Keskkooli lõpueksam (2008) (26)

2007. aasta matemaatika
riigieksami ülesanded koos lahenduste ja kommentaaridega 2 1. ÜLESANNE (5 punkti)
Ülesannete tekstid
1 5x 1 I Antud on avaldis 2 , kus x 0 ja x . x 25 x 2 x 0 5 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 2. 2
x 2 (9 x 2 x 0 ) 1 II Antud on avaldis , kus x 0 ja x . 1 3x 3 1) Lihtsustage see avaldis. 3 2) Arvutage avaldise väärtus, kui x 2 . Vastus andke täpsusega 10 3. 2
9x 2 4 1 2 III Antud on avaldis , kus x 0 ja x . (3 x 2) 2 (3 x) 0 3 1) Lihtsustage see avaldis. 1 2) Arvutage avaldise väärtus täpsusega 10 3 , kui x 5 2.
Vastused
x2 3x 1 4 I 1) ; 2) 0,61. II 1) 2 ; 2) 0,936. III 1) ; 2) 1,887 . 5x 1 x 3x 2
Näpunäited
Lihtsustamisel vabastame kõigepealt avaldise negatiivsest astendajast ja astendajast 0: 1 I ja II x 2 2 , x 0 1 , III (3 x) 0 1 . x Lahutame avaldises esineva ruutude vahe tegureiks: 25 x 2 1 (5 x 1)(5 x 1) , 9 x 2 1 (3 x 1)(3 x 1) , 9 x 2 4 (3 x 2)(3 x 2) .
2 3 Lahendused
I
1 5x 1 5x x 2 (1 5 x) x2 1) = = = . x 2 25 x 2 x 0 1 2 (5 x 1)(5 x 1) 5 x 1 (25 x 1) x2 3
2) Kui x = 2 2 , siis avaldise väärtus on 3 (2 2 ) 2 8 8 3 1 0,61. 10 2 1 5 2 2 1 5 2 2 2 1
III 9x 2 4 1 (3 x 2)(3 x 2) 1 3x 2 3x 2 3x 2 4 1) = 1 . (3 x 2) 2 (3 x) 0 (3 x 2) 2 1 3x 2 3x 2 3x 2
2) Kui x = 5 2 , siis avaldise väärtus on 4 4 4 4 4 25 100 1,887 . 3 5 2 2 1 3 53 53 53 3 2 2 25 25 25
Kommentaarid
Juuresolevates lahendustes on esmalt leitud lihtsustamisel saadud avaldiste täpsed väärtused ning seejärel ligikaudsed väärtused etteantud täpsusega. Kuna ülesandes täpseid väärtusi ei küsitud, siis võib kalkulaatoriga teha kõik tehted järjest, vahepealseid tulemusi fikseerimata.
3 4 2. ÜLESANNE (5 punkti)
Ülesannete tekstid
I Urnis on 10 kollast ja 6 rohelist kuuli. Leidke tõenäosus, et urnist 1) juhuslikult võetud kuul on roheline; 2) juhuslikult korraga võetud kaks kuuli on mõlemad rohelised.
II Karbis on 9 valget ja 7 musta palli. Leidke tõenäosus, et karbist 1) juhuslikult võetud pall on valge; 2) juhuslikult korraga võetud kaks palli on mõlemad valged.
III Esimeses urnis on 5 punast ja 3 sinist kuuli, teises 4 punast ja 3 sinist kuuli. Leidke tõenäosus, et 1) esimesest urnist juhuslikult võetud kuul on sinine; 2) võttes kummastki urnist juhuslikult ühe kuuli, on mõlemad kuulid sinised.
Vastused
3 1 9 3 3 9 I 1) ; 2) . II 1) ; 2) . III 1) ; 2) . 8 8 16 10 8 56
Näpunäited
Esimeses alaülesandes on tegemist lihtsündmusega. Lihtsündmuse tõenäosus on määratud soodsate elementaarsündmuste arvu suhtega kõikide elementaarsündmuste arvusse. Teises alaülesandes on tegemist liitsündmusega. Kõigepealt tuleb selgeks teha, kas on tegemist sündmuste korrutisega või sündmuste summaga , teiste sõnadega, kas on vaja rakendada tõenäosuste korrutamise või liitmise lauset. Tõenäosuste korrutamise lause puhul on oluline teada, kas korrutatavad sündmused on sõltumatud või mitte. Tõenäosuste liitmise lause korral peab teadma, kas liidetavad sündmused on üksteist välistavad või mitte.
Lahendused
I 1) Olgu urnist rohelise kuuli võtmine sündmus A. m P( A) , kus n on kõigi võimaluste arv ja m ­ soodsate võimaluste arv. n Karbis on 16 kuuli, järelikult ühe kuuli võtmiseks on 16 võimalust, seega n = 16. Karbis on 6 rohelist kuuli, seega soodsaid juhuseid rohelise kuuli saamiseks on 6, seega m = 6. 6 3 Järelikult P ( A) = . 16 8
2) Tähistame sündmused järgmiselt: A ­ rohelise kuuli tulek kahe kuuli korraga või järgemööda võtmisel, A1 - rohelise kuuli tulek esimesel võtmisel, A2 - rohelise kuuli tulek teisel võtmisel.
