Aritmeetiline jada-Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja selle jada jaoks mingi kindla arvu summaga nimetatakse aritmeetiliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse aritmeetilise arvu jadaks ja tähistatakse tähega d. an=a1+(n-1)d an+1=an+d » an+1-an=d sn= a1+an/2 x n või sn=2a1+(n-1)d/2 Geomeetriline jada- Jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelneva liikme ja antud jada jaoks mingi kindla arvu korrutisega nimetatakse geomeetriliseks jadaks. Seda kindlat arvu nimetatakse teguriks ja tähistatakse tähega q n-1 n an=a1 x q q=an+1/n sn=a1(q -1)/q-1 Lõpmatult kahaneva geomeetrilise jada summa- S=a1/1-q Arvu ,,A" nimetatakse jada ,,an" tõkestamatul kasvamisel ja tähistatakse sümboliga liman=A n lim1/n=0 Piirväärtus n (tõkestamatul kasvamisel) ...
Lahendage logaritmvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: ( log x ) 2 - 6 log x + 7 = 0 4. Leidke koonuse telglõike pindala, kui moodustaja on 15 cm ja kõrgus 12 cm. 5. On antud funktsioon y = 2x3 + x 2 · Leidke funktsiooni nullkohad X0 · Leidke funktsiooni positiivsus- ja negatiivsuspiirkond X+, X- · Leidke funktsiooni tuletis · Leidke funktsiooni kasvamine ja kahanemine X , X · Leidke ekstreemumpunktid · Skitseerige funktsiooni graafik Matemaatika proovieksami ülesanded aastal 2008/2009 3. kursus Variant II 1. Lahendage juurvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: x - 6 = 5 x -38 2. Lahendage eksponentvõrrand ja kontrollige saadud lahendeid: 2
4)y=2tanx lnx 5)y=xsinx 6) y=cos 2x- sin2x 3 - 2x + x 2 7)y=tanx cosx 8) y = 9) y=sin2x x 2 x -1 2. Leia funktsiooni y= kasvamis ja kahanemispiirkonnad ja 1 - 3x ekstreemumpunktid. Määra ka nende liik. 3. Leia parabooli haripunkti koordinaadid y= 7x2+4x. 4. Leia joone y=(x+1) (x-1) (x-2) puutuja punktis , mille abstsiss on -3. x 5. Leia joone y= puutuja, mis on x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7
1.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 1.3. Leia milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused väiksemad funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4
3 3 d. y 3 x 4 28 x 2 9 X ;3 ; 3; 3 3 3. Joonesta funktsiooni graafik ning leia kasvamis-ja kahanemisvahemikud, ekstreemumpunktid. 2x 2 x 3, x 0 y 1 1 1 1 X ; ; X ; ; X ; 4 2 4 2
joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leian jooniselt need x väärtused, mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi langeb. EI KASUTA VÕI JA ÜHENDIMÄRKI. 8)ekstreemumkohad: miinimumkoht- seal läheb funktsiooni kahanemine üle kasvamiseks. Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x) Funktsiooni y=f(x) nim paarisfunktsiooniks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=f(x) Pöördfunktsiooni leidmine: 1)avaldan x 2)kontrollin üksühest vastavust 3)vahetan x ja y asukohad Igal funktsioonil ei eksisteeri pöördfunktsiooni
