MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE (0)

MATEMAATIKA  TÄIENDUSÕPE 
 
MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED 
 
LEA PALLAS 
 
I OSA 
 
SISUKORD 
 
1.     ARVUHULGAD   ……………………………………………………   2 
2.      ARITMEETIKA   ……………………………………………….……   3 
2.1    Mõningate arvude kõrgemad  astmed    ………………………….…….   3 
2.2     Hariliku  murru põhiomadus   ………………………………….……..    3 
2.3    Tehetevahelised seosed   ……………………………………….……..   3 
2.4     Tehted   harilike   murdudega    ………………………………….………   4 
2.5     Tehete  põhiomadused   ……………………………………….………   5 
2.6   Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete  arvudega    …….……..  5 
2.7   Näited tehete kohta  ratsionaalarvudega    ……………………….…….   6 
2.8   Protsent ja  promill    …………………………………………….…….    8     
2.9   Näited protsentarvutusest   …………………………………………...    9 
2.10  Arvu absoluutväärtus   ……………………………………………….  10 
2.11  Ülesanded   ……………………………………………………….…..  11 
 
3.       ALGEBRA    …………………………………………………….……. 12 
3.1    Astmed   ………………………………………………………………  12 
   
3.2  Juured   ……………………………………………………………….   14 
3.3  Näited astendamisest ja juurimisest   …………………………………  15 
3.4  Korrutamise  abivalemid    ……………………………………………..  17 
3.5  Hulkliikme lahutamine  teguriteks    …………………………………...  17 
3.6  Näited algebraliste avaldiste teisendamisest   ………………………… 18 
3.7   Lineaarvõrrand    ………………………………………………………  22 
3.8   Ruutvõrrand    ……………………………………………………...…    23 
3.9  Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine   ……………………………..   23 
3.10  Näiteid lineaarvõrrandite ja ruutvõrrandite lahendamisest ning     
ruutkolmliikmete teguriteks lahutamisest   ……………………..….…   24 
3.11   Determinandid    …………………………………………………..…..   27 
3.12  Lineaarvõrrandisüsteem   ……………………………………….….…  27 
3.13  Näited lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisest   ……………..…….  28 
3.14   Võrratus    ………………………………………………………...……  31 
3.15  Lineaarvõrratus   ………………………………………………..……   31 
3.16  Lineaarne  võrratussüsteem    ……………………………………...…..   32 
3.17   Ruutvõrratus    …………………………………………………….…..   33 
3.18  Kõrgema astme võrratus   …………………………………………….   34 
3.19  Absoluutväärtusi sisaldavad võrratused   ………………………...…… 35 
3.20  Näited võrratuste ja võrratussüsteemide lahendamisest  …………..…   35  
3.21   Logaritmid   ………………………………………………………..….   41 
3.22  Summa märk   ………………………………………………….…….   44 
3.23  Ülesanded aritmeetikast ja algebrast …………...………………..…..   46 
 
1
1. 
ARVUHULGAD 
 
       Positiivsed  täisarvud  ehk  naturaalarvud  tekkisid vajadusest loendada esemeid. 
Kõik naturaalarvud moodustavad naturaalarvude hulga  ℕ = {0;1; 2; 3; 4; .. }
. . 
Naturaalarvude hulk on  kinnine   liitmise  ja korrutamise suhtes. Naturaalarvude hulk 
muutub kinniseks  lahutamise  suhtes, kui teda täiendada arvude 1, 2, 3, ... 
vastandarvudega  -1, -2, -3, ... . 
 
      Negatiivsed ja positiivsed täisarvud ning arv 0 moodustavad täisarvude hulga 
ℤ = { 1
± ; ± 2; ± 3; .. }. . Täisarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise ja korrutamise 
suhtes. 
 
      Laiendades täisarvude hulka positiivsete ja negatiivsete murdarvudega, saame 
 a

ratsionaalarvude hulga  ℚ =  , kus  a ∈ℤ , b ∈ℤ  ja  b ≠ 0 . Ratsionaalarve saab 
 b

esitada nii kahe täisarvu suhtena kui ka lõplike või lõpmatute perioodiliste 
3 5 1
kümnendmurdudena. Näiteks 
.  
4 1 6
 
      Kokkuvõttes  ℕ ⊂ ℤ ⊂
ℚ  
 
      Arvu, mis avaldub  lõpmatu   mitteperioodilise  kümnendmurruna,  nimetatakse 
irratsionaalarvuks. Näiteks  3 ,  4 + 2 . Kõigi irratsionaalarvude hulga tähis on I  
 
     Kõik  ratsionaal - ja irratsionaalarvud koos moodustavad  reaalarvude  hulga  ℝ . 
Seega  ℚ ∪ I. = ℝ .  
   
     Reaalarvude hulk on kinnine liitmise, lahutamise, korrutamise ja  jagamise  (v.a. 
jagamine nulliga) suhtes. 
 
