv rida on koonduv. Iga koonduv rida ei tarvitse absoluutselt koonduda. Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks. 63. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = =a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral, koondub kui on täidetud tingimused: 1) lim a = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi. 64. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summa S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 65. Mis on astmerida
Koonduvat rida, mis ei koondu absoluutselt nimetatakse tingimisi koonduvaks Leibnitzi tunnuse järgi. 6. Leibnizi tunnus vahelduvate märkidega rea koonduvuse kontrollimiseks? = a1-a2+... kus an > 0 iga n=1,2... korral. Koondub kui on täidetud tingimused: 1) = 0 2) a1 a2 a3 ... Kui on täidetud tingimused, koondub tingimisi TEOORIAKÜSIMUSED nr 16 1. Mis on funktsionaalrida? Mis on funktsionaalrea koonduvuspiirkond ja piirfunktsioon? Funktsionaalrida on rida mille liikmeteks on funktsioonid. = u1(x) + u2(x)...+ui(x)+... See rida koondub punktis a, kui andes muutujale x väärtuse a saame koonduva arvrea. Kõikide selliste väärtuste x=a hulka X, mille korral rida koondub nimetatakse funktsionaalrea koondvuspiirkonnaks. Seades igale punktile hulgast X vastavusse tekkinud arvrea summe S, saame funktsiooni S=f(x), mida nimetatakse rea piirfunktsiooniks. 2. Mis on astmerida?
moodustatud rida u1+ u2+...+un+... . Kui aga muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... koondub, kuid tema liikmete absoluutväärtustest moodustatud rida u1+ u2+ ...+un+... hajub, siis nim. antud muutuvate märkidega rida u1+ u2+...+un+... tingimisi ehk mitteabsoluutselt koonduvaks. Absoluutse koonduvuse mõiste abil formuleeritakse teoreem 39.1. sageli järgmiselt: iga absoluutselt koonduv rida on koonduv rida. 17. Funktsionaalrida, selle koonduvuspiirkond, funktsionaalrea summa: vastavate mõistete definitsioonid. Rida u1+ u2+...+un+... nim. funktsionaalreaks, kui tema liikmed on argumendi x funktsioonid. Argumendi x nende väärtuste hulka, mille puhul funktsionaalrida koondub, nim. selle rea koonduvuspiirkonnaks. On ilmne, et rea koonduvuspiirkonnas on rea summa suuruse x mingi funktsioon. Seetõttu märgitakse funktsionaalrea summat sümboliga s(x).
E x + Q y + R z )dxdydz . kus pindintegraal on võetud üle pinna väliskülje. 24 Kordamine eksamiks aines matemaatiline analüüs II (2004/2005 õa kevad) §6. FUNKTSIONAALREAD 1. Funktsionaalrea mõiste, koonduvuspiirkond, omadusi Def. Funktsionaalreaks nimetatakse rida u (x ) = u (x ) + u (x ) + ... + u (x ) + ... , n =0 n 0 1 n mille liikmed u n (x ) n = 0,1,... on mingil hulgal X määratud funktsioonid u n = u n (x ) . Fikseerides argumendi väärtuse kujutab funktsionaalrida endast arvrida
juhul täidetud, tähendab rida hajub Sõnastada d'Alemberti koonduvustunnus(lause 10.2): Rida koondub absoluutselt, kui eksisteerib piirväärtus ning d < 1. Kui d >1, siis rida hajub Sõnastada Leibnizi koonduvustunnus (lause 10.3): Rida koondub, kui jada (ak) koondub nulliks monotoonselt Tuua näiteid nende tunnuste rakendamise kohta. C- → D- → L- kus α > 0. 41. Astmerida, selle koonduvuspiirkond (*) Selgitada, mis on astmerida, defineerida astmerea koonduvuspiirkond X ja absoluutse koonduvuse piirkond A. Veenduda, et A on nullpunkti suhtes sümmeetriline intervall.: Olgu (a0, a1, a2, . . . ) mingi arvjada. Astmereaks nimetatakse rida kujul või üldisemalt , kus a ∈ R on fikseeritud. Arve ak nimetatakse astmerea kordajateks. Hulka nimetatakse astmerea koonduvuspiirkonnaks ja hulka
n =0 n =0 Astmereaks nimetatakse rida, mille liikmeteks on funktsioonid f, kus f n ( x ) = a n x n , st rida n 2 a n x = a 0 + a1 x + a 2 x + ... (4) n =0 või üldisemalt n 2 a n ( x - c) = a0 + a1 ( x - c) + a 2 ( x - c) + ... (5) n =0 Astmerea (4) koonduvuspiirkond on järgmise struktuuriga: leidub arv R 0, nii et astmeida (4) koondub absoluutselt vahemikus (R ,R) ning hajub väljaspool seda vahemikku. Punktides x = R ja x = R tuleb koonduvust eraldi uurida. Arvu R nimetatakse astmerea koonduvusraadiuseks, vahemikku (R ,R) astmerea (4) koonduvusvahemikuks. Tehes muutujavahetuse t=(xc), on lihtne veenduda, et astmerea (5) koonduvusvahemik on (cR ,c+R). Kui astmerea kordajad an 0, siis koonduvusraadiust saab leida järgmiste valemite abil
. . . . 153 6.5 Funktsionaalread, nende koonduvus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.5.1 Funktsionaalridade punktiviisi ja ühtlane koonduvus . . . . . . . . . 156 6.5.2 Funktsionaalrea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6.6 Astmeread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 6.6.1 Astmerea koonduvuspiirkond. Cauchy–Hadamardi teoreem . . . . . . 160 6.6.2 Astmerea summa omadused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 6.6.3 Funktsiooni Taylori rida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Trigonomeetriliste funktsioonide defineerimine . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 6.7.1 Definitsioonid astmeridade abil . . . . . . . . . . . . . .
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