on arvutatav Nullkohad - need argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on null. Positiivsuspiirkond - argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. f(x) > 0 Negatiivsuspiirkond argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne Ekstreemumkohad -argumenti väärtused, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi Ekstreemumpunktid - graafiku punktid, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Funktsiooni y=f(x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus. Käänupunkt - Punkt, millest läbiminekul joon muutub nõgusast kumeraks või kumerast nõgusaks Kumeruspiirkond- vahemik, kus ükski tema punkt selles piirkonnas ei ole
selles osas, kus on täidetud lisatingimused (x,y,z,...), (x,y,z,...), kehtib võrratus f(P)f(P 0) [f(P)f(P0)]. Tingliku lokaalse maksimumi ja miinimumi ühine nimetus on tinglik lokaalne ekstreemum. Punkti P0, kus funktsioonil esineb tinglik lokaalne ekstreemum, nim. tinglikuks lokaalseks ekstreemumpunktiks. Olgu vaja leida funktsiooni z=f(x,y) maksimumid ja miinimumid tingimusel, et x ja y on seotud võrrandiga (x,y)=0. Ekstreemumpunktid tuleb leida ainult nende hulgast, mis rahuldavad (x,y)=0. Viimane on ühe muutuja funktsiooni ilmutamata kujuks. Selle funktsiooni tuletis: Seega on z sisuliselt ühe muutuja x funktsioon. Täistuletise valemist: Järelikult Et ekstreemumpunktid , siis Eeldades, et fy'0, saame lisatingimusega ekstreemumpunktide leidmiseks võrrandisüsteemi See võrrandisüsteem sobib kahe muutuja funktsiooni ekstreemumpunktide leidmiseks ühe lisatingimuse korral
f käik kasvab 0 kahaneb 4 kasvab 6 kasvab maksimum miinimum ekstreemumit pole 25 Funktsiooni uurimine f´ märk + - + + f käik kasvab 0 kahaneb 4 kasvab 6 kasvab maksimum miinimum ekstreemumit pole Funktsiooni ekstreemumpunktid on: E1 = (0;0) E2 = (4;-3,17) Kasvamis-ja kahanemisvahemikud on: X = {(- ;0 ); (4; )} X = (0;4 ) 26 Funktsiooni uurimine 7) käänupunktid, kumerus- ja nõgususpiirkonnad 8 f ' ' ( x) = - 3 x 4 ( x - 6) 5 Leiame f kriitilised punktid 8 f ei ole null mitte ühegi argumendi
punkt st (A) = 0.
14.Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad
tingimused. Üks tingimustest tõestada.
15. Kahemuutuja fnktsiooni tingliku ekstreemumi mõiste. Lagrange funktsioon.
Kahemuutuja funktsiooni tinglike ekstreemumite seos Lagrange funktsiooni
statsionaarsete punktidega. Globaalsed ekstreemumid.
Tingliku eksteemumi ülesandeks ehk lisatingimustega ekstreemum-ülesandeks nim
ülesannet kujul: Leida funktsiooni u = f (x1; ... ; xn)
ekstreemumpunktid piirkonnas,mis on määratud tingimustega r
tuletise abil: Kui f ‘’(x) > 0, siis x on miinimumkoht, Kui f ‘’(x) < 0, siis x on maksimumkoht x on siin võrrandi f ‘(x) = 0 lahend 7 Ekstreemumid ymax Maksimumid: ymax = f(xmax), ymin Miinimumid: ymin = f(xmin) 8 Ekstreemumpunktid Pmax Funktsiooni y = f(x) graafiku punktid Pmin Pmax(xmax; ymax) ja Pmin(xmin; ymin) 9 Funktsiooni graafiku xk Lahendatakse võrrand f ‘’(x) = 0 käänukohad 10 Käänupunktid Pk Punktid koordinaatidega Pk(xk; yk), kus yk = f(xk) 11 Funktsiooni graafiku X Kumeruspiirkonnad: f ‘’(x) < 0,
väiksemad argumendi väärtused. Kahanev f-n ; Joonis!; f'(x)=0
statsionaarsed punktid; Analüütiline tunnus: f-ni monotoonsuseks Lagrange
teoreem f(x2)-f(x1)/x2-x1=f'(c); f(x2)-f(x1)=f'(c)(x2-x1); x2-x1>0 *Järeldus: kui f>0
