Kõrgem matemaatika 1 TK konspekt (0)

Tunnikontroll 1 materjalid



https://courses.ms.ut.ee/MTMM.00.340/2020_fall/uploads/Main/KM%20I%20Konspekt%202
020%202601.pdf Tunnikontrolli nr 1 kordamisküsimused
Tunnikontroll toimub praktikumi lõpus kuni 15 minuti jooksul. Tunnikontrollis on kolm
küsimust, millest esimesed kaks on mõistete ja omaduste peale, lisaks näited mõistete
kohta.
Kolmas küsimus sisaldab ülesannet praktikumides 1-4 lahendatud ülesannete teemadel.
1) Definitsioon 1.1: maatriks
Maatriksiks nimetatakse ümarsulgude vahele paigutatud m reast ja n veerust koosnevat
ristkülikukujulist arvude tabelit, kus arve aij nimetatakse maatriksi elementideks ja i=1,...,m ja
j=1,...,n. See on m x n maatriks.
2) Definitsioon 1.2: ruutmaatriks, reavektor, veeruvektor
Ruutmaatriks või ka n-järku ruutmaatriks on maatriks, millel on võrdne arv ridu ja veerge
(m=n)
Reavektor - kui maatriksis on ainult üks rida, siis nimetame maatriksit reavektoriks.
Veeruvektor - maatriks, milles on ainult üks veerg.
3) Definitsioon 1.3: maatriksite võrdsus
Kaks maatriksit on võrdsed siis, kui neil on võrdne arv ridasid ja veerge ning kõik vastavatel
kohtadel olevad elemendid on võrdsed.
4) Definitsioon 1.4: maatriksite summa
Kui maatriksid A ja B on mõlemad m x n maatriksid, siis A ja B summaks nimetatakse m x n
maatriksit C , mille elementideks on vastavate elementide summad. C=A+B kui cij = aij + bij
5) Definitsioon 1.5: maatriksite vahe
Kui maatriksid A ja B on mõlemad m x n maatriksid, siis A ja B vaheks nimetatakse m x n
maatriksit C , mille elementideks on vastavate elementide vahed. C=A-B kui cij = aij - bij


6) Definitsioon 1.6: maatriksi korrutamine skalaariga
Maatriksi A korrutiseks skalaariga ehk arvuga ƛ nimetatakse maatriksit ƛA=B, mille
elemendid saadakse maatriksi A kõigi elementide korrutamisel arvuga ƛ 7) Definitsioon 1.7: nullmaatriks
Nullmaatriksiks nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid võrduvad nulliga. Oij=0
Nullmaatriksit tähistatakse sageli sümboliga 𝛉 (theta)
8) Maatriksite tehetega seotud omadused 9) Definitsioon 1.8: transponeeritud maatriks
Maatriksi A=(aij) transponeeritud maatriksiks nimetatakse maatriksit A^T, mis saadakse
maatriksi A ridade ja veergude äravahetamisel. S.t A^T=(aji) i=1,...,m ja j=1,...,n


10) Transponeeritud maatriksite omadused 11) Definitsioon 1.9: maatriksite korrutis, märkus 1.1: mittekommutatiivsus MITTEKOMMUTATIIVSUS A*B≠B*A


12) Maatriksite korrutamise omadused 13) Definitsioon 1.12: ruutmaatriksi elemendile vastav miinor
Ruutmaatriksi A elemendile vastavaks miinoriks nimetatakse determinanti Mij, mis saadakse,
kui determinandis A jäetakse välja elementi aij läbiv rida ja veerg.
14) Definitsioon 1.13: determinandi arendamine 𝑖-nda rea järgi 15) Omadused 1.1-1.8: determinantide omadused 1. Maatriksi transponeerimine ei muuda maatriksi determinandi väärtust. |A^T|=|A|
2. Maatriksi kahe rea (või veeru) vahetamisel muutub determinandi märk vastupidiseks
3. Kahe võrdse või võrdelise maatriksi rea (või veeru) korral on determinandi väärtus null. 4. Kui maatriksi mingi rea (või veeru) kõik elemendid on nullid, siis determinandi väärtus võrdub nulliga. 5. Maatriksi mingi rea (või veeru) kõigi elementide korrutamisel arvuga k, korrutub determinandi väärtus arvuga k.


