üks neist paikneb lubatava hulga mingis tipus. ● Lineaarplaneerimise ülesande iga lokaalselt optimaalne lahend on ka globaalselt optimaalne 11. Millal on lineaarse planeerimise ülesande optimaalne lahend ühene, millal leiduvad alternatiivsed lahendid? Kuidas seda hinnata graafilise lahendusmeetodi puhul, kuidas simpleksmeetodiga lahendades? Graafiliselt on ühene siis, kui parim nivoojoon omab lubatava hulgaga ainult ühte ühist punkti; Graafiliselt on mitmene siis, kui parim nivoojoon omab aga lubatava hulgaga rohkem kui ühe ühise punkti, siis on olemas ka alternatiivsed optimaalsed lahendid Simpleksmeetodiga on mitmene siis, kui peale Gaussi teisenduste sooritamist süsteemi maatriksi ridade arv (ehk süsteemi lineaarselt sõltumatute võrrandite arv) on väiksem muutujate arvust.
nullile 28. Mis on mitme muutuja funktsiooni gradient? Missuguses suunas kasvab mitme muutuja funktsioon kõige kiiremini? Gradient - vektor funktsiooni määramispiirkonna mingis punktis, mille koordinaatideks on vastava osatuletise väärtused selles punktis Mingis punktis leitud gradientvektori suund näitab funktsiooni kiireima muutumise suunda selles punktis. 29. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Funktsiooni z = f(x;y) nivoojooneks nimetatakse punktihulka, mis rahuldab (nivoojoone) võrrandit z = C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Isokost annab meile kõik mahtude paarid (x, y), mille korral kulu on ühesugune.
o Kuna argumentide x ja y piisavalt väikesteks muutusteks võib lugeda nende muutust ühiku võrra, siis järeldame, et majanduslikult annab täisdiferentsiaal vastava funktsiooni z = f(x; y) ligikaudse muudu, kuui argumentide x ja y väärtused muutuvad ühe ühiku võrra. Samatoodangujooned o Olgu Q = f(x; y) mingi tootmisfunktsioon (kus x ja y on tootmistegurite X ja Y mahud). Siis esitab selle funktsiooni nivoojoon f(x; y) = C kõikvõimalikud tootmistegurite X ja Y mahtude paarid (x; y); kus tootmismaht on võrdne konstanduga C: Seda nivoojoont nimetatakse antud juhul samatoodangujooneks ehk isokvandiks. Seega samatoodangujoone kõikides punktides (x; y) on tootmisfunktsiooni väärtused võrdsed. Tehnilise asenduse piirmäär f ´x
MfX(x;y) = f´X(x,y) Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja y suhtes nimetatakse f osatuletist y järgi. Mfy(x,y) = f´Y(x,y) 2. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus (y väärtus) muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (x ei muutu). 3. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojoonte võrrandiks nimetatakse võrrandit f(x,y)=C 4. Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Isokvant: Olgu toodangufunktsioon Q=Q(x,y). Kui lugeda Q konstantseks C, sis saame võrrandi mis esitab kõikvõimalikke (x,y) punkte, mis annavad toodangu suuruseks C. Seda nivoojoont nimetatakse isokvandiks ehk samatoodangukõveraks. Isokost: Kui C=f(x,y) esitab tootmistegurite X ja Y kulusid, siis nimetatakse selle funktsiooni nivoojoont isokostiks
MfX(x;y) = f´X(x,y) Suuruse f marginaalsuuruseks majandusnäitaja y suhtes nimetatakse f osatuletist y järgi. Mfy(x,y) = f´Y(x,y) 2. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsendi võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x väärtus (y väärtus) muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (x ei muutu). 3. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojoonte võrrandiks nimetatakse võrrandit f(x,y)=C 4. Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Isokvant: Olgu toodangufunktsioon Q=Q(x,y). Kui lugeda Q konstantseks C, sis saame võrrandi mis esitab kõikvõimalikke (x,y) punkte, mis annavad toodangu suuruseks C. Seda nivoojoont nimetatakse isokvandiks ehk samatoodangukõveraks. Isokost: Kui C=f(x,y) esitab tootmistegurite X ja Y kulusid, siis nimetatakse selle funktsiooni nivoojoont isokostiks.
