Korrutamise abivalemid (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) a 3 - b 3 = ( a - b)( a 2 + ab + b 2 ) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 Näiteid · Lahutada tegureiks : 1. 6z 7 3z 5 = 3 z 5 (2z2 -1) 2. 5a (a + b ) 2b ( a + b) = (a + b)( 5a 2b) 3. 2a ( x +y) x y = 2a ( x +y) (x + y ) = ( x + y)(2a -1) 4
: Summa ruut (a+b)²=a²+2ab+b² Vahe ruut (a-b)²=a²-2ab+b² Ruutude vahe (a+b)(a-b)=a²-b² Summa kuup (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Vahe kuup (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Kuupide vahe a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²) Kuupide summa a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)
an · am = an+m (ab)n = an bn = b bn a -n b n an : am = an-m (an )m = anm = b a Korrutamise abivalemid (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 , (a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 b3 , a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = ,
KORRUTAMISE ABIVALEMID Ruutude vahe valem (a+b)(a-b)=a²-b² Näide: (7+k)(7-k)=49-k² Summa ruudu valem (a+b)²=a²+2ab+b² Näide: (4+a)²=4²+2·4·a+ a²=16+8a+ a² Vahe ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² Näide: (4-a)²=4²-2·4·a+ a²=16-8a+ a² Kuupide summa valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b)² Näide: 27+a³=(3+a)(9-3a+a²) Kuupide vahe valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b)² Näide: 27-a³=(3-a)(9+3a+a²) Summa kuubi valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ Näide: (2+a)³=8-3·2²·a+3·2·a²+a³=8+12a+6a²+a³ Vahe kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ Näide: (2-a)³=8-3·2²·a+3·2·a²-a³=8-12a+6a²-a³
Abivalemid RUUTUDE VAHE: (a+b) (a-b) = a +ab-ab+b =a2-b2 2 2 (a+b) (a-b) = a2-b2 NÄIDE: 16-a 2 = 4 2 -a 2 = (4+a) (4-a) SUMMA RUUT: (a+b) = (a+b) (a+b) = a +ab+ba+b2 = a2+2ab+b2 2 2 (a+b)2 = a2+2ab+b2 NÄIDE: (7x+4y) 2 = (7x) 2 +2(7x)(4y)+(4y) 2 = 49x 2 +56xy+16y 2 VAHE RUUT: (a-b) = (a-b) (a-b) = a -ab-ba+b2 = a2-2ab+b2 2 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 NÄIDE: (3a-b) 2 = (3a) 2 -2(3a)b+b 2 = 9a 2 -6ab+b 2 KUUPIDE SUMMA: (a+b) (a - ab+b ) = a - a b+ab2+ba2- ab2+b3 = a3+ b3 2 2 3 2 (a+b) (a2- ab+b2) = a3+ b NÄIDE: (a+3)(a 2 -3a+9) = a 3 +3 3 = a 3 +27 ...
KORRUTAMISE ABIVALEMID (a+b)(a-b)=a²-b² - ruutude vahe valem (a+b)²=a²+2ab+b² - summa ruudu valem (a-b)²=a²-2ab+b² - vahe ruudu valem a³+b³=(a+b)(a² -ab+b²) - kuupide summa valem a³-b³=(a-b)(a² +ab+b²) - kuupide vahe valem (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³ - summa kuubi valem (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³ - vahe kuubi valem RUUTVÕRRAND x2 + px + q = 0 - taandatud ruutvõrand ; lahend ax2 + bx + c = 0 taandamata ruutvõrrand ; lahend x1 + x2 = -p ; x1 · x2 = q - viete valemid. Kus x1 ja x2 on taandatud ruutvõrrandi lahendid. ax2 + bx + c ( ruutkolmliikme lahutamine teguriteks) : ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2). x1 ja x2 ruutvõrrandi lahendid. DETERMINANDID = a ·d - c·b. = aei + cdh +bfg gec ahf dbi. TRIGONOMEETRIA PÕHISEOSED sin2 + cos2 = 1 1 + cot2 a = tan = tan a cot a =1 1+ tan2 a = TÄIENDUSNURGA VALEMID sin (90 - a) =cos a cos (90 - a) = sin a tan (90 - a) = 1/tan a = cot a cot (90 - a) = 1/cot a = tan a ...
