1. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome 2. puudu || x ||1: k | xk | 3. Näidata, et xϵRn korral rahuldab normi aksioome Normiks vektorruumis V nimetatakse reeglit, mis igale vektorile seab vastavusse skalaari , kusjuures on täidetud järgnevad tingimused: 1). 2). 3). 4. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 5. Näidata, et diferentseeruv kahe-või mitmemuutuja funktsioon on pidev. 6. Näidata, et kahe-või mitmemuutuja funktsioon on diferentseeruv, kui tema osatuletised on pidevad. 7.Liitfunktsiooni tuletise ja osatuletise valemid. Üks neist tuletada. Kui funktsioonid xi = xi (t) (i = 1; … ; n) on diferentseeruvad punktis t ja funktsioon u = f (x) on diferentseeruv punktis P(x1(t);…..; xn(t)), siis liitfunktsiooni f (x1(t); … ; xn(t)) = f (x(t)) = u(t)
diferentsiaalid ja nende kasutamine täisdiferentsiaali valemis. 14. Tõestada liitfunktsiooni osatuletise valem. 15. Täisdiferentsiaali kasutamine ligikaudsetes arvutustes ja veahinnangutes. 16. Pinna puutujatasand ja selle võrrand. Puutujatasandi seos pinna lõikejoonte puutujatega. Pinna normaalvektor ja normaalsirge. Avaldada normaalvektori koordinaadid ja tuletada normaalsirge kanoonilised võrrandid. 17. Kõrgemat järku osatuletised ja nende tähistus. Segatuletiste võrdsus. 18. Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Gradient ja gradientväli. Suunatuletise valemi esitus gradiendi kaudu (gradiendi omadus 1). Tõestada, et funktsiooni tuletis on kõige suurem gradiendi suunas. Kolmemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoopinna normaalvektoriga koos põhjendusega. Kahemuutuja funktsiooni gradiendi seos selle funktsiooni nivoojoone normaalvektoriga. 19. Nabla. Divergents, solenoidaalne väli. Rootor, keerisevaba väli
Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ...; xn) nimetatakse pidevaks piirkonnas , kui see funktsioon on pidev piirkonna 0 igas punktis. Lause Iga mitme muutuja elementaarfunktsioon on pidev omamääramispiirkonna sisepunktides 5) Mitmemuutuja funktsiooni osatuletised ja nende tähistus. Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. 6) Diferentseeruvus. Diferentseeruva mitmemuutuja funktsiooni ja täisdiferentsiaali definitsioonid. Võrrelda diferentseeruvuse ja tuletiste seost ühe- ning mitmemuutuja funktsiooni korral. Kusjuures on kõrgemat järku lõpmata väike usurus võrreldes vektori(x, y) pikkusega ||(x, y)||2 piirprotsessis (x, y)->(0,0) Kui funktsioonil z = f (x; y) on pidevad osatuletised fx ja fy punktis P(x; y), siis funktsioon
nimetatakse funktsiooni f osatuletiseks muutuja xi suhtes argumentide väärtustel a1,…an ∂f ∂ tähistatakse f ' xi ( a1 ,… . an ) või (a1 , …. an) või f (a 1 ,… . an ) ∂ xi ∂ xi 17. Defineerida n-muutuja funktsiooni teist järku osatuletised. Mis on segatuletis? Sõnastada lause segatuletiste võrdusest. Kui võtta funktsioonist f(x1, . . . , xn) kõigepealt osatuletis muutuja xi suhtes ja seejärel osatuletis muutuja xj suhtes, kus i ≠j, siis tekib selle funktsiooni teist järku segatuletis xi ja xj ∂2 suhtes, mida tähistatakse f ( x i … x n ) ehk f ' ' xixj (x i … x n ) . Segatuletise väärtus ei sõltu ∂xj ∂ˇxi
