Matemaatiline analüüs 1 kordaisküsimuste vastused (1)

1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z…u,v,w,t *NT ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad suurused on tavaliselt reaalarvud -> geom võime esitada sirgel *absoluutsed konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14…, e =2,71 1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 ( arvjada ) 2. väärtused omand pideva alamhulga reaalteljel (+joonised!): * lõik * X={x IR|a võime öelda et funkts esitatud. Funktsioon esit reegli kirj kaudu *Kuidas esitada funktsioone ?=> * joon määrab funkts, +graafikul nähtavad paljud funkts om., -funkts´i väärtust saame määrata ligikaudu
3. Eriomadustega funktsioone
1.ühesed ja mitmesed f-d: *Def. y= f(x), mille MP=X, ühene sel korral, kui igale x väärtusele vastab parajasti üks f-ni y=f(x) väärtus NT:y=x2 (lineaarliige määrab telje sihi) *Def. y=f(x), MP=X, mitmene kui tekib rohkem kui 1 f-n. leiduvad niisugused x väärtused, mille korral y=f(x) NT: y=±, y2=x (x telje sihiline) *lõpmata mitmene on y=arcsinx 2.Paaridf-n *Def. Y=f(x) on paarisf -n juhul kui f(-x)=f(x) xMP graafik sum y telje suhtes, Nt y=x2 =(-x)2 3. Paaritu f-n- sel korral paaritu kui f(-x)= -f(x), xMP, graafik sümm 0-punkti suhtes 4.Perioodiline f-n-parajasti siis, kui leidub niisugune reaalarv t, et tekib võrdsus iga MP punkti puhul. Märkus: kui f-n perioodiline=> t on lõpmata palju=> min t =T –periood=> näit ting f-nil t>0
4. Liitfunktsioon
Funkts, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja , vaid tema mingi funktsioon, nim liitfunkt-niks sõltumatu muutuja suhtes y=f(u) u=u(x), Märkus: sisalduvus võib olla mitmekordne
5. Põhilised elementaarfunkts.
1)astmefunkts y=xa; aIR (nii murrulised, kui negatiivsed) 2)eksponentf-n y=ax, a1, astmef-ni puhul on muutuja konstantses astmes , eksponentf-ni puhul on muutuja muutuvas astmes 3)logaritmf-n y=logax, a>0, a1 4) trig . F-nid y= sinx ; cosx ;tanx;cotx 5) arkus f-nid y=arcsinx;… NB 2ja 3 ning 4 ja 5 on pöördf-nid. Elementaarf-n saadakse põhilistest elementaarf-nidest aritmeetiliste tehete +liitf- nide moodustamise abil *täisrats f-nid≡polünoomid *murdrats f-nid≡polünoomide jagatis *irrats f-nid≡murrulised astendajad
6.Tõkestamatult kahanev ja kasvav suurus
Kahanev: Suurus x: x1,x2,x3..xn=f(n),…tekib vaadeldava suuruse (x) väärtuste jada: xn=1/n=>(tabel) *def.1 Suurus xn on tõkestatud sel korral, kui vastavalt igale pos arvule M leidub niisugune indeks N (naturaalarvude hulgast), mille korral |xn|N; arvsirge (-M, xN+1(üles), XN,x2, 0,x1,xN, xN (üles),M =>väärtused jäävad –M>x0, leidub indeks N nii, et |xn|N; arvsirge(x1, x3, -, xN+2, 0, xN+1, , x2 ; kui väärtus satub -de vahele, siis ta ka jab sinna(ei tule enam välja)) NT =1/10 1/=10=>1/11;1/12,…,|1/n|tõkestamatult kahanev b)kahe tõkestamatult kahaneva suuruse korrutis on samuti tõkestamatult kahanev *Kasvav: *def.1 suurus x:x1,x2,x3…xn=f(n)…on tõkestamatult kasvav, kui igale pos arvule M, leidub niisugune indeks NIN, mille korral |xn|>M, n>N; arvtelg (xN+2, -M, x1, 0,x2,M,xN+1), Lause: tõkestamatult kasvav suurus x, siis tema pöörväärtus 1/x tõkestamatult kahanev ja vastupidi
7. Muutuva suuruse piirväärtus
Suurus x: x1,x2,x3…,xn,..=> def. Arv a on suuruse xn piirväärtus protsessis, kus n läheneb
sel korral, kui xn-a on tõkestamatult kahanev suurus, limn-> xn=a, xn-a=n *Kui suurusel piirväärtus on olemas, siis kehtib seos, et xn-a on tõkestamatult kahanev , siis saame xn=a+n tõkestamatult kah suurus *Kui meil see vahe on tõkes kah siis iga
puhul leidub NIN, mille korral |xn-a|N; arvtelg(x1,0,a-,xN+1(üles),a,a+,x2(üles)) .*Järeldus 1)tõk kah suuruse piirväärtus on 0: limn->n=0 2)tõk kasvava suuruse piirväärtus on võrdne : limn->xn= 3)konstandi piirväärtus on tema ise
8. Laused piirv . Kohta
Lause 1. kui suurusel on piirv olemas, siis on see üheselt määratud. Järeldus. Üks piirv: xn=a+n, teine piirv: xn=b+n=> ab=> kui avaldame ühe avaldise teisest, siis saame 0= (a-b)+( n-n); a-b(lõplikIR)= n-n(tõkestamatult kah suuruste vahe=> tõk kah suurus) =>vastuoluline ab, st piirväärtus üheselt määratud, mida oligi vaja tõestada. Lause2. Summa piirväärtus on piirväärtuste summa ja vahe on piirv vahe. Lause3. Korrutise piirv on piirv korrutis limn->(xnyn)= limn->xn* limn->yn (kõigile selline näide!!!). Lause4. jagatise piirv on piirv jagatis limn->yn0
9.Funkts piirväärtus, arvutamine
Olgu meil antud funkt y=f(x); limn->xn=a(arvu piirv olemas), aga milline on f-ni piirv? *Def. Arvu A me nim f-ni y=f(x)piirväärtuseks protsessis, kus x->a sel korral , kui vastavalt igale pos arvule
leidub niisugune pos arv (), et |f(x)-A|af(x)=A1 (xa) (graafik!); *Arvutamine 1) limx->af(x)=? Kuidas arv? As x=a ja arv kui f(a)=A limx->af(x)=f(a)=APn(x)=a0xn+a1xn-1…+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1…+bm-1x+bm a)0/0=>lugejal ja nimetajal ühine tegur (x-a)=>lihtsustada=>lah!!! b) / => x’i kõrgeim aste tuleb sulgudest välja. Kõrgeim aste(max(n,m))=>lihtsustada0>lah! 3)irrats f-nid=> olemasolevad irrats tuleb kaotada 4)Tuntud piirv kasut limx->0sinx/x =1; limx->(1+1/x)x=e , e2,71..