Valemid (a-b)(a+b) = a2 - b2 - Ruutude vahe valem (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 - Summa ruudu valem (a-b)2 = a2 2ab + b2 - Vahe ruudu valem a2 + ab + b2 - summa mittetäielik ruut a2 ab + b2 - vahe mittetäielik ruut (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 - summa kuubi valem (a-b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 - vahe kuubi valem a3 + b3 = (a+b)(a2 ab + b2) - Kuupide summa valem a3 - b3 = (a-b)(a2 +ab + b2) - kuupide vahe valem
TULETISED Tuletiste põhiomadused: ' csin=0x+cos 2( c=const ) 2 x ( cu )' =c ( u )' , kus c=const Tähtsad piirväärtused: INTEGRAALID x =1 ' Newton-Leibniz: sinb x tan x sin ¿ =cos x x dx lim =1 lim =1 ∫ ' 0 dx=C x =1 2 1 ∫ x ...
..}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14. Võrdsete alustega astmete korrutis a m a n = a m+ n .
n an = a , kui n paarisarv n am = n = an n a n = a , kui n paaritu arv n m a = nm a ; np a mp = n a m 2.5 Abivalemid ja tegurdamine ( a + b )( a - b ) = a 2 - b 2 Abivalemite rakendamise näiteid ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 juuravaldiste lihtsustamisel: ( a - b ) 2 = a 2 - 2ab + b 2 a -b = ( a- b )( a+ b ) ( a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ( a± b ) 2
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a=
1. Reaalarvud ja avaldised Põhiteadmised: · Arvuhulgad N, Z, Q ja R, nende omadused; · arvtelje vahemik, lõik ja poollõigud; · arvu absoluutväärtus; · ratsionaalarvulise astendajaga aste; · ratsionaal- ja irratsionaalavaldised; · protsent; · aritmeetiline ja geomeetriline keskmine; · korrutamise abivalemid. Põhioskused · Võrrandi ja võrratuse lahendihulga, funktsioonimääramis-, muutumis-, positiivsus- ja negatiivsuspiirkondade ning kasvamis- ja kahanemisvahemike kujutamine punktihulkadena; · astmeid ja juuri sisaldavate avaldiste lihtsustamine; · protsendi mõiste kasutamine: protsendi leidmine arvust, arvu leidmine protsendi järgi, kahe arvu suhte väljendamine protsentides. Valemid a, kui a 0 · Arvu absoluutväärtus a =
astendamine juurimine korrutamise abivalemid teguriteks lahut. a0=1 n m (a+b)2=a2+2ab+b2 ax2+bx+c= am = an a(x-x1)(x-x2) am·an=am+n n ab = n a n b (a-b)2=a2-2ab+b2 am:an=am-n a n a (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 n = n b b m n mn (a ) =a n m a = nm a (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 (ab)n=anbn nm a n p = m a p a2-b2=(a+b)(a-b) (a:b)n=an:bn a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) 1 a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) a -n = an
Negatiivsete arvudega teostatavate tehete a n an eeskirjad 5. = b bn 1. a + (-b) = -b + (-a) = -(a + b) 2. a + b = b + (-a) = b a , kui b a Abivalemid ja tegurdamine 3. a + b = b + (-a) = - (a b), kui b ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a ( a - b) 2 ( a + b) 3 = a 2 - 2ab + b 2 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4. a + a = a + (-a) = 0 ( a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 5
[C f ( x)] = C lim f ( x) x a x a x lim 1 1 + = e ; x R x x lim sin x =1 x 0 x x lim r r 1 + = e x x lim tan x =1 x 0 x lim Kui funktsioon y = f(x) on pidev kohal x=a, siis f ( x) = f (a) x a Tegurdamine: 1. Sulgude ette toomine 2. Korrutamise abivalemid a2 b2 = (a + b)(a - b) a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2) 3. Rühmitamine 4. Ruutkolmliikme tegurdamine ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2)
· Ruutjuur nullist võrdub nulliga. · Mittenefatiivsete arvude korrutise ruutjuur võrdub tegurite ruutjuurte korrutisega. Ruutjuurte teisendused · Positiivset arvu, mille ruut esineb tegurina ruutjuure märgi all, võib tuua tegurina juuremärgi ette; positiivset arvu, mis seisaab tegurina juuremärgi ees, võib viia ruutu tõstetult tegurina juuremärgi alla. nt: 2. Korrutamise ja tegurdamise abivalemid. ( a+b)2= a2+2ab+b2 ( a-b)2= a2-2ab+b2 ( a+b)(a-b)= a2-b2 3. Lineaarvõrrandite süsteemi lahendamine: Liitmisvõte Asendusvõte + 2y+3y=15 5y=15 -y = -3 Y=3 Y = 3 X=23 2x+3×3=5 X=6 2x= -4 X= -2 Vastus = Vastus = 4. Kolmnurga kesklõik, ümbermõõt ja pindala.
