Füüsika konspekt Skaalariks nimetatakse suurust, mis on täielikult iseloomustatav üheainsa arvuga(arvväärtuse ja mõõtühikute abil). Skalaari puhul ei ole suund oluline. Näiteks keha mass, ruumala, tihedus ja temperatuur. Vektoriks nimetatakse suurust, millel on lisaks väärtusele ka kindel suund. Näiteks jõud, kiirus, kiirendus. Nihe Nihkevektor ehk nihe on vektoriaalne suurus(on olemas kindel suund). Nihe on liikumine algpunktist lõpppunkti(punktist A punkti B). Nihke tähis on s, mille peal on nool. Aeg, Ruum ja Mateeria Põhjuslikkuse tagajärje seos: Kui 1 sündmus kutsub esile teise, siis on esimene sündmus teise põhjuseks, teine sündmus aga esimese tagajärjeks. Põhjuslikult seotud sündmuste jada nimetatakse protsessiks, mis toimub kindlas kohas ja ajas. Nii saame maailmast, kui tervikust eraldada mõtteliselt aja ja ruumi. See mis jääb järgi on mateeria. Mateeria: mateeria põhivormideks on aine...
Vektorite liitmist on lihtsaim kirjeldada geomeetriliselt: kasutatakse rööpküliku reeglit. Liitmise tulemusena saadakse uus vektor: a + b = c . Liitmine on kommutatiivne: a + b = b + a . Lahutamine on liitmine vastandmärgiga: a - b = a + (-b) . Miinusmärk ei muuda vektori suurust. Ta muudab vektori suuna vastupidiseks. Skalaariga korrutamine muudab vektori absoluutväärtust (välja arvatud juhtum, kus skalaari absoluutväärtus on 1). Kui skalaar on negatiivne arv, muutub vektori suund vastupidiseks. 2 3. Kahe vektori skalaarkorrutis Kahe vektori skalaarkorrutis on arv, mis saadakse, kui korrutatakse vektorite absoluutväärtused ja nendevahelise nurga koosinus: a b = ab cos . ( ) Skalaarkorrutis saab koosneda ainult kahest tegurist, sest a b c on juba
vastassuunalised 50 Newtoni IV seadus(gravitatsiooniseadus)-kaks punktmassi tõmbavad teineteist jõuga, mis on võrdeline nende masside korrutisega ja pöördvõrdeline nende kauguse ruuduga 51 njuuton-jõu ühik, annab kehale massiga 1 kg jõu mõjumise suunas kiirenduse 1 m/s2 52 nihe-keha lõppasukoha ja algusasukoha vahe mõõdetuna linnulennult 53 vektor-füüsikaline suurus, mida iseloomustab peale arvulise väärtuse ka suund 54 skalaar-füüsikalist suurus, mis on esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga 55 punktmass-füüsikalise keha mudel, mille puhul keha mass loetakse koondatuks ühte ruumipunkti 56 pöördenurk-nurk, mille võrra pöördub ringliikumises oleva keha trajektoori raadius mingi aja jooksul 57 radiaan-pöördenurga mõõtühik, kesknurk, millele vastav ringjoone kaare pikkus võrdub ringjoone raadiusega 58 reaktiivliikumine-selle liikumise põhimõtteks on, et lõhkeaine põlemisel tekkivate
5) Mis on ruum ja aeg? Ruum ja aeg on mateeria ja selle liikumise eksisteerimise ja iseloomustamise keskkond. 6) Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Ruumi homogeensus: iga punkt ruumis on füüsikaliselt samaväärne. Aja homogeensus: vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. 7) Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras. Tugev – 1, elektromagnetiline – 1/137, nõrk – 1*10-6, gravitatsiooniline – 6*10-39 8) Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor- füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud...) Skalaar- füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus...) 9) Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. Kolmnurk Parallelogramm 10) Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori.
Ristkülikmaatriks *leida maatriksi viimase veeru ja vektori skalaarkorrutis (S) *jagada iga rea elemendid selle rea elementide summaga *moodustada uus maatriks veergudest, kus viimane element on suurem antud arvust Ruutmaatriks *lahutada esimene rida nendest ridadest, kus kõrvaldiagonaali element on positiivne *leida minimaalne element antud veergude vahemikus *leida positiivsete elementide keskmine allpool peadiagonaali (S) Kesk Skalaar Antud arv Veerg_1 Veerg_2 Min_elem -12189 20 1 3 Vektor Iga rea elemendi jagamine selle rea elementide summaga -48 -0,4 0,5 0,4 0,3 -92 0,3 -0,6 0,5 0,3 4 0,5 0,4 0,4 -0,2 -82 -0,2 0,2 0,3 0,3
2. Mis on nende erinevused ja sarnasused (näited)? 3. Kirjelda Eukleidsese, Lobatsevski ja Reimanni geomeetriat 4. Kuidas sõltub aeg liikumise kiireusest ja gravitatsioonist? 5. Kirjelda suhtelist liikumist, kulgliikumist, pöörlevatliikumist ja võnkumist? 6. Mille poolest erineb aine väljast? 7. Newtoni seadused peast ( 3tk) 8. Mida näitab töö? Mida näitab võimsus? 9. Mis asi on energia? 1. Vektor on suunatud matemaatikas suunatud ristlõik. Skalaar on füüsikaline suurus, mis on esitatav vaid ühe mõõtarvu ja mõõtühikuga. 2. . 3. Eukleides Tema on Antiik-Kreeka õpetlane, kes pani aluse tänapäeva koolimatemaatikas õpetatavale geomeetriale. Tema geomeetria üheks aluseks on see, et paralleelsed sirged, ei lõiku kunagi. Lobatsevski Tema tegi oma geomeetria, kus paralleelsed sirged on defineeritud kui sellised, mis lõpmatuses siiski lõikuvad. Ning erinevalt Eukledese sirge ruumi
Füüsika kordamisküsimused 1. Mis on vektor? Mis on skalaar? Vektor on suuna ja sihiga füüsikaline suurus. Skalaar on suuna ja sihita füüsikaline suurus. Mõlemal on olemas arvuline väärtus. Skalaari puhul muutub miinusmärgiga korrutades suuruse väärtus positiivsega võrreldes vastupidises, vektori puhul miinus ühega korrutades pikkus jääb samaks, aga aeg muutub vastupidiseks. Vektoriaalsed suurused on nt kiirus ja jõud. Skalaarsed suurused on nt aeg, pikkus, mass, temperatuur. 2. Kirjelda eukleidilist ruumi, labotsevski ruumi ja reimani ruumi.