10. Mõningaid määramatusi
määramatused 0/0, /;0*;-;1;0;0;…2) kui f(x)=
See on f-n mida nim murdrats ehk polünoomide jagatis, võime avaldada niisugusel kujul=>Pn(x)=a0xn+a1xn-1…+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1…+bm-1x+bm a)0/0=>lugejal ja nimetajal ühine tegur (x-a)=>lihtsustada=>lah!!! b) / => x’i kõrgeim aste tuleb sulgudest välja. Kõrgeim aste(max(n,m))=>lihtsustada0>lah!
11. F-ni pidevus
Def. F-n y=f(x) on p-s x0IR Pidev juhul kui 1)f(x0)x0f(x)=A 3)f(x0)=A *Järeldus: f-n on pidev piirkonnas DIRf-n pidev D igas p-s
*Järeldus x0->x0+x=>y=f(x0+x)-f(x0)=>f-ni muut x->0 y->0 *Märkus1 põhilised elementaarf-nid on oma määramispiirkonnas pidevad *Märkus2 u,v ->pidevad f-nid =>uv, u*v, u/v(v0), u(v(x)) –pidevad *Katkevuspunktid: Def. Kui mõni pidevuse f-ni tingimustest ei ole täidetud, siis f-n katkev 1) I liiki katkevuspunkt : f(x0)=
(x0MP) (joonis) 2) II liiki katkemispunkt limx->x0-f(x) =A1, limx->x0+f(x)=A2 =>A1A2(joonis)
12. F-ni tuletis , füüs ja geom. Tõlgendus
*ühtlane sirgjooneline liikumine t=t2-t1; s=s2-s1(joonis); vk = s/t-> hetkkiirust: t->0 =>v=limt->0s/t –isel meh. Liikumise hetkkiirust: Newton (1642- 1727 ) ja Leibniz( 1646 -1716) *DEF f-n punktis x diferentseerunud parajasti siis, kui tuletis selles punktis on olemas (ainsas punktis, v. piirkonnas D). Tuletise leidmise protsessi me nimetame diferentseerimiseks: Limx->0y/x=y’ *Märkus: vajadusel võib leida ka ühe tuletise *Nt y=1/=>y’=limx->0y/x=limx->0=1/2
13.F-ni pidevus ja dif.-vus
Olgu f-n y=f(x) dif-v piirkonnas DIR=> limx->0y/x=y’ =>y/x=y’+; -tõkestamatult kahanev suurus. y=y’*x+*x=>kui x=0, siis y=0=> y=f(x) (vaadeldav f-n pidev) NB! Iga dif-v f-n on pidev aga vastupidine ei tarvitse kehtida. Nt. f(x) a)s1: y=x+1 b) s2: y=3/2x (joonis, lähenemine mõlemalt poolt kahele)
14. Tuletise leidmise põhireeglid. Liitf-ni ja ilmu -mata f-ni tuletis
Olgu antud f-nid u=u(x), v=v(x) dif-v piirkonnas D 1) (uv)’=u’v’ Summatuletis on tuletiste summa ja vastupidi 2) (uv)’=u’v+v’u 3)(u/v)’=u’v-uv’/v2=> limx->0= limx->0 (lihtsustamised) = u’v-uv’/v2 ; v. pid. x->0->v->0. *Liitf-ni tuletis[u(v(x))]’ = limx->0= limx->0(kaheks piir-v.seks) =u’v * v’x; v. pidev: x->0->v->0. *Ilmutamata f-ni tuletis F(x,y)=0=>y’=?; x,y,y’->avaldada y’ . Nt y=f(x)g(x)-logaritmiline dif-mine 1)logaritmida lny=g(x)*lnf(x) 2)dif-da 1/y*y’=g’(x)*lnf(x)+g(x)*1/f(x)*f’(x)|*y=> y’=f(x)g(x)[g’(x)lnf(x)+g(x)f’(x)/f(x)
15. Põhiliste elementaarf-nide tuletised
Nt y=sinx=>y’=(sinx)’=limx->0 =0/0 limx->0 = limx->0cos(x+x/2) limx->0=x=0 cosx*1 =cosx
16.Kõrgemat järku tuletised
Y=f(x)-dif-v->y’=limx->0y/x-y’=y’(x)-f-n! *(y’)’=y’’ II järku tuletis *(y’’)’=y’’’ III järku tuletis *(y(n-1))’=yn NB! Y=sinx; y=cosx; y=e’, y=P3(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3 *y=sinx, y’=cosx=sin(x+/2), y’’=-sinx=cos(x+/2)=sin(x+2/2); yn=(sinx)n=sin(x+n/2)
17. f-ni diferentsiaal
Y=f(x)-> y’=f’(x)= limx->0y/x=>dif-v(hulgas D=(a;b)-> y/x=y’+n|x=> y=y’x+nx; y-f-ni muut; y’x-f-ni diferentsiaal; nx-kõrgemat järku lõpmata väikesed suurused. *Def F-ni diferentsiaaliks nim f-ni muudu peaosa . Nt dy=y’x; y=x, y’=x’=1 dy= y’x=1x=dx=> dy= y’dx. *Argumendi enda dif on võrdne argumendi enda dif-ga: y’=dy/dx.*Dif geom. Tõlgendus:JOONIS! Y’=tan ,PRS: dy=y’x=tan*x=SR/PR*PR=SR=> dy=SR *Järeldus: F-ni dif isel joone puutuja punkti, ordinaadi muutu, mis vastab argumendi muudule x