Reaalarve saab kujutada arvtelje punktidena.  Arvtelg  on lõpmatu sirge, millel on 
valitud nullpunkt, positiivne suund ja pikkusühik. Kõigi reaalarvude ja arvtelje kõigi 
punktide vahel on üksühene vastavus. 
 
      Reaalarvude hulga omadus: iga kahe suvalise  reaalarvu  vahel leidub nii ratsionaal- 
kui ka irratsionaalarve. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
2. 
ARITMEETIKA 
 
2.1    Mõningate arvude kõrgemad astmed 
 
 
  4
2 = 16             9
2 = 512               4
3 = 81              4
4 = 256                4
6 =  1296                            
5
2 = 32             10
2 = 1024             5
3 = 243             5
4 = 1024              5
6 = 7776  
6
2 = 64             11
2 = 2048            6
3 = 729  
      6
4 = 4096              4
7 = 2401 
7
2 = 128            12
2 = 4096           7
3 = 2187           4
5 = 625                4
8 = 4096  
8
2 = 256           13
2 = 8192            8
3 = 6561           5
5 = 3125               4
9 = 6561 
 
 
 
2.2 
   Hariliku murru põhiomadus 
 
 
Murru väärtus ei muutu, kui murru  lugejat  ja nimetajat korrutada või jagada ühe 
ja sama nullist erineva arvuga. 
 
Kui  k ≠ 0 , siis 
 
a
ka
2
3⋅ 2
6
 
   (murru laiendamine).   Näiteks  
. 
b
kb
5
3⋅ 5
15
 
       Kui  k ≠ 0 , siis 
 
ka
ka : k
a
15
15 : 5
3
   (murru  taandamine ).   Näiteks 
= . 
kb
kb : k
b
20
20 : 5
4
 
 
2.3 
  Tehetevahelised seosed 
 
Kui  x + a = b ,   siis  x = b − a .   Näiteks  7 + 8 = 15 , sellest  7 = 15 − 8 . 
 
Kui  a + x = b ,   siis  x = b − a .  Näiteks  7 + 8 = 15 , sellest  8 = 15 − 7 . 
 
Kui  x − a = b ,   siis  x = a + b .   Näiteks  8 − 9 = 1
− , sellest 8 = 9 −1. 
 
Kui  a − x = b ,   siis  x = a − b .  Näiteks  8 − 9 = 1
− , sellest  9 = 8 − (− )
1 = 8 +1 . 
 
b
 Kui   a ⋅ x = b ,   siis   x = b : a   ehk   x =
  (a ≠ 0) .   Näiteks  3⋅ 7 = 21, sellest 
a
21
7 = 21: 3 =
. 
3
b
 Kui   x ⋅ a = b ,   siis   x = b : a   ehk   x =
  (a ≠ 0) .   Näiteks  3⋅ 7 = 21, sellest 
a
21
3 = 21: 7 =
. 
7
 
3
a
a
42
Kui  a : x = b  ehk  
= b ,   siis  x =
  (b ≠ 0) .  Näiteks  42 : 7 = 6   ehk  
= 6 ,  
x
b
7
42
        sellest   7 =
. 
6
x
42
Kui  x : a = b  ehk  
= b ,   siis  x = ab   (a ≠ 0) . Näiteks  42 : 7 = 6  ehk  
= 6 , 
a
7
 
        sellest  42 = 7 ⋅ 6 . 
 
 
2.4    Tehted harilike murdudega 
 
a
c
a + c
+ =
5
6
5 6
.                   Näiteks  
+ =
. 
b
b
b
7
7
7
 
 d
 b
5
6
a
c
ad + cb
⋅ + ⋅
5
3
5 5 3 6
.        Näiteks  
. 
b
d
bd
6
5
6 ⋅ 5
 
 
a
c
a − c
−
− =
5
9
5 9
.                    Näteks   
− =
. 
b
b
b
8
8
8
 
 d
 b
35
9
a
c
ad − cb
⋅
− ⋅
−
7
6
7 35 6 9
.         Näiteks   
−
. 
b
d
bd
9
35
9 ⋅35
 
a c
ac
⋅
⋅ =
8 5
8 5
.                        Näiteks   
⋅ =
. 
b d
bd
11 3
11⋅ 3
 
a
ac
⋅
⋅
5
5 7
c =
.                          Näiteks   
⋅7 =
. 
b
b
12
12
 
b
ab
2
3⋅ 2
a ⋅
.                          Näiteks    3⋅
. 
c
c
7
7
 
a
3
a c
a d
ad
3
7
3 13
3⋅13
b
= ⋅ =
.     Näiteks  
4
= ⋅
. 
b d
c
b c
bc
4 13
7
4 7
4 ⋅ 7
d
13
 
a
a
5
5
: c =
.                           Näiteks   
: 8 =
. 
b
bc
9
9 ⋅ 8
 
b
a
c
ac
4
9
5
9 ⋅5
a :
= a ⋅ =
.        Näiteks    9 :
= 9⋅ =
. 
c
b
b
b
5
4
4
4
c
5
 
