Kui a=1, on tegemist taandatud ruutvõrrandiga, kuid ka sellisel juhul on võimalik lahendeid leida üldise ruutvõrrandi lahendivalemi abil. Diskrimnant Ruutvõrrandil on alati kaks lahendit, see on tagatud valemis sisalduva ruutjuurega. Erijuhtudel võivad lahendid kattuda (kokku langeda). Ruutvõrrandil võivad ka reaalarvulised lahendid puududa. Selline olukord tekib juhul, kui ruutjuure all olev avaldis on negatiivne. Juurealust avaldist nimetatakse ruutvõrrandi diskriminandiks. Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatakse neljanda astme algebralist võrrandit, mis on teisendatav kujule kus x on tundmatu ja a 0. Võrrandi lahendamiseks tehakse asendus x2=y, mis annab
Viète'i teoreem võimaldab mõnel juhul peast arvutades leida ruutvõrrandi lahendid. Viète'i teoreem. Taandatud ruutvõrrandi lahendite summa võrdub lineaarliikme kordaja vastandarvuga ja lahendite korrutis võrdub vabaliikmega. Ehk taandatud ruutvõrrandi x 2 px q 0 kordajad p ja q on seotud lahenditega x1 ja x2 järgmiselt: x1 x 2 p x1 x 2 q. algusesse Biruutvõrrand Biruutvõrrandiks nimetatkse võrrandit kujul ax 4 bx 2 c 0 kus x on tundmatu ning a 0. Biruutvõrrandi lahendamiseks tehakse asendus x2 = y, lahendatakse tekkiv abivõrrand ay 2 by c 0 abivõrrandi lahendit y1 ja y2 kaudu avaldatakse esialgse võrrandi lahendid x1, 2 y1 x 3, 4 y 2 algusesse Näide Näide Lahendame võrrandi x 4 3x 2 4 0. Lahendus
a Täielikud ruutvõrrandid -b ± b 2 - 4ac ax 2 + bx + c = 0 x1,2 = 2a 2 p p x 2 + px + q = 0 x1, 2 = - ± -q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax + bx + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse 4 2 abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . 2 2 Paigutades y positiivsed väärtused võrdusesse x = y , saame 2 x = ± y1 1) x = y1 , millest 1,2 2 ; x = ± y2
2) x y2 , millest 3, 4 2 . Näide 18 Lahendada võrrand 9x4–10x2+1=0 Tähistame x2=у Saame ruutvõrrandi y suhtes 9y2–10y+1=0, kust y1= , y2=1 Seega x2 = või x2 = 1. Võrrandist x2 = saame , Võrrandist x2 =1, saame Vastus: algse võrrandi lahendiks on , Näide 19 Lahendada võrrand 4 x 37 x 9 0 . 4 2 Lahendus. See on biruutvõrrand. Lahendamiseks kasutame abitundmatut x y . Saame uue võrrandi 2 1 y2 4 y 37 y 9 0 , mille lahendid on y1 9 ja 2 4 . Paigutades y väärtused võrdusesse x y , saame 2
15. Arvtelg, arvsirge reaalarvude kujutamiseks kasutatav sirge, millel on fikseeritud arvude 0 ja 1 kujutised ning sellega määratud ka teiste reaalarvude kujutised. Alguspunkti ehk nullpunkti, pikkusühiku ning positiivse suunaga varustatud sirge. 16. Astendamine 1. võrdsete tegurite korrutise leidmine, kus an on aste, a astme alus ehk astendatav ja n astendaja ehk astmenäitaja. 2. negatiivse astendaja korral a-n =1/an. 17. Biruutvõrrand neljanda astme võrrand kujul ax4+bx2+c=0. 18. Diagonaal hulknurga kaht mitte ühele küljele kuuluvat tippu ühendav lõik või sirge. Hulknurga kaht mitte ühele tahule kuuluvat tippu ühendav lõik. 19. Diameeter ringjoone keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab ringjoone kaht punkti. Sfääri keskpunkti läbiv lõik, mis ühendab sfääri kaht punkti. 20. Diskriminant avaldis, mis on ruutvõrrandi lahendivalemis juuremärgi all. 21
a cos 7. Võrrandid ja võrratused(lineaar, ruut, 1 1 + tan 2 = murd) cos 8. Parameetrit sisaldavad võrratused(peale Phytagorase teoreem a2+b2=c2 otsitava x veel täheline suurus) Täiendusnurga valemid 9. Biruutvõrrand sin = cos( 90° - ) ax 4 + bx 2 + c = 0 cos = sin ( 90° - ) 10. Võrrandite ja võrrandisüsteemide tan = cot ( 90° - ) lahendamine ja koostamine(tekstül.) cot = tan ( 90° - ) 11. Kaherealine determinant a b 23. Nurga mõiste üldistamine. Nurkade liigitus = a d -b c 24
.......................................................................13 Lineaarvõrrand........................................................................................................................13 Ruutvõrrand............................................................................................................................13 Viete teoreem......................................................................................................................14 Biruutvõrrand..........................................................................................................................14 Murdvõrrand...........................................................................................................................14 Parameetreid sisaldav võrrand................................................................................................15 Kahe tundmatuga lineaarvõrrandisüsteem...........................................................