18. Dif arvutuse põhiteoreeme
1) Lagrange teoree,(18 saj) Olgu meil f-n y=f(x) dif-v lõigul[a;b], siis leidub sellele lõigule punkt c, nii et f(b)-f(a)/b-a=f’(c); JOONIS! PQR:tan=QR/PR => lõikaja e(P,Q) * Teoreem väidab et leidub selline punkt, kus selle joone puutuja tõus on paralleelne selle lõikajaga(võrdne lõikaja tõusuga). Neid punkte on vähemalt üks, aga võib olla ka rohkem 2)Rolle’i teoreem: Olgu antud f-n y=f(x) dif-b lõigul[a;b], et leidub f(a)=f(b)=>siis leidub sellel lõigul vähemalt üks punkt nt c f’(c)=0; Joonis! Antud juhul lõikaja tõus on võrdne 0’ga ehk || x teljega . Leidub vähemalt üks punkt, kus joone puutuja on || x teljega
19. L’Hospitali reegel
Teoreem: olgu antud f-nid y=f(x) ja y=g(x)=>dif-vad piirkonnas D nii, et limx->a f(x)=0, limx->a g(x)=0 või limx->a f(x)= , limx->a g(x)=
ja eksisteerib limx->a f’(x)/g’(x)=> limx->a f(x)/g(x)= limx->a f’(x)/g’(x); 0/0, / *Nt limx-> x+sinx/x=1+0 =1, kui võtta nyyd tuletis siis, tuleb limx-> 1+cosx ->ei eksisteeri. *Rakendamine: 1)määramatused 0/0, / on vaatluse all, siis saab neid lahendada L’H reegli järgi 2) 0* määramatus, mille korral vaatleme limx->a f(x)g(x)=?=>f(x)g(x)=f(x)/1/g(x) =g(x)/1/f(x)-> on vaja tuletada mitmekordseid murrujooni) 3)määramatused 1;0;0=> limx->a f(x)g(x)=eA (A= limx->a ln f(x)g(x)= limx->ag(x)lnf(x)) 4) määramatused-=> murru ühisele nimetajale tuua
20.F-ni monotoonsus om ja ekstreemumid
F-n y=f(x) on piirkonnas D monotoonne parajasti siis, kui selles piirkonnas f-ni muut säilitab märkiy=f; f>0=f-ni väärtuste vahe f=f(x2)-f(x1), x10=>f(x2)>f(x1); *Joonis! Kasvav F-n f’(x)>0 *f x1>x2; f(x2)-f(x1)f(x2)0 *Järeldus: kui f>0 ehk f-n kasvav, siis on f-ni tuletis selles piirkonnas ka pos, kui ff(x) iga x puhul selles ümbruses U(xU) +Joonis! *ütleme, et f-l on punktis x0 lokaalne miinimum sel korral, kui leidub u=(x0-, x0+) f(x0)0 max f’ I;III graafik puutuja all ja II;IV graafik puutuja kohal *Def F-n on vaadeldavas piirkonnas D kumer , kui graafik asub puutujate all. F-n on vaadeldavas piirkonnas nõgus kui graafik asub puutujate kohal *analüütilised tingimused(kasvava joonis) : f=f(x2)-f(x1)=QS; df =f’(x1)(x2-x1)=RS ->def RS>QS *f’(x1)(x2-x1)>f(x2)-f(x1); f’(x2)(x1-x2)>f(x1)-f(x2)|-1-> f’(x2)(x2-x1) f’(x2)f’’(x) f’’(x)>0-Nõgus. *Def ülemineku punkte kumeruselt nõgususele või vastupidi, nim käänupunktideks: f’’=0. *uurida y=f(x) kumerusom?: 1)leida f’’(x)=? 2)Leida kriitilised punktid (selle f-ni(teise tuletise järgi) katkevad punktid ei kuulu MP-sse) a)f’’(x)=
b)f’’(x)=0 käänupunktid 3) uurida kriitilisi punkte ja nende ümbrusi(tabel)
22. Asümptoodid
Def y=f(x)=>f-ni asümptoodiks nim sirget, millele f-ni graafik piiramatult läheneb punkti liikumisel lõpmatusse mööda joont *Märkus: asümptoot saab olla ainult sellel joonel, mille graafikul on olemas lõpmatu haru, aga samas ei tarvitse ka sellel olla asümptooti: hüperbool-2 asümp; parabool - 0 asümp; ellips- 0 asümp. *I püstasümptoot: joonis! X=a PQ=0; limp ->PQ=0 ; limx->a f(x)=
