Nimetu (3)

19

ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON.

TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND

DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x).
DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS.
X PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID:
1. Astmefunktsioonid: y = xα , α Q;
2. Eksponentfunktsioonid : y = ax, a > 0, a ≠ 1;
3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a ≠ 1;

Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x,
y = tan x, y = cot x;

Arkusfunktsioonid : y = arcsin x, y = arccos x,
y = arctan x, y = arccot x.

LIITFUNKTSIOON

DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu muutuja, vaid tema mingi funktsioon, nimetatakse LIITFUNTSIOONIKS sõltumatu muutuja suhtes.
z = g(y) = g(f(x)).

PÖÖRDFUNKTSIOON

DEFINITSIOON 2. Kui funktsiooni y = f(x) korral x = φ(y), siis funktsiooni y = φ(x) nimetatakse lähtefunktsiooni PÖÖRDFUNKTSIOONIKS ja vastupidi.

ERIOMADUSTEGA FUNKTSIOONE

DEFINITSIOON 3. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PAARISFUNKTSIOONIKS, kui ta rahuldab tingimust
f(-x) = f(x) iga x X puhul.
DEFINITSIOON 4. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PAARITUKS, kui ta rahuldab tingimust f(-x) = -f(x) iga x X puhul.
DEFINITSIOON 5. Funktsiooni y = f(x) nimetatakse PERIOODILISEKS, kui leidub niisugune t R, mis ei võrdu nulliga, et f(x+t) = f(x) iga x X puhul.

FUNKTSIOONI PIIRVÄÄRTUS. ELEMENTAARSEID VÕTTEID TEMA ARVUTAMISEKS

DEFINITSIOON. Arvu A nimetatakse funktsiooni y = f(x) PIIRVÄÄRTUSEKS punktis a, kui iga ε>0 korral leidub niisugune arv δ = δ(ε), et ׀f(x) - A׀ x - a׀ Tähistame lim f(x) = A.
x→a
OMADUSI
1. lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x).
x→a x→a x→a
2. lim f(x) g(x) = lim f(x) lim g(x).
x→a x→a x→a
Erijuhul lim c f(x) = c lim f(x).
x→a x→a
3. lim f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x), lim g(x) ≠ 0.
x→a x→a x→a x→a
PIIRVÄÄRTUSTE ARVUTAMINE
lim f(x) = f(a) 0 →↑ (funktsioon kasvab);
b) y´ 0 → graafik on nõgus,
b) y´´ 0.

Kirjutada välja teguritele vastavad ALGMURRUD:
A/ (x-a);
A1/(x-a), ... , Ak / (x-a)k;
(Bx+C) / (x2+px+q);
(B1x+C1) / (x2+px+q), ... ,(Bkx+Ck) / (x2+px+q)k.
NB! Neid on nii mitu, kui palju on ERINEVAID REAALSEID TEGUREID.
NB! TUNDMATUID KORDAJAID on m tükki.

Kordajad Ai , Bi , Ci arvutatakse, kasutades

MÄÄRAMATA KORDAJATE MEETODIT : võrdsete polünoomide x samade astmete kordajad on võrdsed.

ERIVÄÄRTUSTE MEETODIT : võrdsed
polünoomid on võrdsed iga argumendi väärtuse puhul.
NB! Leitakse nii mitu kordajat, kui mitu erinevat
reaalset juurt on nimetajal Qm(x). Ülejäänud leitakse määramata kordajate meetodil.

INTEGREERIDA algmurrud:

teguritele (x-a)k ( k≥1) vastavate algmurdude puhul
asendada z = x-a;

