ARITMEETIKA 1.1 Mõningate arvude kõrgemad astmed 24 = 16 29 = 512 34 = 81 44 = 256 64 = 1296 25 = 32 210 = 1024 35 = 243 45 = 1024 65 = 7776 26 = 64 211 = 2048 36 = 729 46 = 4096 7 4 = 2401 27 = 128 212 = 4096 37 = 2187 54 = 625 84 = 4096 28 = 256 213 = 8192 38 = 6561 55 = 3125 94 = 6561 1.2 Hariliku murru põhiomadus Murru väärtus ei muutu, kui murru lugejat ja nimetajat korrutada või jagada ühe ja sama nullist erineva arvuga. Kui k 0 , siis a ka = b kb (murru laiendamine), ka ka : k a = = kb kb : k b (murru taandamine). 1.3 Tehetevahelised seosed Kui x + a = b ,...
Ruutfunktsioon Funktsiooniks nimetatakse seost kahe muutuja vahel, kus ühe muutuja igale võimalikule väärtusele vastab teise suuruse üks kindel väärtus. · x ja y on muutujad · x on argument · y on funktsiooni väärtus · a on kordaja ehk mingi arv Argumenti + väärtuste hulka nimetatakse funktsiooni määramispiirkonnaks, ning muutuja y vastavate väärtuste hulka funtsiooni väärtuste piirkonnaks. Määramispiirkond- x Väärtuste piirkond- y · Ruutfunktsiooni graafikuks on parabool. · Parabool on sümmeetriline y-telje suhtes. · Parabooli sümmeetriatelge nimetatakse parabooli teljeks. · Parabooli ja tema telje ühist punkti nimetatakse parabooli haripunktiks. Mida suurem on kordaja a absoluutväärtus, seda kitsam on parabool. Argumendi x neid väärtusi, mille korral funktsiooni väärtus on null, nimetatakse funktsiooni nullkohtadeks. Hulkliiget, mille li...
a2 - b2 = (a + b)(a - b), a3 ± b3 = (a ± b)(a2 ab + b2 ). Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks Kui v~orrand ax2 + bx + c = 0 on lahenduv ja lahendid on -b ± b2 - 4ac x1,2 = , 2a siis vastav ruutkolmliige ax2 + bx + c lahutub lineaartegurite korrutiseks ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ).
Ruutfunktsioon ja 19. 27. 09. 06 Taandamata ruutvõrrand 2) 37 (11, 14, 16, 21, 20, 26,33,41) ruutvõrrand. Ruutvõrrandi diskriminant. Ruutkolmliige. Ruutfunktsioon ja Ruutvõrrandi diskriminant. Ruutkolmliikme tegurdamise 1) lk 69, ül 247 20. 28. 09. 06 ruutvõrrand. Ruutkolmliikme tegurdamine. valem: 1) lk 70-72 ax2+ bx + c =
Arvutamise abivalemid. 1. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 2. (a b) 2 a 2 2ab b 2 . 3. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 4. (a b)3 a 3 3a 2b 3ab 2 b3 . 5. a 2 b 2 (a b)(a b). 6. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). 7. a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 ). algusesse eelmine slaid järgmine slaid esitluse lõpp Ruutkolmliikme lahutamine tegureiks. Kui võrrand ax 2 bx c 0 on lahenduv (lahendid x1 ja x2), siis vastav ruutkolmliige ax 2 bx c lahutub lineaartegurite korrutiseks: ax 2 bx c a( x x1 )( x x2 ). Näide Et ruutvõrrandi 3x 2 8 x 3 0 lahendid on 1/3 ja 3, siis 3x 2 8 x 3 3( x 1 / 3)( x 3) (3x 1)( x 3). algusesse eelmine slaid esitluse lõpp