=>aMP; I liiki katkevusp. *kui f-nil leiduvas I liiki katkevusp-d siis sellel f-nil on ka püstasümptoot *II kaldasümptoot y=kx+b (k=?, b=?); joonis!; limp->PQ=0, PQR=> limp->PR=0, PR=f(x)-(kx+b); limx->[f(x)-kx-b]=0 => limx->(f(x)-kx)- limx->b=0 =>b= limx->(f(x)-kx); limx->f(x)-kx-b/x=0 ->limx-> f(x)/x-k- limx->b/x=0 =>k= limx->f(x)/x. *Märkused:1)kui üks nendest piirväärtustest on lõpmatus või ei eksisteeri siis kaldasümptooti ei ole 2)kui asümptoodi tõus on võrdne 0-ga siis räägime rõhtasümptoodist, mis on erijuhtum kaldasümptoodile (|| x teljega , nt y=arctanx) 3) teatud juhtudel on vaja vaadelda: x->+ ja x->- (nt eksponentf-nidel)
23. F-ni graafiku konstrueerimine
Y=f(x) 1)MP {xIR| f(x) leidub selline arv T :f(x+T) =f(x)-uurida ainult perioodi ulatuses 3) lõikepunktid koordinaatidega 4)asümptoodid: a)kaldasümpkas on I liiki katkevusp.? X=a (limx->af(x)= )=> ühepoolsed piirv. Limx->a+ f(x)=+ või limx->a-f(x)= - b) kaldasümp. :y =kx +b, k=limx->f(x)/x; b=limx->(f(x)-kx) 5) ekstreemumpunktid : monotoonsus: a)f’(x)=? b) kriitilised punktid: *f’(x)=
->ekstreemump ei ole *f’(x)=0 ( stats punktid) c)uurime kriitiliste punktide ümbrusi 6) kumerusom, käänupunktid: a)f’’(x)=? B)kriitilised p-d: *f’’(x)= *f’’(x)=0 =>KP=? c)kriitiliste p ümbruste uurimine 7) f-ni graafiku konstrueerimine: *teljestiku valimine=>punktid *Asümptoodid *vastavalt monotoonsus ja kumerusom-tele tuleb tõmmata graafik asümptootide vahele
24. Algf -n ja määramata integraal
Antud on f-n y=f(x) ja leida selline f-n F(x), millest tuletis F’(x)=f(x). F-ni F(x) nim f-ni f(x) algf-niks lõigul [a’st b’ni], kui selle lõigu kõikides punktides kehtib võrdus F’(x)=f(x). *Nt f(x)=x, F(x)=x2/2; F’(x)=1/2 *2x=x=f(x). *Kui F(x) on f-ni f(x) algf-niks, siis ka F(x)+C on antud f-ni algf-niks. Kui f-ni f(x) on üks algfunktsioon F(f) siis on tal neid algf-ne lõpmata palju. *teoreem: olgu F(f) f-ni f(x) üks algf-n, siis kujust F(f)+C sisalduvad f-ni f(x) kõik algf-nid. *(x) on f-ni f(x) üks algf-n. näitame, et leidub konstant C1, nii et (x)=F(x)+C1. Kui (x) on f-ni f(x) algf-n siis vastavalt algf-ni def-le ’(x)=f(x). [(x)-F(x)]’= ’(x)-F’(x)=0; (x)-F(x)=C1; * Avaldist F(x)+C nim f-ni f(x) määramata integraaliks ja tähistatakse =F(x)+C. *Def. F-ni määramata integraaliks nim selle f-ni kõigi algf-nide hulka. Nii antud f-ni algf-ni, kui ka määramata integraali leidmist nim f-ni integreerimiseks. ; =F(x)+C=> x-integreerimismuutuja; f(x)-int-tav f-n; f(x)dx-int-tav avaldis ; C-int-mis konstant; F(x)-int-tava f-ni algf-n
25. Määramata int omadusi
1)[ ]’=f(x)=>[ ]’=[F(x)+C]’=F’(x)+0=f(x) 2)=F(x)+C 3)k= const =k konstandi võib tuua integraali ette 4)=
26. Asendusvõte määramata int-lis
=> ei saa lah esimese kolme lause abil: x=(z) Asendus! Dx=’(z)dz ==. *Millal ja kuidas rakendada: I asvõtet saab kasutada korrutise int-misel , siis kui üheks teguriks on liitf-n argumendiga, mille tuletis on teiseks teguriks: =>x=(z) II vaja int-da f-ni: alati saab asendust kasutada lihtsustamiseks; => x =az+b, dx =(az+b)dz , dx=adz=>dz=1/adx=>
27. Ositi int-mine
