1. Määramispiirkond ja katkevuskohad (x-id millega saab leida y-it) 2. Kas funktsioon on: a. Paarisfunktsioon; f(-x) = f(x) ; sümeetriline (0,0) suhtes b. Paaritufunktsioon; f(-x) = -f(x) ; sümeetriline y-telje suhtes c. Perioodiline funktsioon; f(x+T)=f(x) T=periood ;siinusfunktsioon 3. Leia X0 ehk nullkohad; f(x)=0 (algneasi=0) 4. Leia X+ ja X- ehk pos-neg piirkond; a. f(x)>0 siis X+ b. f(x)<0 siis X- 5. Leia kasva/kahanemispk X ja X; a. f'(x)>0 siis X b. f'(x)<0 siis X 6. Lokaalsed ekstreemumid; a. f'(x)=0 saad x väärtusi b. f''(x)>0 tuleb Emin y1=fx1 c. f''(x)<0 tuleb Emax y2=fx2 7. Graafiku kumerus/nõgususvahemikud; a. kumerus:y''<0 b. ...
X = ... Kui kasvamine läheb üle kahanemiseks, siis on selles punktis lokaalne maksimum, kui see punkt pole määramispiirkonnast välja arvatud. Xmax = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) Kui kahanemine läheb üle kasvamiseks, siis on selles punktis lokaalne miinimum, kui see punkt pole määramispiirkonnast välja arvatud. Xmin = (leitud punkt; esimese funktsiooni tulemus, kasutades seda punkti x asemel) 6. Käänupunktid, kumerus- ja nõgususpiirkonnad Võtame teise tuletise f''(x). Diferentseerimise reeglid, log.dif võte! Leiame f'(x) kriitilised punktid: o f''(x) nullkohad. f''(x) = 0, leian x väärtused, kui nimetaja ei võrdu nulliga. o f''(x) puudub (määramata). Leian x väärtused, kui nimetaja võrdub nulliga. Kannan kriitilised punktid x-teljele. Iga osa kohta leian, kas f''(x)>0 või f''(x)<0. Kui f''(x)>0, siis nõgus. Xu = ... Kui f''(x)<0, siis kumer. Xn = ...
.. (juhendaja allkiri) 1. Sinc signaali kuju ja spekter. Joonis 1: Sinc signaali kuju 17 perioodi ulatuses. Joonis 2: Sinc signaali spekter. 2. Valge müra ajaline kuju ja spekter. Joonis 3: Valge müra ajaline kuju. Joonis 4: Valge müra spekter. 3. Mõõteobjekti sageduskarakteristik ja käänupunktide kalde tõus. Joonis 5: Mõõteobjekti saguduskarakteristik. Käänupunkti tõusu leidmiseks mõõdame ära käänupunktid: a. f=6,86 kHz U=473,0 mV b. f=20 kHz U=170 mV c. f=40 kHz U=56,0 mV Tõus k1=> Tõus k2=> Kokkuvõte Töös tutvusime erinevate signaali tekitamise võimalustega, ning signaali genereerimist ja mõõtmist PC ostsilloskoobiga.Töös uurisime lähemalt Sinc signaali ja tema spektrit, valget müra ja tema spektrit. Tööst saime teada et sweep funktsiooni kasutatakse sagedusala uurimiseks.