Magnetvoog on magnetinduktsiooni ja pinnavektori skalaarkorrutis.Q=B-*S-=Bscos2 Vektorite skalaar korrutis on nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise koosseisu korrutis Pinnavektor antud tasapinna pinna vektor on vektor, mille pikkus võrdub selle pinna pindalaga ja suund on risti pinnaga. B-magnetinduktsioon(T), S-pindada(m2),2-nurk magnetvälja ja pinnamooli vahel, Q- magnetvoog. Sisuliselt näitab magnetvoog kui palju jõujooni läbib antud pinda. Magnetvoogi mõõtmiseks on 3 võimalust: Nurka muuta, muuta pinna pindada. Faraday induktsiooniseadus- suletud kontuuris tekkis
põhiseaduseks on liikumatu punktikujulise laetud keha vastastikuse mõju seadus F=K q1q2/r2 Elektrilaengu jäävuse seadus-elektriliselt isoleeritud süsteemis on igasuguse kehade vastasmõju korral kõigi laengute algebraline summa jääv. Pos ja neg laeng ei saa teineteisest eraldi, teineteisest sõltumata hävida. Elektrivälja tugevus-füüsikaline suurus, mis võrdub antud väljspunkti asetatud punktlaengule mõjuva jõu ja selle laengu suhtega. E=F/q Vektor-suunatus suurus(F ja E), skalaar-suunata suurus(r ja q). V=V/S ja S=V/V Kogu väljatugevus võrdub välatugevuste vektorite summaga. Elektrivälja jõujooned-joon, mille igast punktist tõmmatud puutuja siht ühtib väljatugevuse vektori sihiga. EV jõujooned algavad positiivsetel laengutel ja lõppevad negatiivsetel või suunuvad lõpmatusse. Homogeenne elektriväli-EV mille tugevus on igas ruumipunktis nii suuruselt kui ka suunalt ühesugune. Homogeense EV jõujooned on üksteisega paralleelsed.
Kõrgema matemaatika kordamisküsimused eksamiks 1. Kahe vektori skalaar- ja vektorkorrutis Vektoriks nim suunaga ja pikkusega sirglõiku. Tähistatakse , kus A ja B tähistavad vastavalt vektori algus- ja lõpp-punkti. Vektori mooduliks nim vektori pikkust. Tähistatakse . Ühikvektoriks nim vektorit, mille pikkus võrdub ühega. . Nullvektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ja lõpppunkt ühtivad. . Vabavektoriks nim vektorit, mille alguspunkt ei ole fikseeritud, st vektori asendit võib
11. Mis on vektori projektsioon teljel ja miks seda on vaja? Vektor projektsioon teljel on skalaar. On vaja, et näha vektori teljesuunalist komponenti. 30. Tõestage, et isoleeritud süsteemis on impulss jääv. Isoleeritud süsteem- puuduvad välisjõud või nad kompenseeruvad. Olgu kahest kehast koosnev süsteem. Vastavalt Newtoni III seadusele mõjutavad nad teineteist võrdsete ja vastassuunaliste jõududega. Need on süsteemi sisejõud. Jõud on võrdne impulsi muuduga. Seega võime kirjutada: 47. Joonisel on keha paigal pöörleval karussellil. Vaadelge kehale mõjuvaid
Taustkeha- keha, mille suhtes vaadeldakse liikumist. Taustsüsteem- taustkeha+kordinaadistik+ ajaarvestuseks valitud alghetked Nihe- suunatud sirglõik, mis ühendab keha algasukohta teha lõppasukohaga. Kiirus- füüsikaline suurus, mis näitab kui palju muutub liikuva keha asukoht ruumis ajaühiku jooksul. Hetkkiirus- kiirus antud hetkel Keskmine kiirus- läbitud teepikkuse ja selle läbimiseks kulunud aja suhe. Vektor- suurus, millel on olemas suund (raskusjõud, kiirus) Skalaar- suunata suurus (tihedus, mass) S = sx2+sy2 l=2R s=2R
Ruum ja aeg on mateeria ja selle liikumise eksisteerimise ja iseloomustamise keskkond. 6. Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Ruumi homogeensus: iga punkt ruumis on füüsikaliselt samaväärne. Aatom maal on samaväärne samasorti aatomiga Marsil. Aja homogeensus: vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. Aja ja ruumi homogeensus tagab teadmiste kogumise. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju Kandja 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud ..) Skalaar füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus..), Tehted skalaaridega on nii nagu tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada kahe vektoriga, mille summa annab esialgse vektori. 11
LIIKUMINE RUUMIS Kiirus Punkti kohavektor oli r = xi + y j + z k . Joonisel 1 liigub objekt punktist P1 punkti P2, mille kohavektorid on vastavalt r1 ja r2 . Nihe on vektor, mis viib liikumise algpunktist liikumise lõpppunkti. Joonisel 1 on nihkevektoriks r = r2 - r1 . Trajektoor on joon, mida mööda punkt liigub. Trajektoor on skalaar. Trajektoori mööda ds mõõdetakse tee pikkust. Kui tee pikkus on s, siis kiiruse suurus on v = . dt Joonis 1. Punkti liikumine mööda trajektoori Objekti liikumine mööda trajektoori asendist P1 asendisse P2 toimub aja t jooksul. Keskmine kiirus selle aja jooksul on r2 - r1 r v av = = t 2 - t1 t
ma = ( mX 1 ; mY1 ; mZ 1 ) Näide Olgu antud a = (3;-41 ;2) siis b = (1;0;-5) a + b = (3 + 1;-4 + 0;2 + (-5)) = (4;-4;-3) a - b = (3 - 1;-4 - 0;2 - (-5)) = (2;-4;7) - 2a = ( -2 3;-2 ( -4);-2 2) = ( -6;8;-4) Vektorite skalaarkorrutis Kahe vektori a = ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ); b = ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) skalaar- korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b = a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti.