∫(Bx+C)/(x2+px+q)dx:
10. Valitakse t = x2+px+q → dt = (2x+p) dx.
20. Avaldatakse Bx+C avaldise 2x+p kaudu.
30. Tekib K ∫(2x+p)/(x2+px+q)dx = K ln │x2+px+q│.
40. Liidetav L∫(x2+px+q)-1dx määrab kindla kordaja ja
argumendiga arctan-funktsiooni. Nende
määramiseks on vaja teisendada avaldist
x2+px+q → z2+1. Alustada tuleb TÄISRUUDU
ERALDAMISEST ruutkolmliikmes.
c) Integraalid ∫(Bix+Ci)/ (x2+px+q)idx taandatakse
eelmisele juhule.
MÄÄRATUD INTEGRAALI ARVUTAMINE
NEWTON – LEIBNIZI VALEM:
b b
∫ f(x)dx = F(x)│= F(b) – F(a); F´(x) = f(x).
a a
MÄÄRATUD INTEGRAALI GEOMEETRILISI
RAKENDUSI
1. TASANDILISE KUJUNDI PINDALA
Olgu tasandiline kujund D piiratud joontega
y = f(x) ja y = g(x), kusjuures Dx = [ a, b ] ning
f(x) > g(x), x € [ a, b ]. Siis
b
SD = ∫ (f(x) – g(x))dx.
a
2. KEHA RUUMALA ARVUTAMINE
Olgu keha K lõigatud tasandiga x = const ja olgu
selle lõike pindala S(x). Kui Kx = [ a, b ], siis
b
VK = ∫ S(x)dx.
a
Kui K on pöördkeha, mille moodustajaks on joon
võrrandiga y = f(x), siis S(x) = π f 2 (x) ja seega
b
VK = π ∫ f 2 (x)dx.
a
3. TASANDILISE KAARE PIKKUS
Olgu tasandiline joon L määratud ilmutatud
võrrandiga y = f(x). Kui selle joone kaare jaoks
Lx = [ a, b ], siis
b
sL = ∫ √ 1 – [f´(x)]2 dx.
a
PÄRATUD INTEGRAALID

Esimest liiki päratud integraalid – integraalid
vähemalt ühe LÕPMATU RAJAGA :
∞ b
∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx.
a b→∞ a
Üldiselt
∞ 0 b
∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx + lim ∫ f(x)dx.
-∞ a→ -∞ a b→∞ 0

Teist liiki päratud integraalid – integraalid
integreerimislõigul TÕKESTAMATA
FUNKTSIOONIDEST:
b b
∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx, kui lim f(x) = ∞.
a ε→0 a+ε x→a
Üldiselt
b c-ε b
∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx + lim ∫ f(x)dx, kui lim f(x) = ∞.
a ε→0 a ε→0 c+ε x→c
ESIMEST JÄRKU DIFERENTSIAALVÕRRANDID
ERALDUVATE MUUTUJATEGA DIFERENTSIAAL -
VÕRRANDID (DV)
1. Normaalkujulist esimest järku DV-d y´ = f(x,y) nimetatakse ERALDUVATE MUUTUJATEGA DV-ks siis, kui funktsioon f(x,y) on vaadeldav kahe funktsiooni korrutisena, milles üks tegur on on ühe ja teine teise muutuja funktsioon, st
y´ = f(x) g(y).
Üldlahendi leidmiseks tuleb MUUTUJAD ERALDADA,
arvestades, et y´= dy/ dx, g(y) ≠ 0. Muutujate eraldamiseks tuleb antud võrrand läbi korrutada sobivalt valitud teguriga dx/ g(y).
Iseärased lahendid rahuldavad tingimust g(y) = 0.
2. Sümmeetrilisel kujul antud eralduvate muutujatega DV on
M1(x) M2(y) dx + N1(x) N2(y) dy = 0.
Üldlahendi leidmiseks tuleb MUUTUJAD ERALDADA,
võttes teguri M2(y) N1(x) sulgude ette.
Iseärased lahendid rahuldavad tingimusi
M2(y) = 0, N1(x) = 0.
ESIMEST JÄRKU HOMOGEENSED DV-d
Normaalkujulist DV-d nimetatakse HOMOGEENSEKS, kui funktsiooni f(x,y) homogeensusjärk on 0, st
y´= f(x,y), f(tx, ty) = f(x,y).
Sümmeetrilisel kujul olev DV on HOMOGEENNE , kui
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M(tx, ty) = t α M(x,y),
N(tx, ty) = t α N(x,y),
st funktsioonid M(x,y), N(x,y) on sama homogeensus -järguga α.
Tähistades
y = x u(x),
saame antud võrrandist eralduvate muutujatega DV funktsiooni u(x) määramiseks.
ESIMEST JÄRKU LINEAARSED DV-d
Diferentsiaalvõrrandit, mis sisaldab muutujaid y´ ja y
esimeses astmes ja ei sisalda nende korrutist, nimetatakse LINEAARSEKS. Üldiselt
y´+ P(x)y = Q(x).
Kui Q(x) = 0, siis on võrrand HOMOGEENNE.
Kui Q(x) ≠ 0, siis on võrrand MITTEHOMOGEENNE.
BERNOULLI MEETOD ülesande lahendamiseks: valime
y = u(x) v(x).
I ABIÜLESANNE on homogeenne lineaarne võrrand u(x) määramiseks, mis on ühtlasi eralduvate muutujatega võrrand:
u´+ P(x) u = 0.
II ABIÜLESANNE on eralduvate muutujatega võrrand v(x) määramiseks:
uv´= Q(x).
TEIST JÄRKU MITTETÄIELIKUD
DIFERENTSIAALVÕRRANDID
Allpool vaadeldavate normaalkujuliste DV-te y´´= f(x,y,y´) üldlahendi leidmine taandatakse kahe esimest järku DV lahendamisele.