Kui hälve on plussmärgiga, siis on rida vasakule poole ebasümmeetriline, kui miinusmärgiga, siis paremale poole. Selle näitarvu kasutamisel tuleb arvestada, et eespool toodud seosed keskmiste vahel kehtivad ainult suhteliselt siledatejaotuste korral ning keerulisema struktuuriga jaotuste korral võib moodi ja aritmeetilise keskmise erinevus viia eksitavatele järeldustele. Käänupunktid Normaaljaotuse tõenäosuse tihedusfunktsioonil on Gaussi kõvera kuju, mille maksimum on kohal m ja käänupunktid (s.t. punktid kus joone kumerus muutub kõveruseks) asuvad kohtades x ± . Mida suurem on s väärtus, seda laiem ja madalam on graafik, ning mida väiksem on s väärtus, seda kitsam ja kõrgem on graafik. Joonis 6. Käänupunktid. Kirjandus: http://web.zone.ee/veelmaaallar/sisu1/normaaljaotus.html Haldna, Marina. www.e-ope.ee/_download/euni_repository/file/47/Loeng_2.pdf Haak, Heldur.http://www.lr.ttu.ee/oppetoo/hhaak/TKM%206-08.pdf Tooding, Liina-Mai
Kodune töö nr 9. Kommunikatsioonide loodusesse märkimine ja teostusmõõdistamine Kommunikatsioonide loodusesse märkimiseks on sobilik kasutada ehitusplatsil või selle vahetus läheduses paiknevaid ehitusplatsi ja hoone märkimisaluse punkte. Samuti võib nüüdisajal kasutada ka RTK GPS seadmeid. Loodusesse tuleks märkida kaevude ja kapete asukohad. Kindlasti ka trasside käänupunktid ning liitumised teiste trassidega. Teostusmõõdistamine tuleks läbi viia samadelt punktidelt, milledelt toimus märkimine. Samuti tuleks mõõdistus teostada ajal, mil trassi kaevikud on veel lahtised. Isevoolu kanalisatsiooni, kollektrorite, drenaaži ja vetorustike puhul tuleb teostusmõõdistuse käigus määrata kaevude mõõtmed (samuti materjal ja otstarve), kasutatavate torude materjal ja läbimõõt, kõrgused trassi profiili murdepunktides ning trasside ristumispunktid. Soojusvõrkude puhul tuleb välitööde käigus määrata jällegi kaevude mõõtmed ja materjal, kaevudes ...
5 11 17 99 83 9 ∑ F-statistik 0.141673 y- 49.72 sA2 106.132 s0 2 749.136 34.6 -15.12 228.6144 333.44 56 6.28 39.4384 928.4 59.6 9.88 97.6144 421.04 54.6 4.88 23.8144 545.04 43.8 -5.92 35.0464 1517.76 248.6 424.528 3745.68 Andmed Märgirida Käänupunktid 〖� _�>� 〗 _���⇒"+" 15 - K 52 + 〖� _�<� 〗 _���⇒"−" 56 + K 12 - 38 - Xmed 44 34 - 27 - K NS 9 88 + 98 + K Lmax 4 33 - 41 - K 48 + 66 + 97 +
Kui vahemiku (a; b) kõigis Kui vahemiku (a; b) kõigis punktides funktsiooni f (x) teine punktides funktsiooni f (x) teine tuletis on negatiivne, s.t. tuletis on positiivne, s.t. f (x) < 0, siis joon y = f (x) on f (x) > 0, siis joon y = f (x) on 16 selles vahemikus kumer. selles vahemikus nõgus. Funktsiooni käänupunktid Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse joone käänupunktiks. y = f (x) Käänupunkt y 0 x Funktsiooni f graafikul võib käänupunkt olla vaid tuletise f (x) kriitilises punktis (s.t. punktis, kus f (x) on 0 või puudub) . Kui tuletisel f (x) on kriitilises punktis a lokaalne ekstreemum, siis punkt K = (a; f (a)) on funktsiooni f graafiku käänupunkt.
Ilmutamata funktsiooni tuletis. Logaritmiline diferentseerimine. Põhiliste elementaarfunktsioonide tuletised. 5. Kõrgemat järku tuletised. Leibnizi valem. Funktsiooni diferentsiaalid. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Lokaalne ekstreemum. 6. Keskväärtusteoreemid. L'Hospitali reegel. 7. Taylori valem polünoomi korral. Taylori valem. Taylori valemi jääkliige. 8. Joone puutuja ja normaal. Funktsiooni lokaalne ekstreemum. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. 9. Funktsiooni uurimine. Iteratsioonimeetod. 10. Määramata integraal ja selle omadused. Määramata integraalide tabel. Muutujate vahetus määramata integraalis. Ositi integreerimine määramata integraalis. 11. Hulkliikme teguriteks lahutamine. Ratsionaalfunktsiooni osamurdudeks lahuta-mine. Lihtsamate osamurdude integreerimine. 12. Trigonomeetriliste ja hüperboolsete funktsioonide integreerimine. 13. Algebraliste funktsioonide integreerimine. Mitte-elementaarsed integraalid. 14
kaudu avaldada. Sellisel juhul tuleb tuletis arvuta nn ilmuta funktsioonist F (x,y) = 0 20) Kõrgemat järku tuletised. 21) Teise tuletise füüsikaline tähendus. 22) Fun-i lokaalsed ekstreemumid 23) Funktsiooni kasvamine ja kahanemine. Funktsiooni lokaalset maksimumi ja miinimumi nimetatakse funktsiooni ekstreemumiteks. For more information go to porns lecture nr 8 24) Funktsiooni kumerus ja nõgusus. Käänupunktid. Definitsioon. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer (nõgus) piirkonnas X, kui joone puutuja igas punktis kulgeb ülapool (allpool) seda joont. Kui y teine tuletis on suurem kui 0 siis on nõgus aka HAPPY face. Kui y teine tuletis on väiksem kui 0 siis on kumer aka SAD face. 25) Funktsiooni globaalsed ekstreemumid. 26) Newtoni meetod http://www.mathema.ee/mathematica/ptk7/ptk7.htm osa 2.2 27) Algfunktsioon ja määramata integraal. 28) Integreerimise põhivalemid.
Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis f on kahanev vahemikus (a, b). 10. Lokaalsed ekstreemumid. Statsionaarsed ja kriitilsed punktid. Tarvilikud ja piisavad tingimused. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus. Kui funktsioonil f on punktis x1 lokaalne ekstreemum, siis on x1 selle funktsiooni kriitiline punkt. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f′′(x) > 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f′′(x) < 0 iga x ∈ (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). 12. Joone asümptoodid. Asümptootilised avaldised
LIIKUMINE RUUMIS Kiirus Punkti kohavektor oli r = xi + y j + z k . Joonisel 1 liigub objekt punktist P1 punkti P2, mille kohavektorid on vastavalt r1 ja r2 . Nihe on vektor, mis viib liikumise algpunktist liikumise lõpppunkti. Joonisel 1 on nihkevektoriks r = r2 - r1 . Trajektoor on joon, mida mööda punkt liigub. Trajektoor on skalaar. Trajektoori mööda ds mõõdetakse tee pikkust. Kui tee pikkus on s, siis kiiruse suurus on v = . dt Joonis 1. Punkti liikumine mööda trajektoori Objekti liikumine mööda trajektoori asendist P1 asendisse P2 toimub aja t jooksul. Keskmine kiirus selle aja jooksul on r2 - r1 r v av = = t 2 - t1 t Skalaariga jagamine ei muuda vektori suunda. Seega ...
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu...
Funktsioon uurimine 1. Määramispiirkond; 2. Graafiku sümmeetria; 3. Perioodilisus ( paaris või paaritu); 4. Katkevuspunktid ja pidevuspiirkonnad; 5. Nullkohad ja negatiivsus- ja positiivsuspiirkonnas; 6. Lokaalsed ekstreemumid ja range monotoonsuse piirkond; 7. Graafiku käänupunktid ja kumerus- ning nõgususpiirkonnad; 8. Graafiku püstasümptoodid; 9. Graafiku kaldasümptoodid; 10. Skitseerime graafiku. Integraal Def1 Öeldakse, et funktsiooni F ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioon hulgal X, kui iga x X korral . Lause1 Kui funktsioon F1 ( x ) ja F2 ( x ) on funktsiooni f ( x ) algfunktsioonid, siis leidub selline reaalarv c, nii et F1 ( x ) = F2 ( x ) + c
Kriitilised punktid. m=inf f(x) x [a,b] ; M=sup f(x) x [a,b] 20. Ekstreemumi piisavad tingimused (tõestusega). 21. Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. max xi0 Teoreem kumerus- ja nõgusus-piirkonnast Tõestus: Kehtivad võrratused mi f(i)Mi i [xi- (tõestusega). 1,xi] 22. Asümptoodid. Kaldasümptoodi valemid.