a b ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z 1 Z 2 ) ma ( mX 1 ; mY1 ; mZ 1 ) Näide Olgu antud a (3;41 ;2) siis b (1;0;5) a b (3 1;4 0;2 (5)) (4;4;3) a b (3 1;4 0;2 (5)) (2;4;7) 2a ( 2 3;2 ( 4);2 2) ( 6;8;4) Vektorite skalaarkorrutis Kahe vektori a ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ); b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) skalaar- korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti.
a b ( X 1 X 2 ; Y1 Y2 ; Z 1 Z 2 ) ma ( mX 1 ; mY1 ; mZ 1 ) Näide Olgu antud a (3;41 ;2) siis b (1;0;5) a b (3 1;4 0;2 (5)) (4;4;3) a b (3 1;4 0;2 (5)) (2;4;7) 2a ( 2 3;2 ( 4);2 2) ( 6;8;4) Vektorite skalaarkorrutis Kahe vektori a ( X 1 ; Y1 ; Z 1 ); b ( X 2 ; Y2 ; Z 2 ) skalaar- korrutiseks nimetatakse nende vektorite pikkuste ja vektorite vahelise nurga koosinuse korrutist, s.t. a b a b cos kus on vektorite vaheline nurk. Seda valemit kasutatakse ka kahe vektori vahele jääva nurga arvutamisel. Sellest valemist järeldub, et kui vektorid on risti, siis skalaar- korrutis on null. Kehtib ka vastupidi: kui vektorite skalaarkorrutis on null, siis vektorid on risti.
E0 E0 , e R' 1 R" 1 R"' 1 Litoloogilis-geneetiline skalaar Litoloogilis-geneetiline skalaar 4,5 EI 3-2 2 EI , e -- -- -- 2 K0g G0
6. Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Ruumi homogeensus: iga punkt ruumis on füüsikaliselt samaväärne. Aatom on samaväärne samasorti aatomiga Marsil. Aja homogeensus: vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. 7. Loetlege vastasmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju kandja (Ei küsi - Arvo Mere) 10^40 Tugev gluuon (meson?), 10^38 Elektromagnetiline footon, 10^15 Nõrk - uikon, 10^0 Gravitatsiooniline graviton. 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor-füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt (nihe, kiirus, kiirendus, jõud...) Skalaar-füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus...) Tehted skalaaridega on nii nagu ikka tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. Nihutada iga järgneva vektori alguspunkt eelneva lõpppunkti(kehtib ka paljude vektorite puhul ja on lihtsam) [(kõik on vektorid) x=1+2+3+...+n] x
AM x + x B y + y B 9. Lõigu jaotamine antud suhtes = , ( xM = A ; yM = A ;...) MB 1+ 1+ x + x2 y + y2 z + z2 10. Lõigu poolitamine x K = 1 ; yK = 1 ; zK = 1 2 2 2 11. Kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis võrdub nende vektorite moodulite ja nende vektorite vahelise nurga koosinuse korrutisega. a b = a b cos a b 12. a b = a pra b = b prb a , millest prb a = b 13. skalaarruut aa = |a| 2 a = a2 a b X 1 X 2 + Y1Y2 + Z 1 Z 2 14
kui elementaartööde summa A=Ai fsi si . Kui kõik si lähenevad nullile, saab ligikaudsest võrdusest range: A= limsi ->0 fsi si = fsds . Töö ühikuks on töö, mille sooritab liikumise suunas mõjuv ühiku suurune jõud ühikulise pikkusega teel (SI tööühik on dzaul J, ehk töö, mida teeb jõud 1 njuuton 1 meetri pikkusel teel). Töö avaldise võib esitada ka jõuvektori ja nihkevektori skalaarkorrutisena (skalaar, mis on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga korrutisega) AB=ABcos. Vektori ruut on vektori skalaarkorrutis iseendaga A2 = AA = AA cos 0 = A2 . Skalaarkorrutis ei sõltu tegurite järjekorrast, seega on see kommutatiivne. AB =AB cos = A(Bcos) = B (A cos). Distributiivse skalaarkorrutise korral A= limsi->0fsi si = fds A = lim ti->0fiviti = fvdt A = lim (si)i->0fi(sf)i = fdsf Kui jõu suurus ja suund ei muutu, võtab avaldis kuju A=f ds = fs =fsf .
