Teooria vastused II (4)

1)   Mitmemõõtmelise ruumi ja selle punkti mõisted. Kaugus mitmemõõtmelises ruumis. Kauguse omadused. Parameetrilised jooned.

• Mitmemõõteliseks ruumiks nimetakse hulka , mille elementideks on kõik reaalarvust koosnevad järjestatud süsteemid ( a1, a2, …, an).
  

• Mitmemõõtmelise ruumi punktiks nim mitmemõõtmelise ruumi ( a1, a2, …, an) süsteemi A=( a1, a2, …, an).
  

• Kaugus mitmemõõelises ruumis. Kui A=( a1, a2, …, an) ja B=( b1, b2, …, bn) siis
  

|AB|= √(a1-b1)+ (a2-b2)+ …+ (an-bn)

• Kauguste omadused: A=B siis ja ainult siis, kui |AB|=0
  

|AB|=|BA|
|AB|≤ |AC|+|CB|

• Parameetrilised jooned ruumis Rm. Olgu lõigul [T1, T2] antud m funktsiooni x1 = ϕ1(t),
  

x2 = ϕ2(t), . . . , xm = ϕm(t). Vaatleme nende funktsioonidevõrranditest moodustatud süsteemi
x1 = ϕ1(t)
x2 = ϕ2(t)
….
xm = ϕm(t) , t  [T1, T2] .
Antud süsteem määrab iga t  [T1, T2] korral ühe kindla ruumi Rm punkti P =(x1, x2, . . . , xm). Üldiselt vastavad muutuja t erinevatele väärtustele erinevad ruumi punktid. Kui muutuja t jookseb läbi kogu lõigu [T1, T2], siis t-le vastav punkt kujundab ruumis Rm punktihulga, mida nimetatakse parameetriliseks jooneks.
2)     Vektorid mitmemõõtmelises ruumis. Punkti kohavektor. Vektori suunaline sirge ja selle parameetrilised võrrandid. Vektorite skalaarkorrutis . Mitmemõõtmeline ruum kui eukleidiline ruum. Cauchy-Schwartzi võrratus. Teljed mitmemõõtmelises ruumis.

• 2 punkti A = (a1, a2, . . . , am) ja B = (b1, b2, . . . , bm) ruumis Rm.Vaatleme punktist A punkti B suunatud sirglõiku. See on punktide P = (x1, x2, . . . , xm) hulk, mille koordinaadid x-id rahuldavad parameetrilisi võrrandeid
  

x1 = a1 + (b1 − a1)t
x2 = a2 + (b2 − a2)t
. . .
xm = am + (bm − am)t , t  [0, 1] .
Antud hulgas vastab parameetri väärtusele t = 0 punkt A ja parameetri väärtusele t = 1 punkt B. Nimetame sellist sirglõiku vektoriks ruumis Rm ja tähistame AB.Vektori AB pikkust tähistame sümboliga |AB|.

• Olgu tegemist on vektoriga OM, mille lõpp-punkt on M = (b1−a1, b2−a2, . . . , bm− am), kuna antud süsteemist saame t = 1 korral xi = bi − ai. Koordinaatide alguspunktist lähtuv vektor OM on üheselt määratud oma lõpp-punkti M koordinaatidega ning seda nimetatakse punkti M kohavektoriks.
  

x1 = (b1 − a1)t
x2 = (b2 − a2)t
. . .
xm = (bm − am)t , t  [0, 1]

• Vektorite skalaarkorrutis. Olgu kaks vektorit u = (u1, u2, … , um) ja v = (v1, v2, … , vm) siis on skalaarkorrutis järgmine u * v = (u1v1 + u2v2 +…+ umvm)
  
• Eukleideliseks ruumiks nim anfiinset ruumi, mille vektoritel on defineeritud skalaarkorrutis. (anfiinne ruum on ruum, mille punktidel defineeritud vektorite hulk moodustab vektorruumi)
  
• Cauchy-Schwartzi võrratus |u * v| ≤ | u || v |
  
• Teljeks mitmemõõtmelises ruumis Rm nim. antud ruumis oleva vektori e =(0, …, 0, 1, 0, …, 0) suunalist nullpunkti läbivat sirget
  

3)    Lahtised ja kinnised kerad . Hulga sise- ja rajapunktid. Lahtised ja kinnised hulgad. Sidusa hulga mõiste. Tõkestatud hulga mõiste.

• Lahtiseks m-mõõtmelsieks keraks keskpunktiga A=(a1,a2,…,am) ja raadiusega r > 0 nim. hulka U ( A,r )
  
• Hulga G sisekpunktiks nim. punkti A, kui hulk G kuulub ruumi Rm.
  
• Hulga G rajapunktiks nim. punkti A, kui tema suvalises ümbruses leidub punkte, mis kuuluvad hulka G ja punkte, mis ei kuulu hulka G.
  
