Tuleb välja kirjutada eraldi! *Vahemiku ja piirkonna erinevus Piirkondi võib omavahel ühendimärgiga üheks piirkonnaks kirjutada. Vahemikud tuleb kirjutada välja ühekaupa, kasutades indekseid erinevate kasvamis- või kahanemisvahemike eristamiseks. Näide Leiame joonisel kujutatud funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. Ekstreemumkohad Argumendi väärtusi, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks, või vastupidi, nimetatakse ekstreemumkohtadeks. Ekstreemumkohtade hulka tähistatakse Xe Võib tähistada ka eraldi maksimum- ja miinimumkohta (ekstreemumi liigi määramine): xmax : kasvamine läheb üle kahanemiseks xmin : kahanemine läheb üle kasvamiseks Näide jätkub
EKSTREEMUMÜLESANDE LAHENDAMINE 1.) Ülesandes toodud maksimaalse või minimaalse suuruse jaoks koostada funktsioon, kus argumendiks on soovitavalt üks otsitav. Kõik teised suurused avaldada selle kaudu. Võib kasutada argumendiks x-i ja funktsiooniks y-i. Võib kasutada ka muid tähistusi. 2.) leida funktsiooni tuletis argumendi järgi. 3.) Leida ekstreemumkohad 4.) Kontrollida, kas saadud ekstreemumkoht (kohad on maksimum- või miinimumkoht teise tuletise järgi. Näide: Olemasolevast materjalist saab valmistada tara pikkusega 16 meetrit. Kolmest küljest on vaja tarastada ristkülikukujuline maatükk laohoone ees. Missuguste mõõtmete korral on tarastatud maatüki pindala suurim? Olgu üks külg x meetrit, ja teine 16-2x meetrit. X x 16-2x
1.2. Leia millistes punktides on nende funktsioonide väärtused võrdsed; 1.3. Leia milliste argumendi x väärtuste korral on funktsiooni f(x) väärtused väiksemad funktsiooni g(x) väärtustest; 1.4. Leia funktsiooni f(x) väärtus, kui x = 10 cos 4 2. On antud funktsioon y =x 3 -5x 2 . Leia selle funktsiooni 2.1. nullkohad; 2.2. positiivsus- ja negatiivsusvahemikud; 2.3. ekstreemumkohad, nende liik ning ekstreemumpunktid; 2.4. kasvamis- ja kahanemisvahemikud; 2.5. skitseeri selle funktsiooni graafik; 2.6. graafikule puutuja punktis, mille abstsiss on 5. 3. Antud on funktsioonid f(x) = sin2x ja g(x) = sinx. 3.1. lahenda võrrand f(x) = g(x) lõigul [0;2] ; 3.2. joonesta ühes ja samas teljestikus funktsioonide f(x) ja g(x) graafikud lõigus [0;2] ; 3.3. leia joonise abil x väärtused, mille korral f(x) < g(x) 4
siinusteoreem R – ümberringjoone raadius ruut ristkülik rööpkülik trapets romb ringjoon, ring, sektor l – sektori kaare pikkus S – sektori pindala korrapärane kuusnurk Ruumilised kujundid risttahukas kuup püst- ja kaldprisma korrapärane püramiid silinder koonus kera TULETISED JA TEKSTÜLESANDED tuletised korrutise tuletis: jagatise tuletis: liitfunktsiooni tuletis: ekstreemumkohad nullkohad: positiivsus: negatiivsus: ekstreemum: kasvamisvahemik: kahanemisvahemik: puutuja kohal : vektor ja sirge tasandil vektorite skalaarkorrutis: vektorid on risti, kui vektorid on paralleelsed, kui tõusu ja algordinaadiga määratud sirge: punkti ja tõusuga määratud sirge: kahe punktiga määratud sirge: punkti ja vektoriga määratud sirge: sirge üldvõrrand: sirgete paralleelsus: sirged on paralleelsed, kui sirgete ristseis:
7. Positiivsuspiirkond argumentide väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. 8. Negatiivsuspiirkond argumentide väärtuste hulk, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne. 9. Kasvamine funktsioon y=(f) on kasvav, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni väärtused (y) kasvavad. 10.Kahanemine funktsioon y=(f) on kahanev, kui argumendi väärtuste (x-i) kasvades funktsiooni (y) väärtused kahanevad. 11.Ekstreemumkohad nimetatakse neid argumendiväärtuseid, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi. Maksimumkoht ekstreemumkoht, kus kasvamine läheb üle kahanemiseks. Miinimumkoht on ekstreemumkoht, kus kahanemine läheb üle kasvamiseks. 12.Funktsiooni ekstreemumid funktsiooni väärtused (y) ekstreemumkohal. 13.Astmefunktsioonid nim funktsioone, mida esitab valem y=ax n , kus a=/0 ja n E R
Y=0 4)positiivsuspiirkond-kui graafik asub ülevalpool x telge, on funktsiooni väärtused positiivsed. y>0 5)negatiivsuspiirkond-kui graafik asub allpool x telge, on funktsiooni väärtused negatiivsed. Y<0 6)kasvamisvahemik-leian jooniselt need x väärtused mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi tõuseb. 7)kahanemisvahemik-leian jooniselt need x väärtused, mille korral graafikut vasakult paremale joonestades käsi langeb. EI KASUTA VÕI JA ÜHENDIMÄRKI. 8)ekstreemumkohad: miinimumkoht- seal läheb funktsiooni kahanemine üle kasvamiseks. Maksimumkoht- seal läheb funktsiooni kasvamine üle kahanemiseks 9)ekstreemumid-miinimum on miinimumkohale vastav y väärtus maksimum on maksimumkohale vastav y väärtus. 10)ekstreemumpunktid- koosneb ekstreemumkohast ja ekstreemumist.. Paaris- ja paaritu funktsioon Funktsiooni y=f(x) nim paarituks, kui iga x korral selle funktsiooni määramispiirkonnast kehtib järgmine seos: f(-x)=-f(x)
KA- y=kx+b k =xlim ± x x ± Määramispiirkond kõigi selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral f(x) on arvutatav Nullkohad - need argumendi väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on null. Positiivsuspiirkond - argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on positiivne. f(x) > 0 Negatiivsuspiirkond argumendi need väärtused, mille korral funktsiooni väärtus on negatiivne Ekstreemumkohad -argumenti väärtused, mille korral funktsiooni kasvamine läheb üle kahanemiseks või vastupidi Ekstreemumpunktid - graafiku punktid, kus funktsioonil on kas suurim või vähim väärtus Funktsiooni y=f(x) nimetatakse piirkonnas X kasvavaks, kui selles piirkonnas igale suuremale argumendi väärtusele vastab suurem funktsiooni väärtus kahanevaks, kui igale suuremale argumendi väärtusele vastab väiksem funktsiooni väärtus.