y´´= f(x) → y´´=(y´)´
Tähistades y´=p, p=p(x), tekib y´´=p´ tõttu
eralduvate muutujatega võrrand p´=f(x) funktsiooni
p=p(x) määramiseks.
Arvestades, et y´=p(x), saadakse eralduvate
muutujatega võrrand y=y(x) määramiseks.

y´´= f(x,y´) →
Tähistades y´=p, p=p(x) ja arvestades, et y´´=p´,
tekib esimest järku võrrand p´=f(x,p) funktsiooni
p=p(x) määramiseks.
Arvestades, et y´=p(x), on saadud eralduvate
muutujatega võrrand y=y(x) määramiseks.

y´´= f(y,y´) →
Tähistades y´=p, p=p(y) ja arvestades, et y´´=p p´y ,
tekib esimest järku võrrand p p´y=f(y,p) funktsiooni
p=p(y) määramiseks.
Arvestades, et y´=p(y), on saadud eralduvate
muutujatega võrrand y=y(x) määramiseks.
TEIST JÄRKU LINEAARSED KONSTANTSETE
KORDAJATEGA DIFERENTSIAALVÕRRANDID
Teist järku diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui ta sisaldab y, y´ ja y´´ esimeses astmes ja ei sisalda nende korrutist. Iga selline võrrand on esitatav kujul
y´´+ p(x)y´+ q(x)y = f(x).
Kui kordajad p(x)=p ja q(x)=q on konstandid, siis on tegemist konstantsete kordajatega lineaarse teist järku
võrrandiga
y´´+ py´+ qy =f(x).
Kui f(x)≠0, siis on võrrand mittehomogeenne,
kui f(x)=0, siis on võrrand homogeenne.

Mittehomogeense võrrandi üldlahend yMHÜ esitatakse tema mingi erilahendi yMHE ja vastava homogeense võrrandi üldlahendi yHÜ summana
yMHÜ = yMHE + yHÜ.
2. Homogeense võrrandi üldlahendi leidmine.
Karakteristliku võrrandi Homogeense võrrandi
k2+pk+q=0 lahendid üldlahend yHÜ
____________________________________________
k1≠k2 C1e k x + C2e k x
k1=k2=α (C1 + C2x)e αx
k1=α+iβ, k2=α-iβ eαx (C1 cos βx + C2 sin βx)
3. Mittehomogeense võrrandi erilahendi leidmine
DV parem pool f(x) Tingimus Mittehomogeense võr-
randi erilahend yMHE
a) Pn(x) 0 ei ole kar. Qn(x)=B0xn+...+Bn
_ võrr. lahend
_____________________________
0 on kar.
võrr. lahend xQn(x)
b) eαxPn(x) α ei ole kar. eαxQn(x)
võrr. lahend
____________________________
α on kar.võrr. xkeαxQn(x)
k-kordne lah.
______________________________________________
c) eαx(Pn(x)cosβx+ α+iβ ei ole kar. eαx(Us(x)cosβx+
+Qm(x)sinβx) võrr. lahend +Vs(x)sinβx),
s=max(m,n)
_____________________________
α+iβ on kar. xeαx(Us(x)cosβx+
võrr. lahend +Vs(x)sinβx)
______________________________________________
MÄRKUS. Otsitava erilahendi yMHE avaldistes esinevate polünoomide kordajad leitakse määramata kordajate meetodil.