Nii nagu esimese võrrandi puhul, on ka nüüd võrrandi lahenditeks kaaskomp- nimetajas oleva kompleksarvu kaaskompleksarvuga. Nii vabaneme imaginaar-susest leksarvud. murru nimetajas. 3) Võrrand x4 - 3x2 - 4 = 0 pole küll ruutvõrrand (see on biruutvõrrand), kuid ta Seega lahendatakse analoogiliselt. Teeme muutuja vahetuse x2 = t, saame ruutvõrrandi t2 a + bi (a + bi)(c - di) ac - adi + cbi + bd ac + bd bc - ad c + di = (c + di)(c - di) = c2 + d2 = c2 + d2 + c2 + d2 i, kus c2 + d2 0. - 3t - 4 = 0. Selle võrrandi lahenditeks saame t1 = 4 ja t2 = -1
Olgu lahendid x1 ja x 2 . Viète’i valemite kohaselt x1 + x 2 = −(− 1) = 1, x1 ⋅ x 2 = −6. Leiame proovimise teel sellised kaks täisarvu (üks nendest on negatiivne, sest lahendite korrutis on negatiivne), mille korrutis on – 6 ja summa 1. Need arvud on –2 ja 3. Seega võrrandi lahendid on x1 = −2 ja x 2 = 3 . Vastus. x1 = −2 , x 2 = 3 . 25 Näide 7. Lahendada võrrand 4 x 4 − 37 x 2 + 9 = 0 . Lahendus. See on biruutvõrrand. Lahendamiseks kasutame abitundmatut x 2 = y . Saame uue võrrandi 1 4 y 2 − 37 y + 9 = 0 , mille lahendid on y1 = 9 ja y2 = . 4 Paigutades y väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = 9 , millest x1 = 3 , x2 = −3 ; 1 1 1 2) x 2 = , millest x3 = , x4 = − . 4 2 2
2 x =1 NB ruutvõrrandisüsteemil on kaks lahendit, x= mis koosnevad kahest tundmatu x1=-1 y1=2 (-1)=-2 väärtusest x2=1 y2=2 1=2 Vastus. Lahendid on x1=-1,y1=-2 või x2=1, y2=2. 4 2 25.Biruutvõrrand - üldkuju ax +bx +c=0; Ül.1439 4 2 2 lahendamisel kasutada abitundmatu võtet; x -13x +36=0; x =t 2 tundmatu ruut tähistada uue tähega, t -13t+36=0 2 4 2 näiteks x =t, sel juhul x =t ; lahendada järjest mitu ruutvõrrandit t= t= NB võib olla ülimalt 4 erinevat lahendit
ax 2 + bx + c = 0 x1,2 = 2a 2 p p x + px + q = 0 2 x1, 2 = - ± - q 2 2 x 2 + px + q = 0 x1 + x2 = - p ja x1 x2 = q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 + bx 2 + c = 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x = y . Saadakse uus võrrand ay 2 + by + c = 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 = y , saame 1) x 2 = y1 , millest x1,2 = ± y1 ; 2) x 2 = y2 , millest x3,4 = ± y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 + px + q = ( x - x1 ) ( x - x2 ) ,
2a 2 p p x px q 0 2 x1, 2 q 2 2 x 2 px q 0 x1 x2 p ja x1 x2 q (Viète´i valemid) 9 Biruutvõrrand Biruutvõrrandi üldkuju on ax 4 bx 2 c 0 . Lahendamiseks kasutatakse abimuutujat x y . Saadakse uus võrrand ay 2 by c 0 , mille lahendid on y1 ja y2 . Paigutades y 2 positiivsed väärtused võrdusesse x 2 y , saame 1) x 2 y1 , millest x1,2 y1 ; 2) x 2 y2 , millest x3,4 y2 . 2.6 Ruutkolmliikme teguriteks lahutamine x 2 px q x x1 x x2 ,
RUUTVÕRRANDID JA BIRUUTVÕRRANDID Taandamata ruutvõrrandi ax2 + bx + c = 0 lahendivalem on b b 2 4ac x1;2 2a Taandatud ruutvõrrandi x2 + px + q = 0 lahendivalem on p p2 x1;2 q 2 4 Ruutvõrrandil on 2 erinevat reaalarvulist lahendit, kui diskriminant D > 0, 2 võrdset lahendit, kui diskriminant D = 0, reaalarvulised lahendid puuduvad kui diskriminant D < 0. Biruutvõrrand on võrrand kujul ax4 + bx2 + c = 0. Lahendatakse asendusvõttega: x2 = t, at2 + bt + c = 0. Lahendame võrrandi x4 – 13x2 + 36 = 0. Peale asendust x2 = t saame võrrandi t2 – 13t + 36 = 0. t1;2 6,5 42,25 36 6,5 2,5. Järelikult t1 = 9 ja t2 = 4. Arvestades asendust x2 = t saame x1 = 3, x2 = –3, x3 = 2 ja x4 = –2. © Allar Veelmaa 2014 12. klass Viljandi Täiskasvanute Gümnaasium 45 JUURVÕRRANDID
annaabi.ee 