4 5 Küsitakse kahe korraga või järgemööda toimuva sündmuse tõenäosust, järelikult tuleb kasutada tõenäosuste korrutamise lauset. Kahe kuuli korraga võtmist võib vaadelda kui kuulide järgemööda võtmist, kui esimesena võetud kuuli enne teise kuuli võtmist urni tagasi ei panda. Seega sündmuse A2 tõenäosus tuleb arvutada tingimusel, et sündmus A1 on toimunud. Järelikult 6 5 1 P ( A) P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) . 16 15 8
III 1) Olgu esimesest urnist sinise kuuli võtmine sündmus A.
m P( A) , kus n on kõigi võimaluste arv ja m ­ soodsate võimaluste arv. n Siin n 8 ja m 3 , järelikult 3 P( A) = . 8
2) Tähistame sündmused järgmiselt: A ­ kahe sinise kuuli tulek kummastki urnist ühe kuuli võtmisel, A1 - sinise kuuli tulek esimesest urnist ühe kuuli võtmisel, A2 - sinise kuuli tulek teisest urnist ühe kuuli võtmisel.
Sündmused A1 ja A2 on sõltumatud sündmused, seega 3 3 9 P ( A) P( A1 ) P( A2 ) . 8 7 56
Kommentaarid
Alaülesandes 2) võib kõigi võimaluste arvu ja soodsate soodsate võimaluste arvu leida ka kombinatsioone moodustades. I Arvutame sündmuse A (urnist kaks juhuslikult korraga võetud kuuli on rohelised) toimumiseks soodsate võimaluste arvu m ja kõigi võimaluste arvu n, kui urnis on kokku 16 kuuli ja 6 neist on rohelised: 6! 5 6 16! 15 16 m C 62 = 15 ja n C162 120 . 2! 4! 1 2 2! 14! 1 2 Leiame m 15 1 P( A) . n 120 8
Juhusliku sündmuse A tõenäosuse arvutamisel tuleb silmas pidada, et 0 P( A) 1 .
5 6 3. ÜLESANNE (10 punkti)
Ülesannete tekstid
I Antud on funktsioon y x 3 5 x 2 3 x 7 . 1) Leidke funktsiooni kasvamis - ja kahanemisvahemikud . 2) Arvutage funktsiooni vähim väärtus lõigul 2; 4 .
II Antud on funktsioon y x 3 5x 2 3x 7 . 1) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2) Arvutage funktsiooni suurim väärtus lõigul 2; 4 .
III Antud on funktsioon y x 3 3 x 2 2 . 1) Leidke funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemikud. 2) Arvutage funktsiooni suurim väärtus lõigul 1; 4 .
Vastused
1 1 I 1)Kasvamisvahemikud ( ; ) ja (3; ) , kahanemisvahemik ( ; 3) ; 2) lõigul 2; 4 funktsiooni 3 3 vähim väärtus on 27 .
1 1 II1)Kasvamisvahemik ( ; 3) , kahanemisvahemikud ( ; ) ja (3; ) ; 2) lõigul 2; 4 3 3 funktsiooni suurim väärtus on 27 .
III 1)Kasvamisvahemikud ( ; 0) ja (2; ) , kahanemisvahemik (0; 2) ; 2) lõigul 1; 4 funktsiooni suurim väärtus on 14.
Näpunäited
I, II, III 1) Funktsioon y f ( x) on diferentseeruv . Diferentseeruv funktsioon on kasvav vahemikus, kus f ( x) 0 ja kahanev vahemikus, kus f ( x) 0 . Seega tuleb leida funktsiooni tuletis ning seejärel lahendada võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 . Kuna on tegemist kuupfunktsiooniga, siis võrratused f ( x) 0 ja f ( x) 0 kujutavad ruutvõrratusi. Ruutvõrratuse lahendamiseks toimime järgmiselt: 1) leiame vastava ruutfunktsiooni nullkohad , st võrrandi f ' ( x) 0 lahendid ; 2) arvestades ruutliikme kordaja märki ja leitud nullkohti skitseerime ruutfunktsiooni graafiku ( parabooli ); 3) leiame jooniselt ruutfunktsiooni positiivsus - või negatiivsuspiirkonna.
2) Etteantud lõigus funktsiooni suurima (vähima) väärtuse leidmiseks arvutame funktsiooni väärtused vastaval ekstreemumkohal, st f x max , kui küsitakse funktsiooni suurimat väärtust või f x min , kui küsitakse funktsiooni vähimat väärtust, ja lõigu otspunktides. Leitud funktsiooni väärtuste hulgast valime nõutud suurima või vähima väärtuse.
6 7 Lahendused
I 1) Leiame funktsiooni y x3 5x 2 3 x 7 kasvamis- ja kahanemisvahemikud. a) Leiame funktsiooni y x3 5x 2 3 x 7 tuletise ja seejärel tuletise nullkohad. y = 3x2 ­ 10x + 3, 1 y 0 3x2 ­ 10x + 3 = 0 x1 , x2 3. 3 b) Arvestades funktsiooni tuletise avaldises y = 3x2 ­ 10x + 3 ruutliikme kordaja märki ja tuletise nullkohti skitseerime tuletist kujutava ruutfunktsiooni graafiku (parabooli).
y >0 y >0
1 3 x 3 y