Ühtlaselt muutuv ringliikumine - Nurkkiirus pole konstantne sellepärast et on olemas nurkkiirendus ,mille nim antud füüsikalise suuruse väärtuseks.Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (ntx jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted: a) vektori * skalaariga av-=av-- b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektor on nurkkiiruse vektoriga samasuunaline e aksiaalvektor. a τ =εR
elemendiga korrutamise assotsiatiivsus) 7) ∀ ⃗a ∈V , ∀ λ∈R , ∀ μ∈R korral ( λ+ μ ) a⃗ =λ ⃗a + μ a⃗ (distributiivsus skalaariga korrutamise suhtes) 8) ∀ ⃗a ∈V , ∀ ⃗b ∈V , ∀ λ∈R korral λ ( ⃗a + b⃗ )=λ ⃗a + λ ⃗b (distributiivsus liitmise suhtes) Vektor – vektorruumi element. Skalaar – reaalarv VAHETUD JÄRELDUSED AKSIOOMIDEST LAUSE: Vektorruumis leidub ainult üks nullvektor. Tõestus: Oletades väite vastaselt, et vektorruumis V on kaks erinevat nullvektorit ⃗ 01 ≠ 0⃗2 . Valides kõigepealt nullvektori rolli ⃗ 02 , seega ⃗
Inertsiaalne taustsüsteem on selline, milles kehtib Newtoni I seadus (aga nagu tagapool selgub, ka teised Newtoni seadused). Iga inertsiaalsüsteem liigub teise suhtes ühtlaselt ja sirgjooneliselt. Newtoni II seadus: Keha kiirendus on võrdeline kehale mõjuva (resultant)jõuga ja pöördvõrdeline keha massiga. F = ma Mass on inertsi mõõt. Mida suurem on keha mass, seda rohkem ta avaldab vastupanu jõule, mis püüab keha kiirendada. Massi ühik on kilogramm. Mass on skalaar. Järelikult kiirendus ja jõud on samasuunalised. Jõu ühik on njuuton: 1 N = 1 kg m/s2. Märkused: · Newtoni II seadus kehtib vaid välisjõu mõjumisel. Keha (süsteemi) osade vahel mõjuvad jõud ei saa muuta keha (süsteemi) liikumise olekut · Newtoni II seadus kehtib vaid siis, kui mass ei muutu · Newtoni II seadus kehtib vaid inertsiaalses taustsüsteemis Keha kaal on jõud, millega Maa tõmbab seda keha enda poole
Taustsüsteem koosneb: 1) lepitakse kokku taustkehad 2) tuuakse sisse sobivalt valitud koordinaatide süsteemi 3) lepitakse kokku ajamõõtmise viisid. Taustsüsteeme, mis teineteise suhtes liiguvad ühtlaselt ja sirgjooneliselt nim. inertsiaalsüsteemideks. Vektor selleks nim. suuruseid, mida iseloomustab lisaks arvväärtustele (moodulile) ka suund ning mille liitmine toimub rööpküliku või hulknurga reegli järgi. Vektoriteks on nt. kiirus, jõud jne. Moodul moodul on arvväärtus Skalaar selleks nim. suuruseid, mille määramiseks piisab ainult arvväärtusest, need on nt. aeg, mass, töö, ruumala, pindala Kuidas liikumisi liigitatakse? Ühtlased ja mitteühtlased; ühtlase korral liikumine ei muutu, mitteühtlase korral muutub Vastastikmõju tabeli kaks esimest veergu! 1) Gravitatsiooniline - kõige esimene vastastikmõju liik, millega inimene kokku puutus. Universaalne. Gravitatsioonilist tõukumist pole avastatud. Ptolemaios lõi geotsentrilise maailmasüsteemi 2 saj
Ruumi homogeensus: iga punkt ruumis on füüsikaliselt samaväärne. Aatom maal on samaväärne samasorti aatomiga Marsil. Aja homogeensus: Vabade obiektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. Kui obiekt pole vastastikmõjus ümbritsevate obiektidega, siis iga ajahetke võib valida alghetkeks. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju kandja Tugev, Elektromagnetiline, Nõrk, Gravitatsiooniline. 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor- Füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt. Skalaar- Füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. 10. Kuidas lahutatakse vektoreid komponentideks ja miks see on vajalik? Iga vektori võib asendada vähemalt kahe vektoriga, millede summa annab esialgse vektori. On vajalik, et lihtsustada ülessande lahendamist. Tavaliselt lahutatakse vektorid teljesuunalisteks komponentideks. 11
dimensiooniks. Kolmemõõtmelises affiinses ruumis A3 on võimalik 2 vektori x ja y korral defineerida uus tehe mida nim vektorite skalaarkorrutiseks x·y=arv . 1' y·x=x·y. 2' x· (y+z)=x·y+x·z. 3' (·x)·y = x·(·y) = (x·y). 4' x·x>0 x0 x·x=0 x=0. 5'(x,y) x·y. Skalaarkorrutise defineerimine affiinses ruumis võimaldab seal hakata teostama mõõtmisi: dAB=|x|=(x·x) ja cos=(x·y)/( x 2·y 2) ja xy=x·y. Kolmemõõtmelist afiinset ruumi A3 milles on defineeritud vektorite skalaar korrutis mis rahuldab tingimusi 1'-5' nimetatakse kolmemõõtmeliseks eukleidiliseks ruumiks E3 1º-4º, 1*-5*, , 1'-5'. Kõik reepri vektorid on paarikaupa risti ja kõigi reepri vektorite pikkus on 1 ühik, öeldakse ka et sel korral on valitud ristbaas e ristreeper, nim ristkoordinaatideks. Skalaarkorrutist ja areaalkorrutist seob järgmine võrdus ab = a2·b 2-(a·b) 2 Lagrance seos. Kahele vektorile x ja y seame vastavusse uue