 
4
2.5 
Tehete põhiomadused 
 
Vahetuvus ehk  kommutatiivsus : 
a + b = b + a
ab = ba
 
a (b + c) = (b + c) a
Ühenduvus ehk  assotsiatiivsus : 
a + (b + c) = (a + b) + c  
a (bc) = (ab) c
Jaotuvus ehk distributiivsus: 
a (b + c) = ab + ac  
a (b − c) = ab − ac
Sulgude   avamine : 
a + (b + c) = a + b + c             a + (b − c) = a + b − c  
a − (b + c) = a − b − c             a − (b − c) = a − b + c
 
Viimased  kaks valemit ütlevad, et miinusmärk sulgude ees muudab märgid sulgude 
sees.  
 
Näiteks  
9 − (3 + 4) = 9 − 3 − 4    ja    8 − (2 − 3) = 8 − 2 + 3 . 
 
 
 
2.6 
    Näited tehete kohta positiivsete ja negatiivsete arvudega 
 
Näide 1.   
a)   liitmine  
 
15 + ( 8
+ ) =15 + 8 = 23  
 
18 + ( 2
− 7) = 18 − 27 = 9
−   (lahtiseletatult:  9
−  saame, kui suuremast arvust, 
milleks on 27, lahutame väiksema ja märgiks  paneme  suurema arvu märgi) 
 
10 + ( 7
− ) =10 − 7 = 3 
 
5
− + ( 1
− 4) = −5 −14 = −21 (liidame 5 ja 14 ning lisame miinusmärgi) 
 
1
− 8 + ( 1
+ 3) = 1
− 8 +13 = 5
−   ( 5
−  saame, kui suuremast arvust, milleks on 18, 
lahutame väiksema ja märgiks paneme suurema arvu märgi) 
 
 
 
5
b)  lahutamine 
 
3 − (+8) = 3 − 8 = −5 
7 − ( 2
− ) = 7 + 2 = 9  
4
− − ( 6
− ) = −4 + 6 = 2  
5
− − ( 2
+ ) = 5
− − 2 = 7
−  
 
c)  korrutamine 
 
3⋅ ( 9
+ ) = 3⋅9 = 27   (tegurid on ühemärgilised, korrutis on positiivne arv) 
7 ⋅ ( 5
− ) = 7
− ⋅5 = 3
− 5  (tegurid on erimärgilised, korrutis on negatiivne arv) 
8
− ⋅(+6) = 8
− ⋅6 = 4
− 8   (tegurid on erimärgilised, korrutis on negatiivne arv) 
4
− ⋅(−2) = 4⋅ 2 = 8   (tegurid on ühemärgilised, korrutis on positiivne arv) 
 
d)  jagamine 
 
63 : ( 9
+ ) = 7   ( jagatav  ja  jagaja  on ühemärgilised, jagattis on positiivne arv) 
54 : (−6) = 9
−   (jagatav ja jagaja on erimärgilised, jagattis on negatiivne arv) 
3
− 6 : ( 9
+ ) = 4
−   (jagatav ja jagaja on erimärgilised, jagattis on negatiivne arv) 
5
− 6 : ( 7
− ) = 8  (jagatav ja jagaja on ühemärgilised, jagattis on positiivne arv) 
 
 
 
 
2.7    Näited tehete kohta ratsionaalarvudega 
 
 
      Mitme  tehtega  ülesandes  kõigepealt  korrutatakse või jagatakse ja seejärel 
liidetakse või lahutatakse. Kui ülesandes esinevad  sulud , siis tehakse tehted  esmalt  
ümarsulgudes, siis nurksulgudes ja seejärel looksulgudes. 
 
Näide 1.  Arvutada 
 1
1
 1
) ⋅9 + 0,16 : ( − 0, 3)


. 
 30 225
 3
 
Lahendus. Kirjutame tehete kohale nende järjekorra numbri ja arvutame. 
 
1.
2.
3.
5.
4.
 1
1
 1
) ⋅ 9 + 0,16 :( − 0,3)


 
 30 225
 3
 
15
 2
1
1
15 + 2
17
   1) 
;    
30
225
450
450
 
 
6
17
17
   2) 
⋅ 9 =
;  
450
50
 
17
17
8
25
1
   3) 
+ 1
0 6 =
= ;  
50
50
50
50
2
 
10
1
1
33
10 − 9
1
   4) 
− 0,3 =
−
;  
3
3
10
30
30
 
1
1
1⋅ 30
    5) 
= 15.  
2 30
2 ⋅1
 
   Vastus. 15. 
 
