Näiteks on kaks hulka: A={(x; y)x2+y2
1. Sõnastada m-mõõtmeline ruum. Kaugus m-mõõtmelises ruumis. 2. Defineerida punkti P Rm -¨umbrus, rajapunkt, sisepunkt, hulga raja. 3. Defineerida lahtine/kinnine hulk, lahtine/kinnine kera. 4. Sõnastada m-muutuja funktsioon, m-muutuja funktsiooni määramispiirkond, m-muutuja funktsiooni muutumispiirkond, funktsiooni graafik. +muutumispiirkond +graafik 5. Nivoojooned, nivoopinnad. 6. Sõnastada kuhjumispunkt, m-muutuja funktsiooni piirväärtus, m-muutuja funktsiooni korduvad piirväärtused. 8. m-muutuja funktsiooni pidevus. m-muutuja funktsiooni katkevuspunkt. Pidevuse tarvilik ja piisav tingimus. 9. Sõnastada m-muutuja funktsiooni osatuletis. 10. Kahe muutuja funktsiooni osatuletise geomeetriline tähendus. 11. Pinna puutuja, puutujatasand, normaal. Tuletada puutujatasandi võrrand. +tuletamine 12
Teoreemid: f(x) ja (x) on pidevad [a;b]. 1. kui 0<=f(x)<=(x) ja (x)dx koondub, siis koondub ka f(x)dx. 2. kui 0<=f(x)<=(x) ja f(x)dx hajub, siis hajub ka (x)dx 8. Määratud integraali ligikaudne arvutamine. Ristkülikvalem. Trapetsvalem. 9. Pindala arvutamine ristkoordinaatides. 10. Polaarkoordinaadistik. Kõversektori pindala polaarkoordinaatides. 11. Kõverjoone kaare pikkus. 12. Mitme muutuja funktsiooni mõiste. 13. Kahe muutuja funktsiooni tasandilõiked ja nivoojooned. 14. Funktsiooni osamuut ja täismuut. 15. Kahe muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus. 16. Mitme muutuja funktsiooni osatuletised. 17. Täismuut ja täisdiferentsiaal. 18. Ilmutamata funktsiooni tuletis. 19. Liitfunktsiooni tuletis. 20. Mistahes järku osatuletised. 21. Tuletis antud suunas. 22. Gradient. 23. Kahe muutuja funktsiooni lokaalsed ekstreemumid. 24. Kahe muutuja funktsiooni suurim ja vähim väärtus antud piirkonnas. 25
5. Kahe muutuja ilmutamata F F funktsiooni osatuletised (valemid). z x = x y z = F y F z z 6. Nivoopinnad ja nivoojooned nivoopindadeks. Kui funktsioon u on (mõisted). kahe muutuja funktsioon: u = u ( x, y ) , siis Need punktid moodustavad on nivoopindadeks u ( x, y ) = c , mis on mingisuguse pinna. Kui konstant c saab tegelikult xy-tasandi jooned, mida teise väärtuse, siis saame teise pinna
Tõkestatud hulk. 4. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Suuruse muutumispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Funktsiooni argument, sõltuv muutuja ja määramispiirkond. Mitmemuutuja funktsiooni graafik. Kahemuutuja funktsiooni graafiku geomeetriline sisu ja omadused. 5. Algebralised tehted mitmemuutuja funktsioonidega. Mitmemuutuja liitfunktsiooni mõiste. Parameetrilised pinnad. Parameetrilised kahemuutuja funktsioonid. Nivoopinnad ja nivoojooned. 