70. Pythagorase teoreem täisnurkse kolmnurga kaatetite ruutude summa võrdub hüpotenuusi ruuduga. 71. Ratsionaalarv arv, mida saab esitada kujul a/b, kus a ja b on täisarvud ning b ei võrdu nulliga. 72. Reaalarv lõpmatu kümnendmurruna esitatav arv. 73. Risttahukas püstprisma, mille põhjad on ristkülikud. 74. Romb võrdsete külgedega rööpkülik. 75. Ruut 1. võrdsete külgedega ristkülik. 2. arvu teine aste. 76. Ruutfunktsioon funktsioon y=ax2+bx+c. 77. Ruutkolmliige avaldis kujul ax2+bx+c, kus a, b ja c on antud arvud ja x on muutuja. 78. Ruutvõrrand võrrand ax2+bx+c=0, milles a, b ja c on antud arvud ja x tundmatu. 79. Rööpkülik paralleelsete vastaskülgedega nelinurk. 80. Samasus võrdus, mis kehtib temas esinevate muutujate mistahes väärtuste korral. 81. Samaväärsed võrrandid võrrandid, millel on kas samad lahendid või millel lahendid puuduvad. 82
3. Leia lineaarliikme kordaja b väärtus, kui ruutfunktsiooni y = 3x 2 bx + 4 graafik läbib punkti A( 2; 2). Lahendus: Siin tuleb muutujate x ja y asemel panna vastavad väärtused ehk x = 2 ja y = 2. Saame 2 = 3 . (2)2 b . (2) + 4; 2 = 12 + 2b + 4; 2b = 10; b = 5. Vastus: b = 5 Ratsionaalavaldised ja murdvõrrandid Ruutkolmliikme tegurdamine 1. Tegurda ruutkolmliige x2 x 30. Lahendus: Kõigepealt leiame antud ruutkolmliikme nullkohad. Selleks lahendame ruutvõrrandi x2 x 30 = 0. Siis saame: x 2 x 30 0; x 0,5 0,5 2 30 ; x 0,5 30,25 ; x 0,5 5,5; x 1 0,5 5,5 6; x 2 0,5 5,5 5. Võrduse ax2 + bx + c = a(x x1)(x x2) järgi saame tulemuseks, et x2 x 30 = (x 6)(x + 5) 2. Tegurda ruutkolmliige 2x2 5x 3. Lahendus: Kõigepealt leiame antud ruutkolmliikme nullkohad
1) x 2 = 9 , millest x1 = 3 , x2 = −3 ; 1 1 1 2) x 2 = , millest x3 = , x4 = − . 4 2 2 Biruutvõrrandi võib lahendada ka ilma abitundmatuta, kasutades vaid ruutvõrrandi lahendivalemit tundmatu ruudu leidmiseks. 1 1 Vastus. x1 = 3 , x2 = −3 , x3 = , x4 = − . 2 2 Näide 8. Lahutada ruutkolmliige 15 x 2 − 8 x + 1 teguriteks. Lahendus. Moodustame ruutvõrrandi 15 x 2 − 8 x + 1 = 0 ja lahendame selle. 8 ± 82 − 4 ⋅ 15 ⋅ 1 8 ± 2 1 1 x= = ; x1 = ; x2 = . 2 ⋅ 15 30 3 5 Nüüd saame ruutkolmliikme lahutada teguriteks: 1 1 1 1 15 x 2 − 8 x + 1 = 15 x − x − = 3 x − ⋅ 5 x − = (3x − 1)(5 x − 1).
i=1 i=1 i=1 i=1 = at2 + bt + c, 52 5 KONSTRUKTSIOONID ... kus n n n a = a2i , b = −2 ai b i , c = b2i . i=1 i=1 i=1 See on ruutkolmliige, mis rahuldab v˜orratust f (t) ≥ 0 iga t ∈ R korral. See on v˜oimalik vaid siis, kui tema diskriminant on mittepositiivne, st b2 − 4ac ≤ 0 ehk b2 ≤ 4ac. Siit j¨areldubki p¨arast a, b ja c v¨a¨artuste asendamist ja arvuga 4 taandamist v˜orratus (5.4). Teoreem 5.21 Kui topoloogiliste ruumide (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) topoloogiad on tekitatud meetrikatega d1 , . . . , dn , siis nende ruumide otsekorrutise X = X1 × · · · × Xn topoloogia T on tekitatud meetrikaga d, kus
x2 + 2x + 3 2(1+t) 1+t Tagasiasendus t = x + x2 + 2x + 3 annab tulemuseks dx = ln |x + 1 + x2 + 2x + 3| + C. x2 + 2x + 3 9.2.2. Euleri teine asendus Kui integraalis (9.15) a < 0 siis peab ruutkolmliige ax2 + bx + c rahuldama tingimust b2 - 4ac 0, sest vastasel korral ruutkolmliikmel nullkohad puuduksid, st ax2 + bx + c < 0 k~oigi x v¨a¨artuste korral ja ruutjuur ei omaks m~otet. Seega on ruutkolmliikmel olemas reaalsed nullkohad x1 ja x2 , st ax2 + bx + c = a(x - x1 )(x - x2 ). Integraali (9.15) ratsionaliseerimiseks kasutatakse Euleri teist asendust ax2 + bx + c = t(x - ), (9.17)
annaabi.ee 