6. Kui maatriksi mingis reas (või veerus) olevad elemendid kujutavad endast kahe liidetava summasid, siis see determinant võrdub kahe sama järku determinandi
summaga, millest esimeses on vastavas reas (või veerus) esimesed liidetavad,
teises teised liidetavad, kõik ülejäänud read (veerud) on aga samasugused nagu
lähtedeterminandis. 7. Maatriksi determinandi väärtus ei muutu, kui maatriksi mingile reale (või veerule) liita mistahes nullist erineva arvuga korrutatud teine rida (või veerg). 8. Sama järku ruutmaatriksite korrutise determinant on võrdne tegurite determinantide korrutisega, s.t |AB|=|A|B|


2. peatükk. Pöördmaatriks. Lineaarvõrrandisüsteemid. 1) Definitsioon 2.2: ühikmaatriks, märkus 2.1: ühikmaatriksiga korrutamise
kommutatiivsus
n-järku ruutmaatriksit E nimetatakse ühikmaatriksiks, kui kõik selle peadiagonaali elemendid
võrduvad ühega ning ülejäänud elemendid võrduvad nulliga.
ühikmaatriksiga korrutamise kommutatiivsus
Suvalise n-järku maatriksi A korral kehtib AE=A ja EA=A
2) Definitsioon 2.3: pöördmaatriks, märkus 2.2: pöördmaatriksiga korrutamise
kommutatiivsus, pöördmaatriks on üheselt määratud
Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse sellist maatriksit A^-1, millega antud
maatriksit A korrutades saadakse ühikmaatriks E. A*A^-1=E
pöördmaatriksiga korrutamise kommutatiivsus 3) Omadus 2.1: kahe ruutmaatriksi korrutise pöördmaatriks (eksamil lisaks tõestus)
*Lisa tõestus juurde! 4) Gauss-Jordani meetod pöördmaatriksi leidmiseks 5) Definitsioon 2.4: maatriksi ridade elementaarteisendused ● Kahe rea äravahetamine


● Rea korrutamine nullist erineva arvuga
● Mingi arvuga korrutatud rea liitmine mingile teisele reale 6) Võrrandisüsteemi lahendi leidmine pöördmaatriksi abil (peatükk 2.2)
VT NÄIDE 2.4 DOCSI VIIMASEL LEHEL 7) Definitsioon 2.5: regulaarne, singulaarne maatriks
Ruutmaatriksit A, mille determinant ei võrdu nulliga, nimetatakse regulaarseks maatriksiks.
Ruutmaatriksit A, mille determinant võrdub nulliga, nimetatakse singulaarseks maatriksiks.
8) Lause 2.1: pöördmaatriksi eksisteerimine
Maatriksil eksisteerib pöördmaatriks ainult siis, kui maatriks on regulaarne!


9) Definitsioon 2.6: elemendi alamdeterminant 10) Teoreem 2.1: pöördmaatriksi arvutusvalem 11) Definitsioon 2.7: maatriksi 𝑘-järku miinor
Maatriksi A k-järku miinoriks nimetatakse k-järku determinanti, mis on leitud maatriksi A
suvalisest k reast ja k veerust. 12) Definitsioon 2.8: maatriksi astak
Maatriksi A astakuks nimetatakse selle maatriksi nullist erinevate miinorite kõrgeimat järku.
Nullmaatriksi astakuks on 0. Tähistus rank(A), rank A, r(A)


13) Maatriksi astaku leidmine elementaarteisenduste abil
Efektiivsem viis maatriksi astaku leidmiseks on kasutada maatriksi ridade
elementaarteisendusi, eesmärgiga teisendada kõik elemendid ühele poole peadiagonaali
nullideks.
14) Definitsioon 2.9: lineaarvõrrandisüsteem, võrrandisüsteemi kuju: valem (2.1)
Lineaarvõrrandisüsteem 15) Definitsioon 2.10: lineaarvõrrandisüsteemi lahend, märkus 2.3: lahendite arv
Süsteemi (2.1) lahendiks nimetatakse sellist tundmatute x1,...,xn väärtuste komplekti, mille
korral on rahuldatud kõik süsteemi võrrandid.
Olenevalt võrrandite ja tundmatute arvust (ning kordajatest) võib süsteemil (2.1) olla
üksainus lahend, lõpmata palju lahendeid või mitte ühtegi lahendit.
16) Definitsioon 2.11: vastuoluline süsteem
Süsteemi, millel lahend puudub, nimetatakse vastuoluliseks.