6. Järjestatud mitmemõõtmelise muutuva suuruse mõiste. Mitmemõõtmelise muutuva suuruse piirväärtuse definitsioon. Piirprotsessi PA seos piirprotsessiga |PA|0 ja punkti P koordinaatide lähenemisega punkti A koordinaatidele. 7. Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtuse definitsioon. Pideva mitmemuutuja funktsiooni definitsioon. Kahemuutuja funktsiooni pidevuse geomeetriline sisu. Summa, vahe, korrutise, jagatise ja liitfunktsiooni pidevus. 8
<-osatuletis x järgi dFy ( x, y ) := F( x, y ) 1 y <-osatuletis y järgi -dFx( x, y ) tuletis ( x, y ) := dFy ( x, y ) <-tuletis võrdub osatuletis x järgi jagatud osatuletis y järgi tuletis ( x, y ) 2 x · Nivoojooned ja nivoopinnad. Näiteülesanne 2 2 z1( x, y ) := x + y <-funktsioon z1 z1 Näiteülesanne z3( x, y ) := sin x + y (2 2 ) <-funktsioon i := 0 .. 20 j := 0 .. 20 x := -1.5 + 0.15 i i y := -1.5 + 0.15 j j M i, j ( i j) := z3 x , y
.. ; xn); (y1; ... ; yn) Rn, R. Näidata et... 2. Ühe reaalmuutuja funktsiooni piirväärtuse ja pidevuste mõistete üldistamine vektorruumile. E-ümbrused . Lause Funktsiooni f on pidev kohal a parajasti siis kui iga jada {xn} n =1 korral, mis koondub elemendiks a piirväärtus limn-> f(xn)=f(a) f (xn) = f (a). 3. Mitmemuutuja funktsiooni mõiste. Määramispiirkond, mutumispiirkond, nivoojooned(-pinnad). Definitsioon Kui hulga (külliliU) Rn igale punktile P(x1; .....; xn) on vastavusse seatud muutuja u R kindel väärtus, siis öeldakse, et hulgal on defineeritud n-muutuja funktsioon. Hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks. Pinda punktiruumis Rn võrrandiga f (x1;... ; xn) = C, kus C R on etteantud konstant, nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks 4.Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus. Pidevus Definitsioon Funktsiooni u = f (x1; ..
max min z= f(x,y) g(x, y) = 0 lahendamine. · Moodustada Lagrange'I funktsioon · Leida selle osatuletised · Osatuletistest tekitada süsteem, kus leida Lagrange'I funktsiooni statsionaarsed punktid · Kandes punktid graafikule ja kontrollida neid geomeetriliselt · Joonestades esialgse funktsiooni nivoojoone, mis leitud punkte läbib + lisaks mõned nivoojooned, et kasvamine selgitada · Pannes statsionaarse punkti koordinaadid, mis lõikub nivoojoonega, asemele esialgsesse võrrandisse saame lahendi 33. Millisel juhul saab kahte maatriksit liita, lahutada. Siis kui tegu on samamõõtmeliste maatriksitega 34. Millal saab arvutada maatriksite A ja B korrutist AB? Siis kui esimese maatriksi veergude arv võrdub teise ridade arvuga. 35. Millistel maatriksitel on olemas pöördmaatriks?