 
 
   Näide 2.  Arvutada 
 
2
(5 −1,1409 : 3) : (4, 2 :12 − 0, 21⋅ ) .
 
3
  Lahendus. Kirjutame tehete kohale nende järjekorra numbri ja arvutame. 
 
2.
1.
6.
3.
5.
4. 2
(5 −1,1409 : 0, 3) :(4, 2 : 12 − 0, 21 ⋅ )
 
3
 
   1)   1,1409 : 0,3 = 11,409 : 3 = 3,803; 
 
   2)   5-3,803 = 1,197; 
 
1
21
7
   3)    ,
4 2 :12 = 4
:12 =
;  
5
5 ⋅12
20
 
2
21⋅ 2
7
   4)    ,
0 21⋅
;  
3
100 ⋅ 3
50
 
75
72
35 −14
21
   5)   
−
;  
20
50
100
100
 
21
1197 ⋅100
57
 6)   1,197:
.  
100
1000 ⋅ 21
10
 
57
Vastus.   
. 
10
 
 
 
 
 
7
Näide 3. Leida x, kui 
4
3
3
15
−1 = ,
5 625.  
5
5
+ x) : 213
8
7
   
Lahendus. 
Esimese tehtega arvutame tundmatut x sisaldava murru väärtuse. Teises tehtes leiame 
selle murru  nimetaja  väärtuse.  Nimetajas  on  jagatis , mille jagatava 5,5+x väärtuse 
arvutame kolmanda tehtega. Neljanda tehtega saame tundmatu x väärtuse. 
 
4
3
3
3
5
1) 
15
 = 1 + ,
5 625 = 1 + 5
= ;
7  
3
(5, 5 + x) : 21
8
8
8
7
4
49
7
2) 
3
(5, 5 + x) : 21  = 3
: 7 =
 
7
15
15 ⋅ 7
15
3 7
150 ⋅ 7
3)    5, 5 + x = 21
⋅
= 1 ;
0  
7 15
7 ⋅15
 
4)  x = 10-5,5 = 4,5. 
 
Vastus. x = 4,5. 
 
 
 
 
2.8    Protsent ja promill 
 
      Ratsionaalarvude hulgas on praktiline tähtsus murdudel, mille nimetaja on 100 või 
1000. 
 
Üks protsent  (1 %)  on üks sajandik osa tervikust (arvust): 
1
1% =
= 0,01 . 
100
Üks promill  (1 ‰)  on üks tuhandik osa tervikust (arvust): 
1
1 ‰ =
= 0,001 . 
1000
 
 
      Protsentarvutuse põhiülesanded, millele taanduvad kõik   protsentülesanded , on 
järgmised. 
 
1.  Kahe arvu suhte väljendamine protsentides ehk mitu protsenti moodustab arv 
a arvust b: 
a ⋅100%. 
b
 
 
8
2.  Osa või protsendi leidmine arvust ehk leida p% arvust m: 
 
p ⋅ m
p% ⋅ m =
.  
100
   
3.  Arvu leidmine antud osa järgi ehk leida arv, millest p% on n: 
 
n
n ⋅100
. 
p%
p
 
4.  Muutumise väljendamine protsentides ehk mitu protsenti moodustab suuruse 
muut a selle suuruse esialgsest väärtusest A:  
a ⋅100%. 
A
 
 
2.9    Näited protsentarvutusest 
 
Näide 1.  Leida, mitu protsenti moodustab arv 20 arvust 160. 
 
Lahendus. Leiame nende kahe arvu suhte ja väljendame selle protsentides: 
20
1
⋅100% = ⋅100% =12,5% . 
160
8
 
Näide 2.  Raamaturiiulil on eestikeelsed ja ingliskeelsed raamatud. Eestikeelseid 
raamatuid on 15 ja ingliskeelseid 20% eestikeelsetest. Mitu ramatut on riiulil? 
 
Lahendus.  Leiame ingliskeelsete raamatute arvu (s.o. osa leidmine arvust): 
20 ⋅15
20% ⋅15 =
= 3 . 
100
Eestikeelseid ja ingliskeelseid raamatuid on kokku 15 + 3 = 18 . 
 
Vastus. Riiulil on 18 raamatut. 
 
 
Näide 3.  Mitu kilogrammi toorest kohvi on vaja võtta 7 kg  praetud  kohvi saamiseks, 
kui kohv kaotab praadimisel 12,5% oma  kaalust . 
 
Lahendus. Et kohv kaotab praadimisel 12,5% kaalust, siis jääb alles  
100%-12,5%=87,5% kaalust. Seega 7 kg praetud kohvi on 87,5%. Leiame  toore  kohvi 
kaalu ehk 100% , s.o.: 
7 ⋅100 = .8 
87 5
 
Vastus. Toorest kohvi tuleb võtta 8 kg. 
 