t. kui |A| 0. Kronecker-Cappeli teoreem: Lineaarne võrrandisüsteem on lahenduv parajasti siis, kui võrrandisüsteemi maatriksi ja laiendatud maatriksi astakud on võrdsed Gaussi meetodi puhul teisendatakse laiendatud maatriksi küik elemendid allpool peadiagonaali nullideks, opereerides seejuures eranditult vaid maatriksi ridadega, välja arvatud tundmatute ümbernummerdamine e. veergude transponeerimine, kui see osutub vajalikuks. 4. Vektorid. Kahe vektori skalaar, vektor ja segakorrutis (defenitsioon) + valem. Parallelsuse ja risti tunnused. Arvutamine koordinaatide abil. Vektoriks nimetatakse suunaga sirglõik Ühikvektor vektor, mille pikkus võrdub 1-ga Nullvektor vektor, mille pikkus võrdub 0-ga (ei saa räägida vektori suunast) Vabavektor vektor, mille algpunkt ei ole fikseeritud Kollineaarne vektor kui pärast ühisesse algpuunkti viimist vektorid asuvad phel ja samal sirgel (sama- ja vastusuunalised)
Raadiusvektor- Punkti raadiusvektoriks nimetat. koordinaatide alguspunktist antud punkti tõmmatud vektorit . Raadiusvektor r määrab üheselt punkti asukoha ruumis. Vektoriks nim. sellest liiki suurust nagu nihe, s. o. suurus, mida iseloomustab arvväärtus ja suund ning mille liitmist teostatakse näidatud reegli järgi. Vektorite hulka kuuluvad kiirus, jõud ning mitmed teised suurused. Vektori määrab ära suurus a®, suund a® ja rakenduspunkt a®. Vektori moodul on alati positiivne skalaar. Vektori kirjeldamine: vektoreid , mis on suunatud mööda paralleelseid sirgeid (samas või vastupidises ), nim. kollineaarseteks. Vektoreid, mis on paralleelsed ühe ja sama tasapinnaga, nim. komplanaarseteks. Samasuunalisi võrdsete moodulitega kollineaarseid vektoreid nim. võrdseteks. Vektorite liitmine. Olgu antud kaks vektorit A ja B(joon.2). Resul-tantvektori C saamiseks viime vektori B paralleelselt iseenesega edasi nii, et tema alguspunkt ühtiks vektori A lõpuga (joon.3.)
6. Mida tähendab aja ja ruumi homogeensus? Ruumi homogeensus: iga punkt ruumis on füüsikaliselt samaväärne. Aatom on samaväärne samasorti aatomiga Marsil. Aja homogeensus: vabade objektide jaoks on kõik ajahetked samaväärsed. 7. Loetlege vastastikmõjud tugevuse kahanemise järjekorras ja nimetage mõju kandja 10^40 Tugev - gluuonid, 10^38 Elektromagnetiline - footon, 10^15 Nõrk - vahebosonid, 10^0 Gravitatsiooniline - graviton 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor-füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt(nihe, kiirus, kiirendus, jõud...) Skalaar-füüsikaline suurus, mille määrab arvväärtus (temperatuur, mass, tihedus...) Tehted skalaaridega on nii nagu ikka tehted reaalarvudega. 9. Andke vektorite liitmise kaks moodust graafiliselt. Nihutada iga järgneva vektori alguspunkt eelneva lõpppunkti(kehtib ka paljude vektorite puhul ja on lihtsam) [(kõik on vektorid) x=1+2+3+...+n]
1.LIIGID:Arhitektuur(skalaar-,profaan-), Skulptuur(reljeef,ümarplastika), Maalikunst(seina, tahvel), Graafika(kõrg-,sügav-,lametrükk), Tarbekunst(materjalide järgi) 2.ESIMESED ALGED:Koopamaalid, skulptuur on vanem(Willendorfi veenus,luust kujud),arhit: dolmen. Leiuk: Lascaux, Altamira 3.EGIPT ARHIT:Vana: Püramiidid(Giza, Cheops, laotud kivipankadest, terav tipp kullatud). Uus: Templid(sammasõu, kapiteel) 4.EGIPT KUJUTAV K:Seotud hauataguse elu kindlustamisega, õiged proportsioonid, veider poos, üldistatus, ei laskuta pisiasjadesse, liikumist pole, üks jalg ees. EHNATON: püüti kujutada konkreetset inimest, muutus looduslähedasemaks, alati on kujutatud päike, naise ilu etaloniks Nofrete pea. 5.VANAKREEKA ARHIT: Tempel-kõige silmapaistvamad arhit saavutused. Sammas-kõige iseloomulikum detail. Kapiteel stiilide eristamiseks (dooria,joonia,korintos). Kuulsaim:Ateena Akropol. Tähtsaim külg otsakülg, pilastrid. 6.VANAKREEKA SKULPT:Arhailine:va...