f ( x ) f ( 0) + x+ x + + x 1! 2! n! . Seda valemit nimetatakse Mclaurini valemiks. Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas, siis öedakse, et z=f(x;y)on määratud punktis (x0;y0). Argumentide väärtuspaaride hulka, mille korral funktsioon on määratud nimetakse selle funktsiooni määramispiirkonnaks. Nivoojoon(Nivoopind) Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetakse punktihulka, mis rahuldab võrranditx=C. Enamikul funktsioonidel on lõpmata palju nivoojooni.3 muutuja funktsiooni puhul muutub nivoojoon nivoopinnaks. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus Def: Funktsiooni z = f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi nimetatakse piirväärtust f ( x + x; y ) - f ( x; y ) lim x 0 x z
mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Selgitada osaelastsuse Osaelastsus. F-oni osaelastsus mõistet mitme muutuja majandusnäitaja x suhtes näitab ligikaudselt funktsiooni korral. mitme protsendi võrra muutub f-oni väärtus, kui argumendi x väärtus muutub ühe protsendi võrra, kui y ei muutu. Mis on kahe muutuja Nivoojooned.Kahe muutuja f-oni z=f(x,y) funktsiooni nivoojoon? nivoojoonte võrrandiks nim. võrrandit f(x,y)=c. Nivoojooneks on lõikeringjoone projektsioon xy-tasandil. Isokvant, isokost, ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Mis on isokvant, isokost ja Isokvant-kõver, mis näitab kõiki kahe sisendi ükskõiksuskõver? kombinatsioone, mis tehnoloogiliselt
isokvandid viimane joonis? majandusmudelite analüüsimisel ont ihti otsarbekas kujutada uuritavaid funktsioone graafiliselt. kahe muutuja funktsioonide kujutamiseks saab kasutada selle funktsiooni nivoojooni majanduses kasutatavaet kahe muutuja funtksioonide nivoojoonteks on samatoodangujooned,samakujujooned, samakasu olgu y=f(x1,x2) mingi tootmisfuntksioon, kus x1 ja x2 on tootmistegurite K ja L mahud. selle funtksiooni nivoojoon f(x1,x2) =Y(etteantud suurus>) kõikvõimalikud tootmistegurite K ja L mahtude paarid(x1,x2) , kus tootmismaht on võrde suurusuega Y. seda nivoojoont nimettakse antud juhul samatoodangujooneks ehk isokvandiks. seega samatoodangujoone kõikides punktides on tootmisfuntsiooni väärtused võrdsed isokvandi omadusi: isokvandid on nõgusad erinevad samatoodangujooned omavahel ei lõiku. Seega vastab kindlale tootmistasemele parajasti üks samatood
Nii saame ruumis punkti P koordinaatidega (x,y,z). Punktide P geomeetrilist kohta, mille iga punkti koordinaadid rahuldavad võrrandit z=f(x,y), nim. kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) graafikuks. 3. Pinna z=f (x, y) tasandilõiked tasanditega z=c, x=a ning y=b. Kahe muutuja funktsiooni z=f (x, y) nivoojoon. Kahe muutja funktsiooni graafiku joonestamisel on abiks selle lõiked tasanditega, mis on risti ühega kolmest koordinaatteljest (st. paralleelne ühega koordinaattasanditest). Koordinaattasandite võrrandid on järgmised: yz-tasandi võrrand on x=0, yz-tasandi võrrand on y=0 ja xy-tasandi võrrand z=0.
Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral f (x, y) = C. Need punktid moodustavad joone piirkonnas D. Seda joont nimetatakse funktsiooni f nivoojooneks. Nivoojoon s~oltub samuti konstandist C. Funktsiooni z = f (x, y) nivoojoon f (x, y) = C on kujutatud joonisel 6.2. Ta langeb kokku pinna z = f (x, y) ja tasandi z = C l~ oikejoone L projektsiooniga xy-tasandile. O z z = f (x, y) z=C L Joonis 6
f ( 0 ) f ( 0 ) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) f ( 0) + x+ x ++ x 1! 2! n! Mitme (kahe) muutuja funktsioon, osatuletise rakendused Määramispiirkond- Argumentide väärtuspaaride hulk, mille korral funktsioon on määratud. Kui argumentide väärtuste paarile (x0;y0) vastav z väärtus on olemas (arvutatav), siis öeldakse, et z = f(x;y) on määratud punktis (x0;y0). Nivoojoon (nivoopind)- Funktsiooni z=f(x;y) nivoojooneks nimetame punktihulka, mis rahuldab nivoojoone võrrandit z=C. Enamikel funktsioonidel on lõpmata palju erinevaid nivoojooni. Kui meil on kahe muutuja funktsioon, siis saame nivoojoone, kui muutujaid on 3 või enam , siis on tegemist nivoopinnaga. Osatuletis, selle geomeetriline tähendus- Funktsiooni z=f(x;y) esimest järku osatuletiseks x järgi f ( x + x; y ) - f ( x; y ) ' z
osatuletist x(y) järgi. 47. Selgitada osaelastsuse mõistet mitme muutuja funktsiooni korral. Suuruse f osaelastsuseks majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) nimetatakse suurus: Funktsiooni osaelastsus majandusnäitaja x suhtes (y suhtes) näitab ligikaudselt mitme protsenti võrra muutub funktsiooni väärtus, kui argumendi x (argumendi y) väärtus muutub ühe protsendi võrra kui y ei muutu (kui x ei muutu). 48. Mis on kahe muutuja funktsiooni nivoojoon? Kahe muutuja funktsiooni z = f(x,y) nivoojoonte võrrandiks nimetatakse võrrandit f(x,y)=C 49. Mis on isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver? Isokvant, isokost ja ükskõiksuskõver on nivoojoonte rakendused majanduses. Isokvant tähendab majandusuuringutes kõverat, mis kajastab erinevate tegurite kombinatsioone, isokvant on antud tootmiskoguse valmistamiseks vajalike tootmissisendite geomeetriline koht. Isokost on nende sisendikombinatsioonide
s grad u = , cos = 0 . 2 11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c . Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile. Vaatleme parameetriliselt esitatud joont kolmemõõtmelises ruumis. x = u(t ) y = v ( t ) (11.1) z = w( t ) t parameeter Anname parameetrile muudu t, siis saavad vastavad muudud ja muutujad x, y, z. Need olgu x, y, z. Vaatleme punkte P ( x, y, z ) ja Q( x + x, y + y, z + z ) Tähistame raadiusvektorid ? r ( t ) = OP = { x ( t ) ; y ( t ) ; z ( t )} ?
19. Isokvandid. Nende kasutamine (labortöö). Majandusmudelite analüüsimisel on tihti otstarbekas kujutada uuritavaid funktsioone graafiliselt. Kahe muutuja funktsioonide kujutamiseks saab kasutada selle funktsiooni nivoojooni. Majanduses kasutatavate kahe muutuja funktsioonide nivoojoonteks on samatoodangujooned, samakulujooned, samakasulikkuskõverad. Olgu Y = f(x1, x2) mingi tootmisfunktsioon, kus x1 ja x2 on tootmistegurite K ja L mahud. Selle funktsiooni nivoojoon f(x1,x2) =Y (etteantud Y suurus) kõikvõimalikud tootmistegurite K ja L mahtude paarid (x1, x2), kus tootmismaht on võrdne suurusega Y. Seda nivoojoont nimetatakse antud juhul samatoodangujooneks ehk isokvandiks. Seega samatoodangujoone kõikides punktides on tootmisfunktsiooni väärtused võrdsed. Omadused · Kõik isokvandid on nõgusad · Erinevad samatoodangujooned omavahel ei lõiku. Seega vastab kindlale tootmistasemele parjasti üks samatoodangujoon.
annaabi.ee 