 
 
9
Näide 4.   Töötaja  palk tõusis 4000  kroonilt  4500 kroonile. Mitme protsendi võrra 
tõusis palk? 
 
Lahendus. Palga tõus (palga muut) on 4500-4000=500 krooni. Leiame palga muudu 
ja  esialgse  palga suhte protsentides: 
500 ⋅100 % = 12 5,%. 
4000
Vastus. Palk tõusis 12,5% võrra. 
 
 
Näide 5. Kui palju vaske on vaja lisada 810 grammile kullale prooviga 900, et saada 
kulda prooviga 750? 
 
Lahendus. Tavaliselt on sulami proov antud promillides:  
1
1‰ =
= 0
0 01.  
1000
Lisame sulamile x g vaske. Kogu sulami kaal on (x + 810) g. Puhast kulda on sulamis  
 
900‰ ⋅ 810 = 0,9  ⋅ 810 = 729 g. 
 
Sulami proovi saame, kui puhta metalli kaalu jagame kogu sulami kaaluga.  
729
750
3
Seega       
= . 
x + 810
1000
4
 
Leiame sellest võrrandist x: 
 
                 4 ⋅ 729 = 3(x + 810), 
 
                 3x = 2916 – 2430, 
  
 
                 3x = 486 
: 3   , 
 
                 x= 162. 
 
Vastus. Sulamile tuleb lisada 162 g vaske. 
 
 
 
2.10   Arvu absoluutväärtus 
 
      Reaalarvu x absoluutväärtus  x  on  arvteljel  sellele arvule vastava punkti 
kaugus nullpunktist. Seega 
 x , kui x ≥ 0 ,
x = 
 
−x , kui x  0 ,  siis   ca > cb  ja  
> . 
c
c
5.  Võrratuse märk muutub vastupidiseks, kui võrratuse mõlemat poolt korrutada või 
jagada ühe ja sama negatiivse arvuga: 
a
b
kui   a > b   ja   c  5
− 1
: (− 3)
x  9( x + 3) ,
Näide 7.  Lahendada võrratussüsteem   
   
9
 x − 5

(2x + 7) > 2(x − 7) .
Lahendus.  Lahendame  võrratused eraldi: 
1
5x + 5 + 6x + 12 > 9x + 27
2x > 10
: 2
 
x > 5
 
37
2)
9x − 10x − 35 > 2x − 14
− 3x > 21
: (− 3)
 
x  8
− 4
: (−14)
x  0 . 
Lahendus. Lahendame ruutvõrrandi   2
x − x − 2 = 0 , kasutame taandatud ruutvõrrandi 
lahendivalemit: 
x =
5
0 ±
0 25 + 2 =
5
0 ± 5
1
x = 1
−
x = 2 . 
1
2
 
38
Kanname  lahendid  arvteljele ja  joonistame  kõvera läbi nende  lahendite . Alustame 2-st 
paremalt ja ülalt, kuna  2
x  kordaja  a = 1 , s.t.  a > 0  (vaata kõrgema astme võrratuste 
või ruutvõrratuste lahendamist): 
_________
___________
            
  x


 
         -1            2  
Vastus.   (− ∞ ; − )
1 , (2 ; ∞). 
 
36x + 70
Näide 10.  Lahendada võrratus  
2
≥ 2x . 
5
Lahendus.  Teisendame võrratuse üldkujule: 
36x + 70 ≥ 2 2
x
⋅5
5
36x + 70 ≥ 10 2
x
 
−10 2
x + 36x + 70 ≥ 0
: 2
− 5 2
x + 18x + 35 ≥ 0.
Lahendame ruutvõrrandi   5 2
x − 18x − 35 = 0 . 
18 ± 182 + 4 ⋅ 5 ⋅ 35
18 ± 32
x =
x = − ,
1 4 ,
x = 5 . 
2 ⋅ 5
10
1
2
Kanname lahendid x-teljele ja joonistame kõvera läbi nende lahendite. Joonistamist 
alustame 5-st paremalt ja alt, kuna  a  0 . 
Lahendus. Leiame  nullkohad : 
2
x + 6x + 9 = 0
⇒ x = x = 3
− . 
1
2
Kuna “ –3 “ esineb kaks korda nullkohana, siis vastava  ruutfunktsiooni   graafik  telge 
ei läbi, vaid puudutab telge ja läheb samale poole tagasi:        
_________
___________   x

 
         − 3              
Vastus.   x  3
− . 
 