x -1 2 1) paralleelne sirgega x+y =5 2) risti sirgega 8x-3y=1 6. Punkti liikumisel on läbitud tee ja aja vaheline seos s=4t3-3t2+5t+8.Leia 1)algkiirus 2)hetkiirus ja kiirendus 1 sekundi lõpus. 7. Esita parabooli y= 2x2-8x +3 puutuja võrrand 1) kohal x=-2 2) juhul, kui puutuja tõus on 4 3) punktides , milles sirge y= 2x-3 lõikab parabooli. 8. Uuri funktsioon y= -x3+3x ja joonesta tema graafik. 9. Leia funktsiooni y= x4-2x2-3 ekstreemumkohad, ekstreemumid, kasvamis-ja kahanemispiirkonnad, käänukohad ning kumerus- ja nõgususpiirkonnad. 10. Jaota arv 284 kaheks arvuks nii, et nende korrutis oleks suurim. 11. Jaota arv 30 kaheks arvuks nii, et nende ruutude summa oleks vähim. 12. Kuidas tuleb painutada 1m pikkust traaditükki, et saada maksimaalse pindalaga ringisektor? 13. Ristkülikukujulisest plekitahvlist, mille mõõtmed on 5dm ja 8 dm, valmistatakse kaaneta karp. Selleks lõigatakse tahvli nurkadest ära võrdsed
Kasvamis ja X kahanemisvahemiku 2. Kas funktsioon on paaris- d X või ja X paaritu? 8. Käänukohad Xk 3. Perioodilisus 9. Kumerus- ja 4. Nullkohad Xo nõgususvahemikud X ja X 5. Positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad 10. Asümptoodid X ja X + - 11. Toetudes andmetele 6. Ekstreemumkohad skitseerime graafiku Xe Funktsiooni määramispiirkonnaks on kõikide selliste muutuja x väärtuste hulk, mille korral saab funktsiooni väärtust y arvutada Tavaliselt reaalarvude hulk Erandid: x murrujoone all ei sobi x väärtused, kus tekib jagamine 0- ga x paarisarvulise juurijaga juuremärgi all ei sobi x väärtused, mis muudavad juuritava negatiivseks x logaritmitavas - ei sobi x väärtused, mis muudavad
X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X
X X Xe X X 2. Leia antud graafikul kujutatud funktsiooni määramis-, muutumis-, kasvamis-, kahanemispiirkond, nullkohad, ekstreemumkohad, ekstreemumi liik, negatiivsus- ja positiivsuspiirkond. X Y X0 X X Xe X X
väärtused suurenevad: kui x1 < x2, siis ka f (x1) < f (x2). *Kasvamispiirkond maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kasvab (tähis X) Funktsiooni kahanemine funktsiooni y = f (x) nimetatakse kahanevaks vahemikus (a; b), kui selles vahemikus argumendi väärtuste suurenedes funktsiooni vastavad väärtused vähenevad: kui x1 < x2, siis f (x1) > f (x2). *Kahanemispiirkond maksimaalse pikkusega vahemik, milles funktsioon kahaneb (tähis X) Ekstreemumkohad funktsiooni maksimum- ja miinimumkohad (tähis X e). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) maksimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0) >/= f (x). Kohal x0 on funktsioonil y = f (x) miinimum, kui argumendi x kõigi väärtuste korral koha x 0 mingist ümbrusest kehtib võrratus f (x0)
3 Nullkohad X0 Lahendatakse võrrand f(x) = 0 4 Positiivsuspiirkonnad X+ Lahendatakse võrratus f(x) > 0 Negatiivsuspiirkonnad X– Lahendatakse võrratus f(x) < 0 5 Kasvamisvahemikud X Leitakse funktsiooni esimene tuletis f ‘(x) Lahendatakse võrratus f ‘(x) > 0 Kahanemisvahemikud X Lahendatakse võrratus f ‘(x) < 0 6 Ekstreemumkohad, xmax Lahendatakse võrrand f ‘(x) = 0. Sobivad nende liigid xmin vaid need võrrandi lahendid, mille korral tuletis muudab märki. Ekstreemumkoha liik määratakse teise tuletise abil: Kui f ‘’(x) > 0, siis x on miinimumkoht,