U=u(x), v=v(x); d(uv)=(uv)’dx=(u’v+v’u)dx=(u’dx)v+u(v’dx)=vdu+udv=> udv= d(uv)-vdu; *I Pn(x)sinx, Pn(x)cosx, Pn(x)ex=> u=Pn(x) *II f(x) sisaldab arkusf-ni või logaritmf-ni. F-niks tuleb valida u=u(x) *NT =>u=sinx, ülejäänd dv=xdx, arv du=(sinx)’dx=cosxdx ja v==x2/2, läks raskemaks, seega valida u=x *Märkused 1)F-ni valik 2) ositi int-misvalemit saab kasut korduvalt 3)teatud juhtudel toob ositi integ rakendus meid otsitava int leidmisel võrrandini: nt =lõpuks 1/2(x-sinxcosx+C)
28.Murdrats. f-ni omadusi
F(x)=Pn(x)/Qm(x); Pn(x)=a0xn+a1xn-1…+an-1x+an; Qm(x)=b0xm+b1xm-1…+bm-1x +bm *Def. kui meil nm, siis me ütleme, et meil on mittekorrapärane murdrats f-n. n04) k- kordsed
IR, tegur (x2+px+q)k ; (x--i)(x-+i)=x2-2x+(2+2)=x2+px+q=>p=-2IR, q=(2+2) IR; q-p2/4=2+2-42/4=2>0
29. Korrap. Murdrats f-ni lahutmaine algmurdudeks
Lahendidjuured 1)aIR, tegur x-a 2) k-kordne aIR, tegur (x-a)k 3) IR, IR, i2= -1 , tegur x2+px+q, q-p2/4>04) k-kordsed
IR, tegur (x2+px+q)k ; (x--i)(x-+i)=x2-2x+(2+2)=x2+px+q=>p=-2IR, q=(2+2) IR; q-p2/4=2+2-42/4=2>0 *Korrap murdrats f-n Pn(x)/Qm(x), nalgmurrud (f-n avaldub algmurdude summana): 1)A/x-a 2)A/x-a; A2/(x-a)2;Ak/(x-a)k (kõik erinevad) 3) (Bx+C)/(x2+px+q) 4)(B1x+C1)/(x2+px+q) ;(Bkx+Ck)/(x2+px+q)k *Konstandid: A,B,C=?, nende leidmine: I määramata kordajate meetod: Lause:tuginedes sellele meetodile, et kui 2 polünoomi on võrdsed, siis on võrdsed x samade astmete kordajad . Tekbi lineaarne võrrandi süsteem otsitava kordajate leidmine=> Crameri peajuhtum IIeriväärtuste meetod: tugineb sellisele lausele, kui 2 polünoomi on võrdsed, siis on nad võrdsed kõikide argumendi väärtuste puhul
30. Algmurdude integreerimine
1)=linA=asendus t=x-aA=tab Aln|t|+C=Aln|x-a|+C 2)=lin Ak=as Ak=tab Ak t-k+1/1-k +C =Ak (x-a)-k+1/1-k +C 3)==as= B/2 ln(x2+px+q)-Bp/2 (viimane tähistame I); asend:t=x2+px+q, dt= (2x+p)dx, Bx+C=B/2(2x+p)-B/2; I=? X2+px+q=täiruudu er (x2+2x p/2 +p2/4)- p2/4 +q =(x+p/2)2 +(q-p2/4)= (q-p2/4) *[(x+p/2 /)2 +1]; I=1/ arctan x+/+C
31.F-nide R(sinx, cosx) int-misest
Def R(sinx, cosx)=> y=sinx; z=cosx=>tanx=y/z, cotx=z/y=>R(y,z)-rats y,z suhtes. *Nt sinx/cosx+1 =y/z+1; *I universaalne asendus = asendus:t=tanx/2, x/2=arctant, x=2 arctant, dx= 2/1+t2 *dt, sinx=2t/1+t2, cosx=1-t2/1+t2; = II III, as t=sinx, dt =sinx’dx=cosxdx(saab ka vastupidi, st sulgudes on cosx) IV sinmxcosnxdx: a)m=2k+1>0=>, as t=cosx, dt =-sinxdx, sin2x=1- cos2x b)n=2l+1>0 =>, as t=sinx dt =cosxdx c)m=2k>0, n=2l>0 =>sin2x=1/2 (1-cos2x), cos2x=1/2(1+cos2x), sinxcosx =1/2 sin2x d) m=2kdx=dt/1+t2; cos2x=1/1+t2; sin2x=t2/1+t2
32.Määratud int mõiste
Antud y=f(x)-pidev lõigul[a;b], konstruktsioon nN-> a=x0integraalsumma=Riemanni summa. *Def Kui int summal eksisteerib n-> piirväärtus, mis ei sõltu selle lõigu jaotamise viisist, ega punkti valikust neis osades, siis seda piirväärtust nim f-ni määratud int lõigul [a;b]: limn->n=. *Lause kui f-n f(x) on pidev vaadeldaval lõigul, siis tal on olemas määratud int
33.Määratud int arv. N-L valem
f(x)=>F(x):F’(x)=f(x); F(b)-F(a)=(F(x1)-F(a))+(F(x2)-F(x1))+.. +(F(b)-F(xn-1))= F’(c1)(x1-a)+F’(c2)(x2-x1)+...+ F’(Cn)(b-xn-1)=f(c1) x1+f(c2) x2+..+f(Cn) xn ==; limn->== limn->(F(b)-F(a))=F(b)-F(a)=F(x)|ba. *Tulemus: a)leida =F(x)[+C] (algf-n) b) määratud int algf-ni väärtuste vahe