• Hulka G nim. sidusaks kui selle hulga iga kahte punkti wqqb ühendada pideva murdjoonega, mille kõik punktid kuuluvad hulka G.
  
• Hulka G nim. tõkestatuks kui leidub (kinnine või lahtine ) kera, mille alamhulgaks on hulk G.
  

4)    Mitmemõõtmelise muutuva suuruse ja mitmemuutuja funktsiooni mõisted.

• Olgu x1,x2,...,xm reaalarvulised muutuvad suurused. Suurustest x1,x2,...,xm moodustatud järjestatud süsteemi P = (x1,x2,...,xm) nim. m-mõõtmeliseks muutuvaks suuruseks ehk m-mõõtmeliseks muutujaks. (Komponente x1,x2,...,xm nim suuruse P koordinaatideks).
  
• Olgu antud m-mõõtmeline muutuv suurus P = (x1,x2,…,xm) muutujapiirkonnaga D ja reaalarvuline muutuja z. M-muutuja funktsiooniks nim. kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutujapiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse.
  

5)    Mitmemuutuja funktsiooni graafik . Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline tähendus ja omadusi.

• Olgu z = ƒ (x1, x2, . . . , xm) m-muutuja funktsioon määramispiirkonnaga D. Selle funktsiooni graafikuks nim. järgmist ruumi Rm+1 alamhulka:
  

 .

• K
  ahemuutuja funktsiooni z = f(x, y) graafik
  

Tähendus: Tegemist on teatud pinnaga kolmemõõtmelises ruumis (joonis):
Omadused: 1) See pind koosneb parajasti sellistest punktidest M = (x, y, z) mille koordinaadid x, y ja z rahuldavad võrrandit z = f(x, y).
2) Pinna z = ƒ (x, y) projektsioon xy- tasandile langeb kokku funktsiooni ƒmääramispiirkonnaga D.
3) Suvaline z-teljega paralleelne sirge saab pinda z = ƒ (x, y) lõigata maksimaalselt ühes punktis (vt sirge s ja punkt M joonise).
6)    Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Liitfunktsioon .

• Tehted mitmemuutuja funktsiooniga
  

z = ƒ (P) ja z = g(P)
1) Funktsioonide ƒ ja g summa: z = (ƒ +g) (P) = ƒ (P) + g (P)
2) Funktsioonide ƒ ja g vahe: z = (ƒ −g) (P) = ƒ (P)−g(P)
3) Funktsioonide ƒ ja g korrutis: z = (ƒ g) (P) = ƒ (P)g(P)
4) Funktsioonide ƒ ja g jagatis : z = (ƒ /g) (P) = ƒ (P)/g(P)

• Liitfunktsiooni mõiste.
  

u1 = (P), u2 = 2 (P), . . . , un = n (P)
kus 1, 2, . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul määravad funktsioonid F ja 1, 2, . . . , n liitfunktsiooni z = ƒ (P) valemiga
ƒ (P) = F 1 (P), 2 (P), . . . , n (P).
7)    Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned.

• Olgu u = ƒ (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme ƒ määramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral
  

ƒ (x, y, z) = C.
Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni ƒ nivoopinnaks.

• Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral
  

ƒ (x, y) = C.
Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nim. funktsiooni ƒ nivoojooneks.
8)    Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon.
Olgu P järjestatud muutuv suurus. Punkti A=(a1,a2,...,am) nim. muutuva suuruse P =( x1, x2,...,xm) piirväärtuseks, kui iga etteantud kuitahes väikese positiivse arvu e korral saab näidata sellist suuruse P väärtust, millest alates kõik järgnevad muutuva suuruse väärused kuuluvad punkti A ümbrusesse U( A,e ). Kui punkt A on suuruse P piirväärtus, siis öeldakse et suurus P läheneb punktile A ehk koondub punktiks A ( limP =A).
9)    Olgu punkt A suuruse P piirväärtus. Millele läheneb P ja A vaheline kaugus? Millised on suuruse P koordinaatide piirväärtused
Kui punkt A on suuruse P piirväärtus, siis öeldakse et suurus P läheneb punktile A ehk koondub punktis A ja kirjutatakse P→ A või lim P= A. A ja P vaheline kaugus läheneb nullile . Suuruse P koordinaadid peavad samuti lähenema punkti A vastavte koordinaatideni st. kui P→A siis pi→ai, Iga i = 1,2,…,m korral
10)  Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon.
M-muutuja funktsioonil ƒ on piirväärtus b punktis A kui suvalises piirprotsessis P → A, mis rahuldab tingimust P ≠A, funktsiooni väärtus ƒ (P) läheneb arvule b. Sellisel juhul kirjutatakse
Lim ƒ (x)=b või ƒ (P) → b kui P→ A.
P→A
11)   Mitmemuutuja funktsiooni pidevus etteantud punktis. Pidevus piirkonnas. Millise omadusega on pideva kahemuutuja funktsiooni graafik?

