Trigonomeetrilised funktsioonid Valemid sin2x + cos2x = 1 sin2x = 1 cos2x cos2x = 1 sin2x tanx = sinx / cosx 1 + tan2x = 1 / cos2x sin2x = 2sinx x cosx cos2x = cos2x sin2x tan2x = 2tanx / (1 tan2x) sinx/2 = ± ((1 cosx) / 2) cosx/2 = ± ((1 cosx) / 2) tanx/2 = ± ((1 cosx) / (1 + cosx)) sin(x ± y) = sinx x cosy ± cosx x siny cos(x ± y) = cosx x cosy ±vp! sinx x siny tan (x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ±! tanx x tany) sin(90 x) = cosx cos(90 x) = sinx tan(90 x) = cotx cot(90 x) = tanx sin(180 x) = sinx sin(180 + x) = -sinx sin(360 x) = -sinx sin ++-- ; cos +--+ ; tan +-+- sinx = m = x = (-1)n arcsinm + n ; n Z
Koosinusfunktsioon M. Kallasvee DEFINITSIOON FUNKTSIOONI Y=COS X NIMETATAKSE KOOSINUSFUNKTSIOONIKS. OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON ON PAARISFUNKTSIOON, S.T. koosinusfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes. COS(-X)=COSX OMADUSED FUNKTSIOONI FUNKTSIOONI y=cos x y=cos x määramispiirkonnaks muutumispiirkonnaks on kogu reaalarvude on lõik [-1;1]. hulk. X=R Y=[-1;1] OMADUSED KOOSINUSFUNKTSIOON y=cos x on perioodiline funktsioon. KOOSINUSFUNKTSIOONI y=cos x perioodiks on 2. GRAAFIK y=cosx 1 0,939693 0,766044 0,5 0,173648 -0,17365 y=cosx -0,5 1,5 y-telg -0,76604 1 -0,93969 -1 0,5 -0,93969 x-telg -0,76604 0 -0,5 ...
5.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = log 3 7 2 6. On antud funktsioon y = x 3 -2 x 2 . Leia selle funktsiooni 3 6.1. nullkohad; 6.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 6.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 6.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 6.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 6.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 3. 7. Antud on funktsioonid f(x) = cos2x ja g(x) = sin2x. 7.1. avalda cos2x suuruste sinx ja cosx kaudu; 7.2. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 7.3. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 7.4. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) > g(x) 8. Müüri ääres tuleb kolmest küljest piirata taraga maksimaalse ümbermõõduga ristkülikukujuline maatükk. Leia maatüki mõõtmed, kui maatüki pindala on 400 m². Aritmeetiline ja geomeetriline jada. 1
c'=0 x'=1 (c × x)'=c (1/x)'=-1/x2 (√x)'=1/2√x (xn)'=n × xn-1 (ax)'=axIn a (ex)'=ex (In x)'=1/x (logax)'=1/x In (sin x)'=cos x (cos x)'=-sin x a (tan (cot x)'=- (arcsin x)'=1/cos2x 1/sin2x x)'=1/√1-x2 (arccos x)'=- (arctan (arccot x)'=- 1/√1-x2 x)'=1/1+x2 1/1+x2
1. Kõrgemat järku harilik DV. Lahendi olemasolu, ühesuse tingimused, üldlahend, erilahend. Kõrgemat jär harilikud dvid: Üldkuju: F(x, y, y', y'', ..., y (n)) = 0 (1), kus x on sõltumatu muutuja, y = y(x) on otsitav funktsioon ja y', ..., y (n) on otsitava funktsiooni tuletised. Normaalkuju: y(n) = f(x, y, y', ..., y (n-1))(2) (( F(x,y, y')=0 (1) ja y' =f(x;y) (2))) Eksaktne lahend: x0, y0, y01, ..., y0n-1, Algtingimused: nii mitu konstanti kui suur on DV järku konstant. ***{y(x0) = y0 {y'(x0) = y0(1) {... {y(n-1)(x0) = y0(n-1) ***Lahendi olemasolu : kõrgemat järku DV lahend funktsioon, mille asendamisel võrrandisse saame samasuse F(x, y(x), y'(x), y''(x), ..., y(n)) 0 x. Peano teoreem e. olemasolu teoreem: olgu funktsioon f pidev muutujate x, y, y', y'', ..., y(n-1) piirkonnas D, siis iga punkt (x0, y0, y0(n-1) ) D korral on Cauchy ülesanne {(1);(2)} vähemalt 1 lahend. Ca...
n Kõrgemat järku harilik DV-Üldkuju(F,x,y,y’,y’’,.., y ),kus x-sõltumatu muutuja,y=y(x) otsitav funkt ja y’.. ' n x , y , y , .. y on otsitava fun tuletised.Lahendiks y=y(x)>y=y(x,C1,C2,..,Cn). Normkuju: y =f ¿ , (n ) y (n−1) ¿(1) . Algtingimused y( x 0 ¿= y 0 ; y( x 0 ¿= y 0 ' ; ...
3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , A ja AB=2. Tõestage, et kolmnurga ABC pindala võrdub väärtusega f . 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala väärtus oleks 1. 21. (20.05.2003, II, 15 punkti). Antud on funktsioon f x cos 2 x lõigul 0;2 . 1) Lahendage võrrand f x . 1 2 2) Joonestage funktsiooni y cos2x graafik ja kandke eelmises punktis leitud lahendid joonisele. 3) Kolmnurgas ABC olgu C 90 , B ja AB=1. Tõestage, et kolmnurga ABC kaatetite summa võrdub väärtusega f . cos sin 1 4) Leidke nurk nii, et eelmises punktis antud kolmnurga pindala oleks võrdne .
