Mat teooria II 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? Loetleda diferentsiaali omadused. 2. Olgu antud funktsioon, mis diferentseerub punktis a ja eeldame, et Teades, et Nii me näitasime, et Tähistades ja vahe järgmiselt Kehtib võrratus: Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: Korrutades saadud avaldist saame: kus Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, mis kahanevad piirprotsessis Võrdleme neid suuruseid suhtes: Lisaks kehtib veel: · Diferentsiaali omadused: 1. 2. 3. 4. 5. 3. Funktsiooni lokaalsete ekstreemumite definitsioonid. Sõnastada Fermat' lemma. · Funktsiooni lokaalne maksimum Funktsioonil on punktis lokaalne maksimum, kui: a) Funktsioon on määratud mingis ümbruses ( ...
32. Lokaalse ekstreemumi piisavad tingimused: tingimus I. Olgu x1 funktsiooni f kriitiline punkt. Kui läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub plussist miinuseks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne maksimum. Kui aga läbides punkti x1 vasakult paremale funktsiooni tuletise märk muutub miinusest plussiks siis on funktsioonil selles punktis lokaalne miinimum. Kui funktsioonil eksisteerib teist järku tuletis siis saab lokaalsete ekstreemumite olemasolu kontrollida ka selle abil. Nimelt maksimumpunkti läbides vasakult paremale funktsiooni graafiku puutuja tõus väheneb. See tähendab et funktsiooni tuletis kahaneb. Funktsiooni tuletis kahaneb aga juhul kui teine tuletis on negatiivne. Seevastu miinimupunkti läbides puutuja tõus suureneb, seega tuletis kasvab. Tuletis kasvab aga juhul kui teine tuletis on positiivne. Järelikult kehtib järgmine väide: Lokaalse ekstreemumi piisav tingimus II. Olgu f ` (x1) = 0...
MATEMAATIKA EKSAM. 1. Muutuvad suurused (üldiselt). 1)konstantsed suurused 2)muutuvad suurused NT: ühtlase liikumise korral on kiirus konstante suurus, teepikkus aga muutuv suurus. Funktsiooni mõiste (definitsioon, tähistused, näited). Funktsiooni esitusviise (piltlik, valemiga, tabelina, nooldiagrammina, sõnadega jne). Ühesed, paaris- ja paaritud, perioodilised, kasvavad ja kahanevad funktsioonid (definitsioonidega). Definitsioon: muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui suuruse x igale väärtusele on vastav y üks väärtus Tähistused: argument(muutuja) x; argument(muutuja) y; määramispiirkond X; muutumispiirkond Y Näited: 2. Funktsiooni graafik (definitsioon, piltlik esitus). Definitsioon: funktsiooni graafik= {(x,f(x)): x∈X} Piltlikult: 3. Pöördfunktsioon (definitsioon). Näiteid. Kuidas leida pöördfunktsioone? Defin...
Matemaatilise analüüsi II Kontrolltöö 1. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu x suhtes, kui x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. a. Teades, et argumendi muut kohal a -funktsiooni muut kohal a a.i. Nii me näitasime, et a.ii. Tähistades ja vahe järgmiselt a.iii. Kehtib võrratus: a.iv. Et avaldada väärtust kaudu peame kõigepealt avaldama suhte: a.v. Korrutades saadud avaldist saame: kus a.vi. Nüüd näemegi, et koosneb kahest liidetavast, esimeseks dy= ja teine on , mis kahanevad piirprotsessis a.vii. Võrdleme neid suuruseid suhtes: a.viii. Lisaks kehtib veel: a.ix. Nüüd teame,et diferentsiaal dy on sama järku kahanev suur...
MATEMAATILINE ANALÜÜS I. KORDAMISKÜSIMUSED 1. Muutuvad suurused (tähistus, jaotus). Matemaatilises analüüsis tähistatakse muutujad väikeste tähtedega (x, y, a jne). Näiteid muutujate vahelistest suhetest: „Patsiendi vererõhk sõltub ravimite manustamise hulgast“, „Ringi pindala sõltub raadiusest“ Jaotus: a) Konstantsed suurused – ei muutu, omavad alati ühte ja sama väärtust N: ühtlane liikumine – kiirus on konstantne, teepikkus on muutuv suurus) b) Muutuvad suurused N: mitteühtlane liikumine – nii kiirus kui teepikkus muuutvad 2. Funktsiooni mõiste (definitsioon, tähistused, näited). DEF. Muutuvat suurust y nimetatakse muutuva suuruse x funktsiooniks, kui mingi eeskirjaga on suuruse x igale väärtusele seatud vastavusse suuruse y üks väärtus. Asjaolu, et y on x-i funktsioon, tähistatakse y = f(x) • Muutujat x nimetatakse sõltumatuks muutujaks (ehk argumendiks). • Muutujat y nimetatakse sõltuvaks muutujaks. • ...