2 2 4 4 4 2 d 2. Tuleb leida ruumala funktsiooni V ( d ) = 3d 2 - tuletis. Saame 4 2 d 3 9 V ( d) = 3d 2- = ( 6d 2 ) - d 3 = 12d - d 2 . 4 4 4 Leiame ruumalafunktsiooni ekstreemumkohad: V´= 0 9 12d - d 2 = 0 - 9d 2 + 48d = 0 3d 2 - 16d = 0 d ( 3d - 16 ) = 0 4 16 d1 = 0 ei sobi ja d 2 = . 3 16 Kontrollime teise tuletise abil, kas d 2 = on maksimumkoht. V´´(d) = 12 4,5d; 3 16 16 16
net 8 64 - 4 3 ( -3) 8 10 x= = ; 2 3 6 8 + 10 8 - 10 1 x1 = = 3; x2 = =- . 6 6 3 1 X =- ;- ( 3; ) 3 Kahanemisvahemik: X : y < 0 3x 2 - 8x - 3 < 0 1 X = - ; 3 3 2) Leiame ekstreemumkohad: y´ = 0 1 3 x 2 - 8 x - 3 = 0 x1 = 3; x2 = - . 3 Määrame ekstreemumkoha liigi teise tuletise järgi. Teine tuletis oli f ( x ) = 6 x - 8 . 1 1 1 f - = 6 - - 8 = -2 - 8 = -10 < 0, siis x = - on maksimumkoht 3 3 3
3 47. Milliste b väärtuste korral on võrrandisüsteemi 3x + 2 y = - 5 2x + 3 y = b lahendid x ja y negatiivsed? 48. Võrdhaarse trapetsi nürinurga tipust joonestatud kõrgus jaotab aluse 5 cm ja 25 cm pikkusteks lõikudeks. Trapetsi teravnurk on 60º. Leia pindala. 49. Kolmnurga kaks külge on a ja b. Leia kolmas külg, kui see võrdub remale tõmmatud mediaaniga. 50. Leia funktsiooni y = xe x ekstreemumkohad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 51. Teisenda korrutiseks 1 cos 36º + sin36º 52. Leia määramispiirkond f ( x ) = log sin [ ( x -1 )] 53. Kolmnurga kaks külge on 27 cm ja 29 cm ning kolmandale küljele tõmmatud mediaan on 26 cm. Leia kolmnurga pindala. 54. Buss pidi sõiduplaani järgi läbima tee ühest linnast teise ühesuguse keskmise kiirusega. Esimesel kolmandikul sõitis ta aga 15 km/h võrra kiiremini ja seisis siis peatuses 12 minutit
tuletis jne. Üldiselt, funktsiooni -ndat järku tuletist kohal , kus , tähistatakse . 12.Funktsiooni diferentsiaal 13. L`Hospitali reegel. 14, Funktsiooni uurimine Funktsiooni y=f(x) uurimine järgmise skeemi järgi: 1. leida funktsiooni määramispiirkond X 2. leida funktsiooni nullkohad X0 3. leida funktsiooni negatiivsuspiirkond X- ja positiivsuspiirkond X+ 4. leida funktsiooni ekstreemumkohad Xe ja ekstreemumid 5. leida kasvamispiirkond X ja kahanemispiirkond X 6. leida funktsiooni käänukohad Xk 7. leida kumeruspiirkond ja nõgususpiirkond 8. toetudes leitud andmetele, skitseerida funktsiooni graafik 15. Algfunktsioon ja määramata integraal 16. Määramata integraali omadused 17. Asendusvõte määramata integrali puhul. 18. Ositi integreerimine 19. Määratud integrali mõiste 20. Newton-Leibnizi valem 21. Määratud integrali omadused 22
abil funktsiooni kasvamise ja kahanemise piirkonnad 19. Koostage animatsioon, mis näitab konkreetse funktsiooni f(x) korral funktsiooni II tuletise muutumist etteantud lõigus [a. b], kus a ja b on konkreetsed arvud. Määrake selle animatsiooni abil funktsiooni graafiku kumeruse ja nõgususe piirkonnad. 20. Mis on funktsiooni f(x) ekstreemum ja selle funktsiooni graafiku käänupunkt? Esitage 2 näidet! F-ni ekstreemumiteks nim. f-ni max ja min väärtusi. , - ekstreemumkohad , - ekstreemumid , - ekstreemumpunktid Käänupunkt on punkt, kus f-ni graafiku kumerus läheb üle nõgususeks või vastupidi. Näited: v.t. labor 8 21. Defineerida funktsiooni alternatiivne tuletis! Leida konkreetse funktsiooni tuletis alternatiivse tuletise definitsiooni abil ja Mathcadi sisseprogrammeeritud algoritmiga! Näide: Leida f-ni tuletis kohal . Käsitsi: , Mathcadiga:
annaabi.ee 