.. yn(x) y'1(x) y'2(x) ... y'n(x) W(x) = ... ... ... ... y1 (x) y2 (x) ... yn(n-1)(x) (n-1) (n-1) nimetatakse funktsioonide y1(x), y2(x), ..., yn(x) Wronksi determinandiks punktis x. Nt. Vaatame funktsioone y1=1, y2=sin2x, y3=cos2x. Moodustame Wronski determinandi 1 sin2x cos2x W(x) = 0 sin2x -sin2x = -2sin2xcos2x+2sin2xcos2x=0 0 2cos2x -2cos2x 6. Lahendite fundamentaalsüsteem. Lineaarse diferentsiaalvõrrandi üldlahend. V: Definitsioon: Võrrandi Ly = 0 LFS nimetatakse mistahes n lineaarset sõltumatut lahendit y 1(x), y2(x), ..., yn(x). Teoreem: Kui kordajad p0(x), p1(x), ..., pn(x) on pidevad funktsioonid vahemikus (a, b), siis leidub võrrandi Ly = 0 jaoks LFS
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
4 4 4 4 4 4 4 4
Vastus: x
4 2
9
i) Leidke sin2x, kui sinx rahuldab võrrandit cos2x = 7sin2x ja 1800
x
f) tan 2 6 = 0 Vastus : x = 3 (6k - 1), k
g) Lahendage võrrand 2cos2x + 4sin2 x = a , kui võrrandi üks lahend on 450 ja
-3600
Tallinna Tehnikaülikool Informaatikainstituut Töö Tabelid Üliõpilane Õppemärkmik Õppejõud J. Vilipõld Õpperühm Palun täitke tühjad lahtrid MASB11 Sisukord Harjutused Suhtaadresside kasutamine 1 Suhtaadresside kasutamine 2 Absoluutaadressid Nimede määramine ja kasutamine 1 Nimede kasutamine. Diagrammide koostamine Palkide müümimne 1 Funktsioonide graafikud Ülesanded Palgid_2 Palgad Funktsioonide graafikud Lisa: valemite kopeerimine Suhtaadressid. Valemite kopeerimine Ruumide pindalad ja ümbermõõdud a b S P Vaadake valemeid tulbas S ja P ! 5,00 4,00 20,0 18,00 Nad on kõikides ridades analoogilised, 7,20 4,80 34,6 24,00 kuid erinevad aadressite poolest: igas reas on aadressi reanumber ühe võrra 6,35 5,12 32,5 22,94 suurem kui eelm...
23.05.1998 a matemaatika riigieksam Lehe haldamist toetavad Topauto ja meelespea.net Põhivariant 2. rida 1998 aasta matemaatika riigieksami ülesannete lahendused 7 y -1 - 4 x -1 1. (5p) Leidke avaldise väärtus, kui x : y = 3 : 4. 3y -1 - x -1 Lahendus: 7 ( 4( x y 7x - 4y - -1 7 y - 4x -1 y = (x x = xy = ( 7 x - ...
4( sin 30° - sin 45° sin )( cos 60° + cos 45° cos tan ) 19. Aritmeetilise jada neljanda, kaheksanda, kaheteistkümnenda ja kuueteistkümnenda liikme summa on 500. Leia esimese 19 liikme summa. 20. Koosta ruutvõrrand, mille lahendid oleksid kolme võrra väiksemad ruutvõrrandi x 2 - 4 x - b 2 - 2b + 3 = 0 lahenditest. 21. Olgu r ringi raadius. Avalda ringi segmendi pindala, kui segmendi alus on r 3 ja kõrgus r/2. Tee joonis. 22. Tõesta võrratus cos2x + 2sinx < 1,5 23. Lahenda võrrand 10 log ( x ) =4 2 +x -8 24. Komplektis on 4 standardset ja 2 mittestandardset lampi. Võetakse juhuslikult 2 lampi. Leia tõenäosus, et mõlemad on standardsed. 25. Kolmnurga tipud A(1; 1), B(2; 3), C(5; -1). Konrolli ka skolmnurk on täisnurkne. Leia pindala. 26. Rong läbis esimeses sekundis peale liikuma hakkamist 0,4 meetrit, igas järgmises
3 3 © Allar Veelmaa 2014 18 10. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium KAHEKORDSE NURGA JA POOLNURGA SIINUS, KOOSINUS JA TANGENS Allpooltoodud valemid võimaldavad nurga 2x siinuse, koosinuse ja tangensi avaldada nurga x siinuse, koosinuse ja tangensi kaudu ja vastupidi. sin 2x = 2 sin x · cos x cos 2x = cos2x – sin2 x 2 tan x tan 2x = 1 tan2 x Näited: 1 1 sin x · cos x = 2 sin x · cos x = sin 2x 2 2 sin2x – cos2x = –(cos2x – sin2x) = – cos 2x 2 tan 2x tan 4x = 1 tan2 2x Ülesanne. Kasutades kahekordse nurga siinuse valemit lihtsusta avaldis sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8x cos 16x
annaabi.ee 
Sisene Facebook'ga
Sisene Google'ga
Sisene LinkedIn'ga