ratsionaatr- j a imatsionaalavaldised; punktihulkadena-;
p{ol.sent; .,. ,'' i astrneid ja juuri sisaldavate avalcl,iste
ariirneetiline ja geomeetriline keskmine; *.x ' v; ?r trihtsustamine;
l
6.1. Esimese kaksliikme iga liikme korrutan teise kaksliikme iga liikmega. Kui võimalik, siis koondan 7. Kahe üksliikme summa ja vahe korrutis 7.1. Korrutamise abivalem (a+b)(a-b)=a2-b2 1) Ühes sulus +, teises -. 2) Sulgudes võrdsed liikmed. 3) Vastuse liikmete järjekord – sulu põhjal. 4) Vastuses liikmete vahel -. 5) Vastuses liikmete ruudud. 8. Kaksliikme ruut 8.1. Korrutamise abivalemid (a±b)2= 2 2 =a +2ab+b =a2-2ab+b2 1) Esimene liige ruudus. 2) Vastuse teiseks liikmeks on antud kaksliikmete liikmete kahekordne korrutis. 3) Vastuse viimane liige on antud kaksliikme teise liikme ruut. 4) Esimese ja kolmanda liikme märk on alati + ja teise liikme märk sõltub kaksliikme märgist. Üksliige ja hulkliige Horisontaalselt: 4
x9 4 x3 r) m n a mn a Näide: 3 4 x 12 x s) a n m n am Näide: x 2 3 3 x2 m t) a n n a m , kui a 0, m Z , n N 3 Näide: x 4 4 x 3 2) Korrutamise abivalemid a) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 b) (a – b)2 = a2 - 2ab + b2 c) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 d) (a – b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 3) Hulkliikme lahutamine teguriteks a) Ühise teguri sulgude ette toomine Näide: 6a 2b 12a 3b 4 18a 4b3 6a 2b 1 2ab3 3a 2b 2 b) Valemite kasutamine (1) a2 – b2 = (a – b)(a + b) Näide: 4 x 2 9 2 x 3 2 x 3 (2) a3 + b3 = (a + b)( a2 - ab + b2)
Matemaatika 11. klassi valemid Astendamise abivalemid am n a an a a =a m n m +n (a m ) n = a mn ( ab) n = a n b n n = a m -n = n a b b
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 a3 ± b3 = 4) ül 477-505 (paaritud) ( a ± b ) ( a 2 ab + b 2 ) 4. 06. 09. 06 Kordamine Korrutamise abivalemid. Õpilase individuaalne töö KÜL: 4) 500, 21 (a ± b)3 = a3 ± 3a2b + + 3ab2 ± b3
) 1 (t 2 ) (3t 2 ) (2) (3x 2t ) (2) 1 (2) 3t 4 3x 2t 3 t 2 6t 2 6 x 2t 2 3t 4 3x 2t 3 5t 2 6 x 2t 2 algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Arvutamise abivalemid. 1. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 2. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 3. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 4. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 5. a 2 b 2 (a b)(a b). 6. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). 7. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks. Kui võrrand ax 2 bx c 0 on lahenduv (lahendid x1 ja x2), siis vastav
..}. 2. Positiivsete täisarvude hulk Z + = N. 3. Negatiivsete täisarvude hulk Z - = { -1; -2; -3; . . . }. 4. Täisarvude hulk Z = Z Z { 0}. + - a 5. Ratsionaalarvude hulk Q = aZ bZ b 0 b 6. Irratsionaalarvude hulga I moodustavad lõpmatud mitteperioodilised kümnendmurrud. 7. Reaalarvude hulk R = Q I. KORRUTAMISE ABIVALEMID 8. (a + b)(a + b) = a 2 - b 2 . 9. ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 . 10. ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 . 11. a 3 ± b 3 = ( a ± b)(a 2 ab + b 2 ) . ASTMED JA JUURED 12. Korrutise aste ( a b) = a b . n n n n a an 13. Jagatise aste = b bn 14. Võrdsete alustega astmete korrutis a m a n = a m+ n .
