Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z
66 72 -0,5 -6 -5 -4 -4 -3 -3 -2 -1 -1 -7 -6 0,173648 0,5 -1 0,766044 0,939693 -1,5 1 0,939693 0,766044 0,5 0,173648 -0,17365 GRAAFIKUTE VÕRDLUS y=cosx y=cos2x y=cos0,5x y=2cosx 1 1 1 2 0,939693 0,766044 0,98480775 1,879385 0,766044 0,173648 0,93969262 1,532089 0,5 -0,5 0,8660254 1 y=cosx y=cos2x y=cos0,5x y=2cosx 0,173648 -0,93969 0,76604444 0,347296 -0,17365 -0,93969 0,64278761 -0,3473 -0,5 -0,5 0,5 -1 2,5
5.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = log 3 7 2 6. On antud funktsioon y = x 3 -2 x 2 . Leia selle funktsiooni 3 6.1. nullkohad; 6.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 6.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 6.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 6.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 6.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 3. 7. Antud on funktsioonid f(x) = cos2x ja g(x) = sin2x. 7.1. avalda cos2x suuruste sinx ja cosx kaudu; 7.2. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 7.3. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 7.4. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) > g(x) 8. Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata taraga maksimaalse ümbermõõduga ristkülikukujuline maatükk. Leia maatüki mõõtmed, kui maatüki pindala on 400 m². Aritmeetiline ja geomeetriline jada.
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
Fn-de lineaarne sõltuvus ja sõltumatus.Olgu meil antud fn-d y1(x),y2(x),...,yn(x), xє(a;b).Def:fn-e y1(x),...yn(x) nim lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b),kui leiduvad kordajad α 1,α2,...,αn(α1+α2+...+αn≠0) nii,et α1y1(x)+α2y2(x) +...+ αnyn (x)=0 Ɐxϵ(a;b).(*)Kui seos (*) kehtib siis ja ainult siis,kui kõik kordajad α 1=α2=...=αn= 0, nim fn-e y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks.Nt.1)Vaatame y1=1,y2=sin2x, y3=cos2x vahemikus (a;b).Valime α1=y- 1,α2=α3=1,siis α1y1+α2y2+α3y3=-1·1+1·sin2x+1· cos2x=0.Järelikult on tegu lin. Sõltuvate fn-dega Lineaarse homogeense DV-i lahe-ndite lineaarse sõltumatuse tingimused. Wronski determinant.Teoreem:olgu y1(x), ...,yn(x) võrrandi(1h) lahendid.Siis I y1(x),...,yn(x) on lineaarselt sõltuvad vahemikus (a;b) parajasti siis,kui W(x)≡0 Ɐxє(a;b). II y1(x),...,yn(x) on lineaarselt sõltumatud vahemikus (a;b)
V: Olgu meil antud funktsioonid y1(x),y2(x),...,yn(x), x(a;b). **Definitsioon: Funktsioone y1(x), ...yn(x) nim lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b), kui leiduvad kordajad 1, 2, ..., n (1 + 2 + ... + n 0) nii, et lin kombinatsioon 1y1(x) + 2y2(x) + ... + nyn(x) = 0 x (a;b). (*) **Kui seos (*) kehtib ss ja ainult ss, kui kõik kordajad 1=2=...=n=0, nim funktsioone y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks. **Nt. 1.)Vaatame y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x vahemikus (a;b). Valime 1=y-1,2=3=1, siis 1y1+2y2+3y3=-11+1sin2x+1cos 2x=0. Järelikult on tegu lin. Sõltuvate funktsioonidega. 5. Lineaarse homogeense DV lahendite lineaarse sõltumatuse tingimused. Wronski determinant. V: Lineaarse homogeense DV lahendite :TEOREEM Olgu y 1(x), ..., yn(x) võrrandi (1 h) lahendid. Siis **I y1(x), ..., yn(x) on lineaarselt sõltuvad vahemikus (a, b) parajasti siis, kui W(x) 0 x (a, b). **II y1(x), ..., yn(x) on lineaarselt mitte sõltuvad vahemikus (a, b)
3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , A ja AB=2. Tõestage, et kolmnurga ABC pindala võrdub väärtusega f . 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus oleks 1. 21. (20.05.2003, II, 15 punkti). Antud on funktsioon f x cos 2 x lõigul 0;2 . 1) Lahendage võrrand f x . 1 2 2) Joonestage funktsiooni y cos2x graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , B ja AB=1. Tõestage, et kolmnurga ABC kaatetite summa võrdub väärtusega f . cos sin 1 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala oleks võrdne .