• Olgu antud mitmemuutuja funkts. z = ƒ (P) määramispiirkonnaga D. Funktsiooni. ƒ nim. pidevaks punktis A kui
  

1) ƒ on määratud punktis A, st A  D
2) eksisteerib piirväärtus lim ƒ (P)
P→A
3) lim ƒ (P) = ƒ (A)
P→A

• Funktsiooni ƒ nim. pidevaks piirkonnas G, kui ta on pidev selle piirkonna kõigis punktides.
  
• Pideva kahemuutuja funktsiooni graafik on pidev pind, st pind, mis ei oma katkevupunkte ega katkevusjooni.
  

Funktsioonide summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Liitfunktsiooni pidevus.

• Summa, vahe, korrutise ja jagatise pidevus. Kui mitmemuutuja funtsioonid ƒ ja g on pidevad punktis A siis on selles punktis pidevad ka summa ƒ + g , vahe ƒ-g, korrutis ƒg ning eeldusel g(A)≠ 0 ka jagatis ƒ/g
  
• Olgu u1 = (P), u2 = 2 (P), . . . , un = n (P) argumedist P= (x1,x2,...,xm) sõltuvad m-muutuja funktsioonid. Peale selle olgu z = F (u1,u2,...,um) sõltuv n-muutuja funktsioon. Vaatleme liitfunktsiooni
  

z = ƒ(P) = F(1 (P), 2 (P), . . . , n (P) .
Kehtib järgmine väide. Kui funktsioonid 1, 2, … , n on pidevad punktis A ja funktsioon F on pidev punktis
B = (1 (A), 2 (A), . . . , n (A))
Siis on liitfunktsioon ƒ pidev punktis A
13)   Funktsiooni suurim ja vähim väärtus piirkonnas. Kinnises tõkestatud piirkonnas pidevate funktsioonide omadusi.

• Kui leidub punkt P1 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib võrratus ƒ (P1)≥ ƒ (P), siis nim arvu ƒ (P1) funktsiooni ƒ suurimaks väärtuseks piirkonnas D.
  

Kui leidub punkt P2 piirkonnas D nii, et iga teise punkti P korral sellest piirkonnast kehtib võrratus ƒ (P2)≤ ƒ (P), siis nim arvu ƒ (P2) funktsiooni f vähimaks väärtuseks piirkonnas D.

• Omadused: 1) Kinnises tõkestatud piirkonnas pidev funktsioon saavutab oma suurima
  