= a , kui a 0 ja n = 2k (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 ) n m ( a) m n am = n , kui või kui a < 0 ja ( a) m n am = n , kui a 0 või kui ja m n am = a n n m a = nm a pn a pm = n a m , kui ja n = 2k või kui n = 2k + 1 2.3 Korrutamise abivalemid ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a - b ) = a 2 - 2ab + b2 2 ( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 3 ( a - b ) = a3 - 3a 2b + 3ab2 - b3 3 ( a - b) ( a + b ) = a2 - b2 ( a + b ) ( a 2 - ab + b2 ) = a3 + b3 ( a - b ) ( a 2 + ab + b2 ) = a3 - b3 2.4 Hulkliikme lahutamine teguriteks a 2 + 2ab + b 2 = ( a + b ) 2
Ruutvõrrandi lahend: Vete'i teoreem: ax² + bx + c = 0 x2+px+q=0 x = -b±b²-4ac 2a x1+x2=-p x1*x2=q Pythagorase teoreem: Protsendid: %arvust x*%/100 a2+b2=c2 a=c2-b2 moodustaja x=25/10%*100=250 c=a2+b2 b=c2-a2 arv-arvust x-y-st x/y*100=% Korrutamise valemid (a+b)² = a² +2ab +b² (a-b)² = a² -2ab +b² (a+b)(a-b) = a² -b² (a+b)³ = a³ +3a²b +3ab² +b² (a-b)³ = a³ -3a²b +3ab² -b² (a-b)(a² +ab +b²) =a³ -b³ (a+b)(a² -ab +b²) =a³ +b³ Pythagorase joonis: c a b sin=a/c sin=b/c cos=b/c cos=a/c tan=a/b tan=b/a Rööptahukas: Sp=ab, Sk=2(a+b)h, V=Sp*h Koonus: Sp=r , Sk=rm, V=Sph/3=r2h/3 2 Püramiid: V=1/3Sph Ring: C=2r S=r2 Silinder: c=2r, Sk=2rh, St=Sk+2Sp, Sp=r2, V=r 2h=Sp*h Kera: S=4r2, V=4/3r3 Kuup: S=6*a2, V=a3 Kolmnurk: S = a x h : 2, P=a+b+c Trapets: S = (a + a2) : 2 x h, P = a + a2 + c + d Rööpkülik: S=a*h, P=2(a+b) Romb: S=a*h, P=2(a+b) Risttahukas: S=2(ab+ac...
b n m n*m (a ) = a k a k2 a k a 2 a-n = 1/an a0 = 1 a1 = a 2. Lihtsustamine Abivalemid (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (a-b)2 = a2-2ab+b2 a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2) a2-b2 = (a+b)(a-b) a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2) (a+b)3 = a3+a2b+ab2+b3 (b-a) = -(a-b) 3. Võrrandid ja võrrandisüsteemid Lineaarvõrrand Muutujaga liikmed ühele, vabaliikmed teisele poole.