1. · Arvtelje mõiste Arvteljeks kutsume sirget, millel on positiivne suund, määratud nullpunkt ja pikkusühik. Arvteljega on võimalik seada vastavusse kõik reaalarvud, kus ühele reaalarvule vastab ainult üks arvtelje punkt. · Reaalarvu absoluutväärtus · Absoluutväärtuse omadused · Reaalarvu lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a+), kus >0 on ümbruse raadius · Reaalarvu vasakpoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku (a-,a], kus >0 · Reaalarvu parempoolseks lõpmatuseks nimetame suvalist vahemikku [a, a+), kus >0 · Suuruse lõpmatus ümbruseks nimetame hulka (M,), kus M>0 · Suuruse miinus lõpmatus ümbruses nimetame hulka (-,-M), kus M>0 · Hulka A nimetame tõkestatud hulgaks, kui A on määratud lõplikus vahemikus (a,b) 2. · Jääv suurus on suurus mille väärtus ei muutu · Muutuv suurus on suurus, millele võib omastada erinevaid väärtuseid ...
TE.0568 Kõrgema matemaatika põhikursus (4 EAP) 2011/2012 sügis 1. Determinandid: omadused, miinorid, alamdeterminandid. Crameri meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks. Determinant on lineaaralgebras funktsioon, mis seab igale ruutmaatriksile vastavusse skalaari, ning on üks olulisemaid matemaatilisi konstruktsioone lineaarvõrrandsüsteemi uurimisel. Determinandiks nimetatakse ruutmaatriksiga seotud arvu, mis on arvutatud teatud eeskirja kohaselt. Determinante tähistatakse DA Maatriksi A determinanti tähistatakse tavaliselt , või . Determinant on defineeritud vaid ruutmaatriksile. Determinandi põhiomadused 1. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu maatriksi transponeerimisel: det(A) = det(AT). 2. Determinant on null, kui determinandi 1 rida või veerg : 1. koosneb nullidest 2. on võrdne mõne teise...
Sisujuht 16. Esimest liiki katkevuspunkt - niisugust katkevuspunkti, kus funktsioonil f on olemas ühepoolsed piirväärtused f ( a+) = lim f(x); x a+ ja f( a- ) = lim f(x); x a - nimetatakse 1. liiki katkevuspunktiks. ( hüppekoht, kõrvaldatav katkevuskoht, ................................................... 3 17. Teist liiki katkevuspunkt - arvu a nimetatakse funktsiooni y = f(x) teist liiki katkevuspunktiks, kui lim f(x); x a - on lõpmatu või ei eksisteeri ............................................ 4 20. Diferentseeruv funktsioon - kui funktsioonil y = f(x) on tuletis punktis x = x0, siis ütleme, et funktsioon on diferentseeruv punktis x0. Kui funktsioon on aga diferentseeruv mingi piirkonna igas punktis, öeldakse, et funktsioon on diferentseeruv selles piirkonnas. ..................................... 4 1. Arvuhulgad: naturaal-, täis-, ratsionaal-, reaal- ja kompleksarvud. Nende omadused. ...............6 2. Reaalarvu absoluutväärt...
1 ÜHE MUUTUJA FUNKTSIOON. TEMA MÄÄRAMISPIIRKOND DEFINITSIOON 1. Kui muutuja x igale väärtusele hulgast X on mingi eeskirja f abil vastavusse seatud lõplik reaalarv y, siis öeldakse, et hulgal X on määratud FUNKTSIOON ja seda tähistatakse y = f(x). DEFINITSIOON 2. Muutuja x väärtuste hulka, mille puhul f(x) väärtus on lõplik, nimetatakse funktsiooni y = f(x) MÄÄRAMISPIIRKONNAKS. X = { x R; f(x) väärtus on lõplik}. PÕHILISED ELEMENTAARFUNKTSIOONID: 1. Astmefunktsioonid: y = x , Q; 2. Eksponentfunktsioonid: y = ax, a > 0, a 1; 3. Logaritmfunktsioonid: y = loga x, a > 0, a 1; 4. Trigonomeetrilised funktsioonid: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cot x; 5. Arkusfunktsioonid: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arccot x. 2 LIITFUNKTSIOON DEFINITSIOON 1. Funktsiooni, mille argumendiks ei ole sõltumatu...