C2= 'y(a,b), C3=-1, C4= (a,b)- 'x(a,b)a-'y(a,b)b. Järelikult on pinnal z= (x,y) punktis B järgmine normaalvektor v(vektor)= ('x(a,b), 'y(a,b), -1). Normaalsirge n läbib punkti B, mille koordinaadid on x1=a, y1=b, z1= (a,b). Seega on normaalsirge n kanoonilised võrrandid järgmised: (x-a)/ 'x(a,b)=(y-b)/ 'y(a,b)= (a,b)-z 20) Sõnastada lause mitmemuutuja funktsiooni teist järku segatuletiste võrdsusest. Eeldame, et m-muutuja funktsioonil eksisteerib osatuletis fxi(x1,..,xm) piirkonnas D. Kui funktsioon f"xixj (x1,x2,..,xm) ja tema osatuletised f'xi, f'xj, f"xixj, f"xjxi on pidevad, siis f"xixj(x1, x2,.., xm)= f"xjxi(x1, x2,.., xm) 21) Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused. · Skalaarväli on sünonüüm mitmemuutajaga funktsiooni jaoks
C2= 'y(a,b), C3=-1, C4= (a,b)- 'x(a,b)a-'y(a,b)b. Järelikult on pinnal z= (x,y) punktis B järgmine normaalvektor v(vektor)= ('x(a,b), 'y(a,b), -1). Normaalsirge n läbib punkti B, mille koordinaadid on x1=a, y1=b, z1= (a,b). Seega on normaalsirge n kanoonilised võrrandid järgmised: (x-a)/ 'x(a,b)=(y-b)/ 'y(a,b)= (a,b)-z 20) Sõnastada lause mitmemuutuja funktsiooni teist järku segatuletiste võrdsusest. Eeldame, et m-muutuja funktsioonil eksisteerib osatuletis fxi(x1,..,xm) piirkonnas D. Kui funktsioon f"xixj (x1,x2,..,xm) ja tema osatuletised f'xi, f'xj, f"xixj, f"xjxi on pidevad, siis f"xixj(x1, x2,.., xm)= f"xjxi(x1, x2,.., xm) 21) Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused. · Skalaarväli on sünonüüm mitmemuutajaga funktsiooni jaoks
osatuletised. = 2𝑥𝑦 ; = 2𝑦 ; = 2𝑦 ; = 2𝑥 ; = 2𝑥 ; = 6𝑦 Siin segatuletiste võrdsus ei ole 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 2 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦2 (1.4.2) pöhjal juhuslik
= (fx (a, b), fy (a, b), -1) . Normaalsirge n l¨abib punkti B, mille koordinaadid on x1 = a , y1 = b , z1 = f (a, b) . Seega on normaalsirge n kanoonilised v~orrandid j¨argmised: x-a y-b = = f (a, b) - z . fx (a, b) fy (a, b) 20) Sõnastada lause mitmemuutuja funktsiooni teist järku segatuletiste võrdsusest. Kui funktsioon f (x1 , x2 , . . . , xm ) ja tema osatuletised fxi , fxj , fxi xj ja fxj xi on pidevad, siis fxi xj (x1 , x2 , . . . , xm ) = fxj xi (x1 , x2 , . . . , xm ) . (6.37) 21) Skalaarvälja ja vektorvälja mõisted. Skalaarvälja gradient ja selle omadused. Skalaarv¨ ali ja vektorv¨ ali. Mitmemuutuja funktsiooni s¨ unon¨ uu¨m on skalaarv¨ ali. Taoline m~oiste tuleneb
diferentsiaalvõrrandi üldlahend on kujul: yx(x) = (j=1,n) Cjyj(x). ((,,) / ^2+^2+^2) + (,,) / ^2+^2+^2. Olgu 1° vektori 1 suunaline ühikvektor, st 1° = (1 / |l| ) * = (1/ |l|)*(,,) = (1 / ^2+^2+^2) * (,,) = ((/ ^2+^2+^2), (/ Tõestada üks segatuletiste võrdsuse piisav tingimus. ^2+^2+^2),( / ^2+^2+^2)) = (cos,,), kus suurused cos, ja on vektori l Kui funktsioon z = f(x,y) ja selle osatuletised zx, zy, zxy ja zyx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni suunakoosinused. Tuletame meelde, et vektori suunakoosinued on koosinused nurkadest, mille see vektor moodustab vastavalt x- segatuletised on võrdsed, s.t
x 2xy y 2y 2f 2f 2f 2f x2 2y x y 2x y x 2x y2 6y Siin segatuletiste võrdsus ei ole juhuslik. Nimelt kehtib Teoreem 1. Kui funktsioon z f x, y ja selle osatuletised z x , z y , z xy ja z yx on mingi punkti ümbruses pidevad, siis selles punktis funktsiooni segatuletised on võrdsed, s.t. 2z 2z x y y x (z xy z yx ) Osatuletise rakendused. 1. Ekstreemumi leidmine. Funktsiooni z f x, y maksimumi ja miinimumi nimetatakse tema ekstreemumiteks.
annaabi.ee 