1. Maatriksi definitsioon 2. Pöördmaatriksi definitsioon a) Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades Ruutmaatriksi A pöördmaatrksiks nimetatakse maatriksit A-1, mis rahuldab asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga võrdusi elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või AA-1=A-1A-E. kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või Pöördmaatriks eksisteerib ainult siis, kui maatriks A on regulaarne (determinant isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring. A ei tohi võrduda 0ga) Maatriksi A=(aij) transporneeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit AT=(aij), Kui maatriksis on m rida j...
" Ehk siis Newtoni I seadus kõlab järgmiselt: Objekti liikumishulk on võrdne tema massi ja kiiruse korrutisega. Newtoni esimene liikumisseadus väidab, et objekti liikumishulk jääb konstantseks kuni sellele mõjub jõud. Näiteks, raamatu leht on paigal, kuni sa pöörad seda või puhub sellel tuul. Mõlemal juhul paneb jõud lehe liikuma ja muudab tema liikumishulka. Liikumishulk on defineeritud kiirusvektoriga, mitte ainult skalaarse (skalaar on suurus, mida saab üheainsa arvuga täielikult iseloomustada) kiirusega ehk lihtsalt kiirusega. Tähtis on mitte segamini ajada objekti kiirusvektorit ja skalaarset kiirust. Kiirusvektor ühendab kaks 3 osainformatsiooni: objekti kiirust ja suunda, milles ta liigub. Kiirusvektor muutub, kui muutub kas kiirus või suund. Newtoni II seadus Newtoni teine liikumisseadus väidab, et objekti liikumishulga muutumise kiirus on võrdeline jõuga, mis mõjub objektile
Ruutmaatriksit m~o~otmetega (n, n) nimetatakse ka n-j¨arku maatriksiks. nimetame (m, n)-maatriksit nullmaatriksiks, kui selle maatriksi k~oik elemendid on nullid. Maatriksi A transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit, mis saadakse maatriksi A ridade ja veergude ¨aravahetamisel. Maatriksi A transponeeritud maatriksi t¨ahiseks on AT. Pöördmaatriks esineb ainult maatriksil mille ridade arv = veergude arvuga Determinant- Determinant: Ruutmaatriksi A determinant on ARV (skalaar), mis on selle maatriksi poolt üheselt määratud. Determinandi abiga saab määrata ridade lineaarset sõltumatust. Determinant aitab leida pöördmaatriksit. N-järku determinanti arvutatakse Laplace'i arendusega: n A = a i j C i j .Determinantide põhiomadused: |A|=|A T| . Vahetades 2 rida [veergu] j =1 omavahel muutub, muutub märk det-i ees: a b c d
Tugev / Gluuonid Elektromagnetiline / Footonid Nõrk / / Vahebosonid Gravitatsiooniline / Gravitonid 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor on füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja rakenduspunkt. Skalaar on füüsikaline suurus, mille määrab ai- nult suurus (arvväärtus). Vektorid on näiteks nihe, kiirus, kiirendus ja jõud. Skalaarid on näiteks temperatuur, mass ja tihe- dus. 9. Andke vektorite graafiliselt liitmise kaks moodust. Esimesel juhul viiakse (suunda ja pikkust muutmata) üks vektor
2. Pingelangude summa igas suletud alamringis peab võrduma sellesse ringi kuuluvate vooluallikate elektromotoorjõudude summaga Kirchoffi märgireegel: summa element võetakse miinusmärgiga, kui alamahela ümberkäigusuund on vastassuunaline vooluallika polaarsusega (elektromotoorjõu märk) või voolu suunaga takistil (pingelangu märk). Loeng 13. Ampere'i seadus: sõnastus; valem skalaar- ja vektorkujul. Vooluga juhtmele magnetväljas mõjuv jõud on võrdeline voolutugevuse, juhtme pikkuse ja magnetilise induktsiooniga ning magnetvälja ja voolu suundade vahelise nurga siinusega. Jõud on risti nii juhtme kui magnetväljaga, tema suuna määrab vasaku käe reegel. Tesla on sellise välja magnetiline induktsioon, kus vooluga raamile, mille pindala on 1 m2, mõjub maksimaalne jõumoment 1 Nm, kui raamis on vool 1 A. skalaar
elektromotoorjõuks(emj.) E. E = A / q ( jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted:a)vektori * skalaariga (V).Kõrvalised jõud võivad olla keemilised protsessid,aatomjõud,magneetilised av = av b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne jõud.Potentsiaal,potentsiaalide vahe. Suurust mis on arvuliselt võrdne elektrostaatiliste ja kõrvaljõudude poolt positiivse ühiklaengu ümberpaigutamisel tehtud tööga,nim.pingelaenguks nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori
Soojushulga (Q) ühikuks on (J). vektoriteks.Tehted:a)vektori * skalaariga av = av b)v liitm v=v1+v2 5.Aine agrekaatoleku muutused-– Sulamine - aine üleminek tahkest olekust vedelasse soojuse juurdevoolu tõttu. Tahkumine - aine ülem vedelast olekust c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite tahkesse koos soojuse eraldumisega. Aurustumine - vedeliku aurustumine ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on ümbritsevasse ruumi .Soojushulk aines suureneb .Veeldumine-kui aur muutub
A=Q1-Q2 =A/Q1 =(Q1-Q2)/Q1 -kasutegur . 1.variant 1.Skalaarid ja vektorid-Suurused ( aeg ,mass,inertsmom),mis on määratud üheainsa arvu poolt. Seda arvu nim antud füüsikalise suuruse väärtuseks.Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda ( jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted:a)vektori * skalaariga av = av b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on vektor,mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sin korrutisega,siht on risti tasandiga,milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 2.Põõrdliikumise dünaamika põhivõrrand- =M/I -pöördliikumine a=F/m -kulgliikumine. Moment telje z suhtes = keha inertsmomendi (Iz) ja nurkkiirenduse () korrutisega.Mz=Iz.