-5 a oluliseks a oluliseks 2), see tähendab, et leitud mudeli andmetega kooskõlas olevaks (yI1) 8,788273 = 0,95 (yI3) 15,39975 = 0,95 (yI5) 24,47422 = 0,95 1 2 3 4 5 6 Lähterida Märgirida Käänupunktid Järjestatud rida 32 - k 0 46 75 + 2 53 + k 7 42 - k 10 94 + k 15 Käänupunkte 7 - 28 15 0 - k 29 47 + k 30
puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Nõgususe ja kumeruse seos teist järku tuletise märgiga Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) n~ogus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Asümptoodi mõiste. Vaatleme tasandil xy - teljestikus joont y = f(x). Sirget l nimetatakse joone y = f(x) asümptoodiks, kui joone y = f(x) jooksva punkti eemaldumisel lõpmatusse selle punkti kaugus sirgest l läheneb nullile. Punkt eemaldub lõpmatusse, kui selle punkti kaugus koordinaatide alguspunktist kasvab piiramatult. Vertikaalasümptoodid. Need on y-teljega paralleelsed sirged
16 66.5 80-100 5 0.2 88.6 Valimi Histogramm m m 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 m 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 Käänupunktid Järjestatud rida 0 k 2 7 k 10 k 15 k 28 k 29 k 30 31 k 32 k 32 k 42 k Xmed=46
H
F- statistik = 4,26 ja keskväärtused loetakse homogeenseks
rühma disp
(yi-y)^2
381,84 73,2736
596,16 2,6896
1046,8 96,8256
915,44 7,6176
786,8 0,0256
745,408 36,0864
vastu võtmiseks peab F
RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ Osa A Valim A mahuga N=25 variatsioonirida: 69 10 76 79 84 41 15 87 44 49 38 16 58 7 24 19 82 1 40 38 35 87 51 1 69 1. Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus: Excel: AVERAGE x = 44,80 Dispersioon: Excel: VAR Sx² = 814,417 Standardhälve: Excel: STDEV Sx = 28,538 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Excel: MEDIAN Me = 41 Haare: ...
F-statistik kui rühmadevahelise ja rühmadesisese dispersiooni suhe: Nullhüpoteesi vastuvõtmiseks peab . Seega võetakse nullhüpotees vastu. Keskväärtused on hüpoteesi põhjal homogeensed. 9. Käsitledes valimit A aegreana pikkusega N = 25, koostada selle algrea graafik, kontrollida olulisuse nivoo = 0.05 juures selle juhuslikkust mediaankriteeriumi ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Märgirid Järjestatud Lähterida Käänupunktid a rida 17 - 1 2 - K 2 39 K 5 37 - 14 14 - K 18 18 - 19 45 + K 25 33 - 27 31 - K 31
ni(norm) f(norm) se jaotuse tiheduse ja sellele vastava hüpoteetilise histogrammi graafik. ane jaotus 0.012 0.01 0.008 ni(ühtlane) f(ühtlane) 0.006 0.004 0.002 0 80 100 Ül 9. Variatsioonirida Tavarida Märgirida Käänupunktid Med = 44 2 98 + 4 47 + K 7 99 + K 8 4- K 9 18 - 13 45 + K 18 44 24 2- K 26 39 - K 34 26 -
125
82.1324 Rühmavaheline dispersioon
F= 0.056756 F- statistik
Fkr= 2.9 4.26 Hüpoteesi vastu võtmiseks peab F
Rühmavaheline dispersioon
F= 0,056756
F- statistik
Fkr= 2,9 4,26
Hüpoteesi vastu võtmiseks peab F
Definitsioon: lokaalseks ekstreemumiks nimetatakse punkte puntki a ümbruses Näited kasutamisest: 22. Funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid (definitsioonid). Definitsioon: Punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks Definitsioon: Punkte, kus f’(a)=0 või kus f’(a) ei eksisteeri, nimetatakse funktsiooni f(x) kriitiliseks punktideks 23. Kumerus ja nõgusus, käänupunktid (definitsioonid). Nende leidmine. Definitsioon: Joon y=f(x) on piirkonnas X kumer, kui selle piirkonna igas punktis on joon allpool oma puutujat Definitsioon: Joon y=f(x) on piirkonnas X nõgus, kui selle piirkonna igas punktis on joon ülalpool oma puutujat Definitsioon: Kõvera käänupunktiks nimetatakse punkti, millest ühel pool on joon rangelt kumer, ja teiselt poolt rangelt nõgus. Leidmine:
kui leidub selline arv > 0, et 0 < | x| < y 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) statsionaarseks punktiks, kui f' (a) = 0. Punkti a nimetatakse diferentseeruva funktsiooni f (x) kriitiliseks punktiks, kui a on statsionaarne punkt või punktis a ei ole sel funktsioonil tuletist. 12. Kõrgemat järku tuletised ja nende rakendused, joone kumerus ja nõgusus, käänupunktid. o Funktsiooni y = f (x) n- järku tuletiseks y(n) nimetatakse y(n 1) tuletist: y(n) = dny / dxn = d / dx (y(n-1)) = (y(n-1))'. o Kumer: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemalt (a, f (a))), kui leidub selline - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a ; a + )
226,7 3113,64 18 1177,2 4199,04 88 764,08 2462,424 9 3820,4 12312,12 30 62 41 81 54 49 54 15 94 85 43 87 Lähterida Märgirida Käänupunktid Järjestatud rida 37 - 9 9 54 - 15 15 94 + K 18 18 32 - K 19 19 19 - 30 30 33 - 32 32 69 + K 33 33
63 512 282,24
17,5 220,5 823,69
70,5 1104,5 590,49
45 18 1,44
246,5 6559,5 1716,35
19 49 20 54 Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr , seega võetakse hüpotees v 21 15 22 94 23 85 24 43 25 87 (yi-y)^2 36,4816 14,1376 140,1856 6,5536 133,6336 330,992 seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks Lähterida Märgirida Käänupunktid Järjestatud rida 37 - 9 51 54 + 15 94 + k 18 pikim seeria pikkus Lmax=3 32 - 19 19 - 30 33 - k 32 69 + k 33
1. Funktsiooni diferentseeruvuse geomeetriline tõlgendus. 11. Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Seos teist järku tuletisega. Funktsiooni diferentsiaal on kõverjoonele y = f(x) tõmmatud puutuja ordinaadi muut, mis vastab Oeldakse, et funktsiooni f(x) graafik on kumer punktis a (tapsemini punktis (a, f(a))), kui leidub punkti a argumendi numbrile x=dx. selline -umbrus, et funktsiooni f(x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a - , a + ) allpool 2. Funktsiooni kõrgemat järku tuletised
87 + K 94 Pikim seeria Lmax = 2 Seeriate arv Ns = 6 Lmax < 3,3(log N + 1); Ns < 0,5(N + 1 1,96) Kuna mõlemad võrratused kehtivad, siis võib aegrea mediaanikriteeriumi järgi lugeda juhuslikuks. Käänupunktide kriteeriumi järgi: Käänupunktid on reas esinevad lokaalmaksimumid ja lokaalmiinimumid. Käänupunktide arv p = 14 p > (2(N 2) 1,96 ) / 3 14 > 11,33 Seega võrratus kehtib ning algrea võib käänupunktide järgi lugeda juhuslikuks. Osa B.
Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0. Kui f ` '(x1) < 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne maksimum. Kui aga f ` `(x1) > 0 siis on funktsioonil f punktis x1 lokaalne miinimum. 33. Joone kumerus ja nõgusus. Käänupunktid: Joone kumerus ja nõgusus. Vaatleme joont võrrandiga y = f(x) ehk funktsiooni y = f(x) graafikut tasandil xy - teljestikus. Eeldame et funktsioon f on kõikjal diferentseeruv. Viimane on vajalik selleks et joonel y = f(x) oleks igas punktis puutuja. Öeldakse et joon y = f(x) on nõgus kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse et joon y = f(x) on kumer kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb
7 Ekstreemumid ymax Maksimumid: ymax = f(xmax), ymin Miinimumid: ymin = f(xmin) 8 Ekstreemumpunktid Pmax Funktsiooni y = f(x) graafiku punktid Pmin Pmax(xmax; ymax) ja Pmin(xmin; ymin) 9 Funktsiooni graafiku xk Lahendatakse võrrand f ‘’(x) = 0 käänukohad 10 Käänupunktid Pk Punktid koordinaatidega Pk(xk; yk), kus yk = f(xk) 11 Funktsiooni graafiku X Kumeruspiirkonnad: f ‘’(x) < 0, kumerus ja nõgusus X Nõgususpiirkonnad: f ‘’(x) > 0 Täiendavalt võib kontrollida, kas funktsioon on paaris või paaritu (või pole kumbki). Võib arvutada ka piirväärtused lim f(x), kus x või xa- ja xa+, kus a on funktsiooni
RAKENDUSSTATISTIKA ARVUTUSGRAAFILINE TÖÖ Osa A Valim A mahuga N=25 variatsioonirida: 1 2 17 81 97 75 22 21 94 62 81 73 74 52 79 45 14 70 2 71 48 79 77 39 19 1. Leida keskväärtuse, dispersiooni, standardhälbe, mediaani ja haarde hinnangud. Keskväärtus: = 51,8 Dispersioon: s x² = 968,58 Standardhälve: s x = 31,12 Mediaan: Mediaan on variatsioonirea keskmine element paarituarvulise valimi korral või kahe keskmise elemendi poolsumma paarisarvulise valimi korral. Me = 62 Haare: R = 91 – 1 = 96 2. Leida keskväärtuse ja dispersiooni usaldusvahemikud (eeldades üldkogumi normaaljaotust ning võttes olulisuse nivooks α = 0.10). Kes...