Matemaatiline analüüs 23. Funktsiooni muudu esitus diferentsiaali ja jääkliikme summana. Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆x suhtes, kui ∆x läheneb nullile? (tõestada!). Loetleda diferentsiaali omadused. Funktsiooni muudu esitus: ∆y = f’(a)∆x + β , kus β = r(∆x)∆x Kuidas käituvad diferentsiaal ja jääkliige argumendi muudu ∆ x suhtes, kui ∆ x läheneb nullile? (tõestada!). funktsiooni muut ∆y koosneb kahest liidetavast, millest esimene on diferentsiaal dy = f’(a)∆x ja teine on β. Mõlemad liidetavad on lõpmatult kahanevad protsessis ∆x → 0. Võrdleme neid suurusi ∆x suhtes. Esiteks, eelduse f’(a) 0 põhjal saame lim dy ∆x= lim f’(a)/∆x* ∆x= lim f’(a) = f(a) 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Teiseks kehtib lim β/ ∆x = lim r(∆x)∆x /∆x = lim r(∆x) = 0. ∆x→0 ∆x→0 ∆x→0 Näeme, et esimene liidetav, so diferentsiaal dy on sama järku lõpmatult kahanev suurus kui ∆x ja t...
MTMM.00.340 Kõrgem matemaatika 1 2016 KÄRBITUD loengukonspekt Marek Kolk ii Sisukord 0 Tähistused. Reaalarvud 1 0.1 Tähistused . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0.2 Kreeka tähestik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Reaalarvud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.4 Summa sümbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Maatriksid ja determinandid 7 1.1 Maatriksi mõiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Tehted maatriksi...
Matematiline analüüs l. Jaan Jaano 1. Arvtelje mõiste. Reaalarvu absoluutväärtus. Loetleda absoluutväärtuse omadused. Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Tõkestatud hulga definitsioon. Arvtelje mõiste. Arvteljeks nimetatakse sirget, millel on valitud nullpunkt, pikkusühik ja positiivne suund. Võib väita, et igale arvtelje punktile vastab üks ja ainult üks reaalarv ja vastupidi: igale reaalarvule vastab üks ja ainult üks arvtelje punkt. Absoluutväärtuse mõiste. Reaalarvu a absoluutväärtuseks nimetatakse järgmist mittenegatiivset reaalarvu: |a| = a kui a 0 -a kui a < 0 . Reaalarvu a absoluutväärtus |a| on punkti a ja nullpunkti vahelist kaugust arvteljel. Absoluutväärtuse omadused: 1. | - a| = |a| 2. |ab| = |a| |b| 3. |a + b| |a| + |b| 4. |a - b| | |a| - |b| | Reaalarvude ja lõpmatuste ümbrused. Reaalarvu a ümbruseks nimetatakse suvalist vahemikku (a - , a + ), kus > 0 on ümbruse raadius. Reaalarvu a vasakpoolseks ümbruseks...
1. Muutuvad suurused.
Def. 1 *Suurusi, mis omand erinevaid väärtusi(vaadeldavas protsessis) nim
muutuvateks suurusteks. *Suurusi, mis omand. konstantseid püsivaid väärtusi
nim jäävateks suurusteks e. konstantideks. *Tähistus: x,y,z...u,v,w,t *NT
ühtlane liikumine-> kiirus konstantne v, teepikkus ja aeg muutuvad *Muutuvad
suurused on tavaliselt reaalarvud-> geom võime esitada sirgel *absoluutsed
konstandid- mistahes protsessis vaadeldavad suurused: =3,14..., e =2,71
1. väärtused on diskreetsed x: x1,x2,x3 (arvjada) 2. väärtused omand pideva
alamhulga reaalteljel (+joonised!): *X={x IR|axib} lõik * X={x IR|a
MATEMAATLINE ANALÜÜS II 1. KORDSED INTEGRAALID Kordame kõigepealt mõningaid teemasid Matemaatlise analüüsi I osast. 1.1 Kahe muutuja funktsioonid Kui Tasndi R 2 mingi piirkonna D igale punktile x, y D seatakse ühesel viisil vastavusse arv z, siis öeldakse, et piirkonnas D on määratud kahe muutuja funktsioon z f x, y . Piirkoda D nimetataksefunktsiooni f määramispiirkonnaks. See on mingi piirkond xy-tasandil. Näide 1. Poolsfääri z 1 x2 y 2 määramispiirkonnaks on ring x 2 y2 1. Funktsiooni z ln x y määramispiirkonnaks on pooltasand y x (sirgest y x ülespoole jääv tasandi osa: vaata joonist). Kahe muutja funktsioon ise esitab pinda xyz-ruumis (ruumis R 3 ). Näide 2. Funktsiooni z x2 y 2 graafikuks on pöördparaboloid (vaata allpool olevat joonist) Kahe muutuja funktsiooni f nivoojoonteks nimetatakse jooni f x, y c Näide 3. Tüü...
annaabi.ee 