 
 
39
Näide 12. Lahendada võrratus  
2
− x + x −10 > 0 . 
Lahendus. Lahendame ruutvõrrandi   2
x − x + 10 = 0 . 
x =
5
0 ±
0 25 −10 =
5
0 ± −
7
9 5 . 
Reaalsed  lahendid puuduvad (negatiivsest arvust ei saa võtta ruutjuurt). Kuna  a  4 . 
Lahendus.  Võrratuse   x > a    lahendihulk  on   x  a ,  seega peab 
võrratuses  1− 3x > 4  absoluutväärtuse märkide vahel olev  avaldis  täitma tingimusi  
1− 3x  4 . Lahendame need. 
1− 3x  4
   − 3x  3 : (−3)  
5
        x >
                     või                   x 
    või     x 
a ≠
. 
a
0 ja
1
Asendades teises võrduses c, saame samasuse 
log b
a
a
= b . 
Vastav samasus kümnendlogaritmide korral: 
log
10
b = b . 
Naturaallogaritmide korral: 
l n b
e
= b . 
Logaritmide  omadused 
1.  log 1 = 0 . 
a
2.  log a = 1 . 
a
3.  log mn = log m + log n ,  kui   m > 0  ja  n > 0 . 
a
a
a
m
4.  log
= log m − log n ,  kui   m > 0  ja  n > 0 . 
a
a
a
n
5.  log
n
b = n log b ,  kui   b > 0 . 
a
a
1
6.  log n b =
log b ,  kui   b > 0 . 
a
a
n
7.  log
b
a = b . 
a
log b
8.  log
c
b =
. 
a
log a
c
1
9.  log b =
. 
a
log a
b
 
Märkus .   log
b ± c ≠ log b ± log c ! 
a (
a
a
 
Näide 1.  
1)  
3
log 8 = 3,  sest 2 = 8  ; 
2
−2
 1 
2)  
2
log 16 = 2
− ,  sest 
= 4 = 16  ; 
1
 
 4 
4
l og 12
3)  
5
5
= 12  ; 
4)  
l og3
10
= 3  ; 
5)   ln 4
e
= 4  ; 
 
41
6)  
= ( 2 )
= (
)2
l og 5
l og 5
2 l og 5
log 5
6
2
6
6
6
36
6
6
6
= 5 = 25  ; 
1
4
2
−log 4
(10
100
)1
1
2
2
10
10
2
7) 100
4
100
( 2
10 ) 4
4
10
(10 )2
l og 4
l og 4
2 l og 4
4
l og 4
 
10
10
10
10
                       =
5 ;
4 4 )2 4 2
4
4
16
2
8)  
⋅
⋅(
)3
2 3l og 2
3l og 2
l og 2
2
3
5
5
5
5
5 5
25 5
= 25⋅ 2 = 25⋅8 = 200 . 
 
 
   Arvu 
n
10 , kus  n ∈ Z , nimetatakse järguühikuks. Järguühiku kümnendlogaritm 
võrdub arvuga n ehk  
log10n = n .  
Näide 2.  
1)  log100 = log102 = 2 ; 
2)  log 1
0 = log10 1
− = −1; 
3)  log ,
0 0001 = log10 4
−
= 4
− . 
 
 
4
5
3 x + )3
1
Näide 3.  Avaldada  log u , kui  u =
. 
3
2x
Lahendus. Kasutades korrutise,  jagatise , astme ja juure logaritmide omadusi, võime 
leida suvalise üksikliikme logaritmi, s.t. logaritmida  avaldise . 
Logaritmida algebraline avaldis – see tähendab väljendada selle avaldise  logaritm  
temas esinevate arvude ja tähtede logaritmide kaudu. 
Näites antud võrduse parem pool on  murd , seega võib omaduse 4 kohaselt kirjutada: 
4
log u = log 5
3 x + )3
3
1
− log 2x . 
Omaduse 3 kohaselt: 
(x + )3 =
(x + )3
4
4
log 5 3
1
log 5 log 3
1
 
  ja 
  
3
3
log 2x = log 2 + log x . 
Omaduse 6 põhjal 
log
3 x + )
1
1
= [log (
3 x + )3
4
3
1 ] 
4
ja omaduse 5 põhjal 
 
42
3
log x = 3log x ,
 
log 3( x + )3
1 = log 3 + 3log ( x + )
1 .
1
3
Järelikult   log u = log 5 +
log 3 +
log(x + )
1 − log 2 − 3log x .    
4
4
 
 
Potentseerimiseks nimetatakse avaldise  leidmist  tema logaritmi järgi. 
Potentseerimisel arvestame, et 
1)  log m + log n = log mn ; 
a
a
a
m
2)  log m − log n = log
; 
a
a
a n
3)  n log b = log
n
b ; 
a
a
1
4) 
log b = log n b ; 
a
a
n
m
5) 
log b = log n m
b . 
a
a
n
 