34.Määratud int omadusi
1)Kui a ja b on arvud siis on ka määratud int: a,bIR-> IR 2)kui meil rajad on võrdsed, siis integraal alati võrdne nulliga=F(a)-F(a)=0 3)määratud int lin om:
4) Aditiivsus -kui on vaja leida int a->b;
5) 6)=>F(b)-F(a)=-[F(a)-F(b)]
35.As võte ja ositi int määratud int puhul
1) asvõte: kui võtame uue muutuja x=, dx =()dt *kui x[a,b]->t[,] *t[,]->[a,b] *;: . NB! Määratud int asendusvõtte puhul tagasias ei tehta =>UUED RAJAD! I paarisf-n f(-x)=f(x)=> II paarituf-n f(-x)=-f(x)=>; perioodiline f(x+T)=f(x), TIR; *Ositi Int:
36.Tasandilise kujun pindala leidmine
1)antud f-n y=f(x) 0, x[a,b], pidev!=> nIN: a=x0y=f(x): =deflima->+joonis! C) (-;)=>y=f(x): == lima->+ limb->. *Normaaljaotusega juhuslikud suurused=> Poissoni integgraal: ; Joonis!. *Def Päratu integral on koonduv , sel korral kui tema vastus on lõplik: (lõplik!)=> kui see tingimus ei ole täidetud, on lõpmatus või ei eksisteeri, siis int on hajuv . *Def kui int on koonduv , siis on ta absoluutselt koonduv, kui aga haujv, siis tingimisi koonduv. *Lause f(x)g(x)=> : kui parempoolne koonduv siis ka vasak, kui vasak haujv, siis ka parem. *Kui päratud int on koonduvad, siis vastava tõkestamatu kujundi pindala on lõplik, kui on haujv, siis on pindala lõpmatu
39. Teist liiki päratud int-d
a)[a,b], y=f(x): limx->bf(x)=: =lim->0+joonis b)[a,b], y=f(x): limx->a f(x)=: = lim->0+joonis c)[a,b], y=f(x), limx->c f(x)=; c(a,b): =+= lim1->0+ lim2->0
40.Dif võrrand, tema lah-d, geom. tõlgendus
F(x,y,y’…y(n))=0-üldkujuline dif võrrand; y(n)=f(x,y,y’…y(n-1))-normaalkuj dif võrrand, n-dif võrrandi järk; Lahend y=y(x)=>võrrandi samasus!, *Ilmutamata kujul: y=y(x;), =(c1,…cn)=> üldlah, fiks konstandi: fix
: y=y(x; )-erilah; fikseerimine toimub algtingimusre abil, mis ütleb, et y(x0)=y0, y’(x0)=y0’…y(n-1)(x0)=y0(n-1) =>Cauchy ül; Iseärased lahendid -tekivad kõrvalistest matemaatilistest kaalutlustest; lah ilmutamata kujul: *(x,y,)=0 ->üldint! *fix:(x,y, )=0 eriint!; dif võrrandi lah, so tema integreerimine. *Märkus: kui meil dif võrr lahenditeks on mitme muutujagaf-n, siis sel korral räägime osatuletisega dif võrrandist (y=y(x1…xk)). *Lahendite geom. tõlgendus->üldlah on int joonte parv! (JOONIS!)
41. I järku DV
Def. I F(x,y,y’)=0 –üldkuju, II y’=f(x,y)-normaalkuju, III M(x,y)dx +N(x,y)dy=0 –sümm kuju; I->II y’ avaldame võrrandist F(x,y,y’)=0; II->I y’=f(x,y)=> F(x,y,y’)=0; II->III: y’=dy/dx=f(x,y)=>dy=f(x,y)dx-dy=0; III->II: M(x,y)dx=-N(x,y)dy|*-1/N(x,y)dx => -M(x,y)/N(x,y)=dy/dx (y’). *Üldlah y=y(x, C)-> sõltub argumendist ja ühest konstandist *Erilah y=Y(x,C0): algtingimust on vaja et määrata C0: y(x0)=y0 (M0(x0,y0) *Iseärased lah tulevad matem kaalutlustel . *Lahendi olemasolu ja ainsuse teoreem: kui meil f(x,y) määratud ja on pidev piirkonnas Dx ja osatuletis võetud, f-ni fy(x,y) piirkonnas on samuti pidev, siis leidub pos arv (suurem kui 0) ja määrab vahemiku(x0-;x0+), kus f-n y=f(x) on ainus lahend dif võrrandile y’=f(x,y), rahuldab algtingimust y(x0)=y0, JOONIS!. *Dif võrrandi y’=f(x,y) geom tõlgendus-määrab meile vastava joone puutuja tõusu ja on intjoonte puutujate väli (Mo(x0,y0)=>f(x0,y0)=y0’)+JOONIS!