ehk f-n kasvav, siis on f-ni tuletis selles piirkonnas ka pos, kui f<0 ehk
kahanev f-n, siis tuletis on neg. Üldiselt tekivad pideval f-nil üleminekupunktid,
mida nim statsionaarseteks punktideks. *Def Ekstreemumpunktid- *ütleme, et
f-l on punktis x0 lokaalne maksimum sel korral, kui leidub u= (x0- , x0+ )
f(x0)>f(x) iga x puhul selles ümbruses U(x U) +Joonis! *ütleme, et f-l on
punktis x0 lokaalne miinimum sel korral, kui leidub u=(x0- , x0+ )
f(x0)
Tasandit z=f(a,b)+f'x(a,b)(x-a)+f'y(a,b)(y-b) nimetatakse pinna z=f(x,y)
puutujatasandiks punktis B(a,b,f(a,b))
Pinna z=f(x,y) normaalsirgeks punktis B nimetatakse sirget, mis läbib punkti B ja
ristub puutujatasandiga selles punktis
13. Mitme muutuja funktsiooni ekstreemumid. Lokaalse ekstreemumi tarvilik
tingimus
Punkti (x0,y0) nim funktsiooni z=f(x,y) maksimumpunktiks, kui punkti (x0,y0) küllalt
läheduses on f(x0,y0)>f(x,y), ja miinimumpunktiks, kui f(x0,y0)
Kasvamis- ja kahanemispiirkond: f '(x) > 0 kasvamispiirkond; f '(x) < kahanemispiirkond. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse mingis x väärtuste vahemikus kasvavaks, kui argumendi x kasvamisel selles vahemikus kasvavad ka vastavad y väärtused ja kahanevaks, kui x väärtuste kasvamisel selles vahemikus vastavad y väärtused kahanevad. 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada
y = x 2 - 4x + 3 x 2 - 4 x + 3 > 0 ( x - 3 )( x - 1) > 0 . Lahendades viimase võrratuse, saame - < x < 1 ja 3 < x < + , mis annabki kasvamispiirkonna. Lahendades võrratuse y < 0 , saame 1 < x < 3 . 1 y = x 3 - 2 x 2 + 3x - 2 Seega funktsioon 3 kasvab vahemikes - < x < 1 ja 3 < x < + ning kahaneb vahemikus 1 < x < 3 6. Maksimum- ja miinimumpunktid (üldnimetusega ekstreemumpunktid), samuti funktsiooni väärtus neis punktides. Ekstreemumi tarvilik tingimus pideva ja diferentseeruva funktsiooni korral f `(x) = 0 (selliseid punkte nimetatakse statsionaarseteks punktideks). Piisavaks tingimuseks on kas f `(x) märgimuutus punktis või kasutata teist (või kõrgemat järku) tuletist: f `'< 0 maksimumpunkt, f `'> 0 miinimumpunkt. Kui funktsiooni teine tuletis statsionaarses punktis võrdub nulliga, ei saa sellest järeldada ekstreemumi leidumist või mitte
Lahendusvõtted. Graafiline lahendamine kasut siis, kui on kaks muutujat. Koostame võrrandid, mis kirjeldavad kasumi maksimeerimist/kahjumi minimeerimist ning kitsenduste võrrandid. Ala, mis rahuldab kõiki kitsendusi ongi lahendite piirkond. Optimaalse lahendi hulga leidmiseks on mitu võimalust: samakasumijoone meetod ja ekstreemumpunkti meetod. Simpleksmeetod- enam kui kaks muutujat. See on algoritm(instruktsioonide kogum), mille abil leitakse ekstreemumpunktid ja nende kaudu jõutakse parima lahendini- suurema kasumi või väiksema kahjumini. Duaalhinnangud- vastab lineaarplaneerimise ül-le, see on lähte ül-ga sümmeetriline. Duaalhinnangud võimaldavad koondada ökonomistide tähelepanu defitsiitsete ressursside efektiivsemale kasutamisele. Selle tulemus on 0 siis, kui ta ei mõjuta ülesande optimaalset lahendit, s.t kui vastavaid ressursse on olemas külluses. Optimeerimismudelite kasutamise tüüpülesanded.