Näide 4.   Avaldada u, kui   log u = (x + )
1 log 3 − 2 log x − log 7 + 2 log z . 
Lahendus. Valemi 3 põhjal 
x 1
2
2
log u = log 3
− log x − log 7 + log z . 
Muudame  liidetavate   järjekorda , et rakendada valemit 1: 
u = (
x 1
2
z ) − (
2
log
log 3
log
log x + log 7) . 
Valemi 1 põhjal 
x 1
2
2
log u = log 3
⋅ z − log 7x  
ja lõpuks valemi 2 põhjal saame: 
x 1
2
3
⋅ z
log u = log
. 
2
7x
x 1
2
3
⋅ z
Seetõttu   u =
  (kui logaritmid on võrdsed, siis on ka logaritmitavad  avaldised  
2
7x
võrdsed). 
 
x 1
2
3
⋅ z
Vastus.  u =
. 
2
7x
 
 
 
 
 
 
43
3.22  Summa märk 
 
 
Summa märk on kreeka tähestiku suur täht Σ ( sigma ), mille abil tähistatakse 
lühidalt ühelaadsete liidetavate summat. Näiteks 
n
∑a = a + a + a +...+ a . 
i
m
m 1
m+2
n
i=m
 
Sümbolit Σ tuleb tõlgendada kui korraldust liitmiseks. Sümboli Σ järel on 
näidatud , millise kujuga avaldisi peab  liitma  (üldliige  a  ). Sümboli Σ juures on 
i
näidatud, et kõigi liidetavate saamiseks tuleb täisarvulisele parameetrile i 
(summeerimisindeks) anda järjest väärtused alates väärtusest m kuni väärtuseni n 
(summeerimisrajad). 
 
Kui summeerimisrajad selguvad kontekstist, siis  kirjutatakse  
a
∑ . 
i
i
       Kasutatakse ka tähistust 
a
∑ , kus A on summeerimisindeksi muutumispiirkond. 
i
i∈A
 
 
Näide 1.  Kirjutada sümboli Σ abil summa  
 
2
3
4
5
1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 . 
 
Lahendus.  Olgu summeerimisindeks täht k, siis saame summa kõik liikmed näiteks 
avaldisest  2k ,  kui  k = 0 , 1, 2 , 3, 4 , 5.  Seega 
5
2
3
4
5
1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = ∑ 2k . 
k =0
 
Selle summa liikmed saab ka avaldisest 
1
2 j− ,  kui  j = 1, 2 , 3, 4 , 5, 6.  Seega ka  
6
2
3
4
5
1
1+ 2 + 2 + 2 + 2 + 2 =
2 j−
∑
. 
j 1
 
Võib leida veel kirjutisi antud summale sümboli Σ abil. 
 
 
Näide 2.  Kirjutada sümboli Σ abil summa  
 
1− 4 + 9 −16 + 25 − 36 . 
 
Lahendus.  Olgu summeerimisindeks täht i, siis saame summa kõik liikmed näiteks 
i +
avaldisest  (− ) 1 2
1
i ,  kui  i = 1, 2 , 3, 4, 5, 6. Seega 
6
i+
1− 4 + 9 −16 + 25 − 36 = ∑(− ) 1 2
1
i . 
i 1
 
Näide 3.  Kirjutada sümboli Σ abil summa  
 
1
1
1
1
1+
+ 3 + + 5 + + 7 + . 
2
4
6
8
 
44
 
Lahendus.  Valime summeerimisindeksiks näiteks tähe m. Selle summa liikmete 
astendajates vahelduvad  +1 ja  1
− . Seega peame  1
−  astendajaks kirjutama näiteks 
m+
( )m 1+
−
avaldise  (− ) 1
1
 ja summa liikmete üldavaldis on siis 
1
m
,  kui 
m = 1, 2 , 3, 4 , 5, 6, 7 , 8. 
Saame, et 
8
1
1
1
1
m+
−1
1
−
−1
−1
(− ) 1
1
1+
+ 3 + + 5 + + 7 + =1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = ∑m
. 
2
4
6
8
m 1
 
4
Näide 4.  Kirjutada ilma summa sümbolita summa  ∑(2 + j) . 
j=0
 
4
Lahendus.   ∑(2 + j) = 2 + 3+ 4 + 5 + 6. 
j=0
 
n
Näide 5.  Kirjutada ilma summa sümbolita summa  ∑3. 
k =0
 
n
Lahendus.   ∑3 = 3+ 3+ 3+ 3+ ... = 3(n + )
1 . 
k =0
 
5
Näide 6.  Kirjutada ilma summa sümbolita summa  ∑ a . 
i
i=0
 
5
Lahendus.   ∑ a = a + a + a + a + a + a . 
i
0
1
2
3
4
5
i=0
 
1
n+2
Näide 7.  Kirjutada ilma summa sümbolita summa  ∑(− )
1
4n . 
n 1
 
1
n+2
1+3
4
Lahendus.   ∑(− )
1
4n = (− )
1
⋅ 4 = (− )
1 ⋅ 4 = 4 . 
n 1
 
n
k
Näide 8.  Kirjutada ilma summa sümbolita summa  ∑(− )
1
k
e . 
k 1
 
n
k
n
Lahendus.   ∑(− ) k
2
3
4
5
1 e = −e + e − e + e − e + ... + (− )
1
n
e . 
k 1
 
 
 
 
 
 
 
45
3.23    Ülesanded aritmeetikast ja algebrast 
 
 
2
1.  Arvutada    ( 5
+ ) ⋅(−3) . 
Vastus.  7
− 5 . 
 