Öeldakse, et joon y = f(x) on nõgus, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus suureneb. Öeldakse, et joon y = f(x) on kumer, kui liikudes vasakult paremale selle joone puutuja tõus väheneb. Teoreem: Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti piisav tingimus. Olgu x1 funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab
f(x0)
II. F-n on paaris või paaritu III. Nullkohad 1 1 Positiivsus ja negatiivsuspk f(x)>0 =- 2 x x IV. Ekstreemumid ( x ) = 2 1 x Kasvamis- ja kahanemispk f '(x)>0 V. Käänupunktid (x ) = nx n n -1 Kumerus- ja nõgususpunktid f ''(x)>0 VI. Skitseerime f-ni graafiku [ u ( x ) + v( x ) ] = u ( x ) + v ( x ) 102. Ekstreemumite määramine teise tuletise abil I. Leiame f-ni tuletise f '(x) II. Leiame f-ni tuletise 0-kohad f '(x)=0 III. Leiame f-ni teise tuletise f ''(x) IV. Asendame esimese tuletise 0-kohad teise tuletisse
Kuna ja on pidev punktis , siis leidub kus või . Võttes , saame et kui ja kui . Kui on paaris, siis jääkliikme märk vaheldub ja lokaalset ekstreemumit ei ole. G.17 .Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- ;a+ ) allpool (täpsemini, mitte ülalpool) puutujat, mis on tõmmatud punktis (a, f (a)) funktsiooni graafikule. Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer hulgal X, kui selle funktsiooni graafik on kumer hulga X igas punktis.
Leia see arv. 78. Püstprisma põhjaks on romb. Prisma üks diagonaal on d, mis moodustab põhjaga nurga . Prisma külgpindala on 3 korda suurem põhja pindalast. Leia prisma ruumala. 79. On antud punkt A(2;-1) ja sirge a võrrandiga 4x-7y+12=0. Koosta võrrand sirgetele b ja c, mis läbivad punkti A, kusjuures sirge b on paralleelne ja sirge c risti sirgega a. Tee joonis. x +4 80. Leia funktsiooni y = käänupunktid , positiivsuspiirkond jab 3x + 6 kahanemisvahemik. 81. Silindri külgpindala on S ja külgpinnalaotuse diagonaalide vaheline nurk, mis asetseb moodustaja vastas on . Avalda silindri ruumala. log b2 a + 5 log b a + 6 82. Leia b , kui x = x log b a + 3 83. Lahenda ja kontrolli võrrand sin 2 x + sin 2 2 x = 1 2 x x +1 84. Lahenda võrrand x +1 =
all peaksid meie veresooned hargnema, et minimiseerida südame pumpamisel kuluvat energiat; jne. 28. Funktsiooni statsionaarsed ja kriitilised punktid (definitsioonid). Fermat’ teoreem. Fermat’ teoreem: Kui funktsioonil f on maksimum või miinimum punktis a ja kui f 0 (a) eksisteerib, siis f’(a) = 0. Punkti, kus funktsiooni tuletis on null, nimetatakse funktsiooni statsionaarseks punktiks. 29. Kumerus ja nõgusus, käänupunktid (definitsioonid). Nende leidmine. Joon y = f(x) on piirkonnas X kumer, kui selle piirkonna igas punktis on joon allpool oma puutujaid. Joon y = f(x) on piirkonnas X nõgus, kui selle piirkonna igas punktis on joon ülalpool oma puutujaid. Kumeruse kontrollimiseks saame järgmise testi: 1) Kui f’’(x) < 0 kõikide x korral piirkonnast X, siis funktsiooni graafik (ehk joon) on kumer selles piirkonnas.