32% gum), mida käsitletakse ühe suuruse järjestikuste jahu. e tabeli ridade või veergude väärtusi. de (reaseeriad) või veergude (veeruseeriad) päised. (argumendid) või märgendid. Näitel on ga. Page 4 Diagrammi Diagrammi pealkiri piirkond Tulpdiagramm - Column Nivoojooned Graafikapiirkond Legend 450 400 390 340 Vertikaal Tuh. EEK 350 302 Liha -telg 300 Piim 250 Jahu 200 150
4) Funktsioonide ja g jagatis: z = ( /g) (P) = (P)/g(P) · Liitfunktsiooni mõiste. u1 = (P), u2 = 2 (P), . . . , un = n (P) kus 1, 2, . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul määravad funktsioonid F ja 1, 2, . . . , n liitfunktsiooni z = (P) valemiga (P) = F [1 (P), 2 (P), . . . , n (P)]. 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. · Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme määramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni nivoopinnaks. · Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral
4) Funktsioonide ja g jagatis: z = ( /g) (P) = (P)/g(P) · Liitfunktsiooni mõiste. u1 = (P), u2 = 2 (P), . . . , un = n (P) kus 1, 2, . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul määravad funktsioonid F ja 1, 2, . . . , n liitfunktsiooni z = (P) valemiga (P) = F [1 (P), 2 (P), . . . , n (P)]. 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. · Olgu u = (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme määramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni nivoopinnaks. · Olgu z = f(x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C jällegi etteantud konstant. Vaatleme piirkonnas D punkte (x, y) mille korral
nimetatakse rajajooneks, punkte, mis ei asetse rajajoonel aga sisepunktideks. Näide: 26 1 Z = 1 - x2 - y 2 1 - x2 - y 2 > 0 x 2 + y 2 <1 Muutumispiirkond: Z = { ( x, y ) | z = f ( x, y ) D} Graafik: Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) graafikuks on pind x-y-z ruumis e. graafik on kolmemõõtmeline. Graafikul on nn lõikejooned e. nivoojooned. Nivoojooned saadakse andes z muutujale positiivsed reaalarvulised väärtused. 0 43. Kahe muutuja funktsiooni pidevus ja katkevus. Pidevus: Olgu punkt P0(x0,y0) funktsiooni f(x,y) määramispiirkonns. Funktsioon on Z= f(x,y) on pidev punktis P0 juhul, kui on täidetud tingimus: lim f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) x x0 y y0 , kusjuures punkt P(x,y) läheneb punktile P0(x0,y0) suvalisel viisil, jäädes funktsiooni
Lineaarseid võrratusi saab enamasti lahendada graafiliselt. Kui võrratused on vastuolulised, siis lahend puudub (ühine osa puudub). Leidub ka ülearuseid võrratusi, ehk mõni võrratus järeldub teisest/teistest. 6. LP ülesande graafiline lahendamine I meetod nivoojoonte abil N: z= 2x1-x2àmina, max x1+x2 4 (I) x1-2x2 -2 (II) x1, x2 0 *teen joonise ning leian, et nelinurk ABCD on lubatavate lahendite hulk Lisan joonisele nivoojoone z=0. Ülejäänud nivoojooned saab tõsta paralleelsete sirgetena. Nivoojoonte äärmise taseme viirutatud piirkonnas määravad miinimum- ja maksimumpunkti. II meetod põhineb lubatavate lahendite hulga 3. teoreemil, et ülesande min ja max saavutatakse mingite lubatavate lahendihulkade tipus. LP ülesandes on alati kolm võimalus 1) optimaalne lahend eksisteerib 2) sihifunktsioon on tõkestamata zmax= lõpmatus 3) lahend puudub. kitsendused vastuoluline 7. Kaks näidet LP ülesande kohta 1