Soojushulga (Q) ühiluks on (J). vektoriteks.Tehted:a)vektori * skalaariga av = av b)v liitm v=v1+v2 5.Aine agrekaatoleku muutused-– Sulamine - aine üleminek tahkest olekust vedelasse soojuse juurdevoolu tõttu. Tahkumine - aine ülem vedelast olekust c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite tahkesse koos soojuse eraldumisega. Aurustumine - vedeliku aurustumine ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on ümbritsevasse ruumi .Soojushulk aines suureneb .Veeldumine-kui aur muutub
ajavahemikes võrdsete suuruste võrra, st kiirendus on jääv Skalaarid ja vektorid - skalaarid on suurused (aeg, mass, inertsmom), mis on määratud üheainsa arvu poolt Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (jõud, kiirus, moment). Selliseid füüsikalisi suurusi nim vektoriteks. Tehted a)vektori korrutamine skalaariga ______ b) vektorite liitmine ________ c) kahe vektori skalaarkorrutsi on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega _____________________________________________d) kahe vektori vektorkorrutis on vektor, mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nende vahelise nurga siinuste korrutisega, siht on risti tasandiga, milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvireegliga.
liitmine: R =En,i=1,=Fi. Geomeetriline liitmine. Jõudude geomeetriliseks liitmiseks tuleb konstrueerida jõurööpkülik või jõuhulknurk. Analüütiline liitmine. Jõudude analüütiliseks liitmiseks tuleb kõik liidetavad jõud projekteerida koordinaattelgedele, liita saadud projektsioonid ning seejärel arvutada resultandi moodul ja suunakoosinused. 9. Jõu projektsioon teljel ja tasapinnal. Jõu projektsioon teljel on skalaar. Vastavalt definitsioonile on vektori projektsioon võrdne teljesuunalise ühikvektori ja selle vektori skalaarkorrutisega. Jõu projektsioon tasandil on vektor. 10. Koonduvate jõudude tasakaal. Tasakaalutingimuse geomeetriliseks kujuks on nõue, et jõuhulknurgas viimase jõu lõpp ühtiks esimese algusega, s.t jõuhulknurk oleks kinnine.Vektorvõrdus on samaväärne kolme skalaarsega: Fres x = 0, Fres y = 0, Fres z = 0. Nende projektsioonide
(1,2,3....n-1) 4. Geomeetrilised vektorid,lineaartehted ja nende omadused. Geomeetrilised vektorid on suunatud lõigud,a-algus punk,b-lõpp punkt( või ) on võrdsed kui need on,samasuunalised ja ühepikused.ruumis võib olla mis tahes punkt iga vektori ja p.A-le leidub p.B .kui vektori alg ja lõpp punk langevad kokku siis see on null-vektor.vektorite + = . lineaartehted on vektorite liitmine ja skalaar korrutmine omadused , , (null vektor olemas olu), (vastand vektori olemas olu), , 5. Aritmeetilised vektorid lineaartehted ja skalaarkorrutis ja nende omadused. Aritmeetilised vektorid n-mõõtmeline aritm.vektor on n arvu(a1,a2,a3....an)kindlas jäjekorras.tähistatakse (.kõigi n-mõõtmelise vektorite this on . Lineaartehted kui p =(b1,b2,b3,...bn) ja CR. korrutis ) Omadused iga , , leidub ,et null vektor, iga leidub vastand vektor ka , ,
· 8. Mis on vektor ja mis on skalaar? Vektor on füüsikaline suurus, mille määrab suund, suurus ja
Mehaanika uurimisel kirjeldas Newton integraal ja diferentsiaal arvutust. Kujunes välja 2 uurimismeetodit: geomeetriline ja analüütiline Masspunkt- on keha geomeetriline punkt, kuhu on koondunud ta mass ja mis asub keha raskuskeskmes. Absoluutselt sile keha välistab igasuguse hõõrde. Kasutatakse aksiomaatilisi meetodeid (väited mis ei vaja tõestust) VEKTORID: Skalaarid -suurused mis on määratud täielikult oma mõõtarvuga on skalaar (temperatuu, arv). Vektorid teiseks on ka suurused mis on määratud ka oma arvu ja suunaga (jõud, kiirendus, kiirus). Sirgjoont, millel asub vektor, nim tema mõjusirgeks. Vektor on määratud: 1. Tema mõju sirgega 2. Teda kujutava lõigu pikkusega 3. Tema suunaga mõju sirgel Vektori pikkust nim. tema suuruseks e. mooduliks. Vektorid liigitatakse: · Vabad vektorid: rakenduspunkt on suvaline. · Libisevad vektorid- rakenduspunkt võib ümber paikneda mööda mõju sirget.