ja vähima väärtuse selles piirkonnas.
2) Kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas pidev funktsioon saavutab selles piirkonnas iga väärtuse oma suurima ja vähima väärtuse vahel.
3) Kui funktsioon ƒ on pidev kinnises tõkestatud sidusas piirkonnas D ja omandab selles piirkonnas nii positiivseid kui negatiivseid väärtusi, siis leidub selles piirkonnas vähemalt üks punkt A nii et ƒ (A) = 0.
14)   Mitmemuutuja funktsiooni osatuletise mõiste. Osatuletis kui funktsioon.
Osatuletise mõiste:
Olgu antud m-muutuja funktsioon z= ƒ (x1, x2, …, xm) ja olgu A= (a1, a2, …,am) punkt funktsiooni ƒ määramispiirkonnas. Piirväärtust
lim (a1, a2, …,ai-1, xi,…,am) -  (a1, a2, …,ai-1, ai,…,am)
xi→ai xi-ai
nim funktsiooni ƒ osatuletiseks argumendi xi järgi punktis A ja tähistatakse
ƒ ´xi (A) või ∂z ( A ) või ∂ z ( A )
∂xi ∂xi
Osatuletis kui funktsioon. Eksisteerigu funktsioonil ƒ lõplik osatuletis muutuja xi järgi mingi piirkonna D kõigis punktides. See täh et igale punktile P piirkonnast D saab vastavusse seada ühe kinlda reaalarvu ƒ ´xi(P). Siis on osatuletis ƒ `xi piirkonnas D määratud funktsioon.
15)   Liitfunktsiooni osatuletiste arvutamise valem. Funktsiooni täistuletis ja selle arvutamise valem.
d z = ∂z + ∂z du1 + ∂z du2 +…+ ∂z dun
dx ∂x ∂u1 dx ∂u2 dx ∂un dx
Liitfunktsiooni ƒ tuletist dz/dx nim ka sõltuvalt muutuja z täistuletiseks argumendi x järgi. Nimetus “täistuletis” tuleneb sellest, et tema arvutamisel on võetud arvesse muutuja z sõltuvust argumendist x täielikult liitfunktsiooni ƒ komponentide F ja φ1, φ2, …, φn kaudu.
d ƒ = ∂F ∂1 + ∂F ∂2 +…+ ∂F ∂2
dx ∂u1 ∂xi ∂u2 ∂xi ∂u2 ∂xi
16)   Tuletada ilmutamata funktsiooni tuletise arvutamise valem
Olgu ühemuutuja funktsioon y = ƒ (x) antud ilmutamata kujul võrrandiga F(x, y) = 0. Eeldame et tuletis ƒ `(x) ja osatuletised F`x F`y. eksisteerivad mingis vaadeldavas punktis. Eesmärgiks ontuletada valem ƒ´(x) jaoks F´x ja F`y. kaudu. Selleks leiame kõigepealt ühemuutuja funktsiooni F(x, ƒ (x)) tuletise avaldise . Täistuletise arvutamise eeskirja
dz = ∂z + ∂z u’1 + ∂z u’2 +…+ ∂z u’m
dx ∂x ∂u1 ∂u2 ∂um
põhjal kehtib järgmine valem:
dF (x, ƒ(x)) = F’x(x, ƒ(x)) + F’y(x, ƒ(x)) ƒ’(x)
dx
Järgmiseks kasutame asjaolu, et võõrand F(x,y)=0 määrab ilmutamata kujul funktsiooni y= ƒ (x). sellest tulenevalt kehtib samasus :
F (x, ƒ (x)) ≡ 0
Kuna nullfunktsiooni tuletis võrdub samuti nulliga, siis eelmisest valemist järeldub, et dF/dx(x, ƒ (x))≡0. seega võrdub teise avaldise vasak pool nulliga. Same F´x(x, ƒ (x)) + F`y (x, ƒ (x)) ƒ `(x) = 0. Eeldades et F`y(x, ƒ (x))≠0 tuletame viimasest võrdusest järgmise valemi ilmutamata funktsiooni ƒ tuletise jaoks:
ƒ’(x)= F’x(x, ƒ(x))
F’y(x, ƒ(x))
17)   Defineerida mitmemuutuja funktsiooni tuletis etteantud suunas. Tuletada valem suunatuletise arvutamiseks osatuletiste ja suunavektori koordinaatide kaudu.
Olgu ƒ m-muutuja funktsioon argumendiga P = (x1, x2,. . . , Xm) ja olgu A = ( a1,a2, . . . , am) tema määramispiirkonna punkt. Peale selle olgu s = (s1, s2,. . . ,sm) vektor ruumis Rm. Paiknegu punkt P vektoriga s määratud sirgel l punkti A suhtes positiivses suunas. Funktsiooni ƒ argumendi muutu punktis A iseloomustab punktide P ja A vaheline kaugus |PA|. Funktsiooni muut punktis A võrdub vahega ƒ(P) – ƒ(A). Jagatist (ƒ(P) – ƒ(A))/ |PA| võib tõlgendada kui funktsiooni ƒ suhtelist muutu suunas s punktide A ja P vahel.
Piirväärtust lim (ƒ(P) – ƒ(A))/ |PA| nimetatakse funktsiooni ƒ tuletiseks vektori s suunas punktis A
P→A
ja tähistatakse : ƒs`(A) või ∂ƒ (A) või ∂ * ƒ(A).
∂s ∂s
Defineerime järgmise muutuja t funktsiooni :
g(t) = ƒ(P) = ƒ(x1(t), . . . , xm(t)) = ƒ a1 + s1 * t, . . . , am+ sm * t .
|s1| |sm|
Panme tähele, et g(0) = ƒ(a1, . . . , am) = ƒ(A). Peale selle, kuna t on vektori AP pikkus, siis piirprotsessis P → A läheneb muutuja t nullile. Järelikult
ƒs`(A) = lim (ƒ(P) – ƒ(A)) = lim g (t) – g(0) = g`(0)
P→A |PA| t→0 t
Liitfunktsiooni osatuletise arvutamise eeskirja põhjal saame võrdusest
g`(t) = ƒx1`(P) * x1`(t) + . . . + ƒxm`(P) * xm`(t)
seega
g`(t) = ƒx1`(P) * (s1/|s|) + . . . + ƒxm`(P) * (sm/|s|).
Kui t = 0, siis P = A ja
g`(0) = ƒx1`(A) * (s1/|s|) + . . . + ƒxm`(A) * (sm/|s|).
Järelikult saame suunatuletise ƒs`(A) jaoks järgmise valemi:
ƒs`(A) = (1/|s|) * (ƒx1`(A) * s1 + . . . + ƒxm`(A) * sm).
18)    Millist mitmemuutuja funktsiooni nimetatakse diferentseeruvaks? Defineerida mitmemuutuja funktsiooni täisdiferentsiaal. Tõestada et diferentseeruva funktsiooni täisdiferentsiaali kordajad võrduvad funktsiooni osatuletistega.