42.Eralduvate muutujatega DV
Def Normaalkujuline (En)y’=f(x)g(y), parempool on esitatav korrutisena, kus üks tegur on ühe muutuja ja teine teise muutuja f-n. kui parem pool on ühe muutuja f.n siis ta on kindlasti (E). *Sümm kujul peab olema ka korrutisena: M1(x)N1(y)dx +M2(x)N2(y)dy=0 (Es); *Lahendus: 1)(En) y’=dy/dx=> dy/dx= f(x)g(y)| *dx/g(y)=> dy/g(y)=f(x)dx =>(E)-kui dif-d on võrdsed siis vastavalt integraalid erinevad üksteisest konstantide poolest. - üldlah 2)(Es) et lahendada tuleb muutujad eraldada: N1(y) M2(x) [M1(x)/M2(x)*dx +N2(y)/N1(y)*dy]=0: *iseärased lah=>üks konstantidest 0: N1(y)=0 või M2(x)=0 *üldlah M1(x)/M2(x)*dx +N2(y)/N1(y)*dy=0 (E)!, Int: M1(x)/M2(x)*dx +N2(y)/N1(y)*dy=C
43. Hom I järku DV, lahendamine
Def. Olgu antud f-n f(x,y) ta -ndat järku hom f-n sel korral, kui f-n f(tx,ty)= tf(x,y). *Kas hom ja mis tema järk: Nt1 f(x.y) =, f(tx, ty)= =t3/2=t3/2f(x,y)=> =3/2. *def. *y’= f(x,y), f(tx,ty)=f(x,y) (Hn) *M(x,y)dx+N(x,y)dy=0=> M(tx,ty)=tM(x,y), N(tx,ty)= tN(x,y) (Hs). *Lahendamine: kui teame et t=1/x, kuidas lah? f(x,y)=> f(1/x*x;1/x*y)=F(1;y/x)=(y/x): tähistame: u=y/x=> y=xu, arv y’=u+ xu’ ,as u+xu’=(u)->I järku Dv u määramiseks; xu’ =(u)-u=> u’=(u)-u /x (E); u’=du/dx=>du/dx=(u)-u /x |*dx/(u)-u =>du/(u)-u=dx/x ->(E); integreerime =ln|x|+C=ln|Cx|; u=u(x)->asendame A=> üldlah
44.Lin I järku DV, lahendamine
Def. Esimest järku lin dif võrr ei sisalda nende korrutist. Sellel f-nil võib olla kordajates ainult x’i f-n: y’+F(x)y=Q(x) (L). Kui selle võrrandi parem pool võrdne 0-ga siis ta on hom lin dif võrrand, kui ei ole siis on mittehom lin dif võrr. *Lahendamine=>Bernoulli meetod: tähistades otsitava f-ni 2 f-ni korrutisena y=uv, u=u(x) v=v(x), arv y’=u’v+uv’, as (L) u’v+uv’+P(x)uv=Q(x)=> v(u’+P(x)u)+uv’=Q(x); I abiül u’+P(x)u=0 Kui avaldis, mis sisaldab tuletist on I järku DV oleme saanud u määramiseks hom lin dv: u’=-P(x)u (võime minna normaalkujule) ja (HL) on (E) alati; asendada u tuletis dif suhetena e välja kirj see võrrand, kus dif-d on juba sees: u’=du/dx-> du/dx=-P(x)u |du/u => du/u= -P(x)dx (E); Integreerida
(NB C=0) => lnu =; u=e; II abiül uv’=Q(x)=> ev’=Q(x)-> v’=Q(x) e=>I järku dv (E) v määramiseks; as v tuletis dif suhetega v’=dv7dx-> dv= Q(x)e=dx; Int: v= Q(x)edx+C y = e( Q(x)edx+C)
45.Teist järku DV
Def. *üldkuju: F(x,y,y’,y’’)=0 *normaalkuju: y’’=f(x,y,y’). *def lahend on mingisugune f-n, mis muudab võrrandi samasuseks, y=f(x) 1MF; üldlah y=y(x,C1,C2), C1,C2 IR sõltub kahest suvalisest konstandist ; erilah- konstantide fikseerimise teel; fikseerimine: algtingimus abil: y0=y(x0), y0’=y’(x0) (Cauchy ül); Lahendi olemasolu ja ainsuse teoreem: f(x,y,y’) fy(x,y,y’), fy’(x,y,y’) => pidev piirkonnas D=> y’’=f(x,y,y’), y(x0)=y=, y’(x0)=y0’=> on ainus lah, mis rahuldab algtingimusi vähemalt punkti M0(x0,y0) mingis ümbruses; erilah geom. tõlgendus =>Joonis! Int joonte parv on üldlah geom. tõlgendus ja erilah on sealt üks intjoon
46. Erikujulised(mittetäielikud) II järku DV-d
Niisugused, mida on võimalik taandada teatud järku võtetega=> I järku DV-> kui oskame lahendada: 1)y’’=f(x) I abiül*tähistame: y’’=(y’)’=p’ *as p’=f(x) Ijärku dv p-määramiseks (E) *täh p’=dp/dx *as dp/dx=f(x) |dx *(E): dp=f(x)dx *int p=+C1; II abiül y’= +C1 I järku dv y-määramiseks (E) *täh y’=dy/dx *(E): dy=[+C1]dx *Int: y=[+C1]dx+C2 2)y’’=f(x,y’) *täh p=y’, p=p(x) *arv y’’=(y’)’=p’ *as p’=f(x,p) I järku DV p-määramiseks *I abiül: üldlah on p=(x,C1) *II abiül. Y’=(x,C1) I järku DV y määramiseks: *täh y’=dy/dx *as dy/dx=(x,C1) *(E): dy=(x,C1)dx *Int y= 3)y’’=f(f(y,y’) *täh y’=p p=p(y) *arv y’’=(y’)x=py’=dp/dy- dy/dx=y’=dp/dy= p *dp/dy * I abiül: as p* dp/dy=f(y,p) I järku Dv p=p(y) määramiseks *üldlah p=(y,C1) *as y’=(y,C1) I järku dv y=y(x) määramiseks (E) *II abiül: eraldame muutujuad: dy/dx=(y,C1) | dx/(y,C1)-> (E) dy/ (y,C1)=dx *Int