1.Skalaarid ja vektorid-Suurused (ntx aeg ,mass,inertsmom),mis on määratud üheainsa arvu poolt. Seda arvu nim antud füüsikalise suuruse väärtuseks.Neid suurusi aga skalaarideks.Mõnede suuruste määramisel on lisaks väärtusele vaja näidata ka suunda (ntx jõud ,kiirus,moment).Selliseid füüs suurusi nim vektoriteks.Tehted:a)vektori * skalaariga av = av b)v liitm v=v1+v2 c)kahe vektori skalaarkorrutis on skalaar, mis on võrdne nende vektorite moodulite ja nendevahelise nurga koosinuse korrutisega. d)2 vektori vektorkorrutis on vektor,mille moodul on võrdne vektorite moodulite ja nendevahelise nurga sin korrutisega,siht on risti tasandiga,milles asuvad korrutatavad vektorid ja suund on määratud parema käe kruvi reegliga. 2.Ühtlaselt muutuv kulgliigumine-Ühtlaselt muutuva kulgliikumise korral on konstandiks kiirendus (a=const);Vt=V0+at;S=V0t+at2/2; v= 2as . Vt
b=0, kui a0 ja b0 2)Vektoritega a ja b ristiolev vektor on c=a x b 3)Pindalade arvutamine: kui a ja b on rööpküliku või kolmnurga küljed, siis Srööpkülik=|a x b| Segakorrutis Kuna kahe vektori vektorkorrutis on vektor, siis võib seda korrutada kolmanda vektoriga. Kui seda tehakse vektorkorrutisena, siis saadakse uus vektor: see oleks kolme vektori vektorkorrutis. Siin on oluline vektorkorrutise võtmise järjekord. a x b · c=skalaar. Segakorrutise omadused: 1)segakorrutis ei sõltu korrutise võrmise järjekorrast 2)kui segakorrutises 2 vektori järjekorda vahetatakse, siis selle märk muutub abc=-bac 3)Vektorite järjekorda saab segakorrutises vahetada tsükliliselt abc=cab=bca=-bac=-cba=-acb 4)Segakorrutist saab arvutada ka determinandi abil. Rööptahuka ruumala V=|abc|. Kui abc=0, siis on vektorid a,b ja c komplanaarsed (st. Samale tasandile viidavad). Sirge parameetrilised võrrandid tasandil ja ruumis
Erinevalt neoontetrast on neoonkala külje alumisel osal hõbedane triip. 8.4. Kirevahvenlased on suured, aeglased ja rahulikud pilgupüüdjad. Nad on territoriaalsed ja vajavad pelgupaiku. Kirevahvenlased kuuluvad Cichlidae sugukonda. Lisaks on neil vaja ka kaevamis paiku ning selleks sobivat põhjakatet. Kahjuks pole kirevahvenlasi nii lihtne pidada kui teisi tuntuimaid kalu, seepärast nad päris esimeseks kalaks ei sobi. Sirpuim e. skalaar (Pterophyllum scalare) Levik: Kesk-Amazonas Pikkus: 15 cm, tavaliselt väiksem Toitumine: kõigesööja Vee omadused: temp. 24-28°C, pH 6,0-7,5. Ujumistasand: keskmine Paljunemine: lõimetishoole Märkused: Ei tohi pidada koos pisikeste kaladega, kuna ta sööb neoone lõunaks. Paaridel on omavahel tugev side. Kuna skalaarid söövad oma marja tuleks see haudumiseks ja kasvamiseks mujale viia. Sõõrahven e. diskus (Symphysodon spp.) Levik: Amazonas, Rio Negro Pikkus: 15 cm
15.Vektori koordinaadid 16.Skalaarkorrutise definitsioon. Vektori pikkuse definitsioon. Vektori pikkuse 3 omadust. Vektorite vahelise nurga definitsioon Pikkus on vektori arvväärtus Skalaaride all mõistetakse matemaatikas arve ja arvude mitmeid üldistusi. Meil siin tähendab sõna "skalaar" sama, mis sõna "arv". Arvu all mõistame aga reaalarvu 17. Vektorkorrutise definitsioon. Vektorkorrutise vektori koordinaadid. Segakorrutise definitsioon ja omadused. 18.Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. N naturaalarvud (0,1,2,3,4,5.....) Z täisarvud (-1,-2,-3,5,6,7....) Q ratsionaalarvud (1/2, -3/4, 2,34) R reaalarvud (, 2, e)
funktsiooni z=f(x,y) tuletiseks punktis (x;y) vektori s suunas ja tähistatakse sümboliga , st. Seega Järeldub, et teades osatuletisi, on kerge leida tuletist mistahes suunas s . 14. Gradient (definitsioon + teoreemi 13.1 tõestus + kolm järeldust). Kahe muutuja funktsiooni z=f(x,y) seab igale punktile M(z;y) funktsiooni määramispiirkonnast D vastavusse muutuja z väärtuse ehk skalaari. Igale määramispiirkonna punktile vastab skalaar. Seega saab kahe muutuja funktsioonist kõneleda kui skalaarväljast. Kolme muutuja funktsiooni u=(x,y,z) seab igale ruumi punktile M(x,y,z) funktsiooni määramispiirkonnast V vastavusse skalaari, st. piirkonnas V tekitab kolme muutuja funktsioon skalaarvälja. Skalaarvälja z=f(x,y) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit Skalaarvälja u=f(x,y,z) gradientvektoriks ehk gradiendiks nim. vektorit
annaabi.ee 