• Funktsiooni z = ƒ(x1, x2, . . . , xm) nim. diferentseeruvaks punktis A, kui selle funktsiooni täismuudu ∆z saab esitada järgmise summana:
  

∆z = C1* ∆x1 + C2* ∆x2 + . . . + Cm* ∆xm + β ,

• kus C1, C2, . . . , Cm on konstandid, mis üldiselt sõltuvad punktist A ja on β on kõrgemat järku lõpmatult väike suurus punktide A ja P vahelise kauguse |PA| suhtes piirprotsessis |PA| → 0.
  

Argumendi muutude ∆xi suhtes lineaarset liiget C1* ∆x1 + C2* ∆x2 + . . . + Cm* ∆xm valemist ∆z = C1* ∆x1 + C2* ∆x2 + . . . + Cm* ∆xm + β nim. funktsiooni ƒ täisdiferentsiaaliks kohal A ja tähistatakse dz või dƒ.

• Tõestus: Ci = ƒxi`(A)
  

∆z = Ci* ∆xi + β
∆g = g’(ai) * ∆xi + α(∆xi) * ∆xi
Ci - g`(ai) = (α(∆xi) * ∆xi – β) / ∆xi
Dxi = 0 * ∆x1 + 0 * ∆x2 + . . . + 0 * ∆xi-1 + 1 * ∆x1 + 0 * ∆xi+1 + . . . + 0 * ∆xm = ∆xi

Milline on pinna z=f(x,y) puutujatasandi võrrand punktis B=(a,b,f(a,b))?. Defineerida pinna z=f(x,y) normaalvektor ja normaalsirge punktis B=(a,b,f(a,b)) ja tuletada nende võrrandid.

• Tasandid, mille võrrandiks on z=ƒ(a,b ) + ƒ’x( a, b ) (x - a )+ƒ’y( a,b ) ( y – b ), nimetatakse pinna z = ƒ (x,y) puutujatasandiks punktis B=(a,b, ƒ (a,b)).
  
• Pinna z=ƒf(x,y) normaalvektoriks punktis B nim. vektorit, mis ristub puutujatasandiga selles punktis.
  
• Pinna z=ƒ (x,y) normaalsirgeks punktis B nim. sirget, mis läbib punkti B ja ristub puutujatasandiga selles punktis.
  
• Kui tasand on antud võrrandiga C1x+C2y+C3z+C4=0, siis temaga ristuva vektori koordinaadid on C1, C2, C3 ning temaga ristuva ja punkti (x1, y1, z1) läbiva sirge kanoonilised võrrandid on
  

((x-x1)/C1=((y-y1)/C2)=((z-z1)/C3).
Puutujatasandi võrrand on z =ƒ (a,b)+ ƒ’x(a,b)(x-a)+ ƒ’y(a,b)(y-b). Viies selles võrrandis muutuja z paremale poole ja avades sulud saame
ƒ’x(a,b)x + ƒ’y(a,b) (y-z) +ƒ (a,b)- ƒ’x(a,b)a-ƒ’y(a,b) b =0.
Siit näeme, et puutujatasandi võrrand on esitatav kujul C1x+C2y+C3z+C4=0, kus C1= ƒ’x(a,b), C2= ƒ’y(a,b), C3=-1, C4= ƒ (a,b)- ƒ’x(a,b)a-ƒ’y(a,b)b. Järelikult on pinnal z=ƒ (x,y) punktis B järgmine normaalvektor v(vektor)= (ƒ’x(a,b), ƒ’y(a,b), -1). Normaalsirge n läbib punkti B, mille koordinaadid on x1=a, y1=b, z1=ƒ (a,b). Seega on normaalsirge n kanoonilised võrrandid järgmised:
(x-a)/ ƒ’x(a,b)=(y-b)/ ƒ’y(a,b)= ƒ (a,b)-z

Sõnastada lause mitmemuutuja funktsiooni teist järku segatuletiste võrdsusest.
Eeldame, et m-muutuja funktsioonil eksisteerib osatuletis fxi(x1,..,xm) piirkonnas D. Kui funktsioon f“xixj (x1,x2,..,xm) ja tema osatuletised f’xi, f’xj, f“xixj, f“xjxi on pidevad, siis
f“xixj(x1, x2,.., xm)= f“xjxi(x1, x2,.., xm)
21)   Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused.

• Skalaarväli on sünonüüm mitmemuutajaga funktsiooni jaoks. Taoline mõiste tuleneb sellest, et funktsiooniga z=(P) on igale funktsiooni  määramispiirkonna punktile P vastavusse seatud parajasti üks reaalarv ehk skalaar (P).
  
• Vektorväli olgu D piirkond ruumis R( astmes m). kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse ühe kindla vektori ruumis R (astmes m), nimetatakse piirkonnas D antud vektorväljaks.
  