osatuletised fun-ist kõigi argumentide järgi nulliga. f1 =f2=0, kus fi = bz/bxi Kui ekstreemumi Kui ekstrem-i tarvilik tingimus on täidetud siis kõik hessiaani ja peamiinorid on pos, võib öelda, et tegu on lokaalse min-ga. Kui tarv.ting on täidetud ja peamiinorte märk vaheldub, alustades neg-st esimest järku peamiinorist, on tegu lokaalse max-ga. Kriitiliseks p nim p kus fun ei kasva ega kahane. Teist j.ting: abil valitakse kriitiliste punktide hulgast välja ekstreemumpunktid. Ekstremp-is peab fun-i diferentsiaali märk muutuma.et kriitilises p-is Xo eksisteriks fun-i maksimum, peab fun.sellest p-st vasakul olema kasvav ja paremalkahanev.teist j. Ehk piisava ting täidetuse kontrol.sex koostatakse fun-i kõigist erinevatest teise järgu osatuletistes hessiaan ning leitakse hessiaani peamiinorid. N-dat järku tuletise reegel: kui n on paaritu arv, on tegu käänup-ga. Kui n on paarisarv, on tegu ekstreemumiga
1 üks selline puutuja, mille tõus on 25, ja selle puutepunkti abstsiss on x . Veel on teada, et sellel 3 kuupfunktsioonil on ekstreemum kohal x 2 . Määrake kordajad a, b ja c. III Kuupfunktsiooni y ax 3 bx 2 cx d graafiku ekstreemumpunktid on A 0; 7 ja B 4; 39 . Leidke kordajad a, b, c ja d. Vastused I a b 3, c 3 . II a 3, b 3, c 24 . III a 1, b 6, c 0, d 7 . Näpunäited Kolme kordaja määramiseks on vaja leida kolm võrrandit. I Esimene võrrand: . (II variandis .) Teise võrrandi saame tingimusest, et võrrandil võrrandil on täpselt üks lahend. (II variandis .) Kolmas võrrand:
muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe piirkonnad. 20. Mis on funktsiooni f(x) ekstreemum ja selle funktsiooni graafiku käänupunkt? Esitage 2 näidet! F-ni ekstreemumiteks nim. f-ni max ja min väärtusi. , - ekstreemumkohad , - ekstreemumid , - ekstreemumpunktid Käänupunkt on punkt, kus f-ni graafiku kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi. Näited: v.t. labor 8 21. Defineerida funktsiooni alternatiivne tuletis! Leida konkreetse funktsiooni tuletis alternatiivse tuletise definitsiooni abil ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga! Näide: Leida f-ni tuletis kohal . Käsitsi: , Mathcadiga: Alternatiivse tuletise valemitega: 22
Globaalsed ekstreemumid. x) + Rrf(x,x), kus r-järku Taylori polünoom Trf(x+ x) := (j=0, r) (1/j!)d jf(x); djf(x) := ((i=1, n) (/x) xi )jf(x) ning mille Tingliku ekstreemumi ülesandeks ehk lisatingimustega esktreemumülesandeks nimetame ülesannet kujul "Leida funktsiooni jääkliige Rrf avaldub (Lagrange') kujul (0<<1) Rrf(x,x) = (1/(r+1)!)dn+1f(x + x) u=f(x1, ..., xn) ekstreemumpunktid piirkonnas, mis on määratud tingimustega (r < n) F1(x 1,...,xn) = 0, F2(x1,...,xn) = 0, .., Fn(x1, ...,xn) = 0. Kahe- ja mitmemuutuja funktsiooni lokaalsete ekstreemumite piisavad tingimused. Olgu funktsioon f määratud punkti A mingis ümbruses Ue(A) ning olgu antud lisatingimused F1(x 1,...,xn) = 0, F2(x1,...,xn) = 0, ..., Olgu punkt A(a1, ..
Nendest kahest v~orrandist fx fy = , x y mis langeb kokku v~orrandis¨usteemi (6.31) esimese v~orrandiga. Kui on vaja leida kolme muutuja funktsiooni w = f (x, y, z) ekstreemumid lisatingimusel (x, y, z) = 0, koostame Lagrange'i funktsiooni F (x, y, z, ) = f (x, y, z) + (x, y, z) ja ekstreemumpunktid leiame v~orrandis¨ usteemist F =0 x Fy = 0 (6.33) F =0 z F = 0 Selle abil lahendame punkti alguses toodud n¨aite, st leiame funktsiooni V =
annaabi.ee 