F kr=F 1−α ( k−1, N−k )=F 0,95 ( 4,20 )=2 , 87 Hüpoteesi vastuvõtmiseks peab F < Fkr: 0,014 < 2,87 Seega võetakse hüpotees vastu ja keskväärtused loetakse hüpoteesi põhjal homogeenseteks. 9. Käsitleda valimit A aegreana pikkusega N=25, koostada selle aegrea graafik. Kontrollida olulisusenivoo 0,05 juures selle aegrea juhuslikku mediaanikriteeriumit ja käänupunktide kriteeriumi järgi. Andmed- N A Märgirida Käänupunktid 1 19 - 2 89 + k 3 32 - k 4 51 = 5 69 + k 6 30 - k 7 81 + k 8 33 - 9 9 - k 10 87 + k 11 43 - k 12 85 +
Kui n on paaris, siis jääkliikme märk vaheldub ja lokaalset ekstreemumit ei ole. G.17 .Kumerus, nõgusus, käänupunktid. Taylori valemi erijuhtu a=0 nimetatakse Maclaurini valemiks c ϵ (0,x)) Definitsioon: Öeldakse, et funktsiooni f (x) graafik on kumer punktis a (täpsemini punktis (a, f (a))), kui leidub punkti a selline δ - ümbrus, et funktsiooni f (x) graafik on argumendi x väärtustel ümbrusest (a- δ ; a +
nimetatakse funktsiooni f kriitiliseks punktiks. Olgu funktsioon f pidev kriitilises punktis a. Siis kehtivad väited 10 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "+" "-", siis on funktsioonil f punktis a lokaalne maksimum. 20 Kui punkti a läbimisel (positiivses suunas) f (x) märk muutub "-" "+", siis on funktsioonil f punktis s a lokaalne miinimum. 30 Kui punkti a läbimisel f (x) märk ei muutu, siis punktis a ekstreemumit ei ole. 6. Joone kumerus, nõgusus, käänupunktid Jooneks y = f (x) nimetame funktsiooni f graafikut. Olgu funktsioon f diferentseeruv vahemikus (a,b). Siis igas punktis P =(x, f(x)) on joonel y = f (x) olemas puutuja. Definitsioon 11. Joont y = f (x) nimetatakse kumeraks (nõgusaks) vahemikus (a,b), kui selle joone puutuja on igas punktis P =(x, f(x)), x(a,b), ülalpool (allpool) joont. Teoreem.19 Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a,b). Kui f (x) < 0 ( f (x) > 0) iga x(a,b) korral, siis on antud joon kumer (nõgus)
nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. 7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid. Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb allpool oma puutujat. Kõverat y = f(x) nimetatakse nõgusaks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb ülalpool oma puutujat. Kui funktsioon on nõgus mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on positiivne selle vahemiku igas punktis. f ''(x) > 0
See tähendab, et x1 ei ole ekstreemum. m.o.t.t. Funktsiooni y = f (x) globaalsed ekstreemumid: 1) lokaalsed ekstreemumid x1 , x 2 ... , mis asetsevad lõigul [a, b] 2) funktsiooni väärtused lõigu otspunktides f (a), f (b) Kahes eelmises punktis leitud funktsiooni väärtustest leitakse suurim ja vähim. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 36 Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. Teoreem kumerus- ja nõgusus- piirkonnast (tõestusega). Definitsioon 1 Funktsioon y = f (x) on nõgus vahemikus (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus kõrgemal temale tõmmatud puutujast. Funktsioon y = f (x) on kumer lõigul (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool temale tõmmatud puutujast. Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja pidev ja milles funktsiooni kumerus muutub
See tähendab, et x1 ei ole ekstreemum. m.o.t.t. Funktsiooni y = f (x) globaalsed ekstreemumid: 1) lokaalsed ekstreemumid x1 , x 2 ... , mis asetsevad lõigul [a, b] 2) funktsiooni väärtused lõigu otspunktides f (a), f (b) Kahes eelmises punktis leitud funktsiooni väärtustest leitakse suurim ja vähim. © 2001 - Ivari Horm ([email protected]), Toomas Sarv 36 Funktsiooni kumerus ja nõgusus, käänupunktid. Teoreem kumerus- ja nõgusus- piirkonnast (tõestusega). Definitsioon 1 Funktsioon y = f (x) on nõgus vahemikus (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus kõrgemal temale tõmmatud puutujast. Funktsioon y = f (x) on kumer lõigul (a, b), kui selle funktsiooni graafik asub selles vahemikus allpool temale tõmmatud puutujast. Definitsioon 2 Punkte, kus funktsioon on määratud ja pidev ja milles funktsiooni kumerus muutub