• Skalaarvälja gradient olgu u= (x1, x2,…,xm) m-muutuja funktsioon ehk skalaarväli piirkonnas D. Eeldame, et funktsioonil  on olemas kõik osatuletised piirkonnas D. Vektorit
  

grad (P)=( ’x1(P),  ’x2(P),…, ’xm(P)) nimetatakse skalaarvälja funktsiooni  gradiendiks punktis P. [kujutist, mis seab igale punktile P hulgast D vastavusse vektori grad  (P), nim.. Skalaarvälja  gradientväljaks]

• Gradiendi omadused:
  

1) suunatuletis : Olgu s vektor ruumis Rm Siis kehtib valem ' s (P)= grad  (P)•s/|s|.
Erijuhul |s|=1 taandub eelnev valem kujule 's (P)= grad  (P) • s.
2) tuletis vektori s suunas on maksimaalne siis, kui s on gradiendisuunaline. Sellisel juhul 's(P)=| grad (P)|.
3) Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja A punkt tema määramispiirkonnas. Vektor grad (A) on funktsiooni  nivoopinna normaalvektor punktis A. teiste sõnadega: grad  A) ristub punkti A läbiva nivoopinna (x, y, z)=C puutujatasandiga punktis A.
[tuletis funktsiooni u =  (x, y, z) nivoopinna puutuja suunas võrdub nulliga]
22)   Nabla. Vektorvälja divergents . Solenoidaalne väli. Vektorvälja rootor . Keerisevaba väli.

• Nabla  ehk Hamiltoni operaator, mis koosneb ainult osatuletistest. Seega Hamiltoni operaator funktsioonist  (P) võrdub selle funktsiooni gradiendiga, st  ( P) =grad  (P).
  
• Vektorvälja divergents olgu antud vektorväli F(P)=(F1(P), F2(P),…,Fm(P)). Moodustame nabla ja F(P) skalaarkorrutise
  

 * F (P) = ∂ F1(P)+ ∂ F2(P) + …+ ∂ F3(P)
∂x1 ∂x2 ∂xm
tegemist on skalaarväljaga. Seda välja nimet vektorvälja F (P)divergentsiks ja tähistatakse div F (P). Seega div F (P)=  • F(p).

• Solenoidaalne väli vektorvälja F(P), mille puhul divF(P)=0, so välja, milles allikad puuduvad, nimet solenoidaalseks väljaks.
  
• Vektorvälja rootor. On antud kolmemõõtmeline vektorväli, moodustame nabla ja F(P) vektorkorrutise
  

e1 e2 e3
 * F (P) = ∂ ∂ ∂
∂x1 ∂x2 ∂x3
F1(P) F2(P) F3(P)
Saadud vektorvälja nimet F(P) rootoriks ja tähistatakse rotF(P). Seega rot F(P)= * F(P). Vektorvälja F(P), mille puhul rot F(P)=0, nim keerisevabaks väljaks.
23)     Potentsiaalne väli. Milliseid tingimusi peavad vektorvälja komponendid rahuldama selleks, et see väli oleks potentsiaalne? Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba.

• Vektorvälja F(P) nim potentsiaalseks, kui ta mingi skalaarvälja gradient, st F(P)=gradU(P) ehk (F1(P), F2(P),…,Fm(P))=(U’x1(P), U’x2(P),…,U’xm(P)). Funktsiooni U(P) selles valemis nimet vektorvälja F(P) potentsiaaliks. [Potentsiaalsed on näiteks gravitatsioonijõu väli, elektrijõu väli jms.]
  

Milliseid matemaatilisi tingimusi peab vektorväli rahuldama selleks, et ta oleks potentsiaalne?

• Kui F (P)on potentsiaalne, siis vastavalt seosele (F1(P),F2(P),…,Fm(P))=(U’x1(P), U’x2(P),…,U’xm(P)) Fi(P)= U’xi(P) iga i=1,…,m korral.
  
• Võrdused Fj (P)= Fi (P)
  