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Kood YMM0012 3,5 AP KORDAMISKÜSIMUSED 1. Mitme muutujaga funktsiooni mõiste m-muutuja funktsiooniks nimetatakse kujutist, mis seab suuruse P igale väärtusele tema muutumispiirkonnast D vastavusse suuruse z ühe kindla väärtuse Mitmemuutuja funktsioon graafik Funktsiooni z=f(x1,x2,...,xm), määramispiirkonnaga D, graafikuks nimetatakse järgmist ruumi Rm+1 alamhulka ={(x1,x2,...,xm,f(x1,x2,...,xm))||P(x1,x2,...,xm)D} 2. Nivoojooned ja pinnad Kahemuutuja funktsiooni z=f(x,y) nivoojooneks nimetatakse joont, mille moodustavad piirkonna D punktid (x,y) mille korral f(x,y)=C, kus C on etteantud konstant Skalaarvälja f ehk funktsiooni f nivoopinnaks nimetatakse pinda, mis koosneb piirkonna D punktidest (x,y,z) mille korral f(x,y,z)=C, kus C on etteantud konstant. 3. Mitme muutuja funktsiooni piirväärtus ja pidevus Mitmemuutuja funktsiooni piirväärtus
. , xm ). See t¨ahendab, et u1 = 1 (P ), u2 = 2 (P ), . . . , un = n (P ), kus 1 , 2 , . . . , n on m-muutuja funktsioonid. Sellisel juhul m¨a¨ aravad funkt- = sioonid F ja 1 , 2 , . . . , n liitfunktsiooni z f (P ) valemiga f (P ) = F 1 (P ), 2 (P ), . . . , n (P ) . 7) Kolmemuutuja funktsiooni nivoopinnad. Kahemuutuja funktsiooni nivoojooned. Olgu u = f (x, y, z) kolmemuutuja funktsioon ja C etteantud konstant. Vaatleme f m¨ a¨aramispiirkonnas D selliseid punkte (x, y, z) mille korral f (x, y, z) = C. Need punktid moodustavad teatud pinna piirkonnas D. Taolist pinda nimetatakse funktsiooni f nivoopinnaks. Nivoopind s~oltub etteantud konstandist C. See t¨ahendab et konstandi C muutmisega muutub ka nivoopind. J¨argmiseks olgu z = f (x, y) kahemuutuja funktsioon piirkonnas D ja C j¨ allegi etteantud konstant
u ? max = grad u kui s on samasuunaline grad u -ga = 0 cos = 1 . Teiste s sõnadega funktsiooni kasvamiskiirus on suurim gradiendi suunas. 2) Tuletis suunas, mis gradiendiga risti on null. s grad u = , cos = 0 . 2 11. Nivoojooned ja nivoopinnad. Kõverjoone puutuja ja normaaltasand. Vaatleme kahe muutuja funktsiooni z = f ( x, y ) Def. 11.1. Jooni, mille võrrandiks on f ( x, y ) = c , nimetatakse funktsiooni z = f ( x, y ) nivoojoonteks. Kolme ja enama muutuja funktsiooni korral saame nivoopinnad. Kolme muutja funktsiooni u = f ( x, y, z ) nivoopinna võrrand on f ( x, y, z ) = c . Nivoojoon on pinna z = f ( x, y ) ja tasandi z = c lõikejoon ja selle projektsioon xy tasandile.
nivootasapinnast lähtudes. Täpsus sõltub vahemaast, kasutatud vedeliku viskoossusest, lugemite võtmise meetodist/seadmest. Nii näiteks kuni 500 meetrise vahemaa puhul on realistlik 1 cm täpsuse saavutamine. 5) GPS-niveleerimine Kõrgus maaellipsoidi (mitte merepinna!) suhtes saadakse paari sentimeetri täpsusega. Kasutatakse GPS ja geoidi mudelit koos. 47. Kõrguslike nivoopindade omadus. Iga ruumipunkti läbib ainult üks nivoopind nivoojooned ei ristu seotud potentsiaaliga 48. Geomeetriline nivelleerimine keskelt ja otsast Kahe punkti vahelist kõrguskasvu võib mõõta nivelliiri ja lati abil kahel viisil: otsast ja keskelt. 1) Otsast nivelleerimine Otsast nivelleerimisel asetatakse ühte antud punkti paigaldatud statiivile nivelliir, teise punkti aga vertikaalne latt. Kui pikksilm on seatud viseerimiskiire horisontaalasendisse, tuleb viseerida latile ja niitristiku keskmise niidi järgi võtta lugem e
y 2 2 2 2x Joonis 6.4. Funktsiooni z = ln(8 - x2 - y 2 ) + 2y - x2 mn¨aa¨ramispiirkond 6.2 Kahe muutuja funktsiooni graafiku tasandil~ oiked ja nivoojooned Kahe muutuja funktsiooni graafiku joonestamisel on abiks selle l~oiked ta- sanditega, mis on risti u¨hega kolmest koordinaatteljest (st paralleelne u ¨hega koordinaattasanditest). Koordinaattasandite v~orrandid on j¨argmised. yz-tasandi v~orrand on x = 0, xz-tasandi v~orrand on y = 0 ja xy-tasandi v~orrand z = 0. Tasand x = a on x-teljega risti, st yz-tasandiga paralleelne. Tasand y = b
annaabi.ee 