..yn(x) nimetatakse lineaarselt sõltuvaks vahemikus (a;b), kui leiduvad kordajad α1, α2, ..., αn (α1 + α2 + ... + αn ≠ 0) nii, et α1y1(x) + α2y2(x) + ... + αnyn(x) = 0 Ɐx ϵ (a;b). (*) Kui seos (*) kehtib siis ja ainult siis, kui kõik kordajad α1=α2=...=αn=0, nimetatakse funktsioone y1(x),y2(x),...,yn(x) lineaarselt sõltumatuteks. Nt. 1.)Vaatame y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x vahemikus (a;b). Valime α1=y-1,α2=α3=1, siis α1y1+α2y2+α3y3=-1·1+1·sin2x+1·cos2x=0. Järelikult on tegu lin. Sõltuvate funktsioonidega. 5. Lineaarse homogeense DV lahendite lineaarse sõltumatuse tingimused. Wronski determinant. V: Lineaarse homogeense DV lahendite lineaarse sõltumatuse tingimuste teoreem: Olgu y1(x), ..., yn(x) võrrandi (1h) lahendid. Siis I y1(x), ..., yn(x) on lineaarselt sõltuvad vahemikus (a, b) parajasti siis, kui
cosx=1-t2/1+t2; = R (2t / 1 + t ;1 - t / 1 + t )2 / 1 + t * dt II
2 2 2 2
dt
R(tan x)dx = R(t ) 1 + t 2 III R(sin x) cos xdx = R(t )dt , as t=sinx, dt
=sinx'dx=cosxdx(saab ka vastupidi, st sulgudes on cosx) IV sin mxcosnxdx:
a)m=2k+1>0=> sin x cos x sin xdx = -(1 -t )t dt , as t=cosx, dt =-sinxdx,
2k n 2 n
sin2x=1-cos2x b)n=2l+1>0 => sin x cos x cos xdx = t (1 - t ) dt , as t=sinx dt
m 2l n 2 l
=cosxdx c)m=2k>0, n=2l>0 =>sin2x=1/2 (1-cos2x), cos2x=1/2(1+cos2x),
sinxcosx =1/2 sin2x d) m=2k<0, n=2l<0=> [t=tanx]=>dx=dt/1+t 2; cos2x=1/1+t2;
sin2x=t2/1+t2
32.Määratud int mõiste
Antud y=f(x)-pidev lõigul[a;b], konstruktsioon n N-> a=x0
x
f) tan 2 6 = 0 Vastus : x = 3 (6k - 1), k
g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja
-3600
4 4 4 4 4 4 4 4
Vastus: x
4 2
9
i) Leidke sin2x, kui sinx rahuldab võrrandit cos2x = 7sin2x ja 1800
3 x 2+3 3 sin +2 cos2 x x<1 5 x 3 cos( x-2 ) F2= 2 F2=2 sin + 3 x x 3 0 2 sin +3 cos x1 x 2+x+2 3 4 2sin ( x+1) { 3 F1=ln (x 2 +3 ) 2 +cos2x 4 sin2 3x+2 cos x-2 x<3 x +x+3 F2= 5 x 3 sin x 3 x 4 F1=4 cos -3 2 2 3 cos -5 sin( x-3 ) x3
2 2 = sin ( 3600 - 450 ) - cos ( 3600 - 450 ) = - sin 450 - cos 450 = - - =- 2 2 2 ymin = - 2 7 Miinimumpunkt on ; - 2 4 7 Vastus: 1) cos2x; 2) Lahendid on x1 = ; x2 = 0,5 ; 3) < x 4) Miinimumpunkt on ; - 2 4 4 Kasutatud kirjandus www.ekk.edu.ee Tööd asuvad keskkonnas www.kool.ee
4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius. Avalda ringi segmendi pindala, kui segmendi alus on r 3 ja kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2 +x -8 24. Komplektis on 4 standardset ja 2 mittestandardset lampi. Võetakse juhuslikult 2 lampi. Leia tõenäosus, et mõlemad on standardsed. 25. Kolmnurga tipud A(1; 1), B(2; 3), C(5; -1). Konrolli ka skolmnurk on täisnurkne. Leia pindala. 26. Rong läbis esimeses sekundis peale liikuma hakkamist 0,4 meetrit, igas järgmises
3 3 © Allar Veelmaa 2014 18 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHEKORDSE NURGA JA POOLNURGA SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS Allpooltoodud valemid võimaldavad nurga 2x siinuse, koosinuse ja tangensi avaldada nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x
annaabi.ee 