17) Definitsioon 2.12: lineaarvõrrandisüsteemi maatrikskuju, süsteemi maatriks 18) Teoreem 2.2: Kronecker-Capelli teoreem
Süsteem (2.2) Ax=b on lahenduv (st omab vähemalt ühte lahendit) siis ja ainult siis kui
süsteemi maatriksi A astak on rank A on võrdne laiendatud maatriksi L=(A|B) astakuga rank
L. EHK süsteem on lahenduv siis kui rank A=rank L
19) Definitsioon 2.13: Crameri peajuht
Öeldakse, et lineaarvõrrandisüsteemi Ax=b korral on tegemist Crameri peajuhuga, kui: ● Võrrandite m ja tundmatute n arv on sama, m=n
● Süsteemi maatriks A on regulaarne ehk |A|≠0 20) Lause 2.2: lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvus Crameri peajuhul
Kui lineaarvõrrandisüsteemi korral on tegemist Crameri peajuhuga, siis on sellel süsteemil
täpselt üks lahend
21) Crameri valemid, süsteemi lahendamine Crameri valemitega VT NÄIDET 2.14
DOCSI LÕPUS


22) Gaussi elimineerimismeetod (meetodi selgitus, süsteemi lahendamine Gaussi
meetodiga)
VT NÄIDE 2.15


23) Definitsioon 2.14: lineaarvõrrandisüsteemi üldlahend VT NÄIDE 2.18 DOCS
Lineaarvõrrandisüsteemi üldlahendiks nimetatakse lõplikust arvust parameetritest sõltuvat
lahendite kogumit, millest parameetritele suvalisi reaalarvulisi väärtusi omistades saadakse
kõik süsteemi lahendid. Tundmatuid, mis on valitud parameetriteks, nimetatakse vabadeks
tundmatuteks.
24) Definitsioon 2.15: lineaarvõrrandisüsteemi erilahend
LVS erilahendiks nimetatakse sellist lahendit, mis saadakse üldlahendist vabadele
parameetritele (tundmatutele) konkreetsete arvuliste väärtuste andmise teel.
25) Märkus 2.6: lineaarvõrrandisüsteemi lahendite arv sõltuvalt astakust, tundmatute
arvust ja võrrandite arvust 26) Definitsioon 2.16: homogeenne ja mittehomogeenne lineaarvõrrandisüsteem 27) Märkus 2.7: homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduvus, triviaalne lahend 28) Märkus 2.8: tingimus, mille korral on homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil
lõpmata palju lahendeid


Funktsioonid 1) Kui igale arvule 𝒙 ∈ 𝑿 on vastavusse seatud üks ja ainult üks reaalarv 𝒚, siis öeldakse, et hulgal 𝑿 on defineeritud funktsioon 𝒇, mida märgitakse 𝒚 = 𝒇(𝒙) •Muutujat
𝒚 nimetatakse sõltuvaks muutujast 𝒙, kui 𝒙 väärtustele vastavad 𝒚 väärtused •
Muutujat 𝒙 nimetatakse sõltumatuks muutujaks (argumendiks), muutujat 𝒚 sõltuvaks
muutujaks 2) • Funktsiooni 𝒇 määramispiirkonnaks nimetatakse kõikide elementide hulka 𝑿, mille puhul elemendile 𝒙 ∈ 𝑿 seatakse funktsiooniga 𝒇 vastavusse 𝒇(𝒙) • Funktsiooni 𝒇
kõikide väärtuste hulka 𝒚ȁ 𝒚 = 𝒇 𝒙 , 𝒙 ∈ 𝑿 nimetatakse funktsiooni 𝒇
muutumispiirkonnaks ehk väärtuste hulgaks ja seda tähistatakse 𝒇(𝑿) 3) Funktsiooni 𝒇 graafikuks nimetatakse 𝒙𝒚-tasandi punktide hulka 𝑮(𝒇)  4)


5) 6)


7) 8)


9) 10)