Ratsionaalavaldises ei tohi esineda muutujat juuritavas. Kui muutuja esineb juuritavas, siis nimetatakse vastatakse vastavat avaldist irratsionaalavaldiseks. Näiteks avaldised ja on ratsionaalavaldised, kuid avaldis on irratsionaalavaldis. Ratsionaalavaldiste lihtsustamiseks kasutame matemaatilisi võtteid ja valemeid. x + 3 2x + 5 2x + 5 Sulgude ette toomine: ab + ac = a(b + c); Arvutamise abivalemid: a2 b2 = (a + b)(a b); (a + b)2 = a2 + 2ab + b2; (a b)2 = a2 2ab + b2; (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3; (a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3; a3 + b3 = (a + b)(a2 ab + b2); a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2); Teeme ülesanded. Rühmitamisvõte: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y) Meeldetuletuseks:
Näide: Leia arvude 120 ja 192 vähim ühiskordne. 120 2 192 2 60 2 96 2 30 2 48 2 15 3 24 2 5 5 12 2 1 6 2 3 3 1 Antud arvude vähim ühiskordne on: 2 · 2 · 2 · 3 ·5 · 2 · 2 · 2 = 960 Üksliige ehk monoom on arvuliste ja täheliste tegurite korrutis. Ülesanne 2 Arvutamise abivalemid : Valemi Valem Sõnades Näiteks nimetus Kahe arvu summa ja samade arvude vahe Ruutude vahe (a+b)(a-b)= a²- b² korrutis võrdub nende (a + 2b)(a 2b)= a²-(2b)² = valem arvude ruutude vahega. a² - 4b² Kahe arvu summa ruut
· Aritmeetiline keskmine x= , kus x 1 ; x 2 ; x 3 ; ; x n on andmed n · Positiivsete arvude geomeetriline keskmine (keskmine võrdeline) x g = n x 1 x 2 x 3 x n , kui x i > 0 ( a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ( a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± b 3 · Korrutamise abivalemid a 2 - b 2 = ( a + b )( a - b ) a 3 ± b 3 = ( a ± b ) ( a 2 ab + b 2 ) Protsent 1 · 1 % on sajandik tervikust on 100 a · p % arvust a on p 100 b · Arv, millest b moodustab p% on 100 p a
kirjete järgi välja otsida. - Kui see on teksti mõistmiseks hädavajalik, siis võib esitada mõnest dokumendist väljavõtte. Kõige sagedamini esitatakse lisadena: 6 - küsitluslehed, ankeedid; - testid; - eksperimendis kasutatud vahendid ja materjalid; - töös toodud jooniste koostamise algandmed; - tabelid; - matemaatilised abivalemid; - eeskirjad; - fotod; - õpilastööde näidised. Lisad pealkirjastatakse ja nummerdatakse (kui lisasid on rohkem kui üks) araabia numbritega (Lisa 1, Lisa 2, Lisa 2.1). Lisade lehekülgi ei nummerdata. Sisukorras tuuakse ära lisade pealkirjad ning iga lisa alguslehekülg. 2.4 Keel ja grammatika Tekst peab olema asjalik, ladus, kergesti mõistetav ja ühetähenduslik. Hoiduda tuleks liigsest sõnaohtrusest ja tarbetutest kordustest.