xi xj
kus i, j =1,…,m ongi need, mida peab rahuldama vektorväli F(P) selleks, et ta oleks potentsiaalne.
Näidata, et potentsiaalne väli on keerisevaba.
Olgu antud kolmemõõtmeline potentsiaalne vektorväli F(P)=(F1(P), F2(P), F3(P)). Arvutame selle rootori. Vastavalt võrdustele Fj/xi (P)=Fi/xj(P), i, j=1,…,m kehtivad seosed:
F1 (P)= F2 (P) ; F2 (P)= F3 (P) ; F1 (P)= F3 (P)
x2 x1 x3 x2 x3 x1
Nende seoste tõttu saame valemist
F3 (P) - F2 (P) ; F1 (P) - F3 (P) ; F2 (P) - F1 (P)
x3 x1 x2 x3 x1 x2
võrduse rot F(P)=0. Seega võib väita, et potentsiaalne väli on keerisevaba.
24)  Tuletada kahemuutuja funktsiooni Taylori polünoomi valem n=3 korral. Esitada vastav valem suvalise n korral.
Vaatame kahe muutuja funktsiooni (x,y). Seame endale eesmärgks leida muutujate x ja y polünoom, mis lähendab funktsiooni (x,y) mingi fikseeritud punkti A=(a,b) lähedal. Üldine idee on järgmine: kirjutame funktsiooni (x,y) Taylori polünoomi välja ühe argumendi suhtes ja asendame seal esinevad osatuletised, mis sõltuvad teisest argumendist , oma Taylori polünoomidega. Teeme selle protseduuri läbi n=3 korral. Loeme muutuja y fikseerituks ja kirjutame välja muutujast x sõltuva funktsiooni  Taylori polünoomi punktis a:
 (a,y) + ∂ *  (a,y)(x-a) + 1 ∂ 2 * (a,y)(x-a)2 + 1 ∂3 * (a,y)(x-a)3
∂s 2! ∂x2 3! ∂x3
Siin esineb 4 argumenti y funktsioonil: (a,y), ∂ * (a,y) , ∂2 * (a,y) , ∂ 3* (a,y). Asendame need
∂s ∂s2 ∂s3
funktsioonid oma Taylori polünoomidega punktis b. Selleks et x ja y summaarne aste ei ületaks arvu 3 peame nende funktsioonide jaoks kasutama vastavalt 3,2,1,0 astme polünoome Täpsemalt:
ƒ (a,y) ≈ ƒ (a,b) + ∂ * (a,b)(y-b)+ 1 ∂ 2 * (a,b)(y-b)2 + 1 ∂3 * (a,b)(y-b)3
∂y 2! ∂x2 3! ∂x3
∂ ƒ (a,y) ≈ ∂*  (a,b) + ∂ 2 * (a,b)(y-b) + 1 ∂ 3 * (a,b)(y-b)2
∂x ∂x ∂x∂y 2! ∂x∂y2
∂2 ƒ (a,y) ≈ ∂ 2 *  (a,b) + ∂ 3 *  (a,b)(y-b)
∂x2 ∂x2 ∂x2∂y
∂3 ƒ (a,y) ≈ ∂ 3 *  (a,b)
∂x3 ∂x3
Kasutame neid valemeid esimeses seoses saame järgmise 3-astme poöünoomi:
P3=  (a,b)+ ∂ * (a,b)(y-b)+ 1 ∂ 2 * (a,b)(y-b)2 + 1 ∂3 * (a,b)(y-b)3 +
∂y 2! ∂x2 3! ∂x3
+ ∂*  (a,b) + ∂ 2 * (a,b)(y-b) + 1 ∂ 3 * (a,b)(y-b)2 * (x-a) +
∂x ∂x∂y 2! ∂x∂y2
+ 1 ∂ 2 *  (a,b) + ∂ 3 *  (a,b)(y-b) * (x-a) 2 + 1 ∂ 3 *  (a,b)*(x-a)3
2! ∂x2 ∂x2∂y 3! ∂x3
Avame sulud ja koondame erinevate x-a ja y-b astmetega liigid:
P3=  (a,b)+ ∂ * (a,b)(x-a) + ∂ * (a,b)(y-b) + 1 ∂ 2 * (a,b)(x-a)2 + ∂ 2
∂x ∂y 2! ∂x2 ∂x∂y
+ ∂ 2 *  (a,b)(x-a)(y-b) + 1 ∂ 2 * (a,b)(y-b)2 + 1 ∂ 3 *  (a,b)(x-a)2 +
∂x∂y 2! ∂y2 3! ∂x3
+ 1 ∂ 3 *  (a,b)(x-a)2(y-b) + 1 ∂ 3 *  (a,b)(x-a)(y-b)2 + 1 ∂ 3 *  (a,b)(y-b)3
2! ∂x2∂y 2! ∂x∂y2 3! ∂y3
Antud valem suvalise n korral oleks:
n k
Pn(x,y) = Σ 1 Σ k ∂k * (a,b)(x-a) k-i(y-b)i
k=0 k! i=0 i ∂xk-i∂yi
25)  Mitmemuutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid ja statsionaarsed punktid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus.

• Lokaalseteks ekstreemumiteks nim selle punkti lokaalseid miinimum ja masksimumkohti.
  

Öeldakse et funktsioonil  on punktis P1 lokaalne maksimum, kui:
1) funktsioon  on määratud punkti P1 mingis ümbruses U(P1,e)
2) iga PU(P1,e), P ≠ P1 korral kehtib võrdus  (P)F (P1).