Siis tuleb edasi tuletist leida kuni esmakordselt tuletis erineb nullist kui see juhtub paarisarvulise tuletise järgu korral on tegemist ekstreemumiga (liik nagu teise tuletise juureski, kui y(n)>0 min) kui paaritu tuletise järgu juures siis mitte. Funktsiooni maksimum ja miinimum (nimetatakse ka lokaalne ekstreemum) ei tarvitse olla vaadeldaval lõigul suurimaks ja vähimaks väärtuseks, tuleb kontrollida ka funktsiooni väärtusi lõigu otspunktides. 7. Kumerus- ja nõgususpiirkond, käänupunktid. Kõverat y = f(x) nimetatakse kumeraks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb allpool oma puutujat. Kõverat y = f(x) nimetatakse nõgusaks punktis x = x0, kui selle punkti kuitahes väikeses ümbruses kõver kulgeb ülalpool oma puutujat. Kui funktsioon on nõgus mingis vahemikus, siis tema teist järku tuletis on positiivne selle vahemiku igas punktis. f ''(x) > 0
arvatud punkti ümbrus. Seega on joon kõikjal nõgus, millest järeldub, et tal ei ole üldse käänupunkte. f. Käänupunkti piisav tingimus koos põhjendusega Olgu funktsiooni teist järku kriitiline punkt. Kui läbides seda punkti funktsiooni teine tuletis muudab märki, siis on joone käänupunkt. Põhjendus: Leiame funktsiooni kumerus- ja nõgususpiirkonnad ja käänupunktid. Antud funktsiooni määramispiirkond on . Avaldame teist järku tuletise: Teist järku kriitilised punktid on ja . Kanname need teljele: (JOONIS) Vaadeldava funktsiooni teine tuletis saab märki muuta vaid teist järku kriitilistes punktides. Seega säilitab märki vahemikes . Fikseerime kontrollpunktid neil intervallides ja teeme kontrollpuntkides kindlaks märgid: Kasutades diagrammi paneme kirja kumeruspiirkonna ja nõgususpiirkonna .
Igas kriitilises punktis ei tarvitse ekstreemumit olla. Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus 1. Olgu x1 funktsiooni y=f(x) kriitiline punkt. 1) Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. 2) Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks, siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. 17. Joone kumerus, nõgusus ja käänupunktid (tarvilik tingimus, piisav tingimus). Kumerus. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) kumer ehk kumer üles (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb ülalpool graafikut. Funktsiooni y = f(x) graafik on vahemikus (a, b) nõgus ehk kumer alla (), kui selle vahemiku igas punktis x funktsiooni y = f(x) graafiku puutuja asetseb allpool graafikut. Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1,f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on
1). (Tuletise lineaarsuse tõestus, st näidata, et saame konstandi tuletise märgi alt välja tuua ning Definitsioon: Funktsiooni y = f (x) nimetatakse rangelt kasvavaks punktis x, kui leidub selline summa tuletis on tuletiste summa). Lause: Kui funktsioonid f(x) ja g(x) on diferentseeruvad positiivne arv δ, et suvaliste x1 ϵ (x - δ; x) ja x2 ϵ (x; x + δ) korral f (x1) < f (x) < f (x2). punktis x ja cR on konstant, siis selles punktis on diferentseeruv ka funktsioon cf(x) Lause: Kui funktsioon y = f (x) on rangelt kasvav punktis x, siis leidub selline δ > 0, Tõestus:Korrutise tuletisest y’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x) lähtuvalt, kui cR on konstant, siis y=c*f(x) tuletis on y’=f(x)*c’+f ’(x)*c=0*f(x)+c*f ’(x)=c*f ’(x) L...
1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on f ` kasvav vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on f ` kahanev vahemikus (a, b). Nende lausete põhjal saame sõnastada järgmise teoreemi: Teoreem 4.5. Olgu funktsioon f kaks korda diferentseeruv vahemikus (a, b). Siis kehtivad järgmised väited: 1. Kui f(x) > 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) nõgus vahemikus (a, b). 2. Kui f(x) < 0 iga x (a, b) korral, siis on joon y = f(x) kumer vahemikus (a, b). Joone käänupunktid. Punkti, mis eraldab pideva joone kumerat osa nõgusast, nimetatakse selle joone käänupunktiks. Käänupunkti tarvilik tingimus koos põhjendusega. Teoreem: Käänupunkti tarvilik tingimus. Kui P = (x1, f(x1)) on joone y = f(x) käänupunkt, siis x1 on funktsiooni f teist järku kriitiline punkt. Põhjendus: Funktsiooni argumendi väärtusi, mille korral teist järku tuletis võrdub nulliga
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