· B4 ={ f7 , f12 } Teisendus analoogiline teisendusega baassüsteemi B3 . Erinevusena baasist B1 märgime "puhta" disjunktsiooni kasutamise võimalust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 ( x2 x3 ) · B5 ={ f12 , f13 } Teisenduseks kasutame järgmisi abivalemeid: x1 x2 = x 1 x2 x1 & x2 = x1 x 2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x3 x2 ) x1 Märgime, et resultaadi minimaalsus sõltub DNK liikmete paigutusest ja asenduste sooritamise järjekorrast. · B6 ={ f0 , f13 } Kasulikud on järgmised abivalemid: x = x 0 x1 x2 = ( x1 0) x2 ( x1 & x2 = x1 ( x2 0) 0 ) (x1 0) ( x2 0) = x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = ( x1 0) ( ( x3 x2 ) 0) = ( x3 x2 ) x1 · B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. · B8 ={ f1 , f6 , f15 } Read-Mülleri ehk Zhegalkini baasile vastab algebra, kus kehtivad järgnevad seosed: Kommutatiivsus: x1 x2 = x2 x1 Distributiivsus: x1 & (x2 x3 )= x1 x2 x1 x3 x1 (x2 x2 ) = x1
Erinevusena baasist B1 märgime "puhta" disjunktsiooni kasutamise võimalust. Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 x2 x3 B5 ={ f12 , f13 } Teisenduseks kasutame järgmisi abivalemeid: x1 x2 x 1 x2 x1 & x2 x1 x 2 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x3 x2 x1 Märgime, et resultaadi minimaalsus sõltub DNK liikmete paigutusest ja asenduste sooritamise järjekorrast. B6 ={ f0 , f13 } Kasulikud on järgmised abivalemid: xx0 x1 x2 x1 0 x2 x1 & x2 x1 x2 0 0 x1 0 x2 0 x2 x1 Resultaat: f(x1, x2, x3) = x1 0 x3 x2 0 x3 x2 x1 B7 ={ f6 , f13 } Teisendus sellesse baassüsteemi on eelneva põhjal iseseisvaks tööks. B8 ={ f1 , f6 , f15 } 27
= n a m , kui a 0 ja n = 2k (või kitsendusteta, kui n = 2k + 1 ) ( a) m n am = n , kui a 0 või kui a < 0 ja n = 2k + 1 ( a) m n am = n , kui a 0 või kui a < 0 ja n = 2k m n am = a n n m a = nm a a pm = n a m , kui a 0 ja n = 2k või kui n = 2k + 1 pn 2.3 Korrutamise abivalemid ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 2 ( a - b ) = a 2 - 2ab + b 2 2 ( a + b ) = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b3 3 ( a - b ) = a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b3 3 8 ( a - b ) ( a + b ) = a 2 - b2 ( a + b ) ( a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b3 ( a - b ) ( a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b3 2.4 Hulkliikme lahutamine teguriteks
· suulised allikad mälestused, intervjuud, audio- ja videomaterjalid. Igal allikatüübil on oma kindel kirje kuju. (vt ptk ,,Allikakirjete koostamine"). 11 3.8. Lisad Lisadena esitatakse täiendav ja selgitav materjal. Kõige sagedamini antakse lisadena: · eksperimendis kasutatud vahendid ja materjalid; · töös toodud jooniste koostamise algandmed; · tabelid; · matemaatilised abivalemid; · eeskirjad; · küsitluslehed; · ankeedid; · testid; · fotod; · õpilastööde näidised jpm, mis on vajalikud töö paremaks mõistmiseks. Lisad, mis on vaid kaudselt seotud uurimistöö teemaga, tuleks tööst välja jätta. Samuti ei esitata mujal trükitud materjale. Lisad pealkirjastatakse ja nummerdatakse (kui lisasid on rohkem kui üks) araabia numbritega. Lisade pealkirjad esitatakse sisukorras, nt: LISAD Lisa 1. Küsitluslehe näidis Lisa 2. E-ajakirjade loetelu
10 2.11 Ülesanded ……………………………………………………….….. 11 3. ALGEBRA …………………………………………………….……. 12 3.1 Astmed ……………………………………………………………… 12 3.2 Juured ………………………………………………………………. 14 3.3 Näited astendamisest ja juurimisest ………………………………… 15 3.4 Korrutamise abivalemid …………………………………………….. 17 3.5 Hulkliikme lahutamine teguriteks …………………………………... 17 3.6 Näited algebraliste avaldiste teisendamisest ………………………… 18 3.7 Lineaarvõrrand ……………………………………………………… 22 3.8 Ruutvõrrand ……………………………………………………...… 23 3.9 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine …………………………….. 23 3
, kui a 0 või kui a 0 ja n 2k 1 a m n am n , kui a 0 või kui a 0 ja n 2k m n am a n n m a nm a a m , kui a 0 ja n 2k või kui n 2k 1 pn pm n a 2.3 Korrutamise abivalemid a b a 2 2ab b 2 2 a b a 2 2ab b 2 2 a b a 3 3a 2b 3ab 2 b3 3 a b a 3 3a 2b 3ab 2 b3 3 8 a b a b a 2 b2
annaabi.ee 