• Funktsiooni z =(P) statsionaarseks punktiks nim punkti P, kus kohtivad võrdlused ’x1(P)= ’x2(P)= ’x3(P)= … =’xm(P)= 0 (ehk grad  (P)=0 )
  
• Lokaalse ekstreemumi tarvilik tingimus Olgu funktisoonil z= (P) punktis P1 lokaalne ekstreenmum ja eksisteerigu osatuletised ’x1(P1), ’x2(P1), … ,’xm(P1) siis ’x1(P)= ’x2(P)= … =’xm(P)= 0 on funktsiooni  statsionaarne punkt .
  

Kahemuutuja funktsiooni lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused
Olgu P1 funktsiooni  (x, y) statsionaarne punkt, st '(X;Y) x(P1) = ', y (P1) = 0.
Tähistame:
A = ''xx(P1) '' xy(P1)
'' yx(P1) '' yy(P1) = ''xx(P1) ''yy(P1) -[''xy(P1)]2
Siis kehtivad järgmised väited:
1) Kui A > 0 ja 'xx(P1) 2) Kui A > 0 ja ''xx(P1) > 0, siis on funktsioonil  punktis P1 lokaalne miinimum.
3) Kui A Juhul A = 0 jääb küsimus lokaalse ekstreemumi olemasolust punktis P1 lahtiseks.

Kahemuutuja funktsiooni tinglik ekstreemumülesanne. Lagrange ’i funktsioon. Tinglike ekstreemumite seos Lagrange’i funktsiooni statsionaarsete punktidega.
Vaatleme ülesannet kahemuutuja funktsiooni z = f(x, y) ekstreemumite ehk suurima ja vähima väärtuse leidmiseks lisatingimusel (x, y) = 0 , kus
on etteantud kahemuutuja funktsioon. See võrrand määrab teatud joone xy-tasandil. Seega tuleb antud tingliku ekstreemumülesande lahendamisel leida funktsiooni z = f(x, y) graafiku madalaim ja kõrgeim punkt joone
(x, y) = 0 kohal.
Tingliku ekstreemumülesande lahendamisel saab kasutada selle ülesandega seotud nn Lagrange’i funktsiooni. Lagrange’i funktsioon konstrueeritakse selliselt , et funktsioonile f liidetakse juurde teatud kordajaga korrutatud lisatingimust määrav funktsioon . Seega on antud ülesande korral on Lagrange’i funktsioon järgmine: F(x, y, λ) = f(x, y) + λ (x, y) .
Kordajat λ funktsiooni
ees nimetatakse Lagrange’i kordajaks. Tingliku ekstreemum
ülesande lahendamise saab nüüd taandada Lagrange’i funktsiooni statsionaarsete punktide leidmisele. Nimelt kehtib järgmine lause: Leidub λ R nii, et funktsiooni f(x, y) ekstreemumid lisatingimusel (x, y) = 0 saavutatakse Lagrange’i funktsiooni F(x, y, λ) statsionaarsetes punktides.
Järelikult tuleb punkte (x, y), kus f saavutab tingliku ekstreemumi, otsida
funktsiooni F statsionaarsete punktide hulgast. Funktsiooni F statsionaarsed
punktid on teatavasti sellised kus F′x (x, y, λ) = F′y (x, y, λ) = 0. Asendades nendesse
seostesse funktsiooni F valemi põhjal saame järgmised võrrandid:
f′x (x, y) + λ′x(x, y) = 0 ,
f′y (x, y) + λ′y(x, y)= 0
Ilmselt on funktsiooni F statsionaarseid punkte(st lahendeid) rohkem kui funktsiooni f tinglikke ekstreemumeid. Miski ei garanteeri, et süsteemi lahend (x, y) rahuldaks ekstreemumülesandes nõutud tingimust
(x, y) = 0. Seega tuleb lahendite hulgast välja selekteerida eelkõige sellised, mis rahuldavad tingimust (x, y) = 0. Süsteem sisaldab
3 tundmatut x, y ja λ kuid ainult 2 võrrandit. Lisatundmatu λ võimaldab meil täiendada süsteemi kolmanda võrrandiga
(x, y) = 0 viies sellega tundmatute ja võrrandite arvud omavahel võrdseks. Saame järgmise süsteemi:
f′x (x, y) + λ′ x(x, y) = 0
f′y (x, y) + λ′ y(x, y) = 0
(x, y) = 0 .
Tingimusliku ekstreemumülesande lahendi leidmiseks lahendataksegi 3×3 võrrandisüsteem. Siiski võib ka lahendite hulgas olla selliseid, mis ei ole esialgse ekstreemumülesande lahendiks. Õigete lahendite välja selekteerimiseks puuduvad üldised eeskirjad. Seda tuleb teha konkreetse ülesande sisust lähtuvalt.