üldint
47. Lineaarne II järku DV
Y’’+p(x)y’+g(x)y=f(x) (LII) ; (HL) y’’+p(x)y’+g(x)y=0, y=y1(x), y=y2(x) –(HL) lah => y=C1y1+C2y2 *Def Lah-d y1 ja y2 on sõltumatud=> y1/y2 const; lah on sõltuvad y1/y2=const. *Lause Kui (HL) lahendid y1 ja y2 on sõltumatud=> (HL) võrrandi üldlah: yHÜ=C1y1+C2y2 *Järeldus: Selleks, et saada (HL) üldlahendit tasub leida lahendid y1 ja y2: (MHLII) f(x) 0=> yMHÜ=? *Lause yMHÜ=yMHE+yHÜ=> yMHE=? Mittehom võrrandi üldlah on võrdne mhom erilah ja hom üldlah summaga *Eeldused: *YMHE: y’’MHE +p(x)y’MHE +g(x)yMHE =f(x) *y1: y1’’+p(x)y1’+g(x)y1=0 *y2: y2’’+p(x)y2’+g(x)y2=0. *Arvutame: yMHÜ=yMHE+C1y1+C2y2, y’MHÜ=y’MHE+C1y1’+C2y2’, y’’MHÜ=y’’MHE+C1y1’’+C2y2’’ *AS: (y’’MHE+C1y1’’+C2y2’’)+p(x)(y’MHE+C1y1’+C2y2’)+ g(x)( yMHE+C1y1+C2y2)= f(x)
48. Lin konstantsete kordajatega (H) II järku DV
Def.y’’+py’+qy=f(x), p,qIR, Hom II järku lin konst kord DV: y’’+py’+qy=0, selle hom võrr üldlah avaldub kujul yHÜ=C1y1+C2y2, kusjuures y1/y2 const, ehk sõltumatud erilahendid; y1=?, y2=?, Oletame, et y=ekx, see on lah=> y’=kekx, y’’=k2ekx *As (HL) k2ekx+pkekx+ qekx =0; ekx(k2+pk+q)=0=> on selline lah kui teine tegur on 0: k2+pk+q=0 so (HL)karakteristlik võrrand 1)k1k2: y1=ek1x, y2=ek2x=> y1/y2=ek1x/ek2x=e(k1-k2)x0; yHÜ= C1ek1x+C2ek2x 2)k1=k2=; y1=ex, y2=ex; y1/y2=ex/ex =e0=1= const =>sõltuvad! *Vieti valemid: p=-(k1+k2)=-2, q=k1k2=2 *võrrand: y’’-2y’+2y=0 *täh y=uv *arv y’=u’v+uv’; y’’=u’’v+2u’v’’uv’’ *as võrrandisse: u’’v +2u’v’+uv’’-2u’v-2uv’+2uv=0 => v(u’’-2u’+2u) +2v’(u’-u)+uv’’=0 *I abiül : u’-u=0 ->I järku DV u määramiseks (E), v’=u : eraldame muutujad du/dx=u |dx/u =>du/u=dx ->ln|u|= dx => u=ex, u’=ex, u’’=2ex *As v(2ex-2*ex+2ex)+exv’’=0 => exv’’=0 * II abiül. exv’’=0, v’’=0=> (v’)’=0 =>v’=C1=>(E) v=C1x+C2 *Lõplikult y=uv =>y=ex(C1x+C2) => yHÜ =C1ek1x +C2ek2x=> yHÜ= ex(C1x+C2) =>yHÜ =ex(C1cosx+C2sinx); ,IR
49.Lin konstantsete kordajatega mittehom II järku DV
I y’’+py’+qy=f(x), p,q IR, f(x) 0; yMHÜ=yMHE+yHÜ, kuidas leida MHE? *Lause: kui meil y1 on võrrandi y’’+py’+qy=f1(x) lahend ja y2 on y’’+py’+qy=f2(x) lahend, siis osutub et y mis on nende lahendite summa on niisuguse võrrandi y’’+py’+qy=f1(x) +f2(x) lahend *arv y’=y1’+y2’, y’’=y1’’+y2’’ *as y’’+py’+qy= y1’’+y2’’+p(y1’+y2’)+q(y1+y2)= (y1’’+py1’+qy1)+ (y2’’+py2’+qy2) = f1(x) +f2(x)= f(x) *MHE võrrandi määramiseks vaatame, milline on parem pool ehk f(x): 1)kui selgub , et f(x) on polünoom Pn(x)=a0xn+ a1xn-1+..+an Tingimused: on vaja vaadata, kas null on karakteristliku võrr lahend. Kui ta ei ole siis otsime yMHE vastava astme polünoomina Qn(x)=b0x1+..+bn. Kui ta on siis yMHE : xQn(x) 2) sisaldab eksponentf-ni exPn(x), küsime kas
on karakteristliku võrr lah. kui ei ole siis otsime vastust exQn(x). Kui on p-kordne lah, siis tuleb otsida exxpQn(x) 3) trigonomeetrilised f-nid ex(Pn(x)cosx+ Rm(x)sinx) NB vajalike polünoomide kordajad tuleb leida määramata kordajate meetodil (kaks poünoomi oma vahel võrdsed, kui neil x’i samade astmete juures on võrdsed kordajad-> määramata kordajate meetod) II üldistel juhtudel saab kasutada konstantide varieerimise meetodit: yMHE=? => f(x)?, Kui teame et meie vastaa yHÜ= C1y1+C2y2, kusjuures y1 ja y2 sõltumatud, y’’+py’+qy=f(x)=> yMHE=C1(x)y1+C2(x)y2; C1(x)?, C2(x)?: vaatleme f-ne *arv y’MHE=C1’(x)y1+C1(x)y1’+ C2’(x)y2+ C2(x)y2’=> y’’MHE= C1’’y1+2C1’y1’+C1y1’’+C2’’y2+ 2C2’y2’+C2y2’’ *as
-> Lin võrr süsteemC1’, C2’ määramiseks-> Crameri peajuhtum=> || =W(y1,y2) (Wronski); W(y1,y2) 0, y1/y2const: C1’(x)=> C1(x)=
; C2’(x)=> C2(x)= ; NB täielik analoog n-järku lin konst kord DV-le: y(n)+p1y(n-1)+..+pny=f(x): *tuleb leida karakteristlik võrr. yHÜ saadakse kätte *yMHÜ=yMHE+yHÜ