2.  Arvutada    49 ⋅81 . 
Vastus.  63 . 
 
625
3.  Arvutada   
. 
36
25
Vastus.  
. 
6
4.  Korrutada    9
3
c c−
⋅
. 
Vastus.   6
c . 
 
2
d
5.  Jagada  
. 
3
d −
Vastus.   5
d . 
 
6.  Astendada   ( )5
4
x
. 
Vastus.   20
x . 
 
7.  Kirjutada murruna  
5
a− . 
1
Vastus.  
 
5
a
 
1
8.  Kirjutada juurena    3
x . 
Vastus.   3 x . 
 
9.  Tuua tegur juure ette:   
5
16a . 
Vastus.  
2
4a
a . 
 
10.  Tuua tegur juure ette:   
3
a . 
Vastus.   a a . 
 
2
−3
−
 1   1 
2
3 − 2 ⋅
⋅ −
  

 5   2 
11.  Arvutada  
.  
0
−
 1 
1
0, 2 +
+1
 
 7 
169
Vastus. 
. 
1575
 
46
 
12.  Lahutada teguriteks 
2
36 − 64b . 
Vastus.  (6 − 8b)(6 + 8b) . 
 
13.  Lahutada teguriteks 
2
2
9x + 24xy +16 y . 
Vastus.  ( x + y)2
3
4
. 
 
14.  Lahutada teguriteks   3
c −125 . 
Vastus.   (c − ) ( 2
5 c + 5c + 25) . 
 
15.  Avada sulud   ( − )2
8 n . 
Vastus.  
2
64 −16n + n . 
 
16.  Avada sulud   (
+ )3
2a
d
. 
Vastus.  
3
2
2
3
8a +12a d + 6ad + d . 
  
17.  Avada sulud   (3a − 7b)(3a + 7b) . 
Vastus.  
2
2
9a − 49b . 
 
18.  Avada sulud   ( − ) ( 2
2
a c
a + ac + c ) . 
Vastus.   3
3
a − c . 
 
2
2x
x
x
19.  Lihtsustada avaldis   
−
. 
2
x −1
x +1
x −1
2
2x + 3x
Vastus.  
. 
2
x −1
 
2
4a
3a + 3a
a
20.  Lihtsustada avaldis   
−
. 
2
a +1
a + 2a +1
a +1
2a
Vastus.  
. 
a +1
 
2
21.  Vabastada murru nimetaja  irratsionaalsusest :  
. 
7 + 5
 
Vastus.   7 − 5 . 
 
 
22.  Lahendada võrrand   5 − 5k + 20 = 7 − 2k . 
 
Vastus.  k = 6 . 
 
 
 
47
23.  Lahendada võrrand  
2
3x −13x + 4 = 0  
1
Vastus.   x = 4 , x =
. 
1
2
3
 
24.  Lahendada võrrand   2
x − x − 30 = 0 . 
Vastus.   x = −5 , x = 6 . 
1
2
 
25.  Lahendada võrrand   2
x − 7x +12 = 0 . 
Vastus.   x = 3 , x = 4 . 
1
2
 
26.  Lahutada  ruutkolmliige   2
x + 3x + 2  teguriteks. 
Vastus.   2
x + 3x + 2 = ( x + )
1 ( x + 2).  
 
27.  Lahendada  biruutvõrrand    4
2
x − x −12 = 0 . 
Vastus.   x = 2 , x = 2
− . 
1
2
 
2
−
4
28.  Arvutada  determinant   
. 
5
−
6
 
Vastus.  8. 
6
1
3
−
29.  Arvutada determinant   5
0
−2 . 
4
2
7
Vastus.   4
− 9 . 
 
2x + y = −3,
30.  Lahendada lineaarvõrrandisüsteem  
   
x − 2 y = 1.

Vastus.   x = −1, y = 1
− . 
 
2x − 2y + 3z = 7 ,

31.  Lahendada lineaarvõrrandisüsteem  −x + y + 2z = 7 ,    Crameri  valemite abil. 
3x         − z = 0

Vastus.   x = 1, y = 2 , z = 3.  
 
32.  Lahendada võrratus  3x − 6 ≤ 8 . 
14
Vastus.   x ≤
. 
3
 
33.  Lahendada võrratus  8 − 6x ≥ 15 . 
7
Vastus.   x ≤ −
. 
6
 
 
48
5